導數壓軸小題-2025年新高考數學二輪復習

微專題08導數壓軸小題

【秒殺總結】

一、導數幾何意義的應用主要抓住切點的三個特點：

①切點坐標滿足原曲線方程；

②切點坐標滿足切線方程；

③切點的橫坐標代入導函數可得切線的斜率.

二、不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數a2恒成立(a2/⑺1ra押可)或?！?⑺恒成立1nm即可)；

②數形結合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；

③討論最值/■(》)111ta或〃x)1mx<0恒成立；

④討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范圍.

三、根據導函數有關的不等式構造抽象函數求不等式解集問題，解答問題關鍵是能根據條件構造出合

適的抽象函數.常見的構造方法：(1)若出現/(x)+/'(x)形式，可考慮構造g(x)=e"(x)；(2)若出現

r(x)-/(x),可考慮構造g(x)=〃?；(3)若出現y(x)+靖(X),可考慮構造g(x)=^(x)；(4)若出

ex

現“X)-礦(X),可考慮構造g(x)=卓.

四、函數由零點求參數的取值范圍的常用方法與策略：

1、構造函數法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為構造的新函

數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為結合

函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數

的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.

五、已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

象，利用數形結合的方法求解.

六、對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參

數的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，

便于問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數后，得出的函數解析式較為復雜，性質很

難研究，就不要使用分離參數法.

【典型例題】

例1.(2024?安徽?高三校聯考階段練習)設a=lnL01,5，c=tan0.01,貝!J()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】令/(x)=tanx-x(0〈尤<g),則:(x)=」^一i=lzWZ=tan2x>0在區(qū)間屋］上恒成立,

2cosXCOSXV

即/(元)=tanx-尤在區(qū)間上單調遞增，所以/(x)>/(0)=0,即tanx>x,

所以c=tan0.01>0.01=1->1-=6,

100101

1Y

令g(x)=x-ln(l+x)(x>。)，貝!jg'O)=l-----=---->0在區(qū)間(。,+功上恒成立，

即g(x)=X-In(l+%)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，所以gM>g(o)=0,即X>ln(x+l)(x>0),

所以0.01>ln(0.01+l)=lnl.01=a,所以,

令加尤)=Inx+1一1(尤>1),則h'(x)=!一士=可>0在區(qū)間(1,+?)上恒成立,

XXXX

即/z(x)=lnx+』-l在在區(qū)間(1,+⑹上單調遞增，所以〃(x)>〃⑴=0,即lnx>l」，

Xx

所以Q=lnl.oi>l—一—=—=b,

1.01101

綜上，c>a>b,

故選：D.

例2.(2024?貴州貴陽?貴陽一中?？家荒?已知定義域為R的函數/(x),其導函數為f(x),且滿足

/'(%)-2/(x)<0,/(0)=1,貝IJ()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

C./出>eD.〃1)<"出

【答案】D

f(\,(、f(xYe2x-2f(x)e2xfr(x\-2f(x\

l解析］依題意令g(x)=緝x，則g(尤)=(2.2=6

eg)

因為/'(無)-2〃6<。在R上恒成立，

所以g〈X)<0在R上恒成立，

故g(x)在R上單調遞減，

所以g(T)>g(0)，冬5=金〃-1)>當=1,故A不正確;

所以g⑴<g(o)，即T<C，即/(l)<e2/(o)=e2,故B不正確;

ee

又gg]<g(o),即/[2J/⑼：1，即U<e,故C錯誤;

因為⑴，即/匕(”1)，即故D正確;

e1e2

故選：D.

例3.(2024.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒?設〃>0且awl,若函數

x3E+(3〃2-7〃+2)x+2,xW0

/w=2-2-x">。有三個極值點，則實數a的取值范圍是(

A.(2,e)B.(l,e)

C-一(1,2)D.(1，2)

【答案】C

【解析】當xWO時，/(力=d—寸+(3/_7a+2)%+2,f(x)=3f—2x+(3a—l)(a—2)；

對y=3f—2x+(3a-D(?-2),其開口向上，對稱軸為x=；,且/'(0)=(3。-1)(。-2),

故當/'(0)“，即(3a-l)(a—2)20,也即a?2或0<aWg時，

f\x)20在(-8,Cf|恒成立，故y=/(x),在(-8,0]沒有極值點；

當/'(0)<0,即(3a—l)(a—2)<0,也即時，

存在玉W(T?,0),使得/'(x)=0,

故xe(-8,xj,f'(x)>0,y=/(x)單調遞增；

在xe(%,0],f\x)<0,y=/(x)單調遞減,y=/(x)在(ro,0]有一個極值點;

當x>0時，/(x)=(log.龍丫一今，令''(x)=〃?)=^^.容一：，N(x)

故當x<O,e)時，加(x)>0,>=/'(x)單調遞增；

當xe(e,y)時，硒尤)<0,>=/(尤)單調遞減，又;(e)=2.1d*,

eIna

故當/'(e)VO,即0區(qū)+⑹時，

/'食)<0在(0,y)恒成立，產/(可在(0,+8)單調遞減，無極值點；

當/(e)>o,即ae[,lju(l,e)時，

2

f'(T)=—<0,故存在x,e(l,e),滿足/。)=0；

e

Inx0]nY，9

又當X趨近于+8時，趨近于0,/'(x)=J—趨近于

xmaxee

故存在￡e(e,+co),滿足/'(無)=0；

故當X?0,X2)時，/1(x)<0,y=/(x)單調遞減；

當時,f,(x)>0,y=/(x)單調遞增；

當％?為,+00)時，/(X)<0,y=〃x)單調遞減，

故此時y=/(X)在(。,+°0)存在2個極值點；

綜上所述，若y=/(x)有3個極值點，

則y=/(x)在(-6,0]有一個極值點，在(。,+℃)存在2個極值點，

此時且aeg,l)31,e),故aegj(1,2).

故選：C.

例4.(2。24?四川雅安?高三雅安中學校聯考開學考試)當x>°時,擾"》n?恒成立,則”的取值范圍為

()

A-I。/]B.卜；

C.-,+ooID.1,+00]

l_e)|_2e)

【答案】D

【解析】由題意，當x>0時，恒成立，

ae

所以?e2x>In-^―=InIn。一x在(0,+8)上恒成立，

aex

lnx

即eina+2”+ina+2x>e+In%在(0,+8)上恒成立，

令"x)=e、+x,可得小)=e“+l>0,所以〃力在(0,+功上單調遞增，

所以Ina+2xNIn%在(0,+8)上恒成立，即Ina之In%-2%在(0,+8)上恒成立,

11_7Y

令g(x)=lnx-2x,可得/(無)=——2=-------,

XX

當尤e(O,g)時，g'(x)>0,g(無)單調遞增；

當xe(：,+8)時，g[x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)4g(4)=ln、T=ln4,所以InaNln],解得

222e2e2e

所以實數。的取值范圍為[j，+s).

1_2e)

故選：D.

例5.(2024?內蒙古錫林郭勒盟?高三統(tǒng)考開學考試)若函數/("=(24-2)尤-eZrlnx+ln2a存在零點，則。

的最小值為()

A.JB.ec.e-2D.e2

【答案】B

【解析】由/(x)=0得ln(2依)+2依=2x+e2，，

設g(x)=e*+x,則g'(x)=e￡+l>0,g(x)在R上單調遞增，

2x

：.g(in(2ox))=g(2x),：.ln(2^zx)=2x,a>0,x>0,BP?=—.

2x

所以/(X)存在零點等價于方程a=|^G>o)有解，

人i(、守(八、\2e2x-2x-2e2x(2x-l)e2jr

令(X)=x(X>)'則/7⑴=-——=、2/'

當0<x<；時，//(x)<0；

當x>g時，〃(x)>0,

所以/z(x)在上為減函數，在上為增函數，

所以?=〃(xL=h[^]=e-

故選:B

x

例6.(2024?四川成都?高三成都七中校考開學考試)定義在R上的可導函數/⑺滿足/(%)-/(T)=xe%+S，

e

當xv0時，/'(%)■)—~>0,若實數〃滿足/(2〃)一/(a+2)—2ae~2a+aea2+2ea2<0,則〃的取值范圍為

ex

()

-2、

A.——,2B.[2,+oo)

C.—u[2,+co)D.(—00,2]

【答案】C

【解析】由"r)T(T)=xe，+p,得一W=/(T)一三.

令g(x)=〃x)-j,則g(x)=g(—X),即g(x)為偶函數.

當x<0時，g'(x)=7'(x)+?>0,所以g(x)在(-8,0)上單調遞增；

所以g(x)在(0,+8)上單調遞減.

由f(2<a)-/(a+2)-2ae~2a+aea~2+2ea~2<0,

得八2。)4〃a+2)-安，即g(2a)Wg(a+2).

ee

又g(x)為偶函數，所以g(|2a|)4g(|a+2|),

因為g(x)在(。,+8)上單調遞減，

所以囪習夕+2],即4〃22/+4〃+4,解得或〃“，

所以〃的取值范圍為§u[2,+co).

故選：C.

例7.(2024?重慶?高三重慶一中?？奸_學考試)已知定義在區(qū)上的函數/(》)=(2X2+4*+4+5,、若存在加,

使得對任意x,都有f(x)N/(〃2),則。的取值范圍是()

A.a<-lB.a<0C.a<—2D.a<-3

【答案】D

【解析】/(x)=(2.+4x+a+5)er=2爐+?+。+5,

當xf+oo時，2%2+4元+々+5>0,-0.

r”、_(4x+4)e*-Q/+4x+a+5)e[-2尤2一a-l

/W==-?-'

當-時，r(x)<o,/(x)在R上單調遞減，沒有最小值，不符合題意，

所以a<-L,令〃x)=。解得x=±p^,

所以在區(qū)間[-應上f(x)<0,〃x)單調遞減，

7

上尸(x)>OJ(x)單調遞增,

若存在機，使得對任意x,都有/?(x)N/(m),

p/_a_1/_a_1

即1rl4d224,J>l,-a-l>2,a<-3.

故選:D

例8.(2024.浙江湖州?高二統(tǒng)考期末)己知函數/(x)=e'T,g(x)=G2,若總存在兩條不同的直線與函數

V=/(%)，y=g(x)圖象均相切，則實數。的取值范圍是()

A.B.仁+[C.已+^

D.

【答案】A

【解析】由題意可知：awO,

設函數/(X)=e*T上的切點坐標為(工,戶7),函數g(x)=ax2上的切點坐標為伍,ax；),

Xj—1

且/'(x)=ei,g\x)=2ax,則公切線的斜率e'—=2陋，可得羽=

2a

則公切線方程為y—爐一1=爐一1%—玉),

代入(々a；)得應_酉一1=e“T(馬一百)，

代入％=上一可得，整理得〉代

2a

令，=再一1,貝！]—=—,

4ae

若總存在兩條不同的直線與函數y=/(x),y=g(x)圖象均相切，則方程圭=:有兩個不同的實根,

設=貝=

令//(x)>0,解得X<1；令〃(x)<0,解得X>1；

則MM在(-8,1)內單調遞增，在(1,+⑹單調遞減，可得力(可(刈1)=(,

且當X趨近于-8時，/z(x)趨近于當X趨近于+8時，/《X)趨近于0,

1

故選：A.

例9.(2024?山東青島?高三山東省青島第五十八中學校考開學考試)已知函數/(x)=o?+21nx(aeR)有兩

個不同的零點公三，符號［司表示不超過x的最大整數，如［0.5］=0,［1.2］=1,則下列結論正確的是()

A.”的取值范圍為

B.玉+/=2五

C.［xj+［x2］>3

D.若［內］+［々］=4,則”的取值范圍為―,--—

【答案】D

【解析】函數的定義域為(0,+co),

22(ax2+1)

f'(x\=2cuc+—=-------，

XX

當a20時，f'(x)>Q,函數/(x)=a?+21nx在(0,+co)上單調遞增,

函數〃力=加+21舊在(0,+s)上至多只有一個零點，與條件矛盾，故舍去;

當a<0時，由f(x)=0可得x=◎或x=_p(舍去)，

當0<x<E時,f'(x)>0,函數〃元)單調遞增，

當x>P時,f(x)<0,函數/(x)單調遞減,

Va

因為函數〃x)=4+21nx有兩個不同的零點七,巧可得了［Jf)

0,

所以+21n^1>0,所以In'Jvl,

所以-故A錯誤，

e

01nV0Iny

由加+2L。，可得-即，『與丁=丫有兩個交點,

人/、21nxr/日、2-41nx

令g(%)=q^,可得/(%)=---,

當xe(0,公)時，g［x)>0,g(x)單調遞增；

當X￡(V^,+8)時,gr(x)<0,g(x)單調遞減,

當苫=血時，函數取得最大值,1

e

當Xf+8時，g(x)—o,當x.0時，g(x)f—oo,又g(i)=o,

函數g(x)的圖象如圖所示，

結合圖象，若止匕時玉€(1,八)，止匕時工+%#2芥，故B錯誤;

當、二22時，㈤21,卜］22,則氏］+卜］23,

Va

當\［e.<.—■-<2時，貝！|—<a<-"-,

Vae4

所以/'(2)=40+21n2,當一_L<a<-］n后時，/(2)<0,

e

此時5］=1,［引+上］=2,故C錯誤，

因為［即+上］=4,

若［引=1則上］=3,f(2)>0,/(3)>0,/(4)<0,

所以4a+21n2>0,9(2+21n3>0,16〃+21n4<0,

寸7In2、2In3In2

所以a>——,aN-----,Q<----

4

2In3In2

所以一<a<----

94

若［引=2,則［々］=2,/(2)<0,/(3)<0,<2<|--<3,

所以4〃+2In2<0,9Q+2In3<0>—<ct<—

49

In221n3

所以Q<——,Q<-------—<a<——

9

In211

所以----,——<a<——,

249

又M24，所以-皿2<《所以-竽<一故滿足條件的。不存在,

所以。的取值范圍為-臂，-竽

,故D正確,

故選：D.

例10.(2024.四川?校聯考模擬預測)已知函數/(x)=(x+l)e，和g(x)=x(lnx+a)有相同的最小值.若

1+lnZ

/(E)=g(9)=r(r>°)，貝I的最大值為(

(玉+1)2考

ec

A.-B.eC.—D.2e

22

【答案】A

【解析】依題意，r(x)=(x+2)e\可知x<-2時,f(x)<0,此時/1)單調遞減;

x>-2時，/^%)>0,此時〃x)單調遞增；

則x=-2時，取得極小值〃-2)=-，，也即為最小值；

又g'(x)=lnx+a+l,O<x<e-"T時,g,(x)<0,此時。(無)單調遞減;

尤>一一1時,g'(x)>0,此時單調遞增；

則％=e…時，乳元)取得極小值<?卜一1)=-?-1,也即為g(x)最小值.

由—2=_?一"T,解得a=l.

e

因為〃升)=gQ)=r?>。),所以(百+l)e』=9(11%+1)=4/>0),

11+In/1+1m1+\nt

可知占且再=1叫，所以不4=(丁+1)遙=1廠，

令硝)=曾">0)，則〃⑺=匚產，當0u<e《"?)>0,此時“力單調遞增;

當"eW〃⑺<0,此時單調遞減；

故r=＞時，"⑺取極大值，葭[=/也即為最大值.

故選：A.

例11.(2024?廣東深圳?統(tǒng)考一模)已知函數/(x)=a(x-xj(x-x2)(x-x3)(a＞。)，設曲線y=/(x)在點

(%,/(七))處切線的斜率為%(7=1,2,3),若占,斗，不均不相等，且e=-2,則尤+4%的最小值為.

【答案】18

【解析】由于/(%)=。(%一下)(％-％2)(%-w)(。＞°)，

故/'(尤)=a[(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3,

故勺=＜7(百一%2)(不一龍3),左2=4(%-X3)(X2-%)，匕=4(￡一%)(&—,

111111

貝!J--1----1--=-7-----73-----rH-----y----r+-7-----晝------C

aXXXXaXXXX

kyk2k3磯國一工2)(再一當)\2~3)\2~l)(3~\)(3~2)

=(4-x?)+(%-W)+(4-xj」0

。(占一工2)(%-三)(七一百)

由心=-2,即左2=0(%2-&)(X2-石)＜。，知巧位于尤1，尤3之間,

不妨設玉＜尤2＜%，則左＞。,后＞。，

故則尢+4%的最小值為18,

故答案為：18

例12.(2024.黑龍江齊齊哈爾.統(tǒng)考一模)若直線y=2無為曲線丫=6"型的一條切線，則"的最大值

為.

【答案】4/2^-2

e

【解析】設/(x)=e3:則/'(力=恁3”

設切點為■，△?),則7?'優(yōu))=枇巴+",

+b+bax^+b

則切線方程為y-^=ae^(x-x0),整理可得y=ae也+(1-%)e'

所以〔”二型廠=°，解得與=L=5=2'

ICIQ=ZQ

22〃

所以“=2，所以。6=冬，

ee

設g(x)=W，則，(x)=#"，

ce

當x?f1)時,g'(x)>O,g(x)單調遞增,

當xe(l,+◎時，g'(x)<O,g(x)單調遞減,

所以當％=1時，g⑴取得最大值g⑴=1,

2

所以必的最大值為三.

e

?

故答案為：—

e

u

例13.(2024?四川德陽?統(tǒng)考模擬預測)已知函數〃x)=lna?lnx-樂在1=1處取得極大值，則:的取值范

圍是.

【答案】

【解析】/(無)的定義域是(。,+e),

/'⑴_In。心-bx+\na

xx

由于函數/(x)=lna/nx-fer在x=l處取得極大值，

所以/'(1)=一6+111。=0,1114=6,。=苫，

且〃x)在(0,1)上/(x)>0J(x)單調遞增，

在(1,+⑹上/'(x)<0J(x)單調遞減，

所以V=-"+lna單調遞減，

所以一6<0力>0,.

所以,=卻>°)，構造函數8(力=*>°)，顯然g(x)>。，

g'⑺=F，所以g(x)在區(qū)間(。，1)上g'(x)>。，g(x)單調遞增，

在區(qū)間(1,+co)上g<x)<0,g(x)單調遞減，

所以g⑴=工是g(X)的極大值也即是最大值，

所以g(x)e(0,：,也即?的取值范圍是［o,：.

故答案為：］。，：

例14.(2024.山東臨沂.高三統(tǒng)考期末)己知函數〃x)=一'一『一若關于%的不等式〃x)>ax-e

xlnx,x>Q

(e是自然對數的底數)在R上恒成立，則。的取值范圍____.

【答案】u

【解析】e在R上恒成立，等價于“X)的圖象恒在直線》=依-e的上方，

y=-y1-x2—2x=-J-(尤+1)~+1，兩邊平方后得(x+1)?+y2=l(y<0),

所以y=_J_x2_2x的圖象是以(-1,0)為圓心,半徑為1,并且在X軸的下半部分的半圓,

y=xlnx,(x>0),/=lnx+l=0,得x=L

當尤e(o,g)時,y<0,函數y=xlnx在U單調遞減，

當時，y>0,函數y=xlnx在單調遞增，

當x=1時，函數y=xlnx取得最小值

ee

如圖，畫出函數/^”卜廿二2^*'°的圖象:

xlnx,x>0

直線y=依一e恒過定點(O,-e),當直線y=ox—e與y=xln尤,x>0相切時,

設切點尸

xInx+e

2

y0=lnx+l,可得k=l+ln.%,由1+111/=」--,解得：x0=e,

%0

則切線的斜率為2,

當直線y=3e與y=_J_(x+i『+］,尤40相切時，直線y=or_e與半圓(x+iy+J相切，由

房.解得：”號

由圖可知，。的取值范圍是

故答案為:2」J

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?浙江紹興?高三統(tǒng)考期末）若對任意實數xWO,恒有2（e*+2〃ix）+812+4病成立，則實數”?的取

值范圍是（）

麗)一班M2一2

A.F'2B.

2

C..2一2呼

【答案】C

【解析】12(ev+2mx)+8>x2+W,

，2e*+4mx-x2>4m2-8(x20),

設f(x)=2ex+4mx—x2,則f'(x)=2ex+4m—2x,

設火力=2er+4m-2x,則〃(x)=2e*—2=2(e-1”0在［0,+e)上恒成立,

；?f'(x)在［0,+s)上單調遞增，且f'(O)=2+4m,

當初2-g時，1(0)>0,.-./(x)在［0,”)單調遞增，

f?mn=/(0)=2,即一:14加<典，

222

當加〈一:時，則/'(0)<0,不妨取了'(1)=2■+4m—2%=0,即2山=尤。一泊，

當天?0,1)時，f\x)<0,%?5,+力)時，((x)>0,

，/(勸在(0,%)上單調遞減，在(％,+。)上單調遞增，

2

,尤)min=/(尤0)=2e&+4mx0-=2e*+2x0(x0-e^)-x0=2e“(1一5)+,

2xx2xx

2e'°(1—無o)+x；N(%-e&)-8=>2e'°(1—x0)>e°—2x0e0—8=>e°—2e°-8<0,

<4,即加?1114,而g(x)=x-e"有g'(x)=1-e'W0在［0,+<?)上恒成立,

x

2m=x0-e°>In4-4,BpIn2-2<m<——,

綜上可得In2-2<m<-----.

2

故選：C.

2.(2024.安徽池州.高三統(tǒng)考期末)下列不等關系中錯誤的是()

人In2In3人一、〃131_.77

A.-----<-----B.be>(Q>Z?>1)C.cos—<—D.sin—l—>TI

2343222

【答案】C

【解析】對于A項，因殍<浮。31112<2111301n8<ln9,故A項正確;

對于B項，設k(x)=更，尤>1,則于(x)=.(無-D>0在(1,+8)上恒成立,故函數左(x)在上單調遞增,

XX

ag

因a>b>l,故人(。)>左(瓦)，§P—e>—,bea>aeb,故B項正確；

ab

對于C項，因COS^<衛(wèi)OCOS工<1----=1——f—,故構造/(%)=cosx—1H---工2,(%〉0),

4324322⑷2

則r(x)=x—sinx〉。，則/(x)在(0,+8)上單調遞增，dj=c°s；-11>0,故C項錯誤；

7777(7、7(7、7

對于D項,sin—+—>7rosin—>?！?lt;4>sinK——>?！?osin——兀<——兀,構造函數

22222(2J2

/(x)=x-sinx,xG(0,1),

則/，(x)=l-cosx>0,/(%)單調遞增，二/-兀［>/(0)=0,g-兀>sin(g-兀J,故D項正確.

故選：C.

3.(2024?四川成都?統(tǒng)考模擬預測)若函數Ax)對任意的xeR都有/'(x)<y(x)+2成立，貝l］27(ln2)與

f(21n2)-2的大小關系為()

A.2/(ln2)>/(21n2)-2B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2D.無法比較大

【答案】A

［解析］令g(x)=/(?+2,則g，(x)J，⑺］⑺-2,

,對任意的xwR都有/'(x)</(x)+2成立，

g'(x)<0,即g(x)在xeR上單調遞減，又In2<21n2,

二g(ln2)>g(21n2),即/(叱)+2>/(21：2)+2,可得2/(也2)>/(21n2)-2.

24

故選：A.

一X—CLX—1X<0

4.(2024?全國?高三專題練習)若函數“無)=,/~八恰好有兩個零點，則實數。的取值范圍

Inx-(?-l)x+1,x>0

是()

A.(1,+8)B.(0,2)。{一2}C.(0,+00)D.(-8,+8)

【答案】A

【解析】因為〃。)=-1#。，所以x=0不是/(X)的零點，

—X—,x<0

當xwo時，令〃尤)=0,得。=I,:,

lnx+1r八

--------+l,x>0

、x

令g(x)=_x」(x<0),

X

由對勾函數性質可得g(x)在(-1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增,

所以g(%)min=g(T)=2,

令〃(x)=@±*+l(x>0),

X

貝IJ/z'(無)二1一+當xe(o,l)時，〃(元)>0,當xe(l,+s)時，〃(x)<0,

XX

所以Mx)在(0』)上單調遞增，在(1,也)上單調遞減，/7(X)max=2,且當Xf+8時，/心)->1,如圖所示，

—x—，九<0

所以當時，丫=。與y=?:的圖象有且僅有兩個交點，此時函數恰好有兩個零點.

lnx+1,八

--------+l,x>0

故選：A.

5.(2024.全國.校聯考模擬預測)設48為〃x)=3-X?的圖象在y軸兩側的點，則y=/(x)在處的切

線與x軸圍成的三角形的面積的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

對函數/（x）=3-d求導得八無）=一2元，設4（菁,3-引、B（X2,3-X|）,且再<。<々，

所以，曲線“X）在點A處的切線方程為y—3+才=—2玉（x—石），可得>=-2中+片+3,

同理可知，曲線>=3-爐在點3處的切線方程為y=-2x2X+,+3,

兀二.+入2

y=-2xxx+x；+3

聯立<可得=-2，即點-玉

y——2X2X+考+3

》=3一玉冗2

Y2+3尤2+3、石+3o]

在直線方程y=_2%]%+x；+3中，令y=o,得x=—，即c,0,同理得。2%J

2%2占J

所以，印=三一8"-）

g，⑴—+3=3（八2產一3）=3（產+l）（r+l）（I）,

22?一2t212/

當0</<1時，g'⑺<0,此時函數g⑺單調遞減，

當,>1時,g'⑺>0,此時函數g⑺單調遞增，則g（f）1nhi=g6=8.

當且僅當為一時，CDE的面積取得最小值8.

[Z=1

故選：D.

6.（2024?湖南長沙.長郡中學?？家荒＃┮阎獙崝怠?分別滿足e"=1.02,ln（b+l）=0.02,且。=《，貝我

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由e"=1.02,則〃=lnl.O2,令/(x)=ln%-2(：：),x>l,

則小）斗產「(if

x(x+l)2

則當x〉l時，r（x）＞0,故/⑴在（O,+。）上單調遞增,

,,/\2(1.02-1)2

故/(1.02)=lnl.02—-------^=lnl.O2---->"1)=0,

171.02+1101

221

即。=In1.02>--->---=—=c,艮[I。>。，

10110251

由In優(yōu)+1)=002,則n=e002_l

令g(x)=e"-ln(l+x)-l,x>0,則g[x)=e*——

令/z(x)=e',,則當x>0時，(尤)=二+1二>0恒成立，

故g'(x)在(0,+8)上單調遞增，又g[o)=e°-；=o,故g'(x)>0恒成立，

故g⑺在(0,+8)上單調遞增，故g(0.02)=e002-ln(l+0.02)-l>g(0)=0,

即e°M—l>lnl.02,即b>。，故cvavb.

故選：D.

7.（2024?四川成都?高三成都七中?？计谀┮阎o,月為函數＞=/式+2/-4尤圖象上一動點，則

x+y+3

//八2/的最大值為()

J(尤一l)2+(y+4>

e+5e+5「,、

A.i,B.一°=C.1D.j2(e+5)

Ve2+8e+17V2e2+16e+34v7

【答案】A

x+y+3

【解析】由函數解析式可知函數)關于X=1對稱，設Z=了戶口+盯，不妨設X=〃(〃<1)

_n+y+3一〃+y+5〃+y+3

則J(〃一]J；(y+4)2，當x―2J(j)2；(y+4)2J("])2；(y+4)2，

即當x>1時z的值要大于x<1時z的值，所以只需研究%>1的情況即可,

b

當x〉l時，y=ex~i+2x2-4x,設x-l=a,y+4=Z?,t=—

a

2Q?+2ab+h22

22==

貝/a+bT^+不，

abt

根據復合函數單調性可知：re（O,l）時，z2遞增，當fe（l，+8）,Z?遞減.

巖，所以'的幾何意義是函數y=—+2/_4x上一點與點(1,-4)的斜率，

設過點(IT)的切線與函數y=e，T+2--4尤的交點坐標(即切點)為(m,em-'+2m2-4m)(m>l),

y=ex-1+4x-4,

所以切線的斜率k=em-1+4m-4,切線方程為y-(b+2加-4m)=(e--1+4m-4)(x-m),把點(1,T)代入

切線方程整理得：

(eM-1+2m)(m-2)=0,所以m=2或e"-+2相=0,設/(m)=葭-+2祖，f(m)=e"-1+2>0,

所以f(rn)在(1,+回單調遞增,所以/㈣>”1)=3,

即e，"T+2m=0不合題意，所以m=2,此時切線的斜率左=e*i+4山一4=e+4,

如圖：

根據數形結合思想可知才的范圍為卜+4,+。)，所以當r=e+4時，z2最大,

,2e+5

止匕時1e+4+工Ve2+8e+17-

\e+4

故選：A

8.(2024?廣東?高三校聯考開學考試)已知a=；,b=&T,c=21n2-ln3,貝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】令/(x)=e*-x(O<x<l)、g(x)=lnx+l-x(O<^<l),

則尸(x)=e=l>0,故在(0,1)上為增函數,故/(x)>/(O)=l,

1111

e*>x+l,其中0<x<l,故e3>—+1,即—,故b>-；

333

，1cic?21?41(°?64、1,27xe31,27x3.

而——2In2+In3=——In—=-3-In——=—In-------->—In-------->0,

3333127J364364

故；>21n2一ln3=c,故b>c；

又g，(x)=->0,故g(x)在(0,1)上為增函數，

故g(x)<g0)=。，lnx+l-x<0,其中0<x<l,

33134

^ln-+l--<0,即則上<—ln'=ln?,故〃<。；

44443

故

故選：B.

二、多選題

9.(2024?廣東?高三統(tǒng)考階段練習)若過點可作曲線/(x)=/lnx的〃條切線(〃cN),貝！J()

A.若〃二0,貝

3

右。“且二〃，則〃=

B.、Ct-'cZ?ma2

,21

C.