等差數(shù)列與等比數(shù)列(6題型+高分技法+限時(shí)提升練)-2025年天津高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)練(解析版)_第1頁(yè)
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熱點(diǎn)08等差數(shù)列與等比數(shù)列

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2022年,第18題,主要考查等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng),求和,也涉及到

2023年,第5,19題,數(shù)列不等式,以中檔題為主,常以選擇題或解答題形

2024年,第19題式出現(xiàn)。

熱點(diǎn)題型解讀

題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)

題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)-----等差數(shù)列與等比數(shù)列題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)

題型3兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)

題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算

(1)若等差數(shù)列{4}的首項(xiàng)是火,公差是2,則其通項(xiàng)公式為可推廣為

an=am+(n-m)d(n,meN**).

〃(.+%)mi”

m?“一2_na\2

⑶若等比數(shù)列{4}的首項(xiàng)為生,公比是夕,則其通項(xiàng)公式為%=《/T;可推廣為4=

(4)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式:當(dāng)q=l時(shí),Sn=nax■當(dāng)“wl時(shí),="°")=芻_2幺.

1-q1-q

1.(2024.天鬲族三展)已向號(hào)*比薪歹力汨市,=3,4美破歹R“詞前〃質(zhì)而務(wù)S”,且加=%,

則57=()

A.60B.54C.42D.36

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出必,然后得出等差數(shù)列的“,最后再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可

求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知4a8=媛=12。6,因?yàn)?片。,所以必=12,4=6,

所以邑==7^=42.

故選:C

2.(2024?天津?yàn)I海新三模)已知數(shù)列{4}為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,S.為數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,4S,=an+i,

則網(wǎng)的值為()

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)

列中的項(xiàng)

【分析】由數(shù)列的遞推式,分別令〃=L"=2,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得首項(xiàng)和公差,再根據(jù)

等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{程}公差為d,4s”=4”同,

,當(dāng)”=1時(shí),4sl=44=o1a2,解得出=4,

/.4+d=4,

當(dāng)〃=2時(shí),4s2=%,〃34(6+%)=4/=>4(巧+4)=4(巧+2d)=>d=2,

q=2,

/.as=2+7x2=16.

故選:D.

3.(2024?天津?一模)己知等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,且邑=45,%=2凡+1("€川),則%=()

A.6B.9C.11D.14

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式,依據(jù)題意列方程組,解方程組解出q和d,從而得出{q}

通項(xiàng)公式,進(jìn)而即可得到生.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的首項(xiàng)為4,公差為d,

由邑=4邑,%.=2an+1(〃WN*),

j4%+6d=8q+4df=1

則有(q+伽-1)"=2卬+2(〃-1)4+1'解得jd=2,

所以等差數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為4=2〃-1,weN*,

故〃5=2x5-l=9.

故選:B.

4.(2024?天津河西,三模)若數(shù)列{%}滿足%=2%-1,則稱{%}為"對(duì)奇數(shù)列已知正項(xiàng)數(shù)列也+1}為

"對(duì)奇數(shù)列",且々=2,則%24=()

A.2x32?3B.22023C.22024D.22025

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【分析】根據(jù)新定義可證得數(shù)列{2}是等比數(shù)列,從而可利用等比數(shù)列通項(xiàng)求解問(wèn)題.

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列也+1}為“對(duì)奇數(shù)列",所以勿"+1=2(2+1)-1,

則包”=?",即數(shù)列也,}是公比為2的等比數(shù)列,又因?yàn)槌?2,

20232024

所以%24=2x2=2,

故選:C.

5.(2024?天津和平?一模)己知等比數(shù)列{4}的各項(xiàng)均為正數(shù),若卬,;的,々成等差數(shù)列,則個(gè)詈=()

A.73+1B.73-1C.4+2百D.4-2有

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,且4>0,由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)列方程計(jì)算可得q,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式計(jì)算可得

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列{0}中的各項(xiàng)都是正數(shù),設(shè)公比為4,得4>0,

又成等差數(shù)列,

1

可得;。3x2=4+%=>2%+2/=Q3=>2%+2axq=a1q,

又qwO,所以/_2g_2=0,解得q=1+6或q=

又q>u,所以4=1+6

則發(fā)出="1+*a=4=百+1,

as+ag〃8(1+4)%

故選:A

題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)

-玄J

已知{4}為等差數(shù)列,d為公差,s“為該數(shù)列的前九項(xiàng)和.

(1)等差數(shù)列{4}中,當(dāng)加+九=夕+q時(shí),am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).

特別地,若m+n=2p,則冊(cè)=2ap(加,%p^N*).

(2)若租+H=〃+q,貝其中加,耳wN*.特別地,若m十幾=2p,貝汁%/乙二說(shuō),其I

中m,n,peN*.

1.(2020.天津和平.一模)設(shè)等比數(shù)歹U{%}中,每項(xiàng)均是正數(shù),%4=81,貝ijloggq+Sg;%+…+Sg;Go=

()

A.20B.-20C.-4D.-5

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

10g+log++lo

[分析]ll???gi?io=log,(?,'?2?%。),再利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得答案.

3333

[詳解]q+l°gj,"2^logj@=log^Cai'a2Go)=logj815=log;(—)20=—20

3333333

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,S,為數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和,&+g>0,5?<0,

則S,的最小值為()

A.S5B.S6C.S1D.Sg

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由的+%>。得仁+%>。,由與<0得4<。,可求出數(shù)列{《}前6項(xiàng)均為負(fù)

值,可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得%=11%=114<0,即/<。;

又%+%=。6+%>0,所以%>。,

因此數(shù)列{%}的公差d>0,且前6項(xiàng)均為負(fù)值,

所以s,的最小值為前6項(xiàng)和,即為臬.

故選:B.

3.(2024?山東青島?一模)若正項(xiàng)等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S”,S?。=1。0,則%?八的最大值為()

A.9B.16C.25D.50

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得%+4=1。,利用基本不等式可求最值.

【詳解】因?yàn)橐亍?"迎'20=100,

所以6+出0=1。,貝U〃10+%1=a\+%0=1。

又因?yàn)椤?0>。,41>。,

所以即)?%氏詈:=岑=25,當(dāng)且僅當(dāng)須=%=5時(shí),等號(hào)成立;

所以4的最大值為25.

故選:C

4.(23-24高二下,天津北辰?階段練習(xí))在公差大于零的等差數(shù)列{%}中,%,療的,孫成等比數(shù)列,若出=5,

貝I]%+ai=.

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】首先由條件得到7婿=%%,再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的方程,即可求解.

【詳解】設(shè)數(shù)列{4}的公差為4,

9

由7。;=得7(/+d)=(%+3d)(〃2+9d),且%=5,

所以7(5+d)2=(5+3d)(5+9d),得21—d—15=0,

得d=3或d=《(舍),

所以/+%=2a5=2(%+3d)=2x(5+9)=28.

故答案為:28

5.(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知等比數(shù)列{%}的各項(xiàng)均為正數(shù),且的6+g%=18,貝U

log3aj+log3a2+---+log3a10=.

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算來(lái)求值.

【詳解】由等比數(shù)列{%}的性質(zhì)可得:a5a6=4%=/為=4%=。臼0,

因?yàn)椤?a6+。4。7=18,所以。54=9,

510

貝ijlogs%+log3d52H----Flog3^0=logs%?〃2?4o=log3(%?4y=log39=log33=10,

故答案為:10.

題型3兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比

00&式

若數(shù)列{4},他/均為等差數(shù)列且其前幾項(xiàng)和分別為s“,(,貝=2

bnT2n-l

/、,、STIa(

1.(24-25高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí))等差數(shù)列{%}與{%}的前〃項(xiàng)和分別為S,、1,且同=五二1,則1■=

()

1097

A.2B.—C.—D.—

111719

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題

【分析】利用等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到%=9%,19=泡,從而得到於.

【詳解】?.?{%}與他,}均為等差數(shù)列,

S9=9a5,T9=9用,

則A9_9_9a5_%

2x9T一萬(wàn)一皈一£

故選:C.

2.(2024,河北衡水?三模)已知數(shù)歹!!{q},也}均為等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和分別為邑,Tn,滿足

皿[%+°8+°9

(2〃+3電=(3〃-1)北,)

%+為

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題

【分析】根據(jù)題意,利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式,準(zhǔn)確計(jì)算,即可求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{q},也}均為等差數(shù)列,可得%+。8+%=36=315%=^幾,

15倒+九)2

且4+%)=4+、,又由幾=,可得a+4()=西45?

2

1S

Q7+%+5153幾34

因此=-------=—X—=2

%+4o2q23

1515

故選:A.

S3〃+1〃2+。8

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{■和色}的前〃項(xiàng)和分別為與力若苗=5n-7'則仇+:+%

()

竺28

A,B調(diào)C.28D.—

927

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算求得正確答案.

【詳解】依題意,{見(jiàn)}和也}是等差數(shù)歹U,

S3n+1

而亍n=5刃_7,故可設(shè)邑=切(3孔+1)=3切+初=初(5九-7)=5如一7物,

其中左/0,所以S5=3左x5?+左x5=8OKS4=3kx42+A:x4=52)t,

方=5左x4?-7左x4=52左,北=5左x32-7%x3=24左,

Cl?I^^82應(yīng)/)2(80左一52左)_56k_28

b1+b2+b64+2%1+2(7;—7;)—2左+2(52左一24左)54k27,

故選:D

4.(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))設(shè)等差數(shù)歹!]{4},{2}的前〃項(xiàng)和分別為S,,T?,若對(duì)任意正整數(shù)〃都有

Sn2〃一3,a.

if-4?-3'則4+4+―+3()

351919

A.-B.—C.—D.——E.均不是

7214140

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算

【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得,

11

a9_a3+a9_ax+an_2⑼S2x11-319

+n

2+&h+bi2b62b$2b6bx+bn力…)…11-341

故選:C.

5.(23-24高三上?天津武清?階段練習(xí))等差數(shù)列{4},{〃}的前〃項(xiàng)和分別是S“與(,且率=鋁,(九?N*),

1〃〃十1

貝.

%

175

【答案】=12訝

66

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式,得到*=變,代入即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,得

又由等差數(shù)列的性質(zhì),得&="^也="九,而5=",(〃eN*),

7

22Tnn+1、

%+4111(。[+1])

所以?二^^一2:%二3xll+l=34_17

叫“七一4十%—11(4+%)一八一11+1-126,

22

17

故答案為:--

6

題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)

I

設(shè)等差數(shù)列{與}的公差為d,S”為其前九項(xiàng)和,則Sa,s2m-sm,s3m-s2m,s.-s3nl,…組成公差為

m~d的等差數(shù)列

1.(2023,四川樂(lè)山?一模)設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和s,,若扁=9,$6=36,則%+g+%=()

A.18B.27C.45D.63

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)名,$6-S3,怎-£成等差數(shù)列,得到方程,求出答案.

【詳解】由題意得S-S3,Sg-S6成等差數(shù)列,

即9,36-9,%+g+的成等差數(shù)列,

艮[J2x(36—9)=9+%+4+%,解得%+為+的=45.

故選:C

2.(2024?四川巴中?模擬預(yù)測(cè))已知S,是等差數(shù)列{4"}的前”項(xiàng)和,若$4=12,$8=40,則幾=()

A.44B.56C.68D.84

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì):Sn,S2n-Sn,邑“一星”成等差數(shù)列可求5人

【詳解】由題意可得反,58-54,$-$8成等差數(shù)列,

所以2(a—S4)=$4+S12—$8,

因?yàn)橐?12,既=40,

則56=12+兀-40,解得幾=84.

故選:D.

3.(24-25高二上?天津南開(kāi)?期末)已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為5“,若S”=2,52?=6,則S’,,=(

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和的性質(zhì),易得5,,邑“一5,,53"-邑",'“-53”組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差

數(shù)列,再運(yùn)用迭代法即可求得$4”.

【詳解】因等差數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S",由S”=2,邑”=6可得S2"-S“=4,

則S“,星,-S”,S3”-星”,見(jiàn)“-邑,組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

則$4'=⑸“-邑")+(邑”-邑“)+(昆,-5,)+5“=8+6+4+2=20.

故選:D.

4.(2023?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為",59=18,邑=3,則其=()

2127

A.9B.—C.12D.——

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得S3,s6-s3,Sg-S6成等差數(shù)列,從而可列方程可求出結(jié)果.

【詳解】由己知昆,S6-S3,S9-S6,即3,$6-3,18-己成等差數(shù)列,

所以2x(S6-3)=3+(18—品),所以&=9,

故選:A.

5.(24-25高二上?天津南開(kāi)?期末)在前〃項(xiàng)和為S”的等差數(shù)列也}中,02=12,邑=21,則$6=.

【答案】27

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知$2,s4-s2,4-邑成等差數(shù)列,

所以邑+§6-54=2⑸一邑),即12+&-21=2(21-12),解得其=27.

故答案為:27

題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)

數(shù)列與,S2m-Sm,S3m-S2m,54,“一53,”「”組成公比為二'(4,-1)的等比數(shù)列

1.(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))在正項(xiàng)等比數(shù)列{叫中,S“為其前”項(xiàng)和,若S3L7&,S10+S30=80,

則S?。的值為()

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列,結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可列式求解.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{%}的公比為4,

則幾,$2。-幾,%-520是首項(xiàng)為S10,公比為,。的等比數(shù)列,

若$=71°,S10+S3O=8O,貝監(jiān)0=10,53。=70,

所以⑸。-10『=IOS3O=10(70-%)>0,即5;0-10520-600=0,

解得凡。=30或星。=一20(舍去).

故選:C.

S5

2.(2024?湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))記S“為公比小于1的等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,邑=2,不?=則$6=

?639I4

()

1

A.6B.3C.1D.-

3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件,利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.

【詳解】依題意,53,56-53,59-56,512-59成等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,設(shè)其公比為。,

貝|=2+2p,S9=2+2夕+2p2,S]2=2+27+2p?+2p,,

SI252+2p+2p-+2p35

由W2-整理得2p=5p+2=0,

14(2+2p)(2+2/?+2p)14

由等比數(shù)列{%}的公比4小于1,得p=q3<l,解得p=;,

所以"=3.

故選:B

3.(23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí))記等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S,,若S8=8,126,貝2=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì),見(jiàn),58—邑,?一風(fēng)成等比數(shù)歹!],可解出J.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{4}為等比數(shù)列,且等比數(shù)列{%}的前項(xiàng)和為S0,

所以工,跖一及,S"-工成等比數(shù)列,則(既一邑)?=S4-(S12-Ss),

即(8-邑)2=5廠(26-8),解得$4=32或邑=2.

設(shè)等比數(shù)列{%}公比為4,則4*1,

含=工=1+不>1,則以消〉。,得邑=2.

54i-q

故選:B

4.(2024,廣西?二模)設(shè)S”是等比數(shù)列{%}的前w項(xiàng)和,若$2=2,生+g=6,則()

713

A.2B.—C.3D.—

44

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)星,S,-邑,黑-S,成等比數(shù)列,得到方程,求出$6=26,得到答案.

【詳解】由題意得S2=2,54-52=6,54=S2+6=8,

因?yàn)?2,邑-$2,$6-S,成等比數(shù)列,故(S4-S2)2=S2(S6-S4),

即62=2。6—8),解得臬=26,

S2613

故至6=至=不

故選:D

5.(23-24高二上?河南開(kāi)封?期末)記S“為等比數(shù)列{見(jiàn)}的前〃項(xiàng)和,若S4=3,58=9,貝!I兀=()

A.21B.18C.15D.12

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到邑4-$4百2-風(fēng)成等比數(shù)列,求出根-根=12,得到答案.

【詳解】因?yàn)镾“為等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和且S,w0,

所以邑。-邑,%一名成等比數(shù)列,即3,6,,^一以成等比數(shù)列,

所以幾一勾=9=12,所以幾=$8+12=9+12=21.

故選:A.

題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)

60后?

(1)當(dāng)?是偶數(shù)時(shí),S偶=5奇?q;當(dāng)"是奇數(shù)時(shí),5奇=q+5偶,q

吁m

⑵S1n=S1n+qSn=S"+q"S1n

二7兀蘢尸£癡麻湎危如喜正藏前正丁而前3璇未萩扇:箕市福藪演拓顯春藪麗而麗善:而Z:二1.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基

本量計(jì)算

【分析】設(shè)出公比,根據(jù)。2+。4+4=2(4+%+。5),求出公比4=2,故弓+4+。5=21,得到%=1.

【詳解】設(shè)公比為4,貝!Jq+。2+。3+。4+。5+。6=63,

其中〃2+〃4+〃6=2(4+。3+。5),又“2+〃4+。6=4(4+%+%),

故q=2,3(q+/+%)=63,

故G+4+。5=21,即q+?!?+4/=4+4q+16q=21,

解得4=1.

故答案為:1

2.(23-24高三上?山東聊城?期末)己知等比數(shù)列{凡}的公比q=;,且4+%+%+L+頰=90,貝|

%+%+/+L+。100=.

【答案】120

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

S

【分析】在等比數(shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為2〃,貝1]7魯=4,結(jié)合所求,化簡(jiǎn)計(jì)算,即可得答案.

【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為2〃,貝U寸=4,

3奇

以q+生+/+L+QQQ—(q+/+%+L+ci^)+(出+〃4+4+L+q()o)

=90+-x90=120.

3

故答案為:120

3.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為341,偶數(shù)項(xiàng)之

和為682,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

【解析】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為鼠項(xiàng),公比為4,由題意可求出4=2,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式可

知弓卜一"1進(jìn)而可求出項(xiàng)數(shù).

」——^^341

【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為〃項(xiàng),公比為4,貝[]%+%+…=341,a2+a4+...+an=6S2,

由a2+/+…+=49+。39+…+凡—1夕=(4+%+…+凡_])夕=3414=682,

解得q=2,因?yàn)?是公比為"2=4的等比數(shù)列,則"1一,

q——z-^-=341

i-q

即(1-2")=341,解得〃=10,

1-4

故答案為:10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

限時(shí)提升練

(建議用時(shí):60分鐘)

一、單選題

1.(2024?山東泰安?三模)已知S.為等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,%=-21,S7=&,則S”的最小值為()

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【分析】設(shè){?!保墓顬閐,根據(jù)題意列出方程組,求得d=2,得至iJa“=2〃-23和SA=〃2-22〃,進(jìn)而求

得答案.

【詳解】設(shè){%}的公差為d,因?yàn)椋?-21,跖=幾,

%=-21

可得、7x615x14,解得d=2,所以%=2〃-23,

7qH----u=1T---------u

、22

一/口nx(n-l)

可得5“=一21〃+———x2=*9-22〃,

2

所以當(dāng)”=11時(shí),S“取得最小值Su=112-22xll=-121.

故選:D.

2.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))設(shè)等差數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和為S“,若出=-4,1=-15,則Sg

A.-7B.-9C.-12D.-14

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算

【分析】首先根據(jù)題意得到]<,再解方程組求解即可.

5a+10J=-15

q+d=-4

【詳解】由。2=—4,1=—15,

5q+10d=—15

-5/、8x7

解得\CL:=,,貝U$8=8x—5+—xl=-12.

\a=I2

故選:c.

3.(2024?河南許昌?模擬預(yù)測(cè))記等比數(shù)列也,}的前〃項(xiàng)和為S“,若54=凡+%+4%嗎1,則%=

A.-64B,-32C.32D.64

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)

【分析】根據(jù)給定條件,求出等比數(shù)列{4}公比4的平方,再結(jié)合項(xiàng)間關(guān)系求出出.

【詳解1由§4=邑+。4+4al,得。4+。3+%+%=。2+4+%+4。],則%=4%,

設(shè)等比數(shù)列{%}公比為4,貝此爐=4%,解得/=4,

所以。9=%46=(4)=64.

故選:D

4.(2024?吉林?三模)正項(xiàng)遞增等比數(shù)列{q},前〃項(xiàng)的和為工,若%+0=30,4%81,貝I"

11

A.3B.-C.4D.一

34

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,44=。2%=81,且出+%=30,

=27

所以或

%=27/=3

因式數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列,所以4幺=9,則好3.

[@二27a2

故選:A

5.(24-25高三上?河南許昌?期中)已知{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列,若6%,%,生成等差數(shù)列,則{%}的公比

為()

11_

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】由題意設(shè)出公比,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程,可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,由數(shù)列{%}為正項(xiàng)數(shù)列,則4>。,

由6a2,%,生為等差數(shù)列,貝IJ2%=6%+%,即2%/=6%q+%/,

3

所以2/=6+心整理得(2鄉(xiāng)+3)何—2)=0,解得4=2或一](舍去).

故選:C.

6.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{%}滿足%+%=22,前8項(xiàng)和醺=100;公比為正數(shù)的等比數(shù)列

也}滿足4-4=12,4=8,設(shè)%=旬,£為數(shù)列的前〃項(xiàng)和,則當(dāng)(<2024時(shí),〃的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組(并項(xiàng))法求和

【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求得數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)

列{cn}的前〃項(xiàng)和Tn,驗(yàn)證得答案.

2q+6d=22

,、f4+4=22

【詳解】設(shè){4}的公差為d,由;得8x7

I—iUU84+-----d=100

12

解得所以%=2+3(〃_1)=3〃_1.

,./\仿4—=128

設(shè)也}的公比為4(4〉0),由j2,得的--二12,

[2=H0q

解得q=-g(舍)或4=2,所以勿=&WT=82-3=2,

因?yàn)閏”=%,所以%=3-2"-1,

??6(1-2")

則北=q+02+C3H----Vcn~~一"=6?2〃一九-6,

因?yàn)閷?duì)任意的“eN*,c,>0,所以數(shù)列{1}單調(diào)遞增,

又因?yàn)閚=6x28—8-6=1522V2024,7;=6x29-9-6=3057>2024,

所以當(dāng)(<2024時(shí),〃=1,2,3,4,5,6,7,8,故〃的最大值是8.

故選:D.

7.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)已知數(shù)列{%}為等比數(shù)列,S“為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和.若3%,%,5%成等

差數(shù)列,貝1」色卜=()

a5+〃6

1211131211

A.B.—C.—D.-----

94436

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)以及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式代入計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)數(shù)列{4“}的公比為4,

由3aga,5%成等差數(shù)列可得3%+54=2%,即3%+5%/=2a應(yīng),,

因?yàn)?*0,所以2爐一5q2-3=0,解得g2=3或(舍).

5

所以九二1-q=1-/°=1=1-3=121.

生+/q(q4+0(1-^)((/4+^5)/(1-/)32X(1-3)9

故選:A

8.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“,S3=6,S“-3=16("24,"N*),Sn=20,

則"的值為()

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì),以及前〃項(xiàng)和公式,即可求解.

【詳解】由S3=6,得%+為+%=6①,

因?yàn)镾“_3=16(〃24,〃CN*),S“=20,

所以-sn_3=4,即a“+a,I+an_2=4②,

①②兩式相加,得4+〃〃+。2+?!?1+。3+。2=1°,即3(4+%)=10,

所以q+a“=g,所以s“=必詈J=g=20,解得“=12.

故選:B.

9.(23-24高三上?山東?期中)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為5“,且-%,%成等差數(shù)

歹!I,若%=1,則邑=()

A.工或15B.15C.3或-15D.-

888

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】由題意設(shè)出公比,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程,可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{凡}的公比為4,由數(shù)列{4}為正項(xiàng)數(shù)列,則4>。,

333

由—"i,1%,“3為等差數(shù)列,則5%=—%+%,即=—1+/,即2/—3q—2=0,

解得q=2或-1(舍去),又%=1,所以$1義(12.)=6

241-2

故選:B

10.(2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè))在等比數(shù)列{%}中,記其前〃項(xiàng)和為S,,已知生=-4+2q,貝I]金的

d4

值為()

A.2B.17C.2或8D.2或17

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得4=1或4=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得為/=-。應(yīng)+2%,

整理得/+4-2=0,

解得g=i或q=-2.

&_8._2

當(dāng)g=i時(shí),

$44%

當(dāng)q=-2時(shí),

所以言的值為2或17.

故選:D.

11.(2024?新疆?模擬預(yù)測(cè))已知等比數(shù)列{外}的前〃項(xiàng)和為若q=1,495=25,則于=()

d12

A.25B.5C.6D.36

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列也}的公比為4,

因?yàn)椤?=1,?“25-25,

所以?。25==25,

所以。13=4d2=5,所以[12=5,

邑“1F1-4"1-25=-24「6

S]2q(l-q'~)1—Ql~1-5—4

i-q

故選:c

二、填空題

12.(2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)已知公比不為1的等比數(shù)列{4}嗎=1且3%,2a2,生成等差,貝1出必=.

【答案】32024

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】由等差中項(xiàng)求得等比數(shù)列公比,再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】??,3q,2a2M3成等差,二42=3%+/,又同}是公比不為1的等比數(shù)列,

22024

4q=3+q,q=3,a2025=3.

故答案為:32024.

13

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