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熱點(diǎn)08等差數(shù)列與等比數(shù)列
明考情-知方向
三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)
2022年,第18題,主要考查等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng),求和,也涉及到
2023年,第5,19題,數(shù)列不等式,以中檔題為主,常以選擇題或解答題形
2024年,第19題式出現(xiàn)。
熱點(diǎn)題型解讀
題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)
題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)-----等差數(shù)列與等比數(shù)列題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)
題型3兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)
題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算
(1)若等差數(shù)列{4}的首項(xiàng)是火,公差是2,則其通項(xiàng)公式為可推廣為
an=am+(n-m)d(n,meN**).
〃(.+%)mi”
m?“一2_na\2
⑶若等比數(shù)列{4}的首項(xiàng)為生,公比是夕,則其通項(xiàng)公式為%=《/T;可推廣為4=
(4)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式:當(dāng)q=l時(shí),Sn=nax■當(dāng)“wl時(shí),="°")=芻_2幺.
1-q1-q
1.(2024.天鬲族三展)已向號(hào)*比薪歹力汨市,=3,4美破歹R“詞前〃質(zhì)而務(wù)S”,且加=%,
則57=()
A.60B.54C.42D.36
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出必,然后得出等差數(shù)列的“,最后再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可
求解.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知4a8=媛=12。6,因?yàn)?片。,所以必=12,4=6,
所以邑==7^=42.
故選:C
2.(2024?天津?yàn)I海新三模)已知數(shù)列{4}為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,S.為數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,4S,=an+i,
則網(wǎng)的值為()
A.4B.8C.12D.16
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)
列中的項(xiàng)
【分析】由數(shù)列的遞推式,分別令〃=L"=2,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得首項(xiàng)和公差,再根據(jù)
等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{程}公差為d,4s”=4”同,
,當(dāng)”=1時(shí),4sl=44=o1a2,解得出=4,
/.4+d=4,
當(dāng)〃=2時(shí),4s2=%,〃34(6+%)=4/=>4(巧+4)=4(巧+2d)=>d=2,
q=2,
/.as=2+7x2=16.
故選:D.
3.(2024?天津?一模)己知等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,且邑=45,%=2凡+1("€川),則%=()
A.6B.9C.11D.14
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式,依據(jù)題意列方程組,解方程組解出q和d,從而得出{q}
通項(xiàng)公式,進(jìn)而即可得到生.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的首項(xiàng)為4,公差為d,
由邑=4邑,%.=2an+1(〃WN*),
j4%+6d=8q+4df=1
則有(q+伽-1)"=2卬+2(〃-1)4+1'解得jd=2,
所以等差數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為4=2〃-1,weN*,
故〃5=2x5-l=9.
故選:B.
4.(2024?天津河西,三模)若數(shù)列{%}滿足%=2%-1,則稱{%}為"對(duì)奇數(shù)列已知正項(xiàng)數(shù)列也+1}為
"對(duì)奇數(shù)列",且々=2,則%24=()
A.2x32?3B.22023C.22024D.22025
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【分析】根據(jù)新定義可證得數(shù)列{2}是等比數(shù)列,從而可利用等比數(shù)列通項(xiàng)求解問(wèn)題.
【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列也+1}為“對(duì)奇數(shù)列",所以勿"+1=2(2+1)-1,
則包”=?",即數(shù)列也,}是公比為2的等比數(shù)列,又因?yàn)槌?2,
20232024
所以%24=2x2=2,
故選:C.
5.(2024?天津和平?一模)己知等比數(shù)列{4}的各項(xiàng)均為正數(shù),若卬,;的,々成等差數(shù)列,則個(gè)詈=()
A.73+1B.73-1C.4+2百D.4-2有
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,且4>0,由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)列方程計(jì)算可得q,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)
公式計(jì)算可得
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列{0}中的各項(xiàng)都是正數(shù),設(shè)公比為4,得4>0,
又成等差數(shù)列,
1
可得;。3x2=4+%=>2%+2/=Q3=>2%+2axq=a1q,
又qwO,所以/_2g_2=0,解得q=1+6或q=
又q>u,所以4=1+6
則發(fā)出="1+*a=4=百+1,
as+ag〃8(1+4)%
故選:A
題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)
-玄J
已知{4}為等差數(shù)列,d為公差,s“為該數(shù)列的前九項(xiàng)和.
(1)等差數(shù)列{4}中,當(dāng)加+九=夕+q時(shí),am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).
特別地,若m+n=2p,則冊(cè)=2ap(加,%p^N*).
(2)若租+H=〃+q,貝其中加,耳wN*.特別地,若m十幾=2p,貝汁%/乙二說(shuō),其I
中m,n,peN*.
1.(2020.天津和平.一模)設(shè)等比數(shù)歹U{%}中,每項(xiàng)均是正數(shù),%4=81,貝ijloggq+Sg;%+…+Sg;Go=
()
A.20B.-20C.-4D.-5
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
10g+log++lo
[分析]ll???gi?io=log,(?,'?2?%。),再利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得答案.
3333
[詳解]q+l°gj,"2^logj@=log^Cai'a2Go)=logj815=log;(—)20=—20
3333333
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.(2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,S,為數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和,&+g>0,5?<0,
則S,的最小值為()
A.S5B.S6C.S1D.Sg
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由的+%>。得仁+%>。,由與<0得4<。,可求出數(shù)列{《}前6項(xiàng)均為負(fù)
值,可得結(jié)論.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得%=11%=114<0,即/<。;
又%+%=。6+%>0,所以%>。,
因此數(shù)列{%}的公差d>0,且前6項(xiàng)均為負(fù)值,
所以s,的最小值為前6項(xiàng)和,即為臬.
故選:B.
3.(2024?山東青島?一模)若正項(xiàng)等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S”,S?。=1。0,則%?八的最大值為()
A.9B.16C.25D.50
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得%+4=1。,利用基本不等式可求最值.
【詳解】因?yàn)橐亍?"迎'20=100,
所以6+出0=1。,貝U〃10+%1=a\+%0=1。
又因?yàn)椤?0>。,41>。,
所以即)?%氏詈:=岑=25,當(dāng)且僅當(dāng)須=%=5時(shí),等號(hào)成立;
所以4的最大值為25.
故選:C
4.(23-24高二下,天津北辰?階段練習(xí))在公差大于零的等差數(shù)列{%}中,%,療的,孫成等比數(shù)列,若出=5,
貝I]%+ai=.
【答案】28
【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】首先由條件得到7婿=%%,再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的方程,即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)列{4}的公差為4,
9
由7。;=得7(/+d)=(%+3d)(〃2+9d),且%=5,
所以7(5+d)2=(5+3d)(5+9d),得21—d—15=0,
得d=3或d=《(舍),
所以/+%=2a5=2(%+3d)=2x(5+9)=28.
故答案為:28
5.(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知等比數(shù)列{%}的各項(xiàng)均為正數(shù),且的6+g%=18,貝U
log3aj+log3a2+---+log3a10=.
【答案】10
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算來(lái)求值.
【詳解】由等比數(shù)列{%}的性質(zhì)可得:a5a6=4%=/為=4%=。臼0,
因?yàn)椤?a6+。4。7=18,所以。54=9,
510
貝ijlogs%+log3d52H----Flog3^0=logs%?〃2?4o=log3(%?4y=log39=log33=10,
故答案為:10.
題型3兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比
00&式
若數(shù)列{4},他/均為等差數(shù)列且其前幾項(xiàng)和分別為s“,(,貝=2
bnT2n-l
/、,、STIa(
1.(24-25高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí))等差數(shù)列{%}與{%}的前〃項(xiàng)和分別為S,、1,且同=五二1,則1■=
()
1097
A.2B.—C.—D.—
111719
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題
【分析】利用等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到%=9%,19=泡,從而得到於.
【詳解】?.?{%}與他,}均為等差數(shù)列,
S9=9a5,T9=9用,
則A9_9_9a5_%
2x9T一萬(wàn)一皈一£
故選:C.
2.(2024,河北衡水?三模)已知數(shù)歹!!{q},也}均為等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和分別為邑,Tn,滿足
皿[%+°8+°9
(2〃+3電=(3〃-1)北,)
%+為
A.2B.3C.5D.6
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題
【分析】根據(jù)題意,利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式,準(zhǔn)確計(jì)算,即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列{q},也}均為等差數(shù)列,可得%+。8+%=36=315%=^幾,
15倒+九)2
且4+%)=4+、,又由幾=,可得a+4()=西45?
2
1S
Q7+%+5153幾34
因此=-------=—X—=2
%+4o2q23
1515
故選:A.
S3〃+1〃2+。8
3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{■和色}的前〃項(xiàng)和分別為與力若苗=5n-7'則仇+:+%
()
竺28
A,B調(diào)C.28D.—
927
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算求得正確答案.
【詳解】依題意,{見(jiàn)}和也}是等差數(shù)歹U,
S3n+1
而亍n=5刃_7,故可設(shè)邑=切(3孔+1)=3切+初=初(5九-7)=5如一7物,
其中左/0,所以S5=3左x5?+左x5=8OKS4=3kx42+A:x4=52)t,
方=5左x4?-7左x4=52左,北=5左x32-7%x3=24左,
Cl?I^^82應(yīng)/)2(80左一52左)_56k_28
b1+b2+b64+2%1+2(7;—7;)—2左+2(52左一24左)54k27,
故選:D
4.(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))設(shè)等差數(shù)歹!]{4},{2}的前〃項(xiàng)和分別為S,,T?,若對(duì)任意正整數(shù)〃都有
期
Sn2〃一3,a.
if-4?-3'則4+4+―+3()
351919
A.-B.—C.—D.——E.均不是
7214140
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得,
11
a9_a3+a9_ax+an_2⑼S2x11-319
+n
2+&h+bi2b62b$2b6bx+bn力…)…11-341
故選:C.
5.(23-24高三上?天津武清?階段練習(xí))等差數(shù)列{4},{〃}的前〃項(xiàng)和分別是S“與(,且率=鋁,(九?N*),
1〃〃十1
貝.
%
175
【答案】=12訝
66
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式,得到*=變,代入即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,得
又由等差數(shù)列的性質(zhì),得&="^也="九,而5=",(〃eN*),
7
22Tnn+1、
%+4111(。[+1])
所以?二^^一2:%二3xll+l=34_17
叫“七一4十%—11(4+%)一八一11+1-126,
22
17
故答案為:--
6
題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)
I
設(shè)等差數(shù)列{與}的公差為d,S”為其前九項(xiàng)和,則Sa,s2m-sm,s3m-s2m,s.-s3nl,…組成公差為
m~d的等差數(shù)列
1.(2023,四川樂(lè)山?一模)設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和s,,若扁=9,$6=36,則%+g+%=()
A.18B.27C.45D.63
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)名,$6-S3,怎-£成等差數(shù)列,得到方程,求出答案.
【詳解】由題意得S-S3,Sg-S6成等差數(shù)列,
即9,36-9,%+g+的成等差數(shù)列,
艮[J2x(36—9)=9+%+4+%,解得%+為+的=45.
故選:C
2.(2024?四川巴中?模擬預(yù)測(cè))已知S,是等差數(shù)列{4"}的前”項(xiàng)和,若$4=12,$8=40,則幾=()
A.44B.56C.68D.84
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì):Sn,S2n-Sn,邑“一星”成等差數(shù)列可求5人
【詳解】由題意可得反,58-54,$-$8成等差數(shù)列,
所以2(a—S4)=$4+S12—$8,
因?yàn)橐?12,既=40,
則56=12+兀-40,解得幾=84.
故選:D.
3.(24-25高二上?天津南開(kāi)?期末)已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為5“,若S”=2,52?=6,則S’,,=(
A.8B.12C.14D.20
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和的性質(zhì),易得5,,邑“一5,,53"-邑",'“-53”組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差
數(shù)列,再運(yùn)用迭代法即可求得$4”.
【詳解】因等差數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S",由S”=2,邑”=6可得S2"-S“=4,
則S“,星,-S”,S3”-星”,見(jiàn)“-邑,組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,
則$4'=⑸“-邑")+(邑”-邑“)+(昆,-5,)+5“=8+6+4+2=20.
故選:D.
4.(2023?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為",59=18,邑=3,則其=()
2127
A.9B.—C.12D.——
22
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得S3,s6-s3,Sg-S6成等差數(shù)列,從而可列方程可求出結(jié)果.
【詳解】由己知昆,S6-S3,S9-S6,即3,$6-3,18-己成等差數(shù)列,
所以2x(S6-3)=3+(18—品),所以&=9,
故選:A.
5.(24-25高二上?天津南開(kāi)?期末)在前〃項(xiàng)和為S”的等差數(shù)列也}中,02=12,邑=21,則$6=.
【答案】27
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知$2,s4-s2,4-邑成等差數(shù)列,
所以邑+§6-54=2⑸一邑),即12+&-21=2(21-12),解得其=27.
故答案為:27
題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)
數(shù)列與,S2m-Sm,S3m-S2m,54,“一53,”「”組成公比為二'(4,-1)的等比數(shù)列
1.(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))在正項(xiàng)等比數(shù)列{叫中,S“為其前”項(xiàng)和,若S3L7&,S10+S30=80,
則S?。的值為()
A.10B.20C.30D.40
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列,結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可列式求解.
【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{%}的公比為4,
則幾,$2。-幾,%-520是首項(xiàng)為S10,公比為,。的等比數(shù)列,
若$=71°,S10+S3O=8O,貝監(jiān)0=10,53。=70,
所以⑸。-10『=IOS3O=10(70-%)>0,即5;0-10520-600=0,
解得凡。=30或星。=一20(舍去).
故選:C.
S5
2.(2024?湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))記S“為公比小于1的等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,邑=2,不?=則$6=
?639I4
()
1
A.6B.3C.1D.-
3
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)給定條件,利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意,53,56-53,59-56,512-59成等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,設(shè)其公比為。,
貝|=2+2p,S9=2+2夕+2p2,S]2=2+27+2p?+2p,,
SI252+2p+2p-+2p35
由W2-整理得2p=5p+2=0,
14(2+2p)(2+2/?+2p)14
由等比數(shù)列{%}的公比4小于1,得p=q3<l,解得p=;,
所以"=3.
故選:B
3.(23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí))記等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S,,若S8=8,126,貝2=()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì),見(jiàn),58—邑,?一風(fēng)成等比數(shù)歹!],可解出J.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列{4}為等比數(shù)列,且等比數(shù)列{%}的前項(xiàng)和為S0,
所以工,跖一及,S"-工成等比數(shù)列,則(既一邑)?=S4-(S12-Ss),
即(8-邑)2=5廠(26-8),解得$4=32或邑=2.
設(shè)等比數(shù)列{%}公比為4,則4*1,
含=工=1+不>1,則以消〉。,得邑=2.
54i-q
故選:B
4.(2024,廣西?二模)設(shè)S”是等比數(shù)列{%}的前w項(xiàng)和,若$2=2,生+g=6,則()
713
A.2B.—C.3D.—
44
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)星,S,-邑,黑-S,成等比數(shù)列,得到方程,求出$6=26,得到答案.
【詳解】由題意得S2=2,54-52=6,54=S2+6=8,
因?yàn)?2,邑-$2,$6-S,成等比數(shù)列,故(S4-S2)2=S2(S6-S4),
即62=2。6—8),解得臬=26,
S2613
故至6=至=不
故選:D
5.(23-24高二上?河南開(kāi)封?期末)記S“為等比數(shù)列{見(jiàn)}的前〃項(xiàng)和,若S4=3,58=9,貝!I兀=()
A.21B.18C.15D.12
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到邑4-$4百2-風(fēng)成等比數(shù)列,求出根-根=12,得到答案.
【詳解】因?yàn)镾“為等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和且S,w0,
所以邑。-邑,%一名成等比數(shù)列,即3,6,,^一以成等比數(shù)列,
所以幾一勾=9=12,所以幾=$8+12=9+12=21.
故選:A.
題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)
60后?
(1)當(dāng)?是偶數(shù)時(shí),S偶=5奇?q;當(dāng)"是奇數(shù)時(shí),5奇=q+5偶,q
吁m
⑵S1n=S1n+qSn=S"+q"S1n
二7兀蘢尸£癡麻湎危如喜正藏前正丁而前3璇未萩扇:箕市福藪演拓顯春藪麗而麗善:而Z:二1.
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基
本量計(jì)算
【分析】設(shè)出公比,根據(jù)。2+。4+4=2(4+%+。5),求出公比4=2,故弓+4+。5=21,得到%=1.
【詳解】設(shè)公比為4,貝!Jq+。2+。3+。4+。5+。6=63,
其中〃2+〃4+〃6=2(4+。3+。5),又“2+〃4+。6=4(4+%+%),
故q=2,3(q+/+%)=63,
故G+4+。5=21,即q+?!?+4/=4+4q+16q=21,
解得4=1.
故答案為:1
2.(23-24高三上?山東聊城?期末)己知等比數(shù)列{凡}的公比q=;,且4+%+%+L+頰=90,貝|
%+%+/+L+。100=.
【答案】120
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
S
【分析】在等比數(shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為2〃,貝1]7魯=4,結(jié)合所求,化簡(jiǎn)計(jì)算,即可得答案.
【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為2〃,貝U寸=4,
3奇
以q+生+/+L+QQQ—(q+/+%+L+ci^)+(出+〃4+4+L+q()o)
=90+-x90=120.
3
故答案為:120
3.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為341,偶數(shù)項(xiàng)之
和為682,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
【答案】10
【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用
【解析】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為鼠項(xiàng),公比為4,由題意可求出4=2,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式可
知弓卜一"1進(jìn)而可求出項(xiàng)數(shù).
」——^^341
【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為〃項(xiàng),公比為4,貝[]%+%+…=341,a2+a4+...+an=6S2,
由a2+/+…+=49+。39+…+凡—1夕=(4+%+…+凡_])夕=3414=682,
解得q=2,因?yàn)?是公比為"2=4的等比數(shù)列,則"1一,
q——z-^-=341
i-q
即(1-2")=341,解得〃=10,
1-4
故答案為:10.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
限時(shí)提升練
(建議用時(shí):60分鐘)
一、單選題
1.(2024?山東泰安?三模)已知S.為等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,%=-21,S7=&,則S”的最小值為()
A.-99B.-100C.-110D.-121
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
【分析】設(shè){?!保墓顬閐,根據(jù)題意列出方程組,求得d=2,得至iJa“=2〃-23和SA=〃2-22〃,進(jìn)而求
得答案.
【詳解】設(shè){%}的公差為d,因?yàn)椋?-21,跖=幾,
%=-21
可得、7x615x14,解得d=2,所以%=2〃-23,
7qH----u=1T---------u
、22
一/口nx(n-l)
可得5“=一21〃+———x2=*9-22〃,
2
所以當(dāng)”=11時(shí),S“取得最小值Su=112-22xll=-121.
故選:D.
2.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))設(shè)等差數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和為S“,若出=-4,1=-15,則Sg
A.-7B.-9C.-12D.-14
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算
【分析】首先根據(jù)題意得到]<,再解方程組求解即可.
5a+10J=-15
q+d=-4
【詳解】由。2=—4,1=—15,
5q+10d=—15
-5/、8x7
解得\CL:=,,貝U$8=8x—5+—xl=-12.
\a=I2
故選:c.
3.(2024?河南許昌?模擬預(yù)測(cè))記等比數(shù)列也,}的前〃項(xiàng)和為S“,若54=凡+%+4%嗎1,則%=
A.-64B,-32C.32D.64
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)
【分析】根據(jù)給定條件,求出等比數(shù)列{4}公比4的平方,再結(jié)合項(xiàng)間關(guān)系求出出.
【詳解1由§4=邑+。4+4al,得。4+。3+%+%=。2+4+%+4。],則%=4%,
設(shè)等比數(shù)列{%}公比為4,貝此爐=4%,解得/=4,
所以。9=%46=(4)=64.
故選:D
4.(2024?吉林?三模)正項(xiàng)遞增等比數(shù)列{q},前〃項(xiàng)的和為工,若%+0=30,4%81,貝I"
11
A.3B.-C.4D.一
34
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,44=。2%=81,且出+%=30,
=27
所以或
%=27/=3
因式數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列,所以4幺=9,則好3.
[@二27a2
故選:A
5.(24-25高三上?河南許昌?期中)已知{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列,若6%,%,生成等差數(shù)列,則{%}的公比
為()
11_
A.-B.-C.2D.3
32
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】由題意設(shè)出公比,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程,可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,由數(shù)列{%}為正項(xiàng)數(shù)列,則4>。,
由6a2,%,生為等差數(shù)列,貝IJ2%=6%+%,即2%/=6%q+%/,
3
所以2/=6+心整理得(2鄉(xiāng)+3)何—2)=0,解得4=2或一](舍去).
故選:C.
6.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{%}滿足%+%=22,前8項(xiàng)和醺=100;公比為正數(shù)的等比數(shù)列
也}滿足4-4=12,4=8,設(shè)%=旬,£為數(shù)列的前〃項(xiàng)和,則當(dāng)(<2024時(shí),〃的最大值是()
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組(并項(xiàng))法求和
【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求得數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)
列{cn}的前〃項(xiàng)和Tn,驗(yàn)證得答案.
2q+6d=22
,、f4+4=22
【詳解】設(shè){4}的公差為d,由;得8x7
I—iUU84+-----d=100
12
解得所以%=2+3(〃_1)=3〃_1.
,./\仿4—=128
設(shè)也}的公比為4(4〉0),由j2,得的--二12,
[2=H0q
解得q=-g(舍)或4=2,所以勿=&WT=82-3=2,
因?yàn)閏”=%,所以%=3-2"-1,
??6(1-2")
則北=q+02+C3H----Vcn~~一"=6?2〃一九-6,
因?yàn)閷?duì)任意的“eN*,c,>0,所以數(shù)列{1}單調(diào)遞增,
又因?yàn)閚=6x28—8-6=1522V2024,7;=6x29-9-6=3057>2024,
所以當(dāng)(<2024時(shí),〃=1,2,3,4,5,6,7,8,故〃的最大值是8.
故選:D.
7.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)已知數(shù)列{%}為等比數(shù)列,S“為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和.若3%,%,5%成等
差數(shù)列,貝1」色卜=()
a5+〃6
1211131211
A.B.—C.—D.-----
94436
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)以及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式代入計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)數(shù)列{4“}的公比為4,
由3aga,5%成等差數(shù)列可得3%+54=2%,即3%+5%/=2a應(yīng),,
因?yàn)?*0,所以2爐一5q2-3=0,解得g2=3或(舍).
5
所以九二1-q=1-/°=1=1-3=121.
生+/q(q4+0(1-^)((/4+^5)/(1-/)32X(1-3)9
故選:A
8.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“,S3=6,S“-3=16("24,"N*),Sn=20,
則"的值為()
A.16B.12C.10D.8
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì),以及前〃項(xiàng)和公式,即可求解.
【詳解】由S3=6,得%+為+%=6①,
因?yàn)镾“_3=16(〃24,〃CN*),S“=20,
所以-sn_3=4,即a“+a,I+an_2=4②,
①②兩式相加,得4+〃〃+。2+?!?1+。3+。2=1°,即3(4+%)=10,
所以q+a“=g,所以s“=必詈J=g=20,解得“=12.
故選:B.
9.(23-24高三上?山東?期中)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為5“,且-%,%成等差數(shù)
歹!I,若%=1,則邑=()
A.工或15B.15C.3或-15D.-
888
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】由題意設(shè)出公比,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程,可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{凡}的公比為4,由數(shù)列{4}為正項(xiàng)數(shù)列,則4>。,
333
由—"i,1%,“3為等差數(shù)列,則5%=—%+%,即=—1+/,即2/—3q—2=0,
解得q=2或-1(舍去),又%=1,所以$1義(12.)=6
241-2
故選:B
10.(2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè))在等比數(shù)列{%}中,記其前〃項(xiàng)和為S,,已知生=-4+2q,貝I]金的
d4
值為()
A.2B.17C.2或8D.2或17
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得4=1或4=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得為/=-。應(yīng)+2%,
整理得/+4-2=0,
解得g=i或q=-2.
&_8._2
當(dāng)g=i時(shí),
$44%
當(dāng)q=-2時(shí),
所以言的值為2或17.
故選:D.
11.(2024?新疆?模擬預(yù)測(cè))已知等比數(shù)列{外}的前〃項(xiàng)和為若q=1,495=25,則于=()
d12
A.25B.5C.6D.36
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和
【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列也}的公比為4,
因?yàn)椤?=1,?“25-25,
所以?。25==25,
所以。13=4d2=5,所以[12=5,
邑“1F1-4"1-25=-24「6
S]2q(l-q'~)1—Ql~1-5—4
i-q
故選:c
二、填空題
12.(2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)已知公比不為1的等比數(shù)列{4}嗎=1且3%,2a2,生成等差,貝1出必=.
【答案】32024
【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】由等差中項(xiàng)求得等比數(shù)列公比,再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】??,3q,2a2M3成等差,二42=3%+/,又同}是公比不為1的等比數(shù)列,
22024
4q=3+q,q=3,a2025=3.
故答案為:32024.
13
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