北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型專練：勾股定理之“圖形折疊”模型（原卷版+解析）

重難點(diǎn)02勾股定理之“圖形折疊”模型

【知識(shí)梳理】

圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算時(shí)聯(lián)想到利用勾股定理對(duì)新形成的直角三角形進(jìn)行求

解.

If

...........°e…

\J/T

----------p~tC卜o

翻折變換（折疊問(wèn)題）

1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)

邊和對(duì)應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為X,

然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理

列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù).

—,【考點(diǎn)剖析】

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，已知矩形ABC。沿著直線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC交于E,AD=8,AB=4,則

的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.矩形紙片A8CD的邊長(zhǎng)A8=4,AD=2.將矩形紙片沿EE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面

著色（如圖），則著色部分的面積為（

G

22

3.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,現(xiàn)將△ABC如圖折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則折痕OE的長(zhǎng)

是（）

fx

DA

A.爭(zhēng)B譚「25n15

44

4.如圖所示，在長(zhǎng)方形紙片ABC。中,AB=32cm,把長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC

于點(diǎn)F,AF=25cm,則的長(zhǎng)為（）

E

月匕................"

A.16cmB.20cmC.24cmD.28cm

5.如圖，矩形A3。沿直線3。折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交A。于點(diǎn)E,AO=8,A8=4,則BE的

長(zhǎng)為（）

產(chǎn)c.

A.3B.4C.5D.2M

6.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,"現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，折痕為。E,

則煦的值是（）

CB

A.24B.7_C.7D.2

T42421

7.將正方形ABC。折疊，使頂點(diǎn)A與。邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊折疊后

與BC邊交于點(diǎn)G（如圖）.如果DM：MC=3：2,貝UOE：DM：EM=（）

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=18cm,把矩形紙片沿直線AC折疊,點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE交。C于點(diǎn)

F,若AP=13,則的長(zhǎng)為（

A.5cmB.6cmC.1OcmD.12cm

9.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4,8的長(zhǎng)方形紙片ABC。折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕所的長(zhǎng)是（）

243C.疾D.275

二.填空題（共1小題）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，折痕為EF,則4

ABE的面積為

A.6cm2B.8cm2C.10cm1D.12cm2.

11.如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊AD,點(diǎn)。落在BC邊的點(diǎn)尸處，已知3。=10厘米，A3=8厘米，求3戶與

尸。的長(zhǎng).

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共11小題）

1.（2022秋?大東區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知矩形A8CO沿著直線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD

于E,AO=8,48=4,則。E的長(zhǎng)為（）

C.5D.6

2.（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，將矩形的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊

形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，則邊”產(chǎn)的長(zhǎng)是（）

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

3.（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6c機(jī)、BC=8cm,現(xiàn)將AABC折

疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，折痕為。E,則的長(zhǎng)為（）

AEB

A.—cmB.—cmC.—cmD.無(wú)法確定

444

4.（2021春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖,將邊長(zhǎng)為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E

處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN,則線段CN的長(zhǎng)是（）

--------------\D

S

BEC

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.（2021秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖是一張直角三角形的紙片.兩直角邊AC=6on,BC=8cm將△ABC折

疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)A重合，折痕為。E,則的長(zhǎng)為（）

AEB

9R7

A.—―cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

6.（2021春?漳平市期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，AB=3cmAD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)

。重合，折痕為EF,則△ABE的面積為（）

/.............D

C

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

7.（2020?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)。落在A2邊中點(diǎn)￡處,

點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，折痕為口，則線段AF的長(zhǎng)是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

8.（2021春?環(huán)翠區(qū)校級(jí)期中）如圖：長(zhǎng)方形紙片ABC。中，AD=4cm,48=10皿按如圖的方式折疊,

使點(diǎn)5與點(diǎn)。重合.折痕為ER則。E長(zhǎng)為（)

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

9.（2021秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）如圖，將矩形沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C'上.若

AB=6,BC=9,則的長(zhǎng)為（）

A.4B.3-72C.4.5D.5

10.（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片ABC。中，AB^Scm,把矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在

點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F,若4尸=空5，則AD的長(zhǎng)為（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

11.（2021秋?東平縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3,0）,點(diǎn)2的坐標(biāo)是（0,4）,

點(diǎn)〃是上一點(diǎn)，將沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)3處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

C.(20)D.(0,S)

22

二.填空題（共6小題）

12.（2022秋?江北區(qū)期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，ZACB=9Q°,AB=5,AC=3.現(xiàn)將三角形

折疊，使得邊AC與AB重合，折痕為AE,則CE長(zhǎng)為

13.（2022秋?佛山期末）在長(zhǎng)方形48。中，AB=5,BC=12,點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿

8E折疊，點(diǎn)A落在4處，當(dāng)△AOE是直角二角形時(shí)，OE的長(zhǎng)為

14.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線交A3、AC于點(diǎn)。、E,

若AC=8,BD=5,則CE的長(zhǎng)度是.

15.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為20cm,在容器

內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點(diǎn)A

處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm,則該圓柱底面周長(zhǎng)為.

16.（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，矩形ABC。中，A2=5,BC=3,將矩形沿BE折疊，使頂點(diǎn)A落在CD

上的點(diǎn)F處，其中E在A。上，連接AF,則AE=.

17.(2022秋?下城區(qū)校級(jí)期中)在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,將它的一個(gè)銳角翻折，使該銳

角頂點(diǎn)落在其對(duì)邊的中點(diǎn)D處，折痕交另一直角邊于點(diǎn)E,交斜邊于點(diǎn)F,則DE的長(zhǎng)

為.

三.解答題(共4小題)

18.(2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中)如圖，在等邊△A3C中，點(diǎn)。，E分別是AB,AC上的點(diǎn)，將△ADE沿。E

所在直線對(duì)折，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，且。A'±BC.

(1)求的度數(shù).

(2)若4。=百，求線段和CE的值.

19.(2022秋?和平區(qū)期末)在△ABC中，AB=25,AC=10遙，”垂直直線BC于點(diǎn)■?.

(1)當(dāng)2C=25時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)AP=20時(shí)，

①求BC的長(zhǎng)；

②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ,連接BQ,請(qǐng)直接寫出△BCQ的周長(zhǎng)

為.

20.(2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期中)在四邊形A8CD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,BC=AD

=6,P為射線BC上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置，使點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處.

(1)若P為BC上一點(diǎn).

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

②如圖2,連接CE,若CE〃AP,則8尸與BC有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如果點(diǎn)P在2C的延長(zhǎng)線上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求尸2的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

21.(2022秋?綏德縣期中)如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊A。，點(diǎn)。落在8C邊的點(diǎn)尸處,已知BC=10厘

米，A8=8厘米.

(1)求與尸C的長(zhǎng).

(2)求EC的長(zhǎng).

重難點(diǎn)02勾股定理之“圖形折疊”模型

【知識(shí)梳理】

圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算時(shí)聯(lián)想到利用勾股定理對(duì)新形成的直

角三角形進(jìn)行求解.

g

A—..............0o匕.，

tf1----------p-tcr。

翻折變換（折疊問(wèn)題）

1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長(zhǎng)為無(wú)，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含尤的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

w【考點(diǎn)剖析】

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，已知矩形A5CD沿著直線5。折疊，使點(diǎn)。落在C，處，BC交于E,AD=

8,A8=4,則。E的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)折疊前后角相等可知△ABEgaC'ED,利用勾股定理可求出.

【解答】解：設(shè)DE=x,則AE=8-x,42=4,

在直角三角形ABE中，?=（8-尤）2+16,

解之得，x=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸

對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

2.矩形紙片A2C。的邊長(zhǎng)AB=4,AD=2.將矩形紙片沿跖折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，

折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）

22

【分析】著色部分的面積等于原來(lái)矩形的面積減去△Eb的面積，應(yīng)先利用勾股定理求

得FC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得相關(guān)線段，代入求值即可.

【解答】解：在RtZkGFC中，WFC2-CG1=FG1,

/.FC2-22=（4-FC）2,

解得,FC=25,

陰影部分面積為：AB'AD-iFC'AD^^,

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變

化，本題中沒(méi)有著色的部分為利用了矩形和三角形的面積公式，勾股定理求解.

3.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,現(xiàn)將△ABC如圖折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，

則折痕DE的長(zhǎng)是（）

?---D.---口?-----U?----

2244

【分析】先通過(guò)勾股數(shù)得到10,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到4。=。3=5,AE=BE,Z

ADE=90°,設(shè)4￡=尤，則3E=x,CE=8-x,在RtZ\CBE中利用勾股定理可計(jì)算出x,

然后在RSDE中利用勾股定理即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng).

【解答】解：???直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,

：.AB=10,

又???折疊，

：.AD=DB^5,AE=BE,ZA￡>￡=90°,

設(shè)AE=x,則BE—x,CE—8-尤，

在RtZkCBE中，BE2=BC2+CE2,即/=62+(8-x)2,解得尤=至，

4

在中，—=五,2也2=學(xué)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等.也

考查了勾股定理.

4.如圖所示，在長(zhǎng)方形紙片A2CD中，AB^32cm,把長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)

E處,AE交。C于點(diǎn)孔AF=25cm,則的長(zhǎng)為()

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)證明NEAC=NOCA，根據(jù)等角對(duì)等邊證

明尸C=AR則。尸即可求得，然后在直角△AD尸中利用勾股定理求解.

【解答】解：：長(zhǎng)方形ABCD中，

J.ZBAC^ZDCA,

又?.?/BAC=/EAC,

J.ZEAC^ZDCA,

.,.FC=AF=25cm,

又：長(zhǎng)方形ABC。中，DC=AB=32cm,

:.DF=DC-"=32-25=7cm,

在直角LADF中，AD=N,尸2-DF2=$2_72=24(cm).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理，在折疊的過(guò)程中注意到相等的角以及相

等的線段是關(guān)鍵.

5.如圖，矩形A8CD沿直線8。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，8c交于點(diǎn)E,A￡）=8,AB

=4,則BE的長(zhǎng)為（）

【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出BD=NDBC=NBDA,可得OE=BE,設(shè)

BE=DE=x,則AE=8-x.根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：./DBC=/BDA,

由折疊的性質(zhì)得：ZC'BD=/DBC,

：.ZCBD=NBDA,

:.DE=BE,

設(shè)BE=DE=x,則AE=8-x.

在AABE中，由勾股定理得：

X2=42+（8-x）2.

解得：尤=5,

BE=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練

掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8,現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重

合，折痕為DE,則出的值是（）

CB

【分析】先設(shè)CE=x,再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=BE=8-x,再根據(jù)勾股定理

求出X的值，進(jìn)而可得出生的值.

CB

【解答】解：設(shè)CE=x,則AE=8-x,

,/ABDE是△AOE翻折而成，

：.AE=BE=S-x,

在中，B￡2=BC2+CE2,即(8-x)2=6W,解得x=工，

4

7_

.%=工=工

"CB624,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知“折疊是一種對(duì)稱變換，它

屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等”的知識(shí)

是解答此題的關(guān)鍵.

7.將正方形折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交4。于E,交BC于F,

邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G(如圖).如果。M：MC=3：2,則DE：DM：EM=()

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得EM=EA,再根據(jù)勾股定理得ME的長(zhǎng)，從而求比值.

【解答】解：由折疊知，EM=EA,

設(shè)CD=AD=5a,

：?DE=5a-EM,DM=3a,MC=2a,

在Rt/XEQM中，EM2=DE2+DM2,

即"爐=(5。-ME)2+(3a)2,

解得ME=^-a

5

：.ED=^-a

5

：.DE：DM：EM=3a：3a："a=8：15：17.

55

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)

稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、通過(guò)

設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，利用正方形的性質(zhì)，勾股定理求解.

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=lScm,把矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處,

AE交QC于點(diǎn)孔若AF=13,則的長(zhǎng)為（）

A.5cmB.6cmC.10cmD.\2cm

【分析】根據(jù)折疊前后角相等可證AF=PC,在直角三角形ADF中，運(yùn)用勾股定理求解.

【解答】解：根據(jù)折疊前后角相等可知尸絲

設(shè)ZM=x,又AP=13,。尸=18-13=5,

在直角三角形/中，?+52=132,

解之得，x—12cm.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸

對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

9.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4,8的長(zhǎng)方形紙片A8C。折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕

的長(zhǎng)是（）

273C.V5D.275

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)

角相等和勾股定理求解.

【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，四邊形AFE8與四邊形CE/ZI全等，＜EC=AF=AE,

由勾股定理得，AB2+B￡2=AE2BP42+（8-AE）2=AE2,

解得，AE=AF=5,BE=3,

作EGLAF于點(diǎn)G,

則四邊形AGEB是矩形，有AG=3,GF=2,GE=AB=4,由勾股定理得所=蓊.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：1、折疊的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì).

二.填空題（共1小題）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合,

折痕為EF,則AABE的面積為A

A.6cnrB.Sc/c.IOCITTD.12cm2.

【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE,在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，

：.BE=ED.

"：AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

：.BE=9-AE,

根據(jù)勾股定理可知：AB2+A￡2=BE2.

解得AE=4.

AABE的面積為3X4+2=6.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方.

三.解答題（共1小題）

11.如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊AD,點(diǎn)。落在BC邊的點(diǎn)尸處，己知BC=10厘米，AB=

【分析】由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AD=AF,設(shè)則"=10-x,在

中利用勾股定理即可求解BF,再由BC=12厘米可得出FC的長(zhǎng)度.

【解答】解：:△AEP是沿直線AE折疊而成，AB^Scm,BC=10cm,

.'.AD=AF—10cm,

設(shè)BF=x,貝ijFC=10-x,

在RtZXABE中，AF1=AB2+BF2,即1。2=82+7,

解得尤=6,即BF=6厘米.

：.FC=BC-BF=10-6=4cm.

綜上可得8尸的長(zhǎng)為6厘米、FC的長(zhǎng)為4厘米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，解答本題需要表示出BF,AF的長(zhǎng)度，在

尸中利用勾股定理，難度一般.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共11小題）

1.（2022秋?大東區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知矩形ABC。沿著直線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'

處，BC交于E,AO=8,A8=4,則。E的長(zhǎng)為（）

【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出CO=C'D,ZC=ZC=90°,再設(shè)。E=x,則

AE=8-x,由全等三角形的判定定理得出RtAABE^RtACzDE,可得出BE=DE=x,

在RtAABE中利用勾股定理即可求出x的值，進(jìn)而得出DE的長(zhǎng).

【解答】解：：RtZ\JDC'JB由RtZV）BC翻折而成，

:.CD=CD=A8=8,/C=NC=90°,

設(shè)。E=x,貝?。軦E=8-x,

=90°,/AEB=/DEC',

：.AABE=ZCDE,

在Rt^ABE與RtZkC'OE中，

rZA=ZC/=90°

-AB=C'D，

ZABE=ZCyDE

.*.RtAAB￡^RtAC,DE(ASA),

.".BE=DE=x,

在RtZXABE中，AB2+AE2=BE2,

/.42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

...OE的長(zhǎng)為5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于

軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等的知識(shí)是解

答此題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，將矩形ABC。的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫

隙無(wú)重疊的四邊形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，則邊HF的長(zhǎng)是（）

宅

B-…戶

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

【分析】利用折疊的性質(zhì)得出NHEP=90°,再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：:△AEH折疊得到△加印折疊得到△〃￡■￡

ZAEH=ZMEH,NBEF=ZMEF,

：.ZHEF=ZMEH+ZMEF=^~(NAEM+/BEM)=90°,

2

...△HEP為直角三角形，

在RtAHEF中，

EH2+EF2^HF2,

:即=5厘米，跖=12厘米,

HF=^52+122=13厘米,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用折疊性質(zhì)得到/印亦=90°.

3.（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cs、BC=8aw,

現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，折痕為OE,則C。的長(zhǎng)為（）

C.——cmD.無(wú)法確定

4

【分析】設(shè)。。=無(wú)。w，則8D=BC-a>=（8-X）cm,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得

8-x,然后在△AC。中根據(jù)勾股定理得到（8-x）2=6?+/,再解方程即可.

【解答】解：設(shè)CD=xan,則BO=BC-C￡）=（8-x）cm,

「△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為。E,

.,.A￡）=B￡）=8-x,

在△AC。中，ZC=90°,

：.AD2^A（^+CD2,

（8-x）2=62+X2,解得了=工，

4

即CD的長(zhǎng)為工cv”.

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的

形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了勾股定理.

4.（2021春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為8c加正方形紙片A2CD折疊，使點(diǎn)D落在

2C邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，折痕為MV,則線段CN的長(zhǎng)是（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出。N就可以求出NE,在直角△CEN中，若設(shè)CN=

x,則。N=NE=8-x,CE=4c加，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng).

【解答】解：由題意設(shè)CN=xc:w,則EN=（8-X）cm,

又?.?CE=2OC=4c機(jī)，

2

...在RtzXECN中，Ea=Ed+Ca,即（8-尤）2=42+?,

解得：x=3,即CN=3cm.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換的問(wèn)題，折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相

等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖是一張直角三角形的紙片.兩直角邊AC=6C?7,BC=

8c相將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為。E,則AD的長(zhǎng)為（）

257

A.----cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

【分析】首先設(shè)A￡)=xc/n,由折疊的性質(zhì)得：BD=AD=xcm,又由3C=8on,可得CD

=8-x(cm)f然后在RtZXAC。中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：設(shè)AZ)=XCM,

由折疊的性質(zhì)得：BD=AD=xcm,

???在中,AC=6cm,BC=8cm,

CD=BC-BD=8-x(cm),

在RtZVIC。中，AC2+CZ)2=AZ)2,

即：624-(8-X)2=%2,

解得：x=空，

4

：.AD=^-cm.

4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了折疊的性質(zhì)與勾股定理的知識(shí).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合

思想與方程思想的應(yīng)用，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

6.(2021春?漳平市期中)如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=3cm,AD^9cm,將此長(zhǎng)方形折

疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，折痕為ER則aABE的面積為()

【分析】首先根據(jù)翻折的性質(zhì)得到即=BE,再設(shè)出未知數(shù)，分別表示出線段AE,ED,

8E的長(zhǎng)度，然后在中利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)度，就

可以利用面積公式求得△ABE的面積了.

【解答】解：???長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，

：.ED=BE,

^AE=xcm,則EZ)=8E=(9-x)cm,

在中，

AB2+AE2=BE2,

.'.32+X2=（9-X）2,

解得：尤=4,

.?.△ABE的面積為：3X4X」=6（tv/）.

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的翻折變換和學(xué)生的空間想象能力，解題過(guò)程中應(yīng)注意折

疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動(dòng)手折疊一下即可.

7.（2020?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，將邊長(zhǎng)為8c機(jī)的正方形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)。落在

AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，折痕為M，則線段A尸的長(zhǎng)是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據(jù)是直角三角形利用勾股定理求解即可.

【解答】解：由折疊可得=EF,設(shè)AF=x,貝|EB=8-x,

\'AF2+AE1^EF2,

.'.^+42—（8-x）2,

解得尤=3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊問(wèn)題；找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)

鍵.

8.（2021春?環(huán)翠區(qū)校級(jí)期中）如圖：長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=lQcm,按如圖

的方式折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合.折痕為EE則。E長(zhǎng)為（）

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

【分析】在折疊的過(guò)程中，BE=DE,從而設(shè)8E=r?E=x,即可表示AE,在直角三角形

AOE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解.

【解答】解：設(shè)DE=xcm,貝l]3E=r)E=x,AE^AB-BE^IO-x,

在Rt^AOE中，DE^=AE1+AD2,

即/=(10-x)2+16.

解得：x=5.8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對(duì)應(yīng)線段相

等，另外要熟練運(yùn)用勾股定理解直角三角形.

9.（2021秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）如圖，將矩形A8CO沿跖折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊

的中點(diǎn)C'上.若AB=6,BC=9,則的長(zhǎng)為（）

A.4B.3V2C.4.5D.5

【分析】先求出BC',再由圖形折疊特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtAC

BE中，運(yùn)用勾股定理B尸+8C'2=c，產(chǎn)求解.

【解答】解：：點(diǎn)C'是邊的中點(diǎn)，AB=6,

：.BC=3,

由圖形折疊特性知，CF=CF=BC-BF=9-BF,

在RtZ\C'BF中，BF2+BC2=CF2,

：.BF2+9=（9-BF）2,

解得,BF=4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問(wèn)題及勾股定理的應(yīng)用，綜合能力要求較高.同時(shí)也考查了列

方程求解的能力.解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系.

10.（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片4BCO中，AB=Scm,把矩形紙片沿直線AC折

疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)￡處，AE交。C于點(diǎn)尸，若人尸=生即，則的長(zhǎng)為（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【分析】由折疊的性質(zhì)可證AE=FC.在中，由勾股定理求的長(zhǎng).

【解答】解：由折疊的性質(zhì)知，AE=AB=CD,CE=BC=AD,

.,.△ADC絲△CEA,ZEAC=ZDCA

OR7

：.AF^CF^—cm,DF=CD-CF=L

44

在RtZXADF中，由勾股定理得，AD=6cm.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱

的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；②全等三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解.

11.(2021秋?東平縣期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)8的

坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)M是。2上一點(diǎn)，將沿AM折疊，點(diǎn)2恰好落在x軸上的點(diǎn)

3處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

y

A.(⑤，0)B.(0,—)C.(―,0)D.(0,—)

2222

【分析】設(shè)沿直線AM將aABM折疊，點(diǎn)2正好落在x軸上的夕點(diǎn)，則有而

AB的長(zhǎng)度根據(jù)已知可以求出，所以夕點(diǎn)的坐標(biāo)由此求出；又由于折疊得到在

直角中根據(jù)勾股定理可以求出OM,也就求出M的坐標(biāo).

【解答】解：

:將沿AM折疊，

：.AB=AB',

又A(-3,0),B(0,4),

.\AB=5=AB',

.,.點(diǎn)8的坐標(biāo)為：(2,0),

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),

則B'M=BM=4-b,

"：B'M2=B'O2+OM2,

：.(4-6)2=22+Z?2,

：.b=^-,

2

：.M(0,3),

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，也考查了翻折變換，題中利用折疊

知識(shí)與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共6小題)

12.(2022秋?江北區(qū)期末)如圖，有一張直角三角形的紙片，ZACB=90°,AB=5,AC=

3.現(xiàn)將三角形折疊，使得邊AC與A8重合，折痕為AE,則CE長(zhǎng)為

【分析】解法一：先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CE=Z)E,AC

=AD,ZC=ZEDA=90°,貝I8。=AB-AD,ZEDB=90°,設(shè)CE=OE=x,在RtA

中根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可.

解法二：先根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可推出/EO8=90°,以此可

得ABDEsABCA,設(shè)CE=OE=X,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：解法一：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=?好2_蛻2W52-32=%

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE=Z)E,AC=AD=3,ZC=ZEDA=9Q°,

：.ZEDB=9Q°,BD=AB-AD=5-3=2,

設(shè)CE=DE=x,則BE=4-x,

■△BOE中，

D聲+BN=B戌,

即/+2?=(4-x)2,

解得:，

：.CE=^~.

2

故答案為：

2

解法二：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=JAB2-AC2=V5-3=%

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE=OE,NC=NED4=90°,

；./EDB=/C=90°,

為公共角，

:.△BDEs^BCA,

.DEBE

??---=---,

ACAB

設(shè)CE=DE=x,貝l|BE=4-x,

?.?-x--4---x,

35

???AQ-，

2

2

故答案為：旦.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)，我們常

常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為尤,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)

度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案

13.（2022秋?佛山期末）在長(zhǎng)方形A8C。中，AB=5,8C=12,點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，把△A4E沿8E折疊，點(diǎn)A落在A處，當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，OE的長(zhǎng)為空

一3

或7.

【分析】當(dāng)AA'DE是直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)/EA'。=90°時(shí),

此時(shí)A'在8。上，由勾股定理可得3。=13,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得E,AB^A'

B=5,A'。=8,設(shè)AE=A'E=x,則。E=12-x,最后根據(jù)勾股定理即可解答；②當(dāng)

NA'm=90°時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得以此可推出AABE為等腰直角

三角形，AB=AE=5,再根據(jù)AE即可求解.

【解答】解：①當(dāng)NEA'0=90°時(shí)，如圖，

?.?四邊形A8CD為矩形，

AZA=90°,BC=AD=12,AB=5,

-,-BD=VAB2+AD2=13,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AE=A'E,AB=A'B=5,

：.A'D=BD-A'8=8,

設(shè)AE=A'E=x,則。E=12-x,

在RtAA'DE中,

根據(jù)勾股定理得&爐+4。2=。E2,

.'.X2+82=(12-x)2,

解得:

??39DE學(xué)

②當(dāng)/A'ED=90°時(shí)，如圖,

ZAEA=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，NAEB=NAEB,

'：ZAEB+ZAEB=90°,

/.ZAEB=ZAEB=45°,

.?.△ABE為等腰直角三角形，AB=AE=5,

：.DE=AD-AE=U-5=7；

綜上，空或7.

3

故答案為：空或7.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含

X的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答

案是解題關(guān)鍵.

14.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)