北京市密云區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

機(jī)密★啟用前

北京市密云區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

九年級(jí)數(shù)學(xué)

1.本試卷共6頁，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.

考

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào).

生

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效，作圖必須使用25鉛

須

筆.

知

4.考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題意的.

1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的圖形個(gè)數(shù)是（）

△□OO

等邊三角形正方形正五邊影正六邊賬

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.拋物線y=（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A（2,1）B.（2,-1）C.（―2,1）D.（-2,-1）

3.若方程f+4x+根=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.已知拋物線丁=以2+及+。圖象如圖所示,則方程Q2+法+C=。的實(shí)數(shù)根的情況是（）

,j'?

A.方程沒有實(shí)數(shù)根B.方程的實(shí)數(shù)根情況不確定

C.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

5.下列事件中，隨機(jī)事件是（）

A.一枚質(zhì)地均勻的骰子，六個(gè)面上分別刻有1至6的點(diǎn)數(shù)，拋擲該枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)大于6

B.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°

C.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將水加熱到100℃并持續(xù)加熱，則水會(huì)沸騰

6.如圖，。的半徑長為1,PA，PB分別與一。相切于4B兩點(diǎn)，ZAPB=60°,則劣弧人臺(tái)的長度

71Z7T-

A.—B.—C.TtD.2兀

33

7.某公司新研發(fā)一款英語聽說訓(xùn)練平臺(tái)，為測試其用戶滿意度，隨機(jī)抽取了以下樣本進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

如下:

調(diào)查人數(shù)m10250700100050001000020000

回復(fù)滿意人數(shù)W82186218984510899018020

回復(fù)滿意的頻率一（結(jié)果保留

m0.8000.8720.8870.8980.9020.8990.901

小數(shù)點(diǎn)后三位）

則下列說法正確的是（）

A.若隨機(jī)調(diào)查10個(gè)用戶，則回復(fù)滿意的人數(shù)一定是8

B.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率也增加

C.若隨機(jī)調(diào)查500個(gè)用戶，回復(fù)滿意的人數(shù)一定是436

D.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率總在0.900左右擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)

該平臺(tái)用戶回復(fù)滿意的概率為0.900

8.如圖，A,8是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，C,。是平面內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB=CD.下列說法中，

①4B,C,。四點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；②若AC=8D,則A,B,C,。四點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；③若

AC1BD,則四邊形ABCD的各邊一定都與某一個(gè)圓相切；④存在四邊形A3CD既有外接圓，又有內(nèi)

切圓.所有正確說法的序號(hào)是（）

D

A.①②B.②④D.①②③④

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，點(diǎn)（1,2）關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

10.方程￡—16=0的解是

11.已知（。的半徑是2,點(diǎn)尸在.。內(nèi)，則OP2（填或）.

12.已知拋物線y=（x—I7,當(dāng)x>加時(shí)，y隨x的增大而增大，任寫出一個(gè)符合題意的，"值______.

13.近年來，隨著人們環(huán)保意識(shí)增強(qiáng)，新能源汽車的銷售量逐年增加、據(jù)統(tǒng)計(jì)，2022年某城市新能源汽車

銷量為2萬輛，到2024年，這一數(shù)字躍升至5.8萬輛.求該城市這兩年新能源汽車銷量的年平均增長

率.若設(shè)該城市這兩年新能源汽車銷量的年平均增長率為x,則可列出方程為.

14.如圖，ABCDEF是O內(nèi)接正六邊形，AB=2cm,則該正六邊形的邊心距為cm.

-------

-----氣

15.如圖，ABCD是1。的內(nèi)接四邊形，ZABC=110°,則NOAC的大小是

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=必—2x與x軸交于A（%,0）,B（x2,0）,且玉<%.

①=；

②當(dāng)—2WxW加時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是—l<y<8,則%的取值范圍________.

三、解答題（本題共68分，其中17-22題每題5分，23-26每題6分，27、28題每題7分,

解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程).

17.解方程：x2+3x-1=0.

18.如圖，在下面正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,A,B,。都是格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))，將

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4。，點(diǎn)A,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4，Bx.

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)求用A長；

(3)NB[AO+ZAB}O=°.

19.已知拋物線y=》2—4x—1.

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸；

(2)拋物線丁=爐-4x-1可以由拋物線y=Y經(jīng)過平移得到，任寫出一種平移方法.

20.一個(gè)盒子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.

⑴如果從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅色球的概率為；

⑵若從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，請(qǐng)通過列表或畫樹狀圖的方

法，求兩次摸到不同顏色球的概率.

21.如圖，A3是?。的直徑，是。的弦，A5LCD于￡

(1)求證：NCOB=2ZBAD；

(2)若CD=8,BE=2,求。的半徑長.

22.已知方程f_3%+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）已知方程的一個(gè)根是4,求用的值，并求出方程的另一個(gè)根.

23.己知拋物線y=d+6x+c經(jīng)過兩點(diǎn)A（2,—3）,B（4,5）.

（1）求b,c值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=%+"的函數(shù)值總大于函數(shù)丁=f+6%+。的函數(shù)值，且函數(shù)丁=-7九+"

的函數(shù)值總小于函數(shù)y=必++c的函數(shù)值，直接寫出滿足題意的〃的取值范圍.

24.如圖，線段A3=10cm,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（不與A,2重合）.將線段CB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)90。得到線段CD.設(shè)3C=xcm,ACD的面積為ycmL

（1）》關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為,自變量x的取值范圍是；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)％=cm時(shí)，ACD的面積取得最大值是cm2.

25.如圖，是「。的直徑，AC是。的弦，延長3C至。，BC=CD,過。作CELAZ）交AD

于點(diǎn)E.

（1）求證：CE是O。的切線；

（2）連接BE,若NECD=30°,DE=1,求BE長.

26.已知拋物線y=雙2+法+0（。＞0）,“01，%），政犯,力）是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線

x=t

(1)當(dāng)f=2時(shí).

①直接寫出6與。滿足的等量關(guān)系.

②右%=%，則+%2=-

(2)已知石=/一3,%=/+1，點(diǎn)C(%％)在拋物線上?當(dāng)3<W<4時(shí)，總有％〉%>為，求r

取值范圍.

27.已知VA3C中，AB=AC,NBAC=90。，點(diǎn)。在射線CB上(不與2,C重合)，過點(diǎn)。作

DELBC交直線AB于點(diǎn)E,連接AD，EC.

圖1圖2

(1)如圖1,DC=3BD,設(shè)BD=m,求EC,AD長(用含機(jī)的代數(shù)式表不).

(2)如圖2,點(diǎn)。在CB延長線上，用等式表示線段EC與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。半徑長為1,為。。的一條弦，若NAPfi=a(0°<a<180°),

則稱點(diǎn)尸為「〉。的弦AB的戊度相關(guān)點(diǎn).

(1)如圖，直線丁=兀與。交于A,B兩點(diǎn)，在點(diǎn)G(I,O),G(2,I)，G中，是弦AB的

90。相關(guān)點(diǎn)的有

(2)已知。。的弦CD的長為若，點(diǎn)尸是弦QD的60。相關(guān)點(diǎn)，T是CD中點(diǎn)，則△PCD面積的最大值

為，當(dāng)△PCD面積取得最大值時(shí)PT長為.

(3)已知點(diǎn)。是直線y=x-l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且存在的弦所，所=2,點(diǎn)。為C。的弦跖的

60。相關(guān)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)。橫坐標(biāo)f的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題意的.

1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的圖形個(gè)數(shù)是（）

△□OO

等邊二密也正方形正五邊附正六邊做

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿

對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析即可求解.

【詳解】解：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

正方形是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，符合題意.

正五邊形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

正六邊形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，符合題意.

綜上所述，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的有2個(gè).

故選：B.

2.拋物線y=（x-2y+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.對(duì)于二次函數(shù)丁=。。-丸）2+左，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（九左），對(duì)稱軸是直線x=/z.

己知拋物線的頂點(diǎn)式，即可直接得出其頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：；y=（x—2）2+l是拋物線的頂點(diǎn)式，

.??根據(jù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,1）,

故選：A.

3.若方程f+4x+根=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程根與判別式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與判別式的

關(guān)系.

根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系可得，A=42-4m=0.求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程好+4%+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

，A=4一一=0，即16—47〃=。，

解得：m=4,

故選：C.

4.已知拋物線y=奴2+/ZX+C的圖象如圖所示，則方程q2+法+C=0的實(shí)數(shù)根的情況是（）

A.方程沒有實(shí)數(shù)根B.方程的實(shí)數(shù)根情況不確定

C.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式，由圖象可知，拋物線丁=以2+。％+。與x軸有兩個(gè)交

點(diǎn),即可得方程q2+公+,=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【詳解】解：由圖可得：拋物線丁=G？+"+C與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得方程以法+c=0有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根.

故選：D.

5.下列事件中，隨機(jī)事件是（）

A.一枚質(zhì)地均勻骰子，六個(gè)面上分別刻有1至6的點(diǎn)數(shù)，拋擲該枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)大于6

B.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°

C.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將水加熱到100℃并持續(xù)加熱，則水會(huì)沸騰

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的

事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可

能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【詳解】解：A、一枚質(zhì)地均勻的骰子，六個(gè)面上分別刻有1至6的點(diǎn)數(shù)，拋擲該枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)大

于6是不可能事件，不符合題意；

B、任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°是必然事件，不符合題意；

C、經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，符合題意；

D、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將水加熱到100℃并持續(xù)加熱，則水會(huì)沸騰是必然事件，不符合題意；

故選：C.

6.如圖，。的半徑長為1,PA,總分別與.0相切于A,2兩點(diǎn)，ZAPB=60°,則劣弧人臺(tái)的長度

為（）

A

7iIn-

A.—B.—C.TTD.2兀

33

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算，多邊形內(nèi)角與外角及切線的性質(zhì)，熟知切線的性質(zhì)及弧長的計(jì)算公

式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)切線的性質(zhì)，求出NOAP和NQBP的度數(shù)，再結(jié)合/APB的度數(shù)，得出NO的度數(shù)，最后借助于

弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：分別與。。相切于A8兩點(diǎn),

ZOAP=ZOBP=90°,

又?ZAPB=60°,

.?.NO=120。，

又：。的半徑長為1,

故選：B.

7.某公司新研發(fā)一款英語聽說訓(xùn)練平臺(tái)，為測試其用戶滿意度，隨機(jī)抽取了以下樣本進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

如下：

調(diào)查人數(shù)加10250700100050001000020000

回復(fù)滿意人數(shù)〃82186218984510899018020

回復(fù)滿意的頻率一（結(jié)果保留

m0.8000.8720.8870.8980.9020.8990.901

小數(shù)點(diǎn)后三位）

則下列說法正確的是（）

A.若隨機(jī)調(diào)查10個(gè)用戶，則回復(fù)滿意的人數(shù)一定是8

B.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率也增加

C.若隨機(jī)調(diào)查500個(gè)用戶，回復(fù)滿意的人數(shù)一定是436

D.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率總在0.900左右擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)

該平臺(tái)用戶回復(fù)滿意的概率為0.900

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，

并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近

似值就是這個(gè)事件的概率.根據(jù)頻率估計(jì)概率求解即可.

【詳解】解：A.若隨機(jī)調(diào)查10個(gè)用戶，則回復(fù)滿意的人數(shù)不一定是8,此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率將趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值，不會(huì)一致增加，此選項(xiàng)錯(cuò)

誤，不符合題意；

C.若隨機(jī)調(diào)查500個(gè)用戶，回復(fù)滿意的人數(shù)不一定是436,此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.隨著隨機(jī)調(diào)查用戶人數(shù)的增加，回復(fù)滿意的頻率總在0.900左右擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估

計(jì)該平臺(tái)用戶回復(fù)滿意的概率為0.900,此選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

8.如圖，A,8是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，C,。是平面內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB=CD.下列說法中，

①A,B,C,。四點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；②若則A,B,C,。四點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；③若

AC1BD,則四邊形A3CD的各邊一定都與某一個(gè)圓相切；④存在四邊形ABCD既有外接圓，又有內(nèi)

切圓.所有正確說法的序號(hào)是（）

A.①②B.②④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】由A3〃CD,A3=CD,證明四邊形A3CD是平行四邊形，可知四點(diǎn)不一定在同一個(gè)

圓上，可判斷①錯(cuò)誤；由四邊形A3CD是平行四邊形，=證明四邊形A3CD是矩形，則A,5C,D

四點(diǎn)都在AC為直徑的同一個(gè)圓上，可判斷②正確；由四邊形A3CD是平行四邊形，ACJ.BD,證明四

邊形ABCD是菱形，設(shè)ACM交于點(diǎn)/,過點(diǎn)/分別作各邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)G,H,￡E,可證明

ZBAI=ZDAI,則/G=田，同理出=/F,/F=/E,可知以點(diǎn)/為圓心，以/G長為半徑的圓與菱形

ABC。的各邊都相切，可判斷③正確；當(dāng)四邊形A3CD是正方形時(shí)，該四邊形既有外接圓，又有內(nèi)切圓，

可判斷④正確，于是得到問題的答案.

【詳解】解：：鉆〃CD,A3=CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

:平行四邊形的對(duì)角不一定互補(bǔ)，

A,5C,D四點(diǎn)不一定在同一個(gè)圓上，故①錯(cuò)誤；

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD,

四邊形ABCD是矩形，

A,3,C,D四點(diǎn)都在AC為直徑的同一個(gè)圓上，故②正確；

?.?四邊形A3CD是平行四邊形，AC±BD,

，四邊形ABCD是菱形，

如圖，設(shè)AC,3。交于點(diǎn)/,過點(diǎn)/分別作各邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)

AB=AD,AC±BD,

：.ZBAI=ZDAI，

\IG=IH,

同理田=/F,3=/E,

：.IG=IH=IF=IE,

...以點(diǎn)/為圓心，以/G長為半徑圓與菱形ABCD的各邊都相切，

...四邊形A3CD的各邊一定都與某一個(gè)圓相切，故③正確；

???A3是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，是平面內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)，且四邊形ABCD是平行四邊形，

/.四邊形A3CD可能是正方形，

..?正方形既有外接圓，又有內(nèi)切圓，

...存在四邊形ABCD既有外接圓，又有內(nèi)切圓，故④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，與圓有關(guān)的

位置關(guān)系等知識(shí)，正確理解平行四邊形與特殊平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1,2)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(―L—2)

【解析】

【分析】此題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)即可求解.

【詳解】解：點(diǎn)(1,2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,—2),

故答案為:（T-2）.

10.方程￡—16=0的解是

【答案】占=4,々=一4

【解析】

【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，根據(jù)直接開平方法解一元二次方程求解即可.

【詳解】解：%2=16，

X]=4,%2=~4.

故答案為：X]=4,X2=-4

11.已知、。的半徑是2,點(diǎn)尸在.。內(nèi)，則OP2（填或）.

【答案】＜

【解析】

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的三種關(guān)系.

根據(jù)點(diǎn)與圓的三種關(guān)系即可判斷得到答案.

【詳解】解：：。的半徑為2,點(diǎn)尸在（。內(nèi)，

:.OP＜2,

故答案為：＜.

12.已知拋物線y=（x—I?,當(dāng)x＞加時(shí)，y隨x的增大而增大，任寫出一個(gè)符合題意的加值______.

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的增減性，對(duì)稱軸，牢固掌握增減性性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

先判斷出開口方向向上，對(duì)稱軸為直線x=i,則當(dāng)x＞i時(shí)，y隨x的增大而增大，又x＞加時(shí)，＞隨x的

增大而增大，故加之1,在此范圍內(nèi)任意選擇一個(gè)值即可.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=（x-l）2,可得其對(duì)稱軸為直線尤=1,圖象開口向上，

...當(dāng)1＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，

又當(dāng)X＞加時(shí)，y隨X的增大而增大，

則加上1,所以口可取大于等于1的一切數(shù).

故答案為：2（答案不唯一）.

13.近年來，隨著人們環(huán)保意識(shí)增強(qiáng)，新能源汽車的銷售量逐年增加、據(jù)統(tǒng)計(jì)，2022年某城市新能源汽車

銷量為2萬輛，到2024年，這一數(shù)字躍升至5.8萬輛.求該城市這兩年新能源汽車銷量的年平均增長

率.若設(shè)該城市這兩年新能源汽車銷量的年平均增長率為x,則可列出方程為.

【答案】2(1+X)2=5.8

【解析】

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

利用2024年某款新能源汽車的銷售量=2022年某款新能源汽車的銷售量x(l+年平均增長率y，即可得出

關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解:由題意得：2(1+x)2=5.8.

故答案為：2(1+x)2=5.8.

14.如圖，ABCD防是的內(nèi)接正六邊形，AB=2cm,則該正六邊形的邊心距為cm.

工,---

【答案】6

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作Q0LA5交AB于點(diǎn)M,連接。4,03,證明△OAB是等邊三角形，得出

AB=OA=2cm,由垂徑定理求出再由勾股定理求出即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作QVfLAB交AB于點(diǎn)連接。A,03,

六邊形ABCDEF為正六邊形,

OA=OB,

△OAB是等邊三角形，

:.AB=OA=2cm,

OMLAB,

：.AM=BM=-AB=lcm,

2

OM=A/22-I2=6cm，

即邊心距為限m,

故答案為：V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

15.如圖，ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，ZABC=110°,則/。4C的大小是.

【解析】

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì).首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊

形的對(duì)角互補(bǔ)，得"=180°—4=70°.再根據(jù)圓周角定理，得NAOC=2ND=140。，由

OA=OC,推出ZOAC=ZOCA=1(1800-ZAOC)計(jì)算即可解答.

【詳解】解：；ABCD是Q的內(nèi)接四邊形，ZABC=110°,

=180°—4=70。，

ZAOC=2ZD=140°,

,:OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=1(180°-ZAOC)=20°.

故答案為：20。.

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=x?—2x與x軸交于A&,0),5(^,0),且可<々.

①刀2=；

②當(dāng)—2WxW加時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是—l<y<8,則根的取值范圍________.

【答案】①.2?.l<m<4

【解析】

【分析】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

①令V一2%=0，求出占,々值即可.

②由拋物線解析式可得，當(dāng)龍=1時(shí)，y取得最小值—1.當(dāng)令y=8,得9―2%=8,求出不々的值，再

結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】解：①令必—2尤=0，

解得％—0,x2—2.

故答案為：2.

②；y-x2-2x-(x-l)2-1,

，當(dāng)尤=1時(shí)，y取得最小值—1.

令y=8,得d—2x=8，

解得石=-2①=4.

:當(dāng)—時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是—i<y<8,

：.m的取值范圍是

故答案為：

三、解答題(本題共68分，其中17-22題每題5分，23-26每題6分，27、28題每題7分,

解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程).

17.解方程：x2+3x—1=0.

【答案八二門"y—1

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵.

用求根公式法解方程即可.

【詳解】解：??X2+3X-1=0，

??a=1,b=3,c——1,

22

.?.Z7_4ac=3-4xlx(-l)=13,

-3±V13

/.x=----------，

2

-3+^3-3-V13

x,=------------,x,=----------------

22

18.如圖，在下面正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,A,B,。都是格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))，將

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4。，點(diǎn)A,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)求用A長；

(3)NB]AO+NABQ=°.

【答案】(1)見解析(2)2百

(3)45

【解析】

【分析】本題考查作旋轉(zhuǎn)圖形、勾股定理與網(wǎng)格問題，

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

(2)利用勾股定理計(jì)算即可.

(3)在線段與。的延長線上取點(diǎn)C,根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可得N4AO+NAB。=NAOC=45。，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，44。即為所求.

B、

【小問2詳解】

解：與4=也2+下=2石

【小問3詳解】

在線段與。的延長線上取點(diǎn)C,

由圖可得，ZAOC=45°,

：.N4Ao+NABQ=ZAOC=45°.

故答案為：45.

19.已知拋物線丁=必一4十一1.

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸；

(2)拋物線y=——4x-1可以由拋物線丁=必經(jīng)過平移得到，任寫出一種平移方法.

【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-5)、對(duì)稱軸是直線x=2

(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及待定

系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)先將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可；

(2)按“上加下減常數(shù)項(xiàng)，左加右減自變量”的規(guī)律平移解答即可.

【小問1詳解】

解：y=x2-4x-l=(x-2)2-5,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-5),對(duì)稱軸是直線x=2；

【小問2詳解】

解：y=(x-2)2-5,

...由拋物線y=必先向右平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位可得拋物線y=Y—4x-1或拋物線y=x2

先向下平移5個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位可得拋物線y=f一4x-1.

20.一個(gè)盒子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.

⑴如果從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅色球的概率為；

⑵若從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，請(qǐng)通過列表或畫樹狀圖的方

法，求兩次摸到不同顏色球的概率.

24

【答案】(1)—;(2)—.

39

【解析】

【分析】(1)一共有3個(gè)球，其中紅色球有2個(gè)，所以可得到摸出紅色球的概率；

(2)首先根據(jù)題意畫樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸到不同顏色球的情況，

再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】(1)一共有3個(gè)球，其中紅色球有2個(gè)，所以從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅色球的概率為

2

?；

(2)畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果，先后摸出的兩個(gè)球顏色不相同的有4種情況，

4

先后摸出的兩個(gè)球顏色不相同的概率是：一

9

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.如圖，是〔。的直徑，CD是O的弦，A5_LCD于E.

(1)求證：ZCOB=2ZBAD；

(2)若CD=8,BE=2,求二。的半徑長.

【答案】(1)見詳解(2)5

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

(1)連接利用垂徑定理可得：BC=BD，從而可得=然后利用圓周角定理可得:

ZDOB=2ZDAB,從而可得NCOB=2NZMB,即可解答；

(2)利用垂徑定理可得：CE=DE=4,然后設(shè)(。的半徑為廣，在RtOCE中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【小問1詳解】

證明：連接0D,

:直徑

BC=BD，

：.ZCOB=ZDOB,

■:ZDOB=2ZDAB,

：.ZCOB=2ZDAB-,

【小問2詳解】

解：VAB±CD,

:.CE=DE=-CD=4,

2

設(shè)「0的半徑為r,

在RtOCE中，OC2=CE2+OE~，

r2=42+(—2)2,

解得：r=5,

；.「O的半徑長為5.

2

22.已知方程X-3%+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)已知方程的一個(gè)根是4,求機(jī)的值，并求出方程的另一個(gè)根.

9

【答案】(1)m＜-

4

(2)m=—4,另一個(gè)根是—1

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)根據(jù)根的判別式的意義得到△=(—3『—4加＞0,然后解不等式即可；

(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為方,利用根與系數(shù)的關(guān)系得4+/=3,4t=m,然后解一次方程組即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得△=(—3『—4加＞0,

9

解得777＜-,

4

9

m的取值范圍為加＜：；

4

【小問2詳解】

設(shè)方程的另一個(gè)根為乙

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得4+/=3,4r=m,

解得?=—1,m——4,

即方程的另一根是-1.

23.己知拋物線丁=必+法+。經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,—3),5(4,5).

(1)求b,c值;

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)丁=x+〃的函數(shù)值總大于函數(shù)y=x?+6x+c的函數(shù)值，且函數(shù)丁=-7九+〃

的函數(shù)值總小于函數(shù)y=V+6x+c的函數(shù)值，直接寫出滿足題意的〃的取值范圍.

【答案】(1)b=—2,c=-3

(2)1<〃<3

【解析】

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題；

(1)利用待定系數(shù)法即可求得；

(2)依據(jù)題意，求得函數(shù)丁=*+〃以及函數(shù)y=-7x+〃的圖象過界點(diǎn)時(shí)的〃的值，可以判斷得解.

【小問1詳解】

解：???拋物線y=必+云+,經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,—3),5(4,5).

[4+2b+c=-3

[16+4b+c=5

b=-2

<

c=-3

【小問2詳解】

拋物線上，當(dāng)尤=1時(shí)，y=-4,當(dāng)x=4時(shí)，y=5；

函數(shù)y=的圖象上，當(dāng)尤=4,y=5時(shí)，n=l；

函數(shù)y=-7%+”的圖象上，當(dāng)x=i,y=-4時(shí)〃=3,

時(shí)，函數(shù)y=%+"的函數(shù)值總大于函數(shù)yuf+Ox+c的函數(shù)值，且函數(shù)y=-7*+〃的函數(shù)

值總小于函數(shù)y=f+bx+c的函數(shù)值.

1<w<3.

24.如圖，線段A3=10cm,點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)(不與A,8重合).將線段CB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)90。得到線段C￡>.設(shè)3C=xcm,ACD的面積為yen?.

(i)y關(guān)于1的函數(shù)表達(dá)式為,自變量x的取值范圍是；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出(1)中函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)％=cm時(shí)，ACD的面積取得最大值是cm2.

1

【答案】(1)y=——_9r+5x,0<x<10(2)見解析

2

⑶5,”

2

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)：

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到5C=CD=xcm,N3co=NACD=90。，則AC=AB—5C=(10—x)cm,根

據(jù)么⑦的面積為了二^人仁⑺即可解答；

(2)根據(jù)(1)所求列表，描點(diǎn)，連線畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC=CD=xcm,ZBCD=ZACD=90°,

*.*AB=10cm,

AC==(10-x)cm,

ACD的面積為y=gACCD=gx(10—x)=—gx2+5x(0<x<10),自變量x的取值范圍是

0<x<10；

【小問2詳解】

解：*.*y=——%2+5%(0<x<10)

列表得:

X34567

212521

y1212

~2~2T

.1.(1)中函數(shù)的圖象為:

解：y=-1x2+5x=-1(x-5)2+y(0<%<10),

--<0,

2

25

.,.當(dāng)％=5cm時(shí)，ACD的面積取得最大值是一cm"9.

2

25.如圖，是I。的直徑，AC是。的弦，延長3c至。，BC=CD,過C作CEJ_AZ)交AD

于點(diǎn)E.

(1)求證：CE是0。的切線；

(2)連接BE,若NECD=30°,DE=1,求BE長.

【答案】(1)見解析⑵屈

【解析】

【分析】(1)連接OC,根據(jù)三角形中位線定理得到OC〃AO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCLCE,根據(jù)

切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)4。交〔。于連接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到"=60。，根據(jù)圓周角定理得到

AC±BD,推出A5D是等邊三角形，得到43=40=5。，/B4￡>=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

到CD=2DE=2,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：連接0C,

AO=BO,BC=CD,

0c是，A5D的中位線

OC//AD,

CE1AD,

:.OCLCE,

0C是1。的半徑，

；.CE是、。的切線；

【小問2詳解】

解：設(shè)4。交0。于“，連接

CE1AD,

:.ZCED^90°,

ZDCE=30°,

.?.NO=60°,

AB是。的直徑,

:.AC±BD,

BC=CD,

...AB=AD，

.kABD是等邊三角形，

:.AB=AD=BC,ZB4T>=60°,

NCED=90°,ZDCE=30°,DE=1,

CD=2DE=2，

:.AB=AD=BD=Ar,

AB=BD,BHLAD,

:.AH=DH=~AD=2,

2

BH=yjABT-AH-=2石

HE=DH-DE=1,

BE=7BH2+HE2=岳■

26.已知拋物線y=依2+法+4。>0）,MO[,月），NO2,月）是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線

x—t.

（1）當(dāng)方=2時(shí).

①直接寫出。與a滿足等量關(guān)系―；

②若%=%，則占+々.

（2）已知石=/-3,%2=/+1，點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)3<&<4時(shí)，總有X〉%>%,求/的

取值范圍.

【答案】（1）①Z?=Ta；②4

（2）K2或5WY6

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

（1）①利用對(duì)稱軸公式求得即可；

②利用二次函數(shù)的對(duì)稱性即可求解；

（2）由題意可知M（*i，yi）在對(duì)稱軸的左側(cè)，N（*2，y2）在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)N到對(duì)

稱軸的距離小于點(diǎn)以到對(duì)稱軸的距離，據(jù)此即可得到關(guān)于/的不等式組，解不等式組即可.

【小問1詳解】

b

解：①'?"=----—2,

2a

故答案為：Z?=TQ；

②：A/（%,yJ,N（X2，%）是拋物線上兩點(diǎn)，M=%，

"（%,%）,N（w,%）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

xx

.i+2_2

"2~,

/.演+犬2=4,

故答案為：4；

【小問2詳解】

解：由題意可知，在對(duì)稱軸的左側(cè)，N（%2，y2）在對(duì)稱軸的右側(cè)，

:點(diǎn)。（七,%）在拋物線上，3<&<4,

.,.點(diǎn)）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（2/-/，%），

2%—4<2%—w<2%—3,

當(dāng)點(diǎn)。（七,為）在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

:當(dāng)3<&<4時(shí)，總有％〉%>%，

7-3<3

解得5<?<6；

2?-4>?+1

當(dāng)點(diǎn)。（項(xiàng)，為）在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

:當(dāng)3<X,<4時(shí)，總有%>%>%，

7+143

解得：1<?<2；

/-3<2?-4

??"的取值范圍是1W/W2或.

27.已知VA3C中，AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)。在射線CB上（不與2,C重合），過點(diǎn)。作

交直線AB于點(diǎn)E，連接AD，EC.

A

A

圖1圖2

（1）如圖1,DC=3BD,設(shè)BD=m,求EC,AD長（用含機(jī)的代數(shù)式表不）.

（2）如圖2,點(diǎn)。在CB延長線上，用等式表示線段EC與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）ECAD長分別為私店機(jī)

(2)EC=41AD＞證明見解答

【解析】

【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定得等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)作于點(diǎn)尸，因?yàn)锳B=AC,N3AC=90。，所以AF=BF=CF,NB=NACB=45。,因

為DELBC交AB于點(diǎn)、E，所以ZBDE=NCDE=90。,則NDEB==45°,所以ED=BD，由

DC=3BD,BD=m,得DC=3m,ED—m,則BC-4m,所以AF=BF=2m,DF=m,求得

EC=y/ED2+DC2=710m,AD=^AF2+DF2=出m；

(2)作AHLBC于點(diǎn)H,則AH=BH=CH,NDEB=NDBE=/ABC=N45。，所以ED=BD,設(shè)

ED—BD—n,AH—BH=CH=x,貝UCD=2x+4DH=x+n,求得

EC=A/C02+￡D2=V2Xyl2x2+2xn+rr,AD=^DH2+AH2=J2f+2m+/，則EC=6AD-

【小問1詳解】

解：如圖1,作AF13C于點(diǎn)E，則NAKB=90°,

圖1

AB=AC,ZBAC^90°,

AF=BF=CF=-BC,ZB=ZACB=45°,

2

,/DELBC交AB于點(diǎn)、E,

：.ZBDE=ZCDE=90°,

；?/DEB=/B=45°,

：?ED=BD，

DC—3BD,BD—m,

:.DC—3m,ED-m,

:.BC=BD+DC—m+3m-4m,

:.AF=BF=—BC=2m,DF=BF—BD=2m—m—m,

2

EC=sjED-+DC2=7m2+(3m)2=VlOm,AD=VAF2+￡>F2=7(2m)2+m2=小m，

EC,AD長分別為VlO/w,4in.

【小問2詳解】

解：EC=42AD>

證明：如圖2,作于點(diǎn)”，

則ZAHD=90°,A"=BH=CH=-BC,ZABC=ZACB=45°,

2

VDELBC交AB的延長線于點(diǎn)E，

\?CDE90?,

ZDEB=ZDBE=ZABC=Z45°,

ED=BD，

設(shè)ED=BD=n,AH=BH=CH=x,

則CD=2x+n,DH=x+n,

EC=yjcD2+ED1—QQx+n)?+6=\/2xJ2%2+2xn+n2,

AD=JDH2+AH2=^(x+nf+x2=y/2x2+2xn+n2，

EC_xV2x2+2xn+n2_叵

AOA/2X2+2xn+n2

EC=yflAD-

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。半徑長為1,AB為o。的一條弦，若NAPS=a（0°<a<180°）,

則稱點(diǎn)尸為。。的弦AB的?度相關(guān)點(diǎn).

（1）如圖，直線丁=兀與「。交于A,B兩點(diǎn)，在點(diǎn)￡（1,0）,C2（2,l）,C3中，是