2025中考數學模擬試卷（南通卷）（全解全析）

2025年中考第一次模擬考試（南通卷）

數學?全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題

目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.計算-3+5的值為（）

A.-2B.2C.-8D.8

1.B

【分析】直接用有理數加法法則計算.

【詳解】解：-3+5=2.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了有理數的加法，掌握有理數的加法運算法則，符號的確定是解題關鍵.

2.由陳凱歌、張一白、管虎等七位導演執(zhí)導的電影《我和我的祖國》于2019年9月30日在全國上映，電

影票房便超過299400000元，數299400000用科學記數法表示為（）

A.0.2994XI09B.2.994X108

C.29.94X107D.2994X106

2.B

【分析】科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數.確定w的值時，要看把

原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值N10時，n

是正數；當原數的絕對值<1時，w是負數.

【詳解】解：將299400000用科學記數法表示為2.994X108,

故選:B.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為"X10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,w

為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及"的值.

3.以下問題.不適合用全面調查的是（）

A.了解全班同學每周體育鍛煉的時間

B.學校招聘老師，對應聘者進行面試

C.了解“神舟十五號”載人飛船發(fā)射前零部件的狀況

D.某批種子的發(fā)芽率

3.D

【分析】根據全面調查需要簡單易行，便于開展，要求精準，難度不大，無破壞性的特點，抽樣調查是

會給調查對象帶來損傷破壞，以及經費和時間非常有限等特點，對各個選項的調查進行判斷即可.

【詳解】解：4；全班學生的數量少，容易調查，.?.適合全面調查，故此選項不符合題意；

弘???學校招聘的老師一般都是人員有限，數量較少，容易調查，...適合全面調查，故此選項不符合題意；

C.?.?人造飛船必須要精準，確保成功，.?.適合全面調查，故此選項不符合題意；

D.調查種子的發(fā)芽率，根據實際情況，不可能都讓它們泡發(fā)，，適合抽樣調查，不適合全面調查，故

此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了全面調查和抽樣調查，解題關鍵是根據調查對象的范圍的大小作出判斷.

4.如圖，點E在AB上，過點E作的垂線與CD相交于點尸，連接CE,若/ECD=40°,

A.40°B.45°C.50°D.55°

4.C

【分析】先利用平行線的性質可得NAEC=NECF=40。，再根據垂直定義可得/AEB=90°,然后利用

角的和差關系進行計算，即可解答.

【詳解】W：\'AB//CD

：.ZAEC=ZECF=4Q°，

"：EFLAB,

：.ZAEF=90°，

：.ZCEF=ZAEF-ZAEC=50°,

故選：C.

【點睛】本題考查了垂線，平行線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵.

5.一次函數y=乙+匕小，6為常數）的圖象經過點尸（-2,-1）且y隨著x的增大而減小，則該圖象不

經過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.A

【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征及一次函數的性質可得出上<0,b<0,再利用一次函數圖象

與系數的關系，即可得出一次函數的圖象經過第二、三、四象限，即一次函數>=依+6的圖象

不經過第一象限.

【詳解】解：???一次函數的圖象經過點P（-2,-1）,

-1—_2k+b,

:,b=2k-1.

隨著尤的增大而減小，

.wo,

—VO,BPb<0,

.?.一次函數>=履+》的圖象經過第二、三、四象限，

.?.一次函數y=fcc+6的圖象不經過第一象限.

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質以及一次函數圖象與系數的關系，

利用一次函數圖象上點的坐標特征及一次函數的性質，求出左<0,b<0是解題的關鍵.

6.在我國古代數學著作《九章算術》中記錄著這樣一個問題：“今有甲乙二人持錢不知錢數，甲得乙半而

錢五十，乙得甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：“現有甲乙二人，不知其錢包里有多少

2

錢，若乙把自己一半的錢給甲，則甲的錢數為50；而甲把自己］的錢給乙，則乙的錢數也能為50.問甲、

乙各有多少錢？”設甲持錢數為x,乙持錢數為y,可列方程組（）

11

-%+y-5o%+-y-5o

A2B2

22

-y+%-5oy+%-5O

33-

1

rl%+y-5oX+-y-5o

c)D2

222

+-%-5oy+-X-5o

ly33

6.D

設甲的錢數為無，人數為y,根據“若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數為50；而甲把其|的錢給乙，則

乙的錢數也能為50”，即可得出關于尤，y的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】解：設甲的錢數為x,乙的錢數為》

1

X+-y5o

2-

依題意得,2

y+-X5O

3-

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解

題的關鍵.

7.下列說法不正確的是（）

A.一組鄰邊相等的矩形是正方形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.等腰梯形的對角和相等

D.矩形的對角線互相垂直平分

7.D

【分析】根據正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性質，即可解答.

【詳解】解：A、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確；

2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，正確；

C、等腰梯形的對角和相等，正確；

。、矩形的對角線互相平分，故錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性質，解決本題的關鍵是熟記正方形、菱形、等

腰梯形、矩形的性質.

8.若關于尤的不等式3祖-2%<9的解集是x>3,則實數的值為（）

11

A.5B.4C.3D.—

3

8.A

【分析】根據解不等式，可得不等式的解集，根據不等式的解集，可得關于初的方程，根據解方程，可

得答案.

【詳解】解：解3%-2尤<9,得無>駕2

3??i—9

由不等式的解集，得力一=3.

解得m=5.

故選：A.

【點睛】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關于根的方程是解題關鍵.

一

9.如圖，在平面直角坐標系中，OA與％軸相切于點8,C3為。A的直徑，點C在函數y=Tk（Z>0,%>0）

7

的圖象上，。為y軸上一點，△ACD的面積為5，則上的值是（）

9.B

【分析】根據反比例函數％值的幾何意義解答即可.

【詳解】解：如圖，連接OC,OA,

???。4與X軸相切于點3,C3為OA的直徑，

CB1.X軸，

???8C〃y軸，

._7

:?SAACD=SAOAB=2，

7

?'?Z=2SABOC=2X2S/XOAB=2X2x之=14.

故選：B.

【點睛】本題考查了反比例函數女值的幾何意義，熟練掌握女值的幾何意義是關鍵.

2

10.已知二次函數yi=2/+Tn%+幾，y2=2nx+mx+1（m,〃為常數，〃#0）的最小值分別為p,q,

（）

A.若P+q=0,貝Ijp=q=0B.若p-q=0,則p=g=0

C.若p+q=l,則p=q=0.5D.若p-q=l,則p=l,q=0

10.A

22

【分析】根據對稱軸公式求出yi和yi的對稱軸，再依據二次函數yi=2%+mx4-n,y2=2nx+mx+1

Gn,n為常數，九WO）都有最小值可知，兩拋物線開口都是向上，進而得出°=即薩="-噂，q=

”等=1—索，結合條件得出p+g=O,列出方程求解即可.

【詳解】解：由兩函數表達式可知，

函數”的對稱軸為尤=-生，

函數券的對稱軸為直線x=-券，

2

二?二次函數yi=2/+mx+幾，y2=2nx+mx+1（m,〃為常數，幾W0）的最小值分別為p,q,（

???兩函數圖象均開口向上，兩函數均在對稱軸上取到最小值，

而上8n—m2m28n—m21m2

則有片一^—=〃—石，一配，

若77+q=0,則有〃—+1-=0,

解得：8〃=加2或幾=-i（舍去），

將加2=8〃代入/?,夕得：p=q=O,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，解題的關鍵是熟練掌握二次函數

的對稱軸及二次函數最大（?。┲档那蠓?

二、填空題（本大題共8小題，第11?12題每題3分，第13?18題每題4分，共30分.不需寫出解答過

程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）

11.分解因式：rrr-2m+1=（=-1）.

11.m2-2m+l=-1）2

【分析】符合完全平方公式的結構形式，直接利用完全平方公式分解因式即可.完全平方公式:c^+lab+b2

-（?！?）2,

【詳解】解：m2-2m+l=（m-1）2.

【點睛】本題主要考查完全平方公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵.

12.因為近VV^V遮，即所以褥的整數部分為1,小數部分為褥-1，類比以上推理，怖的

小數部分為_怖-3_.

12.V30-3.

【分析】利用無理數的估算即可求得答案.

【詳解】解：：33=27,43=64,

A3<730<4,

/.狗的小數部分為愉-3；

故答案為：V30-3.

【點睛】本題考查了無理數的估算，熟練掌握估算無理數大小的方法是解題的關鍵.

13.一個多邊形的內角和與外角和相等，則它是四邊形.

13.四

【分析】設多邊形的邊數為m則根據多邊形的內角和公式與多邊形的外角和為360°,列方程解答.

【詳解】解：設多邊形的邊數為小

根據題意列方程得，（鞏-2）?180°=360°,

n~2=2,

〃=4.

故答案為四.

【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，解題的關鍵是利用多邊形的內角和公式并熟悉多邊形的外角

和為360°.

14.如圖，建筑物8c上有一旗桿AB,從與BC相距40m的。處，觀測旗桿頂部A的仰角為50°,觀測旗

桿底部B的仰角為45°,則旗桿AB的高度為（結果保留整數，參考數據：sin500心0.77,cos50°

^0.64,tan50°F.19).

14.8.

【分析】由銳角三角函數定義求出AC的長，再證3C=CO=40m,即可求解.

【詳解】解：由題意得：

ZACD=90°,ZADC=50°,ZBDC=45Q,CD=40m,

AT

在RtZWCD中，tan/ADC=竊=tan50°,

：.AC=CD'tan50°^40X1.19=47.6G"),

在RtZxBCD中，ZBDC=45°,

：./\BCD是等腰直角三角形，

.'.BC=CD=40m,

：.AB=AC-BC=47.6-40-8(M,

即旗桿的高度AB約為8m，

故答案為：8.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角的定義和銳角三角函數定義是

解題的關鍵.

15.設a是方程/+2x-2=0的一個實數根，則2a2+4a+2020=2024.

15.2024.

【分析】首先由已知可得/+2a-2=0,即/+2°=2.然后化簡代數式，整體代入，從而求得代數式的

值.

【詳解】解：把x=a代入得至!J/+2。-2=0,

則/+2。=2,

X\-2a2+4a+2020=2(a2+2a)+2020,

把/+2。=2代入2/+4。+2020=2(a2+2a)+2020=2X2+2020=2024,

故答案為：2024.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，整體代入思想的應用是解題的關鍵.

16.如圖，已知半圓。的直徑為MN,點A在半徑上，B為環(huán)V的中點，點C在弧BN上，以AB、BC

BC

為鄰邊作矩形ABCZ),邊CD父MN于點、E,連接。0,并延長。。父于點P,若則丁的

值為f

-3-

【分析】先證明為3c的垂直平分線，OG是的垂直平分線，。尸為A尸的垂直平分線，設人尸=

FP=2x,BP=2AP=4x,再利用射影定理得＞84,故30=頻x,OF=V5x,再計算即可.

【詳解】解：過。作〃。延長線交A0于G,

過。作。尸_LAB,尸。延長線交CO于尸，連03、0C.

?：OB=OC,

???OH為BC的垂直平分線.

??,矩形ABC。，

???OG是A0的垂直平分線，

：.OA=OD.

：.ZOAD=ZODA.

*.*ZOAD+ZPAO=ZODA+APO=90°.

：.ZOAP=ZOPAf

：,OA=OP,

二。/為AP的垂直平分線,

設AF=fP=2x,

：.BP=2AP=4x.

為奇的中點，

J.BOLAO,

VZABO=ZABO,ZOFB=ZBOA=90°,

4BF0?LBOA,

:.BO2=BF-BA,

：.BO=VBF-BA=J(BP+PF)?(BP+4P)=同x,

：.OF=yJOB2-BF2=0,

BC=2BH=2OF=2底，

.BC2^5xV5

**AB6x3

故答案為：弓.

【點睛】本題考查了圓周角定理，矩形的性質，圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定與性質，綜

合運用這些知識是解題關鍵.

17.如圖，△AOB的邊AB〃尤軸，點C在。8上，反比例函數y=g(%>0)的圖象經過A,C兩點.若4

A02的面積為5,>0C=2BC,則k的值為8.

17.8.

k33k.27n3k

【分析】作CELx軸，BFLx軸，設點C(m,—利用相似可得BC-m,—),A(—,——)，利

m22m32m

用△AOB的面積為5,建立方程求出左值即可.

【詳解】解：如圖，作CELc軸，BFLc軸，

"：CE//BF,

:.△OECs^OFB,

,:OC=2BC,

325

*.AB=（———）m=-7-J

236

???△A03的面積為5,

15m3k

x—x—=5,

262m

解得：k=8.

故答案為：8.

o|EFx

【點睛】本題主要考查了反比例函數上值幾何意義，熟練掌握人值幾何意義是關鍵.

18.如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于O,M是AO的中點，線段EF（點E在點尸的左邊）

在直線上運動，連結AF、ME,若AB=6,EF=|V2,貝IJAP+ME的最小值是3右.

乙——

42

BC

18.3V5.

【分析】取AO的中點P,連接FP,MP,CP,且CP交BD于點H,證明四邊形為平行四邊形,

得出ME=PF,由正方形的性質得出AF=CF,則可得出C尸由勾股定理求出尸C的長，則可

得出答案.

【詳解】解：：正方形A3CZ）中，A2=6,

：.BD=6^2,

：.OD=3y[2,

取A。的中點P,連接尸尸，MP,CP,且CP交BD于點H,

為AO的中點，

：.MP//OD,MP=1OD=

??S3V2

?EF=->

：.EF=MP,

...四邊形MEFP為平行四邊形，

：.ME=PF,

?..四邊形ABC。是正方形，

.,.A,C關于80對稱，

：.AF=CF,

"：AF+ME=CF+FP^CP,

即F與H重合時，AF+ME最小，最小值為PC的長，

'：PD=3,CD=6,

：.PC=VP￡>2+CD2=V32+62=3V5,

：.AF+ME的最小值為3遍.

故答案為：3遍.

【點睛】本題考查正方形的性質，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，兩點之間線段最

短，勾股定理，能夠將兩線段和的最小值用一條線段的長表示是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共8小題，共90分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

19.(10分)(1)計算：3tan300-(-1)-2+|V12-4|-(7T-2024)0；

2CL—2CL^~i~d1

（2）化簡代數式-一7+（?。?—；），并請你取一個合適的〃值，代入化簡后的代數式求值.

a2-2a+la2-la-1

19.（1）-6-V3；

2?

（2）,〃=3時，原式=

a+13

【分析】（1）根據特殊角的三角函數值，整數指數新的性質計算即可；

（2）先計算括號，再計算乘除，最后代入計算.

【詳解】解：（1）原式=3x—9+4-2V5—1

-—6—V3；

⑵原式=等修瑞匕+土

2a-1

u—1a+1

2

a+1

當〃=2時，原式=亍

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算法則.

20.（10分）某校九（1）班學生成立了一個“關于新冠肺炎45個知識點”的防疫科普宣傳小組，其中男生

2人，女生3人，現從小組中選人進社區(qū)宣傳.

3

（1）若選1人，則恰好選中女生的概率是-;

—5—

（2）若選2人，求恰好選中一男一女的概率.

3

20.（1）

5

3

（2）—.

5

【分析】（1）根據概率公式計算即可.

（2）畫樹狀圖計算即可.

【詳解】解（1）???男生2人，女生3人，

3

???選1人，則恰好選中女生的概率是J

故答案為：|.

（2）根據題意，畫樹狀圖如下:

共有20種等可能的結果，其中符合題意的有12種,

男2女1女2女：男1女1女2女3男1男2女2女3男1男2女1女3男1男2女1女2

【點睛】本題考查了概率公式計算，用畫樹狀圖法或列表法求概率，熟練掌握畫樹狀圖計算概率是解題

的關鍵.

21.(12分)如圖，13ABe￡＞的對角線AC、BD相交于點O,AB±AC,AB=3,ZACB=30°,點尸從點A

出發(fā)，沿以每秒1個單位的速度向終點。運動.連接尸。并延長交于點Q.設點尸的運動時間

為/秒.

(1)求證：AP=CQ；

(2)當四邊形A8Q尸是平行四邊形時，求f的值；

(3)在尸點運動過程中，當f為何值時，44。尸是等腰三角形.(直接寫出答案即可)

(2)當四邊形A3。尸是平行四邊形時，/的值是3；

3V393

(3)當/為丁或:;或二時，△AOP是等腰三角形.

222

【分析】(1)由四邊形A3C。是平行四邊形，可證△AP。絲△C。。(A4S),即得AP=C。；

(2)根據AB_LAC,AB=3,ZACB=30°,得BC=2AB=6,而AP=CQ=f,知BQ=BC-CQ=6-f,

若四邊形ABQP是平行四邊形，則f=6-3可得f=3；

(3)分三種情況：①當AP=AO時，△AOP是等腰三角形，由ABLAC,AB=3,ZACB=3Q°,可得

AP=AO=竽，仁華=苧；②當AO=PO時，△AOP是等腰三角形，過。作于H,在Rt

△AOH中，OH=[AO=季，AH=WOH=：,即得AP=2AH=^,u半=￡；③當AP=OP時，△AOP

Z44L1Z

是等腰三角形，過P作PKLAO于K,由AK=/。=季,在RtAAP^中，可得AP==|,/=竽=|.

乙4COSaU乙1L

【詳解】(1)證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

:.AD//BC9OA=OC,

/.ZPAO=ZQCO,ZAPO=ZCQO,

在△APO和△CQO中，

乙APO=Z.CQO

Z.PAO=(QCO,

OA=OC

：.AAPO^ACQO(A4S),

：.AP=CQ；

(2)解：如圖：

：.BC=2AB=6,

由(1)知，AP=CQ=t,

：.BQ=BC-CQ=6-t,

由A尸〃3Q可知，A尸=3Q時，四邊形A3QP是平行四邊形,

；.f=6-t,

解得t=3,

答：當四邊形ABQP是平行四邊形時，f的值是3；

(3)解：①當AP=AO時，△AOP是等腰三角形，如圖：

：.AC=例8=3次,

"/四邊形ABCO是平行四邊形,

②當AO=P。時，△AOP是等腰三角形，過。作O”_LA。于"，如圖:

'JAD//BC,

：.ZHAO^ZACB=30°,

在RtZvlOH中,

?！?夕。=芋，AH=y/3OH=I，

'：AO=PO,OHLAD,

9

：.AP=2AH=全

AP9

=2;

③當AP=OP時，ZVIOP是等腰三角形，過P作PK_LAO于K,如圖:

在RtAAPK中,

AK

AP^cos30°

AP3

t=—=2'

綜上所述，當，為手或遙時，小。尸是等腰三角形.

【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，涉及全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質及應用，等腰

三角形性質及應用等，解題的關鍵是分類討論思想的應用.

22.(10分)為全面深入學習宣傳貫徹全國“兩會”精神，學深悟透習近平總書記在“兩會”期間的系列重

要講話精神，培養(yǎng)學生的愛國情懷，某校組織全校學生參加了“聚焦全國兩會?凝聚奮進力量”主題知識

競賽，為了解競賽成績，隨機抽樣調查了七、八年級各15名學生的成績x(單位：分)，過程如下：

【收集數據工

八年級15名學生競賽成績分別為：77,84,88,98,97,88,100,92,88,91,94,91,97,95,100；

七年級15名學生競賽成績中90Wx<95的成績如下：91,92,94,90.

【整理數據工

年級75Wx<8080Wx<8585Wx<9090Wx<9595WxW100

八年級11m46

七年級12345

【分析數據工

年級平均數眾數中位數方差

八年級92a9237.7

七年級9087b50.2

根據以上提供的信息，回答下列問題：

(1)填空：m=3,a=88,b=91；

(2)該校八年級學生有600人，假設全部參加此次競賽，請估計八年級成績超過平均分的人數;

(3)請你根據以上信息，推斷哪個年級的成績更好，并說明理由.(寫出一條理由即可)

22.(1)3,88,91；

(2)280人；

(3)八年級成績更好，理由見解答.

【分析】(1)根據題干所列數據及中位數和眾數的概念求解即可；

(2)總人數乘以樣本中八年級成績超過平均分的人數所占比例即可；

(3)根據平均數、中位數及方差的意義求解即可.

【詳解】解：(1)由題意知m=3,八年級成績的眾數。=88,

七年級成績的中位數是第8個數，即91,

所以b=91,

故答案為：3,88,91；

7

（2）600x^=280（人）,

答：八年級成績超過平均分的人數為280人；

（3）八年級成績更好.

從平均數看，八年級成績的平均數大于七年級，所以八年級成績更好.

【點睛】本題考查頻數分布表，樣本估計總體，掌握中位數、眾數、方差及平均數的定義和意義是正確

解答的關鍵.

23.（12分）亳州市某超市經銷某種特色水果的成本為每千克20元，在一段時間內，銷售單價P（元/千克）

與時間f（天）的函數圖象如圖，且其日銷售量y（千克）與時間f（天）的關系是：-2/+120（其中

天數/為整數）.

（1）當0W/W40天，求銷售單價p（元伙g）與時間/（天）之間的函數關系式；

（2）問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

（3）在前20天中，超市決定每銷售1依水果就捐贈w元利潤（?<9）給“精準扶貧”對象.而且每天

扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間f的增大而增大，求n的取值范圍.

23.（1）當0W/W40天，銷售單價p（元/依）與時間f（天）之間的函數關系式為p=3+30；

（2）第10天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1250元；

（3）5W〃<9.

【分析】（1）利用待定系數法求解即可；

（2）設日銷售利潤為w元，分兩種情況：當0W/W40天時及當，>40時，分段求得w的最大值，則可

得答案；

（3）先求出每天扣除捐贈后的日銷售利潤后的銷售利潤與時間/的關系，由二次函數的性質列出不等式

組，求解即可.

【詳解】解：（1）當0W/W40天，設銷售單價p（元/依）與時間f（天）之間的函數關系式為2=公+30,

,?.40=40什30,

解得t=i,

.?.當0WW40天，銷售單價。(元伙g)與時間/(天)之間的函數關系式為p=3+30；

(2)設日銷售利潤為w元，

當0WW40天時，

vv=(夕-20)y

1

=(-Z+10)(-2/+120)

4

=Ct-10)2+1250,

...當t=10時,w有最大值為1250；

當》40時，

w=(p-20)y

=20(-2/+120)

=-40?+2400<800,

.?.第10天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1250元；

(3)Vw=5-20-〃)(-2r+120)

=-1r+(2M+10)r+1200-120M,

；.a=對稱軸為直線t=2n+10,

???每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，

.(2n+10>20

.?.5Ww<9.

【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式和二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系、

熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

24.(10分)如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓上一點，作射線AC,以點A為圓心，適當長為半徑作

1

弧，與AC,A3分別交于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于#W的長為半徑作弧，兩弧交于點

P,作射線AP交半圓。于點。，過點。畫半圓。的切線，分別交射線AB,AC于點E,F.

(1)求/AED的度數；

(2)若AF=3,ZADF=60°,求8。的長.

24.（1）見解析；

（2）2.

【分析】（1）連接由AD平分NBAC,即又OA=OD,^ZBAD=ZADOi^Z

CAD=ZADO,得AC〃OD,又所與半圓。相切于點。，可得結論；

（2）由含30度直角三角形的性質和勾股含定理求出。凡證明根據相似三角形的性質

即可求出BD.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OO,

與半圓O相切于點。，

ODLDF,

由題意知，AD平分/BAC,

即N5W=NCAD

'：OA=OD,

：.ZBAD=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

：.AC//OD,

又ODLD尸,

：.DF±AC,

：.ZAFD=90°；

（2）解：由（1）知，ZAFD=90°,ZBAD=ZCAD,

在RtZWDB中，ZADF=60°,AF=3,AF2+DF2=AD2,

ZDAF=30°,

：.AD=2DF,

：.AF=3,

A32+￡)F2=(2DF)2,

：.DF=V3,

：.AD=2-^3,

：AB是半圓。的直徑，

：.ZADB=ZAFD=90°,

：.AADF^AABD,

.DFAF

,,BD~AD'

.V33

,?BD_2后

解得2D=2.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，角平分線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與

性質，熟練掌握各知識點是解題的關鍵.

25.（13分）（1）【活動背景】在鹿鳴成長課程中，同學們探究了一類“三等分線段、角”的問題.如圖1,

在矩形ABCD的邊AD和BC上分別取點E、F,且CF=2DE,連接CE、DF交于點O,將邊AD沿著過

點。的直線折疊，使得點A、。分別落在和CD上，試說明：點。是邊CD的三等分點.

如圖2,已知線段BC,

點￡是BC的中點，請用無刻度直尺和圓規(guī)作平行四邊形ABCZ）,使得AEL8D（不寫作法保留作圖痕

跡）

（3）【活動證明】同學們通過查閱資料發(fā)現，不能通過圓規(guī)直接三等分角，但可以通過圓規(guī)和帶刻度的

直尺得出三等分角，如圖3,點C是OA上一點，用尺規(guī)作出C。1.08,CF〃OB后,將直尺一端放在點

。處，不斷轉動直尺與CD、CF交于點M、N,當與CO滿足某種數量關系時，即可得到/MOD=*40B,

試猜想MN與CO的數量關系并證明.

(4)【活動思考】在上面的活動操作中所探究的平行四邊形ABCD,若BC=kAB,請直接寫出左的取值

范圍.

25.(1)證明見解析過程；

(2)作圖見解析過程；

(3)CO=^MN,理由見解答過程；

(4)l<k<2.

ODDE1

【分析】(1)在矩形ABCD中，AD//BC,可得寶=而=］，由折疊可得PQ//AD,進而PQ//BC,

可得償=鋁="所以僅2=/8,得證點。是邊C。的三等分點；

CQOF23

(2)以BE為直徑畫圓O,在圓O上取點N,連接BN,EN,延長BN至A,使ND=2BN,延長硒至

A,使AN=2NE,連接AD,AB,CD,則四邊形ABCQ為所求四邊形；

1

⑶取MN的中點H,連接CH,CH=MH=NH=^MN,由等邊對等角與三角形的外角可得/C"M=2

1

ZCNH,由CP〃。與可得NC0N=2NCN0,故NCHM=NC0N,所以CO=CH=

\frac{l}{2}$MN；

(4)作CMLBD交BD于M,首先推導出MD=NM=BN,在RtAABN和Rt/XBNE中，BN2-^AB2-AN2

=BE2-NE2,得至U0<%<2；在Rt/XBCM和RtZkDCM中，CD2-DM1=BC2-BM2,推導出左>1,進而

得解.

【詳解】(1)證明：在矩形ABCD中，AD//BC,

.ODDE_1

"OFCF2

將邊AD沿著過點O的直線折疊，使得點4、D分別落在AB和CD上，

：.ZAPB=ZBPQ=90°,NDQP=/CQP=90°,

在矩形ABCQ中，ZA=90",

四邊形APQD是矩形，

J.AD//PQ,

.DQ_OD_1

"CQOF2

1

：.DQ=-CD,即Q是邊CD的三等分點；

(2)解：如圖2,以BE為直徑畫圓O,在圓。上取點N,連接BN,EN,延長BN至A,梗ND=2BN,

延長硒至4使AN=2NE,連接AD,AB,CD,則四邊形ABC。為所求四邊形；

圖2

證明：'：AN=2NE,DN=2BN,

'：NAND=NBNE,

：.AANDs^ENB,

AD

：.ZNBE=ZADN,—=2,

BE

：.AD//BE,AD=2BE,

又為BC的中點，

：.2BE=BC,

：.AD//BC,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形,

；BE為圓。的直徑，

：.ZBNE=90°,

：.AELBD-,

平行四邊形ABC。符合條件;

(3)解：取的中點H,連接CH,如圖3,

A

AC￡)±CF,

1

：.CH=-MN,

2

???點H是"N的中點，

1

：?MH=NH=-MN,

2

：.CH=NH,

：.NHCN=/CNH,

：.ZOHC=ZHCN+ZCNH=2ZCNH,

1

ZMOD=-ZAOB,

3

：.ZC0H=2ZM0D,

■:CF〃OB,

：.ZNOB=ZCNH,

?：/OHC=2/CNH,ZCOH=2ZNOB=2ZCNO,

：.ZOHC=ZCOH,

1

CO=CH=-MN；

2

(4)解：作CM_L80交8。于M,

?：BE=EC,

:.BN=NM,

,:DN=2BN,

：.MD=NM=BN,

在RtAABN和RSNE中，BN2=AB2-AN2=BE2-NR

：.AB2-BEl=AN1-N必=3N鏟>0,

°BCo

：.AB2-(—)2>0,

2

：.AB2-—AB2>0,

4

.,.1——>0,

4

.,.必〈4,

又：左>0,

：.Q<k<2；

在RtABCM和RtADCM中，CD2-DM2=BC2-BM2,

：.