比較大小六大方法-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專(zhuān)題07比較大小六大方法匯總

dan

題型1臨界值法比較大小.............................................................1

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小........................................................4

題型3構(gòu)造差與商比較大小...........................................................7

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小............................................................11

題型5放縮法比較大小..............................................................16

題型6導(dǎo)數(shù)法.......................................................................20

題型1臨界值法比較大小

【例題1】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知a=log22.8,b=log0.82.8,。=2-。-8試比較a,

b,c的大小為()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】=log22.8>log22=1,

/)=logo,82.8<log0,8l=：0,

0<c=2-°-8<2°=l,

:.b<c<a.

故選：B.

【變式1-111.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a=log0,53,b=0.5-3,c=3用試比較

a,b,c的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：,?,a=logo.53=-log23<0,

Z）=O.5-3=23>2O=1,

1o

0<c=3-0-5=gy<Q）=],

:.a<c<bt

故選：B.

3

【變式1-1】2.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）B^a=log0,33,b=（|）~,c=4-i,則下列

大小比較正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a,b,c的范圍，進(jìn)而比較出它們的大小關(guān)

系.

【詳解】因?yàn)閍=logo,33<logo.31=。，即a<0,

c=4-1=^e（o,i）,

公（|尸=針>0°=1，即b>1，

所以可得：a<c<b,

故選：C.

【變式1-1】3.（2022?山西太原?統(tǒng)考一模）比較大小：a=log3或，b=e01,c=e嗚

（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a=log3V2<I，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出匕>1,c=l，進(jìn)

而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】解：因?yàn)轸~(yú)<遮，所以a=log3V^<（,b=e01>e°=1,c=eln2=e-ln2=2-1=

i

2,

則b>c>a,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)式的大小比較.若兩式的底數(shù)相同，常結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性比較大小，若兩式的指數(shù)相等，則常結(jié)合圖像比較大小；有時(shí)也進(jìn)行整理通過(guò)中間值比較

大小.

【變式1-1】4.（2021?福建泉州?福建省德化第一中學(xué)?？既＃┍容^下列幾個(gè)數(shù)的大?。?/p>

030001

a=（|）',b=log2|,c=5,則有（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先讓a力,c和0或1比較大小，然后再判斷a力,c的大小.

0.31

G(0,1),b=Iog-<0,c=50001>1

?2

c>a>b.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)比較大小，意在考查轉(zhuǎn)化與計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題型.

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

型重點(diǎn)

比較指對(duì)幕形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=a、，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)o<a<l時(shí)，函數(shù)遞減；

(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=Iogax,當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)。<a<1時(shí)，函數(shù)遞減;

【例題2】(2022?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))下列各式比較大小正確的是()

A.1.725>1.73B.0.6T>0.62c.O.801>1.201D.1.703<0.931

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB,再由幕函數(shù)單調(diào)性判斷C,借助1判斷D.

【詳解】A中，,.函數(shù)y=可在R上是增函數(shù)，2.5<3,.-.1.72-5<1.73,故錯(cuò)誤；

B中，?3=0.6，在R上是減函數(shù)，-1<2,.?O6T>0.62,故正確；

C中，-/y="。1在(0,+8)上是增函數(shù),O.801<1.2。1.故錯(cuò)誤;

D中，■.-1.70-3>1,0<0.931<1,.?.1.7°-3>0.931,故錯(cuò)誤.

故選：B

【變式2-1】1.已知2021。=2022,2022b=2021,c=ln2,則()

A.logac>logfecB.logca>logcb

C.ac<bcD.ca<cb

【答案】D

【分析】比較。、久c的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】；a=l°g20212022>Iog20212021=1,0=log20221<b—log20222021<log2022

2022=1,

0=Ini<c—ln2<Ine=1,即0<c<l,

所以，logac<logal=0,loghc>log6l=0,則log/<logbC,即A錯(cuò)誤；

a>b,0<c<1,所以，logcaVlogW,ac>bc,ca<cb,即BC都錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式2-1】2.(2022春?天津北辰?高三天津市第四十七中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)定義在R上的

函數(shù)7'0)=sin久+2x,若a"?),b=/(lnV2),c=f(￡)，則比較a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得|1,lnVIe珀1勺大小，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較

大小.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知ln&<ln^=1,屋>1,

11

所以111應(yīng)<5<甌

尸(x)=cosx+2>0恒成立，/(X)在R上是增函數(shù)，所以6<a<c.

故選：C.

【變式2-1]3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=/(%+1)

為偶函數(shù)，且-時(shí),，(々)—八巧)](冷—問(wèn))>0,比較f(2017),/(2018),

f(2019)的大小為()

A./(2017)<f(2018)</(2019)B./(2018)<f(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)<f(2017)D./(2019)<f(2018)<f(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)y=fO)的周期T=4,再由當(dāng)—1W%i<X2W1時(shí)，

[/(%2)-/(xi)](%2-%1)>。可知函數(shù)y=/X)在[—L1]上為增函數(shù)，然后計(jì)算比較即可.

【詳解】???函數(shù)y=f(%)是R上的奇函數(shù)，又y=+1)為偶函數(shù)，

???/■(-%)=-/(%),/(-%+l)=f(x+1),

???/(%)=f(x+4),即函數(shù)y=/'(%)的周期r=4,

,-1一1W久1<Qw1時(shí),X2—Xi>0,[f(%2)—f(xl)](x2—xl)>0>

???f(%2)-f⑸)>0即f。2)>/(%1),函數(shù)y=f(x)在[—1,1]上為增函數(shù)，

/(2017)=/(I+4X504)=/(I),f(2018)=f(2+4x504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-1+4X505)=/(-1),

???f(2019)<f(2018)</(2017).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

【變式2-1】4.(2023?安徽亳州?高三?？茧A段練習(xí))我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有

"yyds"、"內(nèi)卷"、"躺平"等,定義方程/⑶=尸⑶的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)八%)的"躺平

點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=e*r,/i(x)=In%,火乂)=2023x+2023的“躺平點(diǎn)”分別為a,b,

C,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)"躺平點(diǎn)"新定義，可解得a=l,c=O,利用零點(diǎn)存在定理可得6e(Le),即可

得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)“躺平點(diǎn)”定義可得g(a)=g'(a),又g'(x)=e-1；

所以e"—。=e°—1/解得。=1；

同理/T(x)=§,gpinfe=I；

令TH(X)=lnx-：,則nT(x)=5++>0,即巾(久)為(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

1

又小(1)=一1<0,m(e)=1-->0,所以TM(X)在(l,e)有唯一零點(diǎn)，即be(l,e)；

易知"0)=2023,即9(c)=2023c+2023=d(c)=2023,解得c=0；

因此可得6>a>c.

故選：B

題型3構(gòu)造差與商比較大小

駟』1重點(diǎn)

(1)作差法：作差與0作比較；

(2)作商法：作商與1作比較(注意正負(fù))；

【例題3】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若x,y,z是正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足2x=3y=5z,試比較

3x,4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2,=3〉=5z=t,則t>1,久=修，y=魯，z=魯，利用作差法能求出結(jié)果.

【詳解】V、z均為正數(shù)，且*=3y=5Z,

令2工=3》=52="則t>l,

故久=log2t=假，y=log3t=魯，z=log5t=居，

；.3x—6z=3境—魯)=強(qiáng)設(shè);且產(chǎn))>0,即3x>6z;

6z_4y=2囂一?=^1^>0,即6z>4y,

即3x>6z>4y成立，

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式；

(2)利用作差法比較大小.

【變式3-1】1.已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足:dny=yez=zx,則x,y,z的大小關(guān)系為()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對(duì)

【答案】A

【分析】將z看成常數(shù)，然后根據(jù)題意表示出x,y,再作差比較出大小即可

【詳解】解：由xlny=yez=zx,得xlny=zx,則z=lny,彳導(dǎo)y=eZ,

所以ez，ez=zx,所以x=

令f(z)=ez—z(z>0),則尸(z)=ez—1>0,

所以函婁好(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(z)>/(0)=e°-0=1,

所以ez>z,即y>z

所以x_y=§_ez=^￡：=^^>o,

所以尤〉y,

綜上％>y>z,

故選：A

2

e

【變式3-1】2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知a=2e〃，b=e,c=&，試比較a,b,c

的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常見(jiàn)的不等式，估計(jì)出ln2的范圍，精確估計(jì)出1.73(訴<1.8,然后利

用作商法比較大小.

【詳解】先證明兩個(gè)不等式：

(1)21nx<%—|(x>1),設(shè)/(%)=21n%—%+:(％>1),貝！］

f(x)=|-l-i=-(|-l)2<0(%>l),即f⑺在(L+8)上單調(diào)遞減，故

/(X)<f(1)=0,即21nx<%—|(x>1)成立

(2)lnx>筆熱x>l),設(shè)g(x)=ln;?筆小(x>l),則

9'(乃=5一品=意號(hào)>。(乂>1),即9。)在(L+8)上單調(diào)遞增，故

9(￡)>9(1)=0,即Inx>翠渣(％>1)成立

再說(shuō)明一個(gè)基本事實(shí)，顯然3<n<3.24,于是1.73(遮〈訴<1.8.

由(1)可得?取X=2,可得21n2Vl.5=ln2Vo.75Qe°75>2;

由(2)可得，取x=2,可得ln2>g,再取x=g,可得其>齊0.27,即e。"<>

3

4,

"盤(pán)年>1，顯然"°，于是6>a；

￡=蠱=咚西<Q^<e2-而-。-27=eL73-而<e0=i,顯然a>0,于是c<a.故

a2e標(biāo)21n24=c'_u_八、、'」y"

b>a>c.

故選：B

-1

【變式3-1】3.若0<6<a<-,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb，貝!J()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果.

ah

【詳解】?:x=Q+be》,y=b+ae,z=b+aet

:.y—z=a(^ea—eb>)

又a>b>0,e>l,:.ea>eb

.,.y>z

z—%=(b—a)+(a—》)於=(a—b)(於_1),

又a>b>0,eb>l

:.z>x

綜上：x<z<y

故選：A

【變式3-1】4.(2023?貴州貴陽(yáng)校聯(lián)考三模)已知正實(shí)數(shù)a,6,c分別滿(mǎn)足。2=口b=\n2,

c=簧，其中e是自然常數(shù)，貝M力,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比較出a,c大小關(guān)系；可構(gòu)造函數(shù);■⑶=器，將a力和hc大小關(guān)系的比

較轉(zhuǎn)化為f(2)/(e)和汽e2)/(8)大小的比較，利用導(dǎo)數(shù)可求得打切單調(diào)性，從而比較出大小

關(guān)系.

【詳解】由導(dǎo):。=焉4=*居=竽

e>Q)=又c>0,

人cInxL.IZ,—--Inx?——2—lnx

令/(X)=/，則尸(x)=旦一=豆豆，

.?.當(dāng)Xe(0電2)時(shí),f(%)>0；當(dāng)xeg2,+8)時(shí),f(%)<0；

???f(%)在(0,e2)上單調(diào)遞增，在(e2,+8)上單調(diào)遞減；

???/(e)>/(2),即惜=親>器，,奈>也2,即a>b;

且左2)>/(8),即詈=：>翳=翳，二m2(嚕即b<c;

綜上所述：a>c>b.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能

夠根據(jù)所給數(shù)字的特征，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為名好=方的不同函數(shù)值的比較問(wèn)題，從而利用導(dǎo)數(shù)

求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小

【例題4】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))下列大小比較中，錯(cuò)誤的是()

e3e3e71en71371

A.3<e<irB,e<?r<eC.n<e<3D.?r<e<3^

【答案】D

【分析】對(duì)于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)f(x)=竽得到f(x)W/(e)=：.令尤=J得到兀3>e\所

以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)A,在f(久)中，令x=彳，得到兀e>e3.所以選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,在中，令％=兀，則兀e<e1所以選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,6”<3，所以酒<^<3兀，所以選項(xiàng)C正確.

【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)D,構(gòu)造函婁好(%)=等，所以r(%)=費(fèi)，

所以當(dāng)0<%<e時(shí),/口)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增;當(dāng)x>e時(shí)，/(無(wú))<0,函婁好(x)單調(diào)遞

減.

所以/(幻</(e)=(當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等)

e2

則令％貝11恰<t化簡(jiǎn)得1|">兀>2-2,故3皿兀>6-m>6—e>7i,

n

故1毋>兀，故兀3>4，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)A,30<冰,/(3)</(e),.-.^<^,.-.3e<e,

在外為端中，令比=彳，則去*化簡(jiǎn)得lnQ2—表故eln/r>e(2與>27X(2—詈

7T

)>2,7X(2-0.88)=3.024>3,

e3e3e3e

^ffUXelnTT>3,Aln7T>lne,n>e.fifrlU3<e<n,所以選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,在了⑺/中，令x=%則乎〈詈,.5<—所以e3〈游</,所以選項(xiàng)B

正確；

對(duì)于選項(xiàng)G6"<3%所以游<0”<3兀，所以選項(xiàng)C正確.

故選：D

19-113139

【變式4-1】1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))比較。=/力=/。=景而(e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))的大小為()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=加2T,再用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，然后利用

單調(diào)性判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)'=疣2-3

所以y'=(1-X)e2~x

當(dāng)0<x<1時(shí)y'=(1—x)e2~x>0

所以y=xe2T在（0,1）上遞增,

所以a>b>c

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較數(shù)的大小，構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題，還考查了

運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

1ln2

【變式4-1】2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知0=（丁力=停）％=

（增T，試比較她c的大小關(guān)系（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根據(jù)三個(gè)指數(shù)的底數(shù)的形式，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根

據(jù)三個(gè)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)取對(duì)數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)

性判斷即可.

【詳解】設(shè)/■co=竽（％>o）=>r（x）=

當(dāng)x>e時(shí),r（x）<0,/（無(wú)）單調(diào)遞減，

所以有f（e）>/（3）>/（4）,

Ineln221n2ln4

e萬(wàn)一4一

設(shè)9(%)=xx(x>0)=>lng(%)=xlnx,

設(shè)y=xlnx=>y=In%+1,

當(dāng)。＜%＜，時(shí)，y'＜0,函數(shù)y=淚n%單調(diào)遞減，

因?yàn)椋荩灸倔模?,

所以1電@＜1電曾］＜ln［g（竽）］,

因?yàn)楹瘮?shù)y=Inx是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

故［咫］＜M詈）］＜［。（竽）］,

1In3ln4ln2

即（）〈停產(chǎn)＜（vF=（竽）%所以。＜°＜瓦

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-1】3.（2023?全國(guó)?長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足1001。+1010^=

2023。，1014a+1016fe=2024\則a,b的大小關(guān)系為（）

A.a＞bB.a=bC.a＜bD.無(wú)法比較

【答案】C

【分析】先假設(shè)a26,再推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.

【詳解】假設(shè)a2b,則1010。21010、1014a＞1014\

6

由1001。+1010=2023a得1001。+io］。。＞2023a=（蜷）°+（費(fèi)）”＞1,

因函數(shù)/（%）=（瑞）1（瑞）,在R上單調(diào)遞減，又/。）=瑞+嬲=藕＜1，則

/（a）＞l＞/（l）,所以a＜l；

由1014。+I。.=2024b得10146+10166＜2024『（黑）"+（嬲）”＜1,

E-7■乎A/、z1014、%,,1016、x+CM、H、i-n“、1014,10162030、?.i

因函數(shù)g（w=（痂）+（痂）在R上單嗎遞減，又g（i）=,+痂=百＞1，則m

g(6)Wl<g(l),所以b>l;

即有a<1<匕與假設(shè)a2b矛盾，所以a<6,

故選：C

02

【變式4-1]4.(2023?河南開(kāi)封??？寄M預(yù)測(cè))若a=e,b=g,c=In3.2,則aec的

大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)丁=才-1-1,利用導(dǎo)數(shù)證明出e'2t+l,利用單調(diào)性判斷出

a>c-令f(x)=ln久—筌，利用單調(diào)性判斷出c>b,即可得到答案.

【詳解】iHy=ef-t-1,因?yàn)閥'=e1-L

令y>o,解得t>o；令y<o,解得t<o；

所以y=ef-t-1在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以Vmin=e°-0-1=0,所以e‘>t+1,

所以a=e°2>0.2+1=1.2>V1.2=b,a>1.2=|ne12，c=In3.2,

因?yàn)?ei2)5=e6>(2.7)6=387.4>(3.2)5-335,5,所以eL2>3,2,即a>c;

令久久)=lnx—竽xe(0,+8),

所以f(久)在(0,+8)單調(diào)遞增，/(l)=0,

所以當(dāng)久>1時(shí)，/(x)>0,即lnx>等，

所以n3.2=ln2+lnl,6>年常+空需=琦>琮="，

又1<1.2<1.21,1</?=V12<1.1,所以c>l.l>b.

故a>c>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查比較大小，解答的關(guān)鍵是結(jié)合式子的特征，合理構(gòu)造函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

題型5放縮法比較大小

J,尉:

木匕均量點(diǎn)

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只:

要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過(guò)自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較

的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過(guò)放縮法進(jìn)一步縮小范圍.在本題中，通過(guò)構(gòu)

造函數(shù)n?=e”—久―1,利用導(dǎo)數(shù)證明得到x>0時(shí)，e%>x+l,進(jìn)而放縮得到a=e0,2；

>1+0.2=1.2=Ine1-2.

11

【例題5】(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知a=si*,b=lg3,c=2i,比較a,b,c的大

?。?用"<"連接)

【答案】a<b<c

【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)fO)=x-sin久，利用其單調(diào)性得到a=sin,再通過(guò)作差與零進(jìn)

行比較，得出b與爭(zhēng)勺大小關(guān)系，再通過(guò)仇c與1進(jìn)行比較，判斷出b<c,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】令/(%)=%—sinx,廣⑺=l—cosx20恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)久=2kn(keZ)取等號(hào),

所f⑶=%-sin久是增函數(shù)，

當(dāng)X6(0,+8)時(shí)，f(x)=%-sinx>f(0)=0,即x>sinx,所以a=sing<，

111___1

又6—W=lg3-§=lg3—|gi0"又因?yàn)?7>10,所以3>103,故由y=Igx的單調(diào)性知，

lg3>|g10?,所以b">0,從而b>a,

1

又易知b<1,又由函數(shù)y=2"的單調(diào)性知，C=23>2°=1,所以a<b<c.

故答案為：a<b<c

【變式5-1】1.已知a=e°L。=牛+1,c=<2,則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln%+1-%可證b<c,XlnV12+1<Vl?2<1.1,可得InVl區(qū)

<0.1z即可證a>c.

【詳解】由b=^+l=lnVf^+l

令f(x)=ln久+1—%,則((%)=§—1,當(dāng)x6(0,1),f(x)>0；當(dāng)x6(1,+8),f(%)<0；

所以f(x)=ln:r+l—x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(1)=0

則/'(VL2)<0,因此lnV12+l—Vl》<0,所以6<c

又因?yàn)椤?亞泛<1.1,所以InVl^+l<，!》<1.1,得lnVL^<0.1

<e01,有a>c

故選：C

【變式5-1】2.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若。=總荷，b=?c=ln5,(e

=2.71828…)試比較a,b,c的大小關(guān)系()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e5,進(jìn)而求出a的范圍，再由L642<e求出6的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算

出c即可求解.

【詳解】由e=2.71828…得e2<7.5,故<7.5x7.5x2.72=153,又1.64x1.64=

2.6896<e,故礪e5<1.6<Vi，

由常用數(shù)據(jù)得ln5=1.609,下面說(shuō)明ln5k1.609,令/(x)=ln(x+1)-總譽(yù)，尸(x)=擊一

(2%+6)(4久+6)—4(02+6支)一4久3

(4x4-6)2-(x+l)(4x+6)2'

當(dāng)xe(—1,0)時(shí),r(X)>0,f(X)單增，當(dāng)“e(0,+8)時(shí),f(%)<0,f(x)單減,則佗)max

=/(0)=0,

則ln(x+l)W亳鬻,則ln5=21n2+In*ln2=ln仁x||x葛X…X?=ln(l+2)+In

(1+±)+...+ln(l+±),

令g(x)=器,則ln2X媼)+9田+…+g島”0.6932，尾=Ingx與)=ln(l+1)+ln

(1+J

ln|?5Q+g(。x0.2232,貝!Jln5=21n2+ln1?2x0.6932+0.2232?1.6096,綜上,

b>c>a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點(diǎn)在于通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求出ln5的范圍，放

縮得到皿%+1)<篝，再由ln2=ln(l+白+In(l+*)+“?+ln(l++)和尾=In

(1+1)+ln(l+J結(jié)合ln5=21n2+峙即可求解.

【變式5-1】3.已知。=5也20。步=*=3，則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由x>0時(shí)，5也久<%判斷功6的大小關(guān)系，作出y=sinx與y=|x的圖象判斷a,c

的大小即可.

【詳解】20°=^,故。=$嚙

因?yàn)?>0時(shí)，sinx<x,

ULI\Inn7

所以sin§<9<—,

因?yàn)?'(%)=sinx-jx中fQ)=0.

作出y=5也無(wú)與)7=/在同一坐標(biāo)系中的圖象，如圖,

由數(shù)形結(jié)合可知Sin久>也在(0,。恒成立，所以si謗>

所以c<a<b,

故選：A

【變式5-1】4.已知實(shí)數(shù)a,5滿(mǎn)足a=log23+log86,6。+8。=10萬(wàn)，則下列判斷正確的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的單調(diào)性可判斷a>2,b>2-在構(gòu)造函婁好(久)=6、+中—10\

%>2,再根據(jù)換元法和不等式放縮，可證明當(dāng)x>2時(shí)，/(%)=6"+8"-10"<0,由此即

可判斷a力的大小.

【詳解】因?yàn)閍=log23+log86=log23+|log2(2X3)

=^log23+|>|log22V2+|=|x|+!=-|>2,所以a>2;

由6a+8。=10。且a>2,所以6。+8a>36+64=100,所以b>2,

令f(x)=6x+8X-10x,%>2,

令t=x—2>0,貝=t+2,

則/■(x)=6X+8X-10x,x>2等價(jià)于g(t)=36x6C+64X8t-100X10f,t>0;

又g(t)=36X6f+64X8t-100x10￡<100X8t-100X10￡<0,

所以當(dāng)x>2時(shí)，/(%)=6x+8x-10x<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>6>2.

故選：C

題型6導(dǎo)數(shù)法

【例題6】(2022秋?河北保定?高三校考階段練習(xí))已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)

函數(shù)為廣(久)，且不等式廣。)>小。)恒成立，則下列比較大小錯(cuò)誤的是()

A.e/(l)</(2)B./(o)>e/(-i)C.e/(-2)>/(-1)D.e2/(-l)</(l)

【答案】C

【分析】由已知條件可得弋/限>0,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=%,求導(dǎo)后可得g'(x)>0,從

而可得g(x)在R上單調(diào)遞增，然后分析判斷

【詳解】由已知r(x)>f(x),可得f'((f(x)>o,

設(shè)g(%)=管，貝0⑴:弋平2,

,y(x)>0,因此g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以g⑴<g(2),g(-1)<g(0),9(-2)<g(-1),g(-1)<g⑴,

日產(chǎn))<f(2)"T)々f(O)f(-2)f(-l)f(-l)fm

即ee21e-1e°,e-e-1"e"1e'

所以e/(l)</(2),e/(-1)</(0),e/(-2)</(-l),e2/(-1)</(l),

所以ABD正確，C錯(cuò)誤，

故選：C.

【變式6-1】1.(2022?安徽?六安二中高三階段練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足xe

。+8)時(shí)，都有不等式f(x)—xf(X)>0成立，若2=log32f(log23),b=c=In

則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<be.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根據(jù)f(x)—xf(x)>0構(gòu)造函數(shù)g(x)=竽，可得函數(shù)為減函數(shù)，又由f(x)為奇函數(shù)

可知g(x)為偶函數(shù)，據(jù)此可比較a,b,c大小.

【詳解】???當(dāng)xe(0,+8)時(shí)不等式f(x)-xf(x)>0成立，(竽)=f-利的<o,

??.g(x)=竽在。+8)上是減函數(shù).貝帖=log32f(log23)=^^=g(log23),b=V2f

(孝)=譬=9(多，c=ln^f(ln^)-^-g(-1),又?.?函數(shù)y=f(x)是定義在R上的

奇函數(shù)，

g(x)=號(hào)是定義在R上的偶函數(shù)，則g(-》=g(1),

???log23>1>^>|,"g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

???g(log23)<g(祟<g(1),貝?。輆<b<c,

故選：A.

【變式6-1】2.(2022?山東聊城一中高二期中)定義在(0,導(dǎo)上的函數(shù)f(x),f(x)是f(x)的

導(dǎo)函數(shù),且f(x)<-tanx-f(x)成立,a=2*),b=V2f(j),c=竽f@,則a,b,c的大

小關(guān)系為()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【分析】由條件可得cosx?f(x)+sinx-f(x)<0,考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)=墨，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)

算公式和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)g(x)在(0,9上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.

【詳解】因?yàn)閤e(0,5)時(shí)，cosx>。，

所以f(x)<-tanx-f(x)可化為f(x)+黑-f(x)<0,即cosx-f'(x)+sinx-f(x)<0,設(shè)

g(x)=黑,則g'(x)=(照)'黑著)sinx,所以當(dāng)xe(o④時(shí)，g,(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在(o,9上的單調(diào)遞減，因?yàn)槿?lt;H，所以g(9>gG)>g《)

所以駕>駕>駕，即竽陪)>V2f(f)>2鳴)，

643

所以c>b>a,

故選：B.

【變式6-1]3.(2022?四川南充一模)設(shè)定義R在上的函數(shù)y=f(x),滿(mǎn)足任意xeR,都

有f(x+4)=f(x),且xe(0,4]時(shí)，xf(x)>f(x),則f(2021),若2丹邊的大小關(guān)系

是()

A.f(2021)<?<?B.?<f(2021)<?

C.產(chǎn)<中<f(2021)D.審<出2021)<中

【答案】A

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的周期性確定正確答案.

【詳解】依題意，任意xeR,都有f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以f(2021)=f(l),中=苧，空=嚶

構(gòu)造函數(shù)F(x)=竽(0<xW4),F'(x)=xf(x；J(x)〉o,

所以F(x)在區(qū)間(0,4]上單調(diào)遞增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即早〈苧〈等，也即出2021)<卓<七.

故選：A

【變式6-1】4.(2021?陜西漢中模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為

f(x),當(dāng)x>0時(shí)，xf(x]”x)>0,若a=I12,b=喑,c=嚕，貝帕,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根據(jù)題意當(dāng)x>0時(shí)，廷能3>o,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可構(gòu)造函數(shù)g(x)=竽,

由此判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷a,b,c的大小.

【詳解】設(shè)g(x)=^,則g'(x)=^W產(chǎn)，由題意知當(dāng)x>0時(shí)，xff(x)>o,即g'(x

)>0,

故g(x)=,x>0時(shí)單調(diào)遞增，故g(2)<g(n)<g(5),即苧<耳<等,；.a<b<

故選：D.

1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知f(x)=2022X-2022-，-In

(Vx2+1-x),當(dāng)。<久<5，a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,試比較f(a),f(b),/'(c)的

大小關(guān)系()

A.f(a)</(c)<f(b)B.f(b)</(c)<f@

C/(c)</(a)</(/?)D./(b)</(a)</(c)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)的單調(diào)性及利用久6(0,1)時(shí)，In*<x<e，判斷a,6,c的大小即可得解.

xx

【詳解】???/(%)=2022-2022T_in(V^TT-%)=2022-2022T+也(7^77+x),

???/O)在R上是增函數(shù)，

由％6(0,1)時(shí)，Inx<x<ex^Q,b<a<c,

???/(》)V/(a)V/?,

故選：D

2.(2023?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)。=康，b=%n-，c-lng,則a,

b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(X)=ln(x+1)-1sinx,求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，得到c>b,再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=乎—ln(x+1),求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間得到a>c,得到答案.

Q-11O

【詳解】設(shè)/(%)=ln(x+1)—^sinx,0<%<-,則尸(%)=有一了0$%,

13

<%<<

3-4-JCOS%<1,故f'(x)>0,/(x)在(01)上單調(diào)遞增,

故/(X)>f(0)=0,當(dāng)0<x<w時(shí)，ln(x+1)>/inx恒成立，

令“磊僅，J則唱>沁高，即c>b；

設(shè)。0)=曰_也(久+1),0<x<^,則9'(乃=磊_a=或緇，

又x—6Vx+1=(V%)2—6Vx+1=(Vx—3尸—8,

故乂一6爪+1在&e京)上單調(diào)遞減，x-6Vx+l>^-^=+l>0,

故“(x)>0,則函數(shù)g(x)在(0,親)上單調(diào)遞增，即g(x)>g(0)=0,

故當(dāng)。<x<親時(shí)，乎>ln(x+1)恒成立，

令“磊(*),則短=/>喘即”，

綜上所述：b<c<a.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)

鍵.

3.(2023?四川成都?樹(shù)德中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知久久)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),

且/'⑶+g(x)=e，+cos%,a=2ln(sin*+cos'，b=log;3,c=logsj,則g(a)、g

(b)、g(c)大小關(guān)系為()

A.g(c)<g(a)<g(b)B.g(a)<g(6)<g(c)

C.g(a)<g(c)<g(6)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求出函數(shù)f(x)、g(x)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)在

(0,+8)上的單調(diào)性，并比較a、網(wǎng)、|c|的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性可

得出g(a)、g(b)、g(c)的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?'(>)、9(比)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且〃>)+g(x)=e"+COSK,

則f(-%)+g(-%)=e-x+cos(-x),

./(%)=一

x

所以,/(x)+g(x)=e+cos%，所以,x_|_—X4

—/(%)+g(%)=e~x+cos%g(x)=------1-cosx

當(dāng)x>。時(shí)，g'[x}=邑￡---sinx,令h(x)=----sinx,其中x>0,

xx

則%’(x)=---cosx>Ve-e-—cosx=1—cosx>0,函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

則八(久)>h(0)=0,因此函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

因?yàn)閟i吧+cos"=&sin悟+?=后靖=乎,

所以，a=21n苧=ln|=lnj3<ln7^=g,\b\=logi3

=log43>log42=I，

|c|=|logs1|=log32>log3V3=|,

曳_史=(In3)2-ln2-ln4>(叫2_(*呻=(ln3)z_(ln倔4)0

因?yàn)榫W(wǎng)一|c|

ln4ln3In3-ln4ln3.ln4In3-ln4

所以，網(wǎng)>|c|>a>0,所以，g(a)<g(|c|)<g(網(wǎng)),

因?yàn)楹瘮?shù)9(x)為R上的偶函數(shù)，故9(a)<9(c)<g(b).

故選：c.

4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))記a=2*3蘢，h=202V2023,c=202V2023,貝U

a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

1

【分析】由函數(shù)f(%)=騎病在R上單調(diào)遞增，可判斷a<b,再對(duì)％c兩邊取對(duì)數(shù)，由函數(shù)

g(x)=署在解,+8)單調(diào)遞減，可得c<a,從而得解.

1

【詳解】設(shè)/(X)=X痂，則/(X)在R上單調(diào)遞增，

故f(2022)</(2023),即a<0；

由于Ina=^^ln2022,lnc=^jln2023,

2

設(shè)。0)=磊x>e,

貝叼⑴=1^=—<^<°，(…2)，

則g(x)在(e2,+8)單調(diào)遞減，故9(2023)<5(2022),

即Inc<Ina,貝[]c<a;

綜上得，b>a>c,D正確.

故選：D

5.(2024秋?廣東廣州?高三華南師大附中校考開(kāi)學(xué)考試)a=^+lnl0,b=61nll-51n

9—l,c=裝+等，貝hc的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】令久久)=(%+l)In久一x,則。=r(10)=((等)，b=穌歲，c=r(”B),

然后利用導(dǎo)數(shù)證明對(duì)任意％1抵6(2,+8)(%1<%2)，都有廣(夸)>怨詈>

小火皿2,即可得結(jié)論.

r_LlI

【詳解】令/(%)=(x+l)lnx-x,則/(%)=InK+=-1=Inx+

所以。=1(1。)=廣(誓)，4筆空，=%嗎

下面證對(duì)任意打,比2G(2,+8)(打〈無(wú)2),者隋廣(2產(chǎn))>%普)>r(W

令g(無(wú))=/(x)—彗詈久(x>2),則只需比較g，留立),0,3鏟g的大小,

E二/、