初中八年級數(shù)學(xué)下冊 第17章 勾股定理 單元測試卷（含解析）

第17章勾股定理測試卷

一、選擇題（本大題共14個小題，每題2分，共28分，在每個小題的四個選項中只有一項是符合題目要求

的）

1.（2021?福建三明市.八年級期末）以下列各組數(shù)為長度的線段，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.1,1,亞D.6,8,10

【答案】A

【詳解】解：-.-22+32=4+9=13^42,

,以2,3,4為邊的三角形不是直角三角形，故A符合題意，

32+42=9+16=25=5?,

,以3,4,5為邊的三角形是直角三角形，故3不符合題意，

12+12=2=（72

二以1,1,0為邊的三角形是直角三角形，故C不符合題意，

62+82=36+64=100=102,

二以6,8,10為邊的三角形是直角三角形，故。不符合題意，

故選：A

2.（2020?甘肅張掖市?張掖四中八年級期末）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225,289,則字母4所代

表的正方形的面積為（）

【答案】D

【詳解】如圖，設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c,由題意得

a2+b2—c2>

/+225=289，

字母4所代表的正方形的面積后=64，

3.(2021?全國八年級)如圖，ZC=ZD=90°,ZCAB^ZDBA,若AC=3,AD=4,則48是(

)

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

ZD=ZC=90°

【詳解】在ADAB和ACBA中</DBA=ACAB,

AB=BA

：.ADAB^ACBA,

/.AC=BD，

VAC=3,AD=4,

BD=3,

二AB=yjAD-+BD2=>/42+32=5-

故選：C.

4.（2020.重慶沙坪壩區(qū)?八年級期末）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，它的出現(xiàn)標志著中國

古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》；“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，

問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，一A3C中，NACB=90°,AC+A5=10尺，BC=4

尺，求AC的長.則AC的長為（）

CB

A.4.2尺B.4.3尺C.4.4尺D.4.5尺

【答案】A

【詳解】設(shè)AC=x尺，則AB=(10-x)尺，

ABC中，NACB=90。，AC2+BC2^AB2,

/.X2+42=(10-X)2,

解得：x=4.2,

故選：A.

5.（2020?山西八年級期末）一個長方體盒子長24cm,寬10cm,在這個盒子中水平放置一根木棒，那么這

根木棒最長（不計木棒粗細）可以是（）

A.10cmB.24cmC.26cmD.28cm

【答案】C

【詳解】解：長方體的底面是長方形,水平放置木棒，當(dāng)木棒為該正方形的對角線時木棒最長,

根據(jù)勾股定理得：^242+102=26^

則最長木棒長為26cm,

故選：C.

6.（2020?吉林長春市?八年級期末）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古代《周髀算經(jīng)》中早有

記載.如圖①，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖②的方式放

置在最大正方形內(nèi).若圖中陰影部分圖形的面積為3,則較小兩個正方形重疊部分圖形的面積為（)

圖②

B.3C.5D.6

【答案】B

【詳解】設(shè)以直角三角形三邊為邊長的正方形面積分別為S1,S2,S3,大小正方形重疊部分的面積為S,

則由勾股定理可得：S1+S2=S3,

在圖②中，SI+S2+3-S=S3,

???S=3,

7.（2021?全國九年級）如圖所示，有一根高為2.1m的木柱，它的底面周長為40cm,在準備元旦聯(lián)歡晚會

時，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從底柱向柱頂均勻地纏繞7圈，一直纏到起點的正上

方為止，小明需要準備的這根彩帶的長至少為（）.

A.707457cmB.350cmC.28073cmD.300cm

【答案】B

【詳解】解：將圓柱沿母線剪開并展開，則這根彩帶的長最少應(yīng)為7個圓柱側(cè)面展開圖并排后的長方形的

對角線，如圖所示，AC即為所求，其中AB=40x7=280cm,BC=2.1m=210cm

根據(jù)勾股定理可得AC=7AB2+BC2=350cm

故選B.

8.（2021?沙坪壩區(qū)?重慶一中八年級期末）我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖所示，它是由四個全等的

直角三角形圍成的.若AC=2,BC=3,將四個直角三角形中邊長為3的直角邊分別向外延長一倍，得到一

個如圖所示“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）

A.45/13B.8^/10C.4^/13+12D.8M+12

【答案】D

【詳解】解：如圖，將CB延長至點D,使=

AC=2,CD=2BC=6,

--AD=7AC2+CD2=J4+36=2師,

AD+BD=2A/10+3，

一共有4個這樣的長度，

這個風(fēng)車的外圍周長是：4x（2710+3）=8A/W+12.

故選：D.

9.（2020?山東青島市.八年級期中）若實數(shù)m、n滿足|m-3|+J—Z=0,且m、n恰好是Rt,ABC的兩條

邊長，則ABC的周長是（）

A.5B.5或幣C.12D.12或7+近

【答案】D

【詳解】

*.,|m-3|+，〃-4=0,

/.|m-3|=0,yJn-4=0,

Am-3=0,n-4=0,

解得，m=3,n=4,

當(dāng)4是直角邊時，斜邊長=53?+42=5,

貝I]AABC的周長=3+4+5=12,

當(dāng)4是斜邊時，另一條直角邊=I片一呼=布,

則AABC的周長=3+4+J7=7+不，

故選：D.

10.（2021?全國八年級）如圖，在燈塔。的東北方向8海里處有一輪船A,在燈塔的東南方向6海里處有一

漁船8,則AB間的距離為（）

北

A.9海里B.10海里C.11海里D.12海里

【答案】B

【詳解】解：己知東北方向和東南方向剛好是一直角，.,?/4。8=90。，

又,/OA=8海里，OB=6海里,：.AB=+OB12=幅+G=10（海里）?

故選：B.

11.（2020?沈陽市雨田實驗中學(xué)八年級期末）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點

A，B,C都在格點上，若5。是△ABC的邊AC上的高，則3。的長為（）

A.—426B.—J26C.—J13D.—J13

1313713

【答案】D

【詳解】解：由勾股定理得：AC=.+32;任,

1117

?SAABC_3x3xlx2xlx3-----x2x3——,

2222

1「7

???一AC?BD=一,

22

?**J13?BD=7，

.,.BD=—V13.

13

故選：D.

12.(2020.福建福州市?八年級期末)在平面直角坐標系中，點P(-1,3)到原點的距離是()

A.V10B.4C.2&D.2

【答案】A

【詳解】：P(—1,3),原點坐標為(0,0),

yfio

故選A.

13.(2021?重慶沙坪壩區(qū)?九年級期末)如圖，在qA3c中，點。是上一點,連結(jié)AO,將八4。0沿AZ)

翻折，得到.A石D，AE交BD于點、F.若BD=2DC,AB=AD，AF==2EF,CD=2,ADEE的

面積為1,則點。到AE的距離為()

A

E

A.1B.-C.@D.J2

52“

【答案】B

【詳解】解：過A作AGLBC于點G

;工

E

???SSFE=1，AF=2EF

^AADF=2

??SAADE=5AAe0=3

S^^-CDAG

/.AG=3

VAB=AD,AG±BC

：.BD=2GB

由5。=2co得，GD=CD=2

GC=GD+DC=2+2=4

在MAAGC中，AC=VAG2+GC2=5

：.AE=AC=5

.."=2.屋

AE55

故選：B.

14.（2021?山東東營市.七年級期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以A為圓心，任意長為半徑畫

弧，分別交AB、AC于點M、N,再分別以M、N為圓心，大于工MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,

2

連結(jié)AP并延長交BC于點D,下列結(jié)論：①AD是44c的平分線；②NADB=120。；③DB=2CD；④若

CD=4,A5=8jL貝必DAB的面積為20.其中正確的結(jié)論共有（）

A

【詳解】

如圖，連接PN、PM.

由題意可知AM=AN,PM=PN,AP=AP,ZBAC=90°-30°=60°.

：.eAPM=_APN,

：.ACAD=ABAD=-ZBAC=30°,即AD是NB4c的平分線，故①正確;

2

ZADB=ZC+ZCAD,

：.ZADB^90°+30°=120°,故②正確；

在HfAAC。中，ZC4D=30°,

；.AD=2CD,

又???44Z)=NB=30°,

；.AD=BD,

.*.BD=2CD.故③正確;

在HjABC中，ZB=30°，

BC^—AB=12,

2

BD=BC—CD=12—4=8,

又在H/AAC。中，ZCAD=30°,

；?AC=6CD=46，

??相二皿心38><4416技故④錯誤.

二、填空題(本題共4個小題；每個小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上)

15.(2021?四川成都市.八年級期末)如圖，已知Q4=Ofi,若點A對應(yīng)的數(shù)是。，貝I。與的大小關(guān)系是

2

【詳解】解：由圖可知，OB=V12+22=45>

：.OA=OB=5則點A表示的數(shù)為一百,

???(V5)2<(1)2,

/.\/5<—,

2

-V?>--

2

故答案為：>.

16.（2021.山東濟南市.八年級期末）如圖，^ABC中AD_LBC于D,AC=2,DC=1,BD=3,則AB的

長為

A

【答案】2G

【詳解】

VADXBC于D,

AACD,AABD為直角三角形，

.".AC2=AD2+DC2,

AD=7AC2-C￡>2=A/22-12=6，

???△ABD為直角三角形，

.,.AB2=AD2+BD2,

二AB=7BD2+AD2=心+（我2=2G,

故答案為：2也.

17.（2021.四川達州市.八年級期末）如圖所示的長方體的長、寬、高分別為3厘米、2厘米、4厘米.若一只

螞蟻從A點出發(fā)沿著長方體的表面爬行到棱的中點M處.則螞蟻需爬行的最短路程是

3

【答案】4庭

【詳解】解：長方體部分展開如圖所示，連接AM,則線段AM的長就是螞蟻需爬行的最短路程,

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，AN=4cm,MN=4cm,

BM=y/AN2+MN2="+42=4V2，

故答案為：472.

RM

18.（2021.江蘇無錫市.九年級期末）如圖，在R3ABC中，ZC=90°,ZA=30°,點P在AC上，以點P為中

心，將AABC順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ADEF,DE交邊AC于G,當(dāng)P為DF中點時,AG：DG的值為

【答案】避二1

2

【詳解】設(shè)PG=x,

點P在AC上，以點P為中心，將AABC順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADEF,

AZD=ZA=30°,PD=PA,ZAPD=90°,

；.DG=2PG=2x,

在RtADFG中，

由勾股定理PG=VDG2-PG2=J4f—9=瓜，

GA=AP-PG=DP-PG=氐-x=(V3-l)x,

AG：DG=(73-1)X：2X=^^.

I

故答案為:6-

2

三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）

19.（2021?陜西寶雞市.八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，ACJLDC,一ADC的面積為30cm2,

DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求—ABC的面積.

【答案】6cm2

2

【詳解】解：S^ACD=30cm,DC=12cm,

S=1CDXAC=-X12XAC=30,

22

AC=5cm,

又?.AB2+BC-=32+42=52=AC2，

.,.二ABC是直角三角形，B3是直角，

ABxBC=gx3x4=6（cm2）.

20.（2021?山西長治市.八年級期末）“平地秋千為起，踏板一尺高地，送行二步與人齊，五尺人高曾記，仕女

佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，二公高士好爭，算出索長有幾？（注：二步=10尺）”這是商人出身的明代珠算大師

程大位在他的部17卷的數(shù)學(xué)巨著《直指算法統(tǒng)宗》中用詞的形式給出的一道題.這詞生動地描繪了少女蕩

秋千的歡快場景，也是一道在當(dāng)時頗有分量的數(shù)學(xué)題，你能解答這道題目嗎？大意是“當(dāng)秋千靜止時，它的

踏板離地的距離為1尺，將秋千的踏板往前推2步（這里的每1步合5尺），它的踏板與人一樣高，這個人的

身高為5尺，秋千的繩索始終是有這狀態(tài)的，現(xiàn)在問：這個秋千的繩索有多長？”

【答案】14.5尺

【詳解】

解:設(shè)秋千的繩索長為X尺即AC=x,根據(jù)題意BC=10,AB=x+l-5

...在RtAABC中，可列方程為：

x2=102+（x+l-5）2,解得：x=14.5

二繩索的長為14.5尺.

21.（2021.陜西寶雞市.八年級期末）問題背景：

在，A3c中，AB，BC、AC三邊的長分別為君、&6、岳,求這個三角形的面積.

小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點ABC

（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示.這樣不需求，A3C的高，而借用網(wǎng)格就能計算

出它的面積.

⑴請你求出,A3C的面積；

思維拓展：

⑵我們把上述求—ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若.ABC三邊的長分別為&a、2母a、歷a（a>0）,

請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為。）畫出相應(yīng)的二ABC,并求出它的面積.

2

【答案】（DS^MC=3.5；（2）作圖見解析；S^ABC=3a.

【詳解】

解：（I）S^ABC=3x3—xlx2+_x3xl+~x3x2^=3.5

（2）AB=45a=Vl2+22a：BC=2缶=；AC=717a=Vl2+42a-

所做.A3c如圖所示

圖①圖②

S^ABC=2tzx4（7-^—X<2X2<7+—x2tzx2tz+—xtzx4。J=3tz2.

22.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級期末）某校機器人興趣小組在如圖所示的三角形場地上開展訓(xùn)練.已知：ABC

中，ZC=9O°,AB=5,BC=3；機器人從點C出發(fā)，沿著一A8C邊按Cf3fAfC的方向勻速移

動到點C停止；機器人移動速度為每秒1個單位，移動至拐角處調(diào)整方向需要0.5秒（即在AA處拐彎時分別

用時0.5秒）.設(shè)機器人所用時間為/秒時，其所在位置用點尸表示（機器人大小不計）.

（1）點C到邊AB的距離是；

（2）是否存在這樣的時刻，使一為等腰三角形？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）2.4；（2）存在，t=6.5或7.1或6或10.

【詳解】

解：（1）設(shè)點C到AB的距離為h,

???ZC=90°,AB=5,BC=3,

.??AC=j52-32=%

：.-ABh=-ACBC,

22

3x4

h==2.4,

"I"

.?.點C到AB的距離為2.4,

故應(yīng)填2.4；

（2）存在t,使APBC為等腰三角形.

尸在AB上時，

①5。=5。/=（3+3）+1+0.5=6.5；

②C3=CPj=[gx2+3]+l+0.5=7.1

③PB=CP/=（3+2.5）+l+Q5=6；

當(dāng)尸在AC上，CB=CP,Z=（34-4+5-3）-1+0.5x2=10.

綜上所述，1的值為6.5或7.1或6或10秒.

23.（2021?福建泉州市?八年級期末）而AABC中，^ACB=90°,AC=3,AB=5.

圖1圖2

(1)如圖1,點E在邊8C上，且/AEC=2NB.

①在圖1中用尺規(guī)作圖作出點E,并連結(jié)AE(保留作圖痕跡，不寫作法與證明過程)；

②求CE的長.

(2)如圖2,點。為斜邊上的動點，連接C。，當(dāng)△ACD是以AC為底的等腰三角形時，求A。的長.

7

【答案】⑴①見解析；②CE=g;(2)2.5

8

【詳解】

解：⑴①如圖，作N5AE=/B,

②可求得BC=4

ZAEC=ZB+ZBAE,

又：NAEC=2/B,

：.ZBAE=ZB,

：.BE=AE,.

設(shè)CE=x,則BE=AE=4-x,

在中，CE2+AC2=AE2.

圖2

ZA^ZDCA

'：ZA+ZB=90°,ZDCA+ZBCD=90°,

：./B=/BCD,

：.BD=CD,

即AD=BD=2.5.

24.（2021?福建泉州市?八年級期末）如圖，RfAABC中，ZACB=9Q°,8C=AC=3,點。是C8延長線上的一

個動點，線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連結(jié)BE,與AC的延長線交于點

（1）若BO=1,AAOC中AD邊上的高為/?,求〃的值；

（2）求證：M為BE的中點；

⑶當(dāng)。點在C3延長線上運動時，探索C黑M的值是否變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由.

BD

121

【答案】（1）彳；（2）見解析；（3）不變，—

【詳解】

解：（1）VAC=BC=3,BD=1

；.CQ=3+1=4,

在RsACD中，AD=VAC2+CD2=A/32+42=5

??--ADA=-ACCD,

22

,ACCD3x412

h=------------=-------=——

AD55

(2)過E點作EF±AC于F,

'：AD±AE,EFLAF,

：.ZDAE=ZAFE=90°,

,/ZDAC+ZEAF=90°,

ZEAF+ZAEF=9Q°,

：./DAC=/AEF,

在AACD和AERl中，

ZDAC=ZAEF

<ZACD=ZAFE

AD=AE

：.AACD^AEM(A45)

：.EF=AC=3,AF=CD,

'：AC=CB,

：.CB=EF,

在△8CM和AEFM中，

ZBCM=ZEFM=90°

<ZBMC=ZEMF

CB=EF

：./\BCM^/\EFM(AAS),

：.BM=EM,

.?.M為BE的中點

(3)由(2)知ABCM也

CM=FM,

：.CM=—CF

2f

由（2）知：.AF=CDf

?：AC=CBf

XVCF=AF-AC,

CF=CD-CB=BD,

11

?：CM=—CF=—BD,

22

.CM1

.?---二—.

BD2

25.（2021.山東東營市.八年級期末）旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用.特別是在解（證）有關(guān)等腰三角形、

正三角形、正方形等問題時，更是經(jīng)常用到的思維方法，請你用旋轉(zhuǎn)變換等知識，解決下面的問題.如圖1,

△A3C與△OCE均為等腰直角三角形，DC與AB交于點M,CE與AB交于點N.

⑴以點C為中心，將AACM逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并證明4冊+8町=的.

（2）如圖2,在四邊形ABCZ）中，/8AO=45。，ZBCD=90°,AC平分/BCD,若BC=4,CD=3,則對角線AC

的長度為多少？

【答案】（1）見解析；（2）60

【詳解】

解：（1）旋轉(zhuǎn)后的如圖1所示：

如圖1,連接MN,

「△ABC與ADCE為等腰直角三角形，ZACB=90°,ZDCE=45°,

/.ZA=ZCBA=45°,ZACM+ZBCN=45°,

△BCM，是由△ACM旋轉(zhuǎn)得到的,

/.ZBCM'=ZACM,CM=CM',AM=BM',ZCBM'=ZA=45°,

/./MCN=ZMCN=45°,ZNBM'=90°,

CM=CM'

在AMCN與AMCN中，＜ZMCN=AM'CN,

CN=CN

：.AMCNAM'CN(SAS),

.?.MN=M'N,

在RSBM'N中，根據(jù)勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2,

.".MN2=AM2+BN2；

(2)如圖2,將AACD順時針旋轉(zhuǎn)90。到AAC77,連接BD、BD\CC,

平分NBC。，ZBCD=90。

二ZACB^ZACD=45°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，

AC=AC,AE/=AD,CD'=CD

ZCAC'=NDAD'=90°,ZAC'D'=ZACD=45°

/.AC4C是等腰直角三角形，

ZAC'C=ZACC=45°,AC=—CC

2

：.ZAC'D'=ZAC'C=ZACC'=ZACB

點C',D',B,C在同一直線上，

又?/ZBAD=45°,ZDAD'=90°

ZBAD'=ZDAD'-ZBAD=45°

/./BAD=NBAD'，

AD=AD'

在AQ4B和AD'AB中，＜/BAD=ZBAD'

AB=AB

：.A