湖南省岳陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

岳陽市年高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共道小題，滿分分，考試用時分鐘.注意事項：．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、考號、姓名和座位號填寫在答題卡指定位置.．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無效.．考生必須保證答題卡的整潔考試結(jié)束后，只交答題卡.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的運算法則計算．【詳解】由題意，所以．故選：A．2.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】由帶存在量詞的命題的否定要求，改變量詞，否定結(jié)論即得.【詳解】將命題的量詞改變，并否定結(jié)論即得：第1頁/共17頁命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.的值為（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，再代入特殊角的三角函數(shù)值即得.【詳解】.故選：C.4.已知，，則“關(guān)于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若關(guān)于的不等式有解，當(dāng)時，關(guān)于的不等式一定有解，此時無法確定判別式是否大于零，當(dāng)時，則，則關(guān)于的不等式有解不能推出，若，當(dāng)時，關(guān)于的不等式一定有解，當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，所以能推出關(guān)于的不等式有解，所以“關(guān)于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.第2頁/共17頁5.若如圖是函數(shù)（且，）的大致圖象，則函數(shù)的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象確定的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象知，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象是由函數(shù)向上平大于零小于個單位，所以函數(shù)的大致圖象是C選項.故選：C.6.下列函數(shù)中，不能用二分法求其零點近似值的是（）A.B.第3頁/共17頁C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二分法的概念，在零點兩側(cè)函數(shù)值異號進(jìn)行逐一判定.【詳解】對于A，函數(shù)上單調(diào)遞增，有唯一零點，所以函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點；對于B，函數(shù)，故函數(shù)有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)同號，故不能用二分法求零點；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，無零點；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時有兩個零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有唯一零點，所以函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點.故選：B7.玻璃的透光性是玻璃的一項重要的性能指標(biāo)．某玻璃廠在進(jìn)行產(chǎn)品的性能測試時，發(fā)現(xiàn)光線通過一塊玻10%kx線削弱為原來的，至少需要通過幾塊這樣的玻璃？（已知，）A.13B.14C.15D.16【答案】D【解析】【分析】由題意列方程，通過取對數(shù)并代值估計即得.第4頁/共17頁【詳解】由題意，設(shè)通過x塊這樣的玻璃以后，光線削弱為原來的，則易得：，即，兩邊取對數(shù)，可得，故至少需要通過16塊這樣的玻璃.故選：D.8.已知是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，求解即得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，需使①；在上恒成立②；③；④同時滿足，由②可得；由③可得；由④可得.綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題有個細(xì)節(jié)是關(guān)鍵，就是需要考慮第一段函數(shù)中真數(shù)部分函數(shù)在上恒為正數(shù)這一條件,而且還要考慮對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形C.函數(shù)的最大值為2D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為第5頁/共17頁【答案】ACD【解析】【分析】由周期公式求出周期即可判斷A；計算即可判斷B；由正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷C；計算不等式即可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點成中心對稱圖形，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以函數(shù)的最大值為2，故C正確；對于D，令，解得，故D正確；故選：ACD10.已知實數(shù)a,b,c,m，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為D.若，且，則的最小值為【答案】AB【解析】ABC求出D并判斷等號成立條件即可判斷.第6頁/共17頁詳解】對于A，由可知，故可得，即A正確；對于B，由，因，，可得，故有，即B正確；對于C，依題意，是方程的兩根，且，則得，解得，于是不等式即，解得或，故其解集為，故C錯誤；對于D，由，且可得或，解得或，因，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但當(dāng)時，不滿足，故等號不成立，即的最小值不是，故D錯誤.故選：AB.函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】析判斷.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，第7頁/共17頁由偶函數(shù)，得，則，，于是，因此函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，對于A，，則，A正確；對于B，，則，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，則，，即，D錯誤.故選：ABC【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.函數(shù)（且）的圖象過定點______．【答案】【解析】【分析】代入即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，，則其所過定點為.故答案為：.13.已知分別是方程與的實數(shù)解，則的值為______．第8頁/共17頁【答案】10【解析】看成與的交點的橫坐標(biāo)，看成與的交點的橫坐標(biāo)，因函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線也關(guān)于直線對稱，則得點與點也關(guān)于直線對稱，即可列式計算.【詳解】由可得，由可得，不妨記，依題意，為與的交點的橫坐標(biāo)，為與的交點的橫坐標(biāo)，作出這些函數(shù)的圖象如下：因函數(shù)與是一對反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，而直線與直線垂直，故也關(guān)于直線對稱，則點與點也關(guān)于直線對稱，故得，化簡得：，即.故答案為：10.14.已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為______．【答案】【解析】【分析】由原函數(shù)和所求函數(shù)求得其定義域，化簡所求函數(shù)解析式，利用換元，得到一元二次函第9頁/共17頁數(shù)，結(jié)合其圖象性質(zhì)即可求得函數(shù)值域.【詳解】因，，，則由，解得：，即函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，且在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，即時，；當(dāng)，即時，，因，故函數(shù)的值域為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，，滿足，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明．【答案】（1）（2）為奇函數(shù)，證明見解析【解析】1）利用函數(shù)值代入解析式，得到方程組，求解即得；（2）利用奇函數(shù)的定義計算化簡即可判別.【小問1詳解】因為，，所以得，，所以【小問2詳解】因的定義域為，關(guān)于原點對稱，第10頁/共17頁又，所以為奇函數(shù)．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，恰好與單位圓O相交于點，過A作x軸的垂線，垂足為B．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）理解題意，利用三角函數(shù)的定義即可求得；（2）由三角函數(shù)的定義先求得，再利用二倍角公式將所求式化簡成齊次的弦的分式，運用同角的三角函數(shù)關(guān)系式化弦為切，代入計算即得.【小問1詳解】由題意得角的終邊與單位圓O相交于，所以．【小問2詳解】因角的終邊與單位圓O相交于，故，第11頁/共17頁則．17.t有關(guān)，時刻t滿足，．經(jīng)觀察，當(dāng)時，候車人數(shù)達(dá)到滿廳人數(shù)5000人，當(dāng)3800人，記候車廳候車人數(shù)為．（1）求的表達(dá)式；（2）鐵路系統(tǒng)為了體現(xiàn)“人性化”管理，每逢整點時，會給旅客提供免費面包，數(shù)量為，求t為何值時，需要提供的免費面包數(shù)量最少．【答案】（1），（2）【解析】1）依題意設(shè)得的解析式，代入，確定參數(shù)，即得的表達(dá)式；（2）根據(jù)分段函數(shù)解析式，分別利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求其最值并比較即得.【小問1詳解】依題意，當(dāng)時，設(shè)，因，解得，，【小問2詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；第12頁/共17頁當(dāng)時，在上為減函數(shù)，故得.又，所以當(dāng)時，需要提供的面包數(shù)量最少．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對于任意的，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)圖象得出周期，即可根據(jù)三角函數(shù)周期計算得出，將點代入新解析式，得，根據(jù)已知得出范圍，結(jié)合三角函數(shù)的零點得出，將點代入新解析式，即可得出，即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合誘導(dǎo)公式與輔助角公式化簡，結(jié)合已知與函數(shù)單調(diào)性的定義得出在區(qū)間上單調(diào)遞減，由三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出的單調(diào)遞減區(qū)間，即可根據(jù)范圍結(jié)合集合包含關(guān)系列出不等式組，即可解出答案.【小問1詳解】第13頁/共17頁由圖象可知，周期，，因為點在函數(shù)圖象上，所以，即，又，，則，即，因為點在函數(shù)圖象上，所以，即，故函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】由題意可得，設(shè)，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，即恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，令，解得，因為，所以，則，第14頁/共17頁故，解得，所以最大值為.19.若函數(shù)m,n,稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．（1）試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；（2）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，且，求證：對任意，都有．【答案】（1）不是“速增函數(shù)”，不是“速增函數(shù)”（2）．（3）證明見解析【解析】1的定義可判斷不是“速增函數(shù)”；（2）由是“速增函數(shù)”可得①與②兩式恒成立，經(jīng)等價轉(zhuǎn)化，利用參變分離，即可求得參數(shù)范圍；（3為“速增函數(shù)”，取可推得結(jié)論證得和，借助于不等式性質(zhì)即可證明.【小問1詳解】對于函數(shù)，當(dāng)，時，有，；第15頁/共17頁因為，所以，故根據(jù)“速增函數(shù)”的定義可得：不是“速增函數(shù)”．對于函數(shù)，當(dāng)時，有，故根據(jù)“速增函數(shù)”的定義可得：不是“速增函數(shù)”．【小問2詳解】因為是“速增函數(shù)”，根據(jù)“速增函數(shù)”的定義可得：當(dāng)時，恒成立①；當(dāng)，時，恒成立②．由①可得：對一切正數(shù)n恒成立又因為當(dāng)時，，所以對一切正數(shù)n恒成立，故得．由②可得：，即對一切正數(shù)n，m恒成立．因為，所以，又因為當(dāng)，時，，所以，由對一切正數(shù)n，m恒成立，可得，即．第16頁/共