對(duì)點(diǎn)練75 事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

對(duì)點(diǎn)練75事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.小明上學(xué)可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵.已知小明上學(xué)乘坐公共汽車的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，且乘坐公共汽車與地鐵時(shí)，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明沒(méi)有遲到的概率為()A.0.954 B.0.956C.0.958 D.0.9592.(2024·荊門調(diào)研)在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A，B滿足P(A)＝P(B)＝eq\f(2,3)，則()A.事件A，B一定互斥 B.事件A，B一定不互斥C.事件A，B一定互相獨(dú)立 D.事件A，B一定不互相獨(dú)立3.(2024·昆明調(diào)考)已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝eq\f(1,2)，P(BC)＝eq\f(1,12)，P(C)＝eq\f(1,4)，則P(A|C)的值等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)4.(2024·婁底五校聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)4×100米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒(méi)有失誤的概率是()A.p1p2p3 B.1－p1p2p3C.(1－p1)(1－p2)(1－p3) D.1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)5.根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)可知，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.2.則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為()A.0.8 B.0.625C.0.5 D.0.16.(多選)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù).用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用(x，y)表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.定義：事件A＝“x＋y＝7”，事件B＝“xy為奇數(shù)”，事件C＝“x＞3”，則下列結(jié)論正確的是()A.A與B互斥 B.A與B對(duì)立C.P(B|C)＝eq\f(1,3) D.A與C相互獨(dú)立7.(多選)一個(gè)盒中裝有質(zhì)地、大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球，依次從中抽取兩個(gè)球，規(guī)定：若第一次取到的是白球，則不放回，繼續(xù)抽取下一個(gè)球；若第一次取到的是紅球，則放回后繼續(xù)抽取下一個(gè)球.下列說(shuō)法正確的是()A.第二次取到白球的概率是eq\f(19,49)B.“取到兩個(gè)紅球”和“取到兩個(gè)白球”互為對(duì)立事件C.“第一次取到紅球”和“第二次取到紅球”互為獨(dú)立事件D.已知第二次取到的是紅球，則第一次取到的是白球的概率是eq\f(7,15)8.(2023·長(zhǎng)沙適應(yīng)性考試)已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，如果A與B互斥，令m＝P(AB)，如果A與B相互獨(dú)立，令n＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))，則n－m＝________.9.某醫(yī)生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的條件下，他在周三晚上值班的概率為_(kāi)_______.10.(2024·成都質(zhì)檢)高三某位同學(xué)準(zhǔn)備參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考試.已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A＋的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，假定這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，那么這位同學(xué)恰好得2個(gè)A＋的概率是________.11.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)12.(2022·新高考Ⅰ卷改編)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，eq\f(P（B|A）,P（\o(B,\s\up6(－))|A）)與eq\f(P（B|\o(A,\s\up6(－))）,P（\o(B,\s\up6(－))|\o(A,\s\up6(－))）)的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.(1)證明：R＝eq\f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))|\o(B,\s\up6(－))）,P（A|\o(B,\s\up6(－))）)；(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))的估計(jì)值，并利用(1)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.【B級(jí)能力提升】13.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).()A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1－α)(1－β)2B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率14.(2024·南京、鹽城模擬)人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又忻鲆粋€(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為eq\f(1,2)(先驗(yàn)概率).(1)