2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)試題選擇性必修一（人教B版2019）第2章平面解析幾何2-6-1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.6雙曲線及其方程2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課后訓(xùn)練鞏固提升1.已知m,n∈R,則“mn<0”是“關(guān)于x,y的方程x2m+y2n=1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:若方程x2m+y2n=1當(dāng)mn<0時(shí),方程x2m+y故“mn<0”是“方程x2m+y2n答案:C2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,在雙曲線左支上過(guò)F1的弦AB的長(zhǎng)為5.若2a=8,則△ABF2的周長(zhǎng)是()A.16 B.18 C.21 D.26解析:由雙曲線的定義可知,|AF2||AF1|=2a,|BF2||BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=4a+|AB|.所以△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=26.答案:D3.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(5,0),F2(5,0),P是此雙曲線上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,則該雙曲線的方程為()A.x22-y23C.x24y2=1 D.x2y解析:設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由題意得||PF1||PF2||=2a,|PF1|2+|PF2又∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1||PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=(25)2,∴a=2,b=1,故雙曲線的方程為x24y2=答案:C4.(多選題)已知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則A.6 B.8 C.10 D.12解析:設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F',則F'(4,0),|PF|=|PF'|+2a=|PF'|+4.故|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9,當(dāng)點(diǎn)P在線段AF'上時(shí)取最小值9.故選CD.答案:CD5.設(shè)點(diǎn)P是雙曲線x29-y216=1上任意一點(diǎn),F1,F2分別是其左、右焦點(diǎn).若|PF1|=10,解析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得a=3,b=4.于是c=a2+b因?yàn)閨PF1|>a+c,所以點(diǎn)P可能在雙曲線的左支上,也可能在雙曲線的右支上.若點(diǎn)P在雙曲線的左支上,則|PF2||PF1|=2a=6,故|PF2|=6+|PF1|=16.若點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1||PF2|=6,故|PF2|=|PF1|6=106=4.綜上,|PF2|=16或|PF2|=4.答案:16或46.若關(guān)于x,y的方程x2k-3+y2k+3=1解析:因?yàn)榉匠蘹2k-3+y2k+3=1表示焦點(diǎn)在y答案:3<k<37.若曲線C:x225-k(1)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;(2)雙曲線.分別求出滿足上述條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)由題意,得25-k<0,故當(dāng)k>25時(shí),曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.(2)由題意,得(25k)(9+k)<0,解得k>25或k<9.故當(dāng)k>25或k<9時(shí),曲線C為雙曲線.8.已知雙曲線x216-y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為(1)若點(diǎn)M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(32,2),求雙曲線C的方程.解:(1)不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上,點(diǎn)M到x軸的距離為h.∵M(jìn)F1·MF2=0,∴設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,由雙曲線的定義知,mn=2a=8.①∵M(jìn)F1⊥MF2,∴m2+n2=(2c)2=80.②由①②得,mn=8.∴S△F1MF2=12mn=4=1故點(diǎn)M到x軸的距離