2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：最值模型之瓜豆模型（原理）直線解讀與提分訓(xùn)練（原卷版）

專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問(wèn)題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

習(xí)題練模型］

............................................................

例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

模型解讀

瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件,跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌

跡相同。

只要滿足:

則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡

1、兩“動(dòng)”，一“定”

長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。

2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角

3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值

動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動(dòng)點(diǎn)叫瓜（豆），從動(dòng)點(diǎn)叫瓜（豆），瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直

線一上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。

模型證明

模型1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，A是直線2C外一定點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在直線上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，則。點(diǎn)軌跡也是一條直線。

證明：分別過(guò)A、。向BC作垂線，垂足分別為〃、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點(diǎn)到8C的距離是定值，故。點(diǎn)軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在AAP。中AP=A。，4R4Q=a為定值，當(dāng)點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則。點(diǎn)軌跡也是一條

直線。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,:.AAPP}AAQQ,AAPP\=XAQQ\,

?：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q點(diǎn)所在直線與BC的夾角為定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.

模型運(yùn)用

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，常用“垂線段最短”求最值。

1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）

①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線，即模型1）；

②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線，即模型2）；

③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線;

④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；

注意：若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對(duì)角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2024.山東泰安??？家荒＃┤鐖D，矩形A5CD的邊A8=￡,BC=3,E為AB上一點(diǎn),且AE=1,F

為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接E尸，若以所為邊向右側(cè)作等腰直角三角形跳G,E〃=EG,連接CG,則CG

C.3D.20

例2.（2024?河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,

將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接，則NC4F=，連接DF,則VCDF周長(zhǎng)的最小值是

例3.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABQ）為矩形，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在邊DC

上，連接AE,過(guò)。做。尸JLAE,垂足為尸，連接。尸，若ZDAE=30。，OE=10,則OF的最小值為.

例4.（2023?安徽?合肥三模）如圖，在RdABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)、D,E分別在2C,

AB邊上，連接。E,將ABOE沿。E翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸的位置，連接AR若四邊形BEfD是菱形，則

AP的長(zhǎng)的最小值為（）

53

A.B.y/3C.—D.—

例5.（2024?四川達(dá)州?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,8c=54，點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含8,

C兩點(diǎn)），連接AP,以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接DQ，則線段DQ的最小值為.

D

例6.（2024?重慶模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是直線y=gx+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將。繞點(diǎn)尸（-1,0）

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)Q',連接OQ',則。。最小值為.

|x+2

例7.（2024?廣東?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=5,點(diǎn)E是邊AC上

一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到即，連接CF,則CP長(zhǎng)的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.@

.題練模型I

1.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16,4）=12,ZA=6O°,E是邊上一點(diǎn)，

且AE=8,尸是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)、E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到EG,連接BG、CG,則BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4>/15C.4>/21D.歷

2.（2024?湖南長(zhǎng)沙?一模）如圖，矩形ABC。中，48=6,30=8,尸是48上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn),且BE=2,

連接EF,將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，則CG的最小值為.

3.（2023?江蘇宿遷三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8>/L點(diǎn)E為矩形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),

連接CE,以CE為邊向上作正方形CEFG,對(duì)角線CF、EG交于點(diǎn)連接D”，則線段的最小值為一

4.（2023上?湖北武漢?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知/MQV=30。，B為OM上一點(diǎn),84LON于A,四

邊形ABCD為正方形，尸為射線8M上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得CE,連接BE,

若AB=2,則BE的最小值為.

M

5.（2023上?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，連接CE.點(diǎn)

廠是邊CE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為邊3尸的中點(diǎn)，連接。G.當(dāng)45=4時(shí)，0G的最小值是.

6.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)4（1,0）,點(diǎn)C是y軸上

一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0,優(yōu)），線段C4繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為,連接20,

則3。的最小值是

7.（2024?山東?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E為邊3c上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F,則DF的最小值為.

BE

8.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=6,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過(guò)點(diǎn)E作￡F_LM,且EF=AE,連接則線段C/長(zhǎng)度的最小值為.

9.（23-24八年級(jí)下?遼寧丹東?期中）如圖，點(diǎn)B在直線/上，于點(diǎn)8,回=7,點(diǎn)C在直線/上運(yùn)動(dòng),

以AC為邊作等邊ACD,連接8。，則8。的最小值為.

10.（2024?四川達(dá)州?三模）如圖，在等腰中，ZBAC=90°,A3=AC=3&，點(diǎn)M是3C邊上一

動(dòng)點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AN,連接MN,CN,^\AN+CN的最小值是

A

11.（2024?四川成者B?一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB,點(diǎn)、M,N為直線AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

NMBN=30。,將線段關(guān)于8N翻折得線段創(chuàng)/，，連接CAT.當(dāng)線段CM，的長(zhǎng)度最小時(shí)，NWC的度

12.（23-24八年級(jí)下.遼寧沈陽(yáng)?期中）如圖，Rt^ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,AC=6,。是線段

AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在.ABC外作等邊LBDE.若尸是。E的中點(diǎn)，連接C幾則CF的最小值為

13.(2024九年級(jí)下.江蘇.專題練習(xí))等邊ABC邊長(zhǎng)為6,。是2c中點(diǎn)，E在AO上運(yùn)動(dòng)，連接BE,在BE

下方作等邊ABE尸，則V3Db周長(zhǎng)的最小值為

14.(23-24九年級(jí)下.湖北武漢?階段練習(xí))在等腰AABC中，AC=AB,。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是線段A3

上一點(diǎn)，連接QE交AC于點(diǎn)F.

求C。的長(zhǎng);

(3)如圖3,若Nl=60。，BC=2CD=6,E在直線AB上運(yùn)動(dòng)，以。E為斜邊向上構(gòu)造直角△OZE,且/￡=

30°,請(qǐng)直接寫出CT的最小值是

15.(2023?山東臨沂?二模)如圖，矩形ABC。中，AB=2?,4￡>=2,點(diǎn)E在線段8C上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到"，旋轉(zhuǎn)角等于NB4C,連接CP.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在2c上時(shí)，作HW_LAC,垂足為求證：4"=AB；(2)連接點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的

過(guò)程中，試探究O尸是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

ABAB

16.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，點(diǎn)AB、M、E、廠依次在直線/上，點(diǎn)AB固定不動(dòng)，且AB=2,

分別以AB、所為邊在直線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形ER汨，ZPMN=90P,直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C,直

角邊恒過(guò)點(diǎn)H.⑴如圖1,若班=10,EF=U,求點(diǎn)”與點(diǎn)B之間的距離；（2）如圖1,若跖=10,

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)3、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；（3）如圖2,若BF=22,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)8、歹之間運(yùn)動(dòng)時(shí),

點(diǎn)又隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH,點(diǎn)。是S的中點(diǎn)，連接“8、MO,貝IJ2Q0+HB的最小值為.

17.（23-24九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期末）【問(wèn)題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問(wèn)

題：四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E是邊AO上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG

（點(diǎn)C,E,F,G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接即，DG.

（1）如圖1,求點(diǎn)G到8的距離，請(qǐng)寫出解答過(guò)程；

【類比分析】愛(ài)動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過(guò)程中，也提出了一個(gè)問(wèn)題：

（2）如圖2,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求。G的長(zhǎng)，請(qǐng)寫出解答過(guò)程；

【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說(shuō)：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，

于是給同學(xué)們留了一道思考題：

（3）求