等差數(shù)列與等比數(shù)列（6題型+高分技法+限時(shí)提升練）-2025年天津高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

熱點(diǎn)08等差數(shù)列與等比數(shù)列

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2022年，第18題，主要考查等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng)，求和，也涉及到

2023年，第5,19題,數(shù)列不等式，以中檔題為主，常以選擇題或解答題形

2024年，第19題式出現(xiàn)。

熱點(diǎn)題型解讀

題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)

題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)-----等差數(shù)列與等比數(shù)列題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)

題型3兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)

題型1等差等比數(shù)列基本量計(jì)算

(1)若等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是火,公差是2,則其通項(xiàng)公式為可推廣為

an=am+(n-m)d(n,meN**).

〃(.+%)mi”

m?“一2_na\2

⑶若等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為生,公比是夕，則其通項(xiàng)公式為%=《/T；可推廣為4=

(4)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nax■當(dāng)“wl時(shí)，="°")=芻_2幺.

1-q1-q

1.(2024.天鬲族三展)已向號(hào)*比薪歹力汨市,=3,4美破歹R“詞前〃質(zhì)而務(wù)S”,且加=%，

則57=（）

A.60B.54C.42D.36

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出必，然后得出等差數(shù)列的“，最后再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可

求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知4a8=媛=12。6，因?yàn)?片。，所以必=12,4=6,

所以邑==7^=42.

故選：C

2.（2024?天津?yàn)I海新三模）已知數(shù)列｛4｝為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,S.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，4S,=an+i,

則網(wǎng)的值為（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)

列中的項(xiàng)

【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令〃=L"=2,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)

等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛程｝公差為d,4s”=4”同，

，當(dāng)”=1時(shí)，4sl=44=o1a2，解得出=4,

/.4+d=4,

當(dāng)〃=2時(shí)，4s2=%,〃34（6+%）=4/=>4（巧+4）=4（巧+2d）=>d=2,

q=2,

/.as=2+7x2=16.

故選：D.

3.（2024?天津?一模）己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且邑=45,%=2凡+1（"€川），則%=（）

A.6B.9C.11D.14

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前“項(xiàng)和公式，依據(jù)題意列方程組，解方程組解出q和d,從而得出｛q｝

通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可得到生.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

由邑=4邑,％.=2an+1（〃WN*）,

j4%+6d=8q+4df=1

則有（q+伽-1）"=2卬+2（〃-1）4+1'解得jd=2，

所以等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1,weN*,

故〃5=2x5-l=9.

故選：B.

4.（2024?天津河西,三模）若數(shù)列｛%｝滿足%=2%-1,則稱｛%｝為"對(duì)奇數(shù)列已知正項(xiàng)數(shù)列也+1｝為

"對(duì)奇數(shù)列"，且々=2,則%24=（）

A.2x32?3B.22023C.22024D.22025

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【分析】根據(jù)新定義可證得數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，從而可利用等比數(shù)列通項(xiàng)求解問題.

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列也+1｝為“對(duì)奇數(shù)列"，所以勿"+1=2（2+1）-1,

則包”=?"，即數(shù)列也,｝是公比為2的等比數(shù)列，又因?yàn)槌?2,

20232024

所以%24=2x2=2，

故選：C.

5.（2024?天津和平?一模）己知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若卬,；的，々成等差數(shù)列，則個(gè)詈=（）

A.73+1B.73-1C.4+2百D.4-2有

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,且4>0,由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)列方程計(jì)算可得q,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式計(jì)算可得

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛0｝中的各項(xiàng)都是正數(shù)，設(shè)公比為4,得4>0,

又成等差數(shù)列，

1

可得;。3x2=4+%=>2%+2/=Q3=>2%+2axq=a1q,

又qwO,所以/_2g_2=0,解得q=1+6或q=

又q>u,所以4=1+6

則發(fā)出="1+*a=4=百+1,

as+ag〃8（1+4）%

故選：A

題型2等差(等比)數(shù)列下角標(biāo)和性質(zhì)

-玄J

已知｛4｝為等差數(shù)列，d為公差，s“為該數(shù)列的前九項(xiàng)和.

(1)等差數(shù)列｛4｝中，當(dāng)加+九=夕+q時(shí)，am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).

特別地，若m+n=2p,則冊(cè)=2ap(加，%p^N*).

(2)若租+H=〃+q,貝其中加，耳wN*.特別地，若m十幾=2p,貝汁%/乙二說，其I

中m,n,peN*.

1.(2020.天津和平.一模)設(shè)等比數(shù)歹U｛%｝中，每項(xiàng)均是正數(shù)，%4=81,貝ijloggq+Sg;%+…+Sg;Go=

()

A.20B.-20C.-4D.-5

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

10g+log++lo

［分析］ll???gi?io=log,(?,'?2?%。),再利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡即可得答案.

3333

［詳解］q+l°gj,"2^logj@=log^Cai'a2Go)=logj815=log；(—)20=—20

3333333

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，S,為數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，&+g＞0,5?＜0,

則S,的最小值為()

A.S5B.S6C.S1D.Sg

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由的+%＞。得仁+%＞。，由與＜0得4＜。，可求出數(shù)列｛《｝前6項(xiàng)均為負(fù)

值，可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得%=11%=114＜0，即/＜。；

又%+%=。6+%＞0，所以%＞。，

因此數(shù)列｛%｝的公差d＞0,且前6項(xiàng)均為負(fù)值，

所以s,的最小值為前6項(xiàng)和，即為臬.

故選：B.

3.（2024?山東青島?一模）若正項(xiàng)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”,S?。=1。0,則%?八的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得%+4=1。，利用基本不等式可求最值.

【詳解】因?yàn)橐亍?"迎'20=100,

所以6+出0=1。，貝U〃10+%1=a\+%0=1。

又因?yàn)椤?0＞。,41＞。，

所以即）?%氏詈：=岑=25,當(dāng)且僅當(dāng)須=%=5時(shí)，等號(hào)成立；

所以4的最大值為25.

故選：C

4.（23-24高二下,天津北辰?階段練習(xí)）在公差大于零的等差數(shù)列｛%｝中，％，療的，孫成等比數(shù)列，若出=5,

貝I]%+ai=.

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】首先由條件得到7婿=%%，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的方程，即可求解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為4,

9

由7。；=得7（/+d）=（%+3d）（〃2+9d）,且%=5,

所以7（5+d）2=（5+3d）（5+9d）,得21—d—15=0,

得d=3或d=《（舍），

所以/+%=2a5=2（%+3d）=2x（5+9）=28.

故答案為：28

5.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且的6+g%=18,貝U

log3aj+log3a2+---+log3a10=.

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算來求值.

【詳解】由等比數(shù)列｛%｝的性質(zhì)可得：a5a6=4%=/為=4%=。臼0，

因?yàn)椤?a6+。4。7=18,所以。54=9,

510

貝ijlogs%+log3d52H----Flog3^0=logs%?〃2?4o=log3(%?4y=log39=log33=10,

故答案為：10.

題型3兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比

00&式

若數(shù)列｛4｝,他/均為等差數(shù)列且其前幾項(xiàng)和分別為s“，（，貝=2

bnT2n-l

/、，、STIa（

1.（24-25高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝與｛%｝的前〃項(xiàng)和分別為S,、1,且同=五二1，則1■=

（）

1097

A.2B.—C.—D.—

111719

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題

【分析】利用等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到％=9%,19=泡，從而得到於.

【詳解】?.?｛%｝與他,｝均為等差數(shù)列，

S9=9a5,T9=9用，

則A9_9_9a5_%

2x9T一萬一皈一￡

故選：C.

2.（2024,河北衡水?三模）已知數(shù)歹!!｛q｝，也｝均為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為邑，Tn,滿足

皿［%+°8+°9

(2〃+3電=(3〃-1)北,)

%+為

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題

【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛q｝，也｝均為等差數(shù)列，可得%+。8+%=36=315%=^幾，

15倒+九）2

且4+%）=4+、，又由幾=,可得a+4（）=西45?

2

1S

Q7+%+5153幾34

因此=-------=—X—=2

%+4o2q23

1515

故選：A.

S3〃+1〃2+。8

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛■和色｝的前〃項(xiàng)和分別為與力若苗=5n-7'則仇+：+%

()

竺28

A,B調(diào)C.28D.—

927

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來計(jì)算求得正確答案.

【詳解】依題意，｛見｝和也｝是等差數(shù)歹U，

S3n+1

而亍n=5刃_7，故可設(shè)邑=切（3孔+1）=3切+初=初（5九-7）=5如一7物,

其中左/0,所以S5=3左x5?+左x5=8OKS4=3kx42+A:x4=52)t,

方=5左x4?-7左x4=52左,北=5左x32-7%x3=24左，

Cl?I^^82應(yīng)/)2(80左一52左)_56k_28

b1+b2+b64+2%1+2(7；—7；)—2左+2(52左一24左)54k27,

故選：D

4.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)歹!]｛4｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,T?,若對(duì)任意正整數(shù)〃都有

期

Sn2〃一3,a.

if-4?-3'則4+4+―+3()

351919

A.-B.—C.—D.——E.均不是

7214140

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算

【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得,

11

a9_a3+a9_ax+an_2⑼S2x11-319

+n

2+&h+bi2b62b$2b6bx+bn力…)…11-341

故選：C.

5.（23-24高三上?天津武清?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛4｝,｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別是S“與（，且率=鋁，（九?N*）,

1〃〃十1

貝.

%

175

【答案】=12訝

66

【知識(shí)點(diǎn)】兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到*=變，代入即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，得

又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得&="^也="九，而5="，（〃eN*）,

7

22Tnn+1、

%+4111（。［+1］）

所以?二^^一2:%二3xll+l=34_17

叫“七一4十%—11（4+%）一八一11+1-126,

22

17

故答案為：--

6

題型4等差數(shù)列片段和性質(zhì)

I

設(shè)等差數(shù)列｛與｝的公差為d,S”為其前九項(xiàng)和，則Sa，s2m-sm,s3m-s2m,s.-s3nl，…組成公差為

m~d的等差數(shù)列

1.（2023,四川樂山?一模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和s,,若扁=9,$6=36,則%+g+%=（）

A.18B.27C.45D.63

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)名，$6-S3,怎-￡成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.

【詳解】由題意得S-S3,Sg-S6成等差數(shù)列，

即9,36-9,%+g+的成等差數(shù)列，

艮［J2x（36—9）=9+%+4+%,解得%+為+的=45.

故選：C

2.（2024?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知S,是等差數(shù)列｛4"｝的前”項(xiàng)和，若$4=12,$8=40,則幾=（）

A.44B.56C.68D.84

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)：Sn,S2n-Sn,邑“一星”成等差數(shù)列可求5人

【詳解】由題意可得反，58-54,$-$8成等差數(shù)列，

所以2（a—S4）=$4+S12—$8,

因?yàn)橐?12,既=40,

則56=12+兀-40,解得幾=84.

故選：D.

3.（24-25高二上?天津南開?期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，若S”=2,52?=6,則S’,,=（

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和的性質(zhì)，易得5,,邑“一5,,53"-邑",'“-53”組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差

數(shù)列，再運(yùn)用迭代法即可求得$4”.

【詳解】因等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，由S”=2,邑”=6可得S2"-S“=4,

則S“，星，-S”,S3”-星”,見“-邑，組成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，

則$4'=⑸“-邑"）+（邑”-邑“）+（昆，-5,）+5“=8+6+4+2=20.

故選：D.

4.（2023?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為"，59=18,邑=3,則其=（）

2127

A.9B.—C.12D.——

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得S3,s6-s3,Sg-S6成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.

【詳解】由己知昆,S6-S3,S9-S6,即3,$6-3,18-己成等差數(shù)列,

所以2x（S6-3）=3+（18—品），所以&=9,

故選：A.

5.（24-25高二上?天津南開?期末）在前〃項(xiàng)和為S”的等差數(shù)列也｝中，02=12,邑=21,則$6=.

【答案】27

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知$2，s4-s2,4-邑成等差數(shù)列，

所以邑+§6-54=2⑸一邑），即12+&-21=2（21-12）,解得其=27.

故答案為：27

題型5等比數(shù)列片段和性質(zhì)

數(shù)列與，S2m-Sm,S3m-S2m,54,“一53,”「”組成公比為二'（4，-1）的等比數(shù)列

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛叫中，S“為其前”項(xiàng)和，若S3L7&,S10+S30=80,

則S?。的值為（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可列式求解.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

則幾,$2。-幾,%-520是首項(xiàng)為S10,公比為,。的等比數(shù)列，

若$=71°,S10+S3O=8O,貝監(jiān)0=10,53。=70,

所以⑸。-10『=IOS3O=10（70-%）>0,即5；0-10520-600=0,

解得凡。=30或星。=一20（舍去）.

故選：C.

S5

2.（2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測(cè)）記S“為公比小于1的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，邑=2,不？=則$6=

?639I4

（）

1

A.6B.3C.1D.-

3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，53,56-53,59-56,512-59成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,設(shè)其公比為。，

貝|=2+2p,S9=2+2夕+2p2,S]2=2+27+2p?+2p，,

SI252+2p+2p-+2p35

由W2-整理得2p=5p+2=0,

14(2+2p)(2+2/?+2p)14

由等比數(shù)列｛%｝的公比4小于1，得p=q3<l,解得p=；,

所以"=3.

故選：B

3.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）記等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，若S8=8,126,貝2=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，見，58—邑,?一風(fēng)成等比數(shù)歹!],可解出J.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且等比數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S0，

所以工,跖一及，S"-工成等比數(shù)列，則（既一邑）？=S4-（S12-Ss）,

即（8-邑）2=5廠（26-8）,解得$4=32或邑=2.

設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為4,則4*1,

含=工=1+不>1,則以消〉。，得邑=2.

54i-q

故選：B

4.（2024,廣西?二模）設(shè)S”是等比數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和，若$2=2,生+g=6,則()

713

A.2B.—C.3D.—

44

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)星，S,-邑,黑-S,成等比數(shù)列，得到方程，求出$6=26,得到答案.

【詳解】由題意得S2=2,54-52=6,54=S2+6=8,

因?yàn)?2,邑-$2,$6-S,成等比數(shù)列,故（S4-S2）2=S2（S6-S4）,

即62=2。6—8）,解得臬=26,

S2613

故至6=至=不

故選：D

5.（23-24高二上?河南開封?期末）記S“為等比數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和，若S4=3,58=9,貝!I兀=()

A.21B.18C.15D.12

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到邑4-$4百2-風(fēng)成等比數(shù)列,求出根-根=12,得到答案.

【詳解】因?yàn)镾“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和且S,w0，

所以邑。-邑，％一名成等比數(shù)列,即3,6,，^一以成等比數(shù)列,

所以幾一勾=9=12,所以幾=$8+12=9+12=21.

故選：A.

題型6等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)

60后?

（1）當(dāng)?是偶數(shù)時(shí)，S偶=5奇?q；當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，5奇=q+5偶,q

吁m

⑵S1n=S1n+qSn=S"+q"S1n

二7兀蘢尸￡癡麻湎危如喜正藏前正丁而前3璇未萩扇:箕市福藪演拓顯春藪麗而麗善:而Z:二1.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基

本量計(jì)算

【分析】設(shè)出公比，根據(jù)。2+。4+4=2（4+%+。5），求出公比4=2,故弓+4+。5=21,得到%=1.

【詳解】設(shè)公比為4,貝!Jq+。2+。3+。4+。5+。6=63,

其中〃2+〃4+〃6=2（4+。3+。5），又“2+〃4+。6=4（4+%+%），

故q=2,3（q+/+%）=63,

故G+4+。5=21,即q+。々2+4/=4+4q+16q=21,

解得4=1.

故答案為：1

2.（23-24高三上?山東聊城?期末）己知等比數(shù)列｛凡｝的公比q=；,且4+%+%+L+頰=90,貝|

%+%+/+L+。100=.

【答案】120

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

S

【分析】在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝1]7魯=4,結(jié)合所求，化簡計(jì)算，即可得答案.

【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝U寸=4,

3奇

以q+生+/+L+QQQ—(q+/+%+L+ci^)+(出+〃4+4+L+q()o)

=90+-x90=120.

3

故答案為：120

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為341,偶數(shù)項(xiàng)之

和為682,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

【解析】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為鼠項(xiàng)，公比為4,由題意可求出4=2,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式可

知弓卜一"1進(jìn)而可求出項(xiàng)數(shù).

」——^^341

【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為〃項(xiàng)，公比為4,貝［］%+%+…=341,a2+a4+...+an=6S2,

由a2+/+…+=49+。39+…+凡—1夕=（4+%+…+凡_］）夕=3414=682,

解得q=2,因?yàn)?是公比為"2=4的等比數(shù)列，則"1一，

q——z-^-=341

i-q

即（1-2"）=341，解得〃=10,

1-4

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?山東泰安?三模）已知S.為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，％=-21,S7=&，則S”的最小值為（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

【分析】設(shè)｛。”｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組，求得d=2,得至iJa“=2〃-23和SA=〃2-22〃，進(jìn)而求

得答案.

【詳解】設(shè)｛%｝的公差為d,因?yàn)椋?-21,跖=幾，

%=-21

可得、7x615x14，解得d=2,所以%=2〃-23,

7qH----u=1T---------u

、22

一/口nx（n-l）

可得5“=一21〃+———x2=*9-22〃，

2

所以當(dāng)”=11時(shí)，S“取得最小值Su=112-22xll=-121.

故選：D.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，若出=-4,1=-15,則Sg

A.-7B.-9C.-12D.-14

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算

【分析】首先根據(jù)題意得到］＜，再解方程組求解即可.

5a+10J=-15

q+d=-4

【詳解】由。2=—4,1=—15,

5q+10d=—15

-5/、8x7

解得\CL:=,,貝U$8=8x—5+—xl=-12.

\a=I2

故選：c.

3.（2024?河南許昌?模擬預(yù)測(cè)）記等比數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若54=凡+%+4%嗎1,則%=

A.-64B,-32C.32D.64

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)

【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列｛4｝公比4的平方，再結(jié)合項(xiàng)間關(guān)系求出出.

【詳解1由§4=邑+。4+4al，得。4+。3+%+%=。2+4+%+4。］,則%=4%，

設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為4,貝此爐=4%,解得/=4,

所以。9=%46=（4）=64.

故選：D

4.（2024?吉林?三模）正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛q｝,前〃項(xiàng)的和為工，若％+0=30,4%81,貝I"

11

A.3B.-C.4D.一

34

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，44=。2%=81,且出+%=30,

=27

所以或

%=27/=3

因式數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，所以4幺=9,則好3.

[@二27a2

故選：A

5.（24-25高三上?河南許昌?期中）已知｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，若6%，%,生成等差數(shù)列，則｛%｝的公比

為（）

11_

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4，由數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，則4＞。，

由6a2，%，生為等差數(shù)列，貝IJ2%=6%+%,即2%/=6%q+%/,

3

所以2/=6+心整理得（2鄉(xiāng)+3）何—2）=0,解得4=2或一]（舍去）.

故選：C.

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝滿足%+%=22,前8項(xiàng)和醺=100；公比為正數(shù)的等比數(shù)列

也｝滿足4-4=12,4=8,設(shè)％=旬，￡為數(shù)列的前〃項(xiàng)和，則當(dāng)（＜2024時(shí)，〃的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和

【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)

列｛cn｝的前〃項(xiàng)和Tn,驗(yàn)證得答案.

2q+6d=22

,、f4+4=22

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d,由;得8x7

I—iUU84+-----d=100

12

解得所以%=2+3（〃_1）=3〃_1.

,./\仿4—=128

設(shè)也｝的公比為4（4〉0）,由j2,得的--二12,

[2=H0q

解得q=-g（舍）或4=2,所以勿=&WT=82-3=2,

因?yàn)閏”=%,所以%=3-2"-1,

??6(1-2")

則北=q+02+C3H----Vcn~~一"=6?2〃一九-6，

因?yàn)閷?duì)任意的“eN*,c,>0,所以數(shù)列｛1｝單調(diào)遞增，

又因?yàn)閚=6x28—8-6=1522V2024,7；=6x29-9-6=3057>2024,

所以當(dāng)(<2024時(shí)，〃=1,2,3,4,5,6,7,8,故〃的最大值是8.

故選：D.

7.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若3%,%,5%成等

差數(shù)列，貝1」色卜=()

a5+〃6

1211131211

A.B.—C.—D.-----

94436

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)以及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式代入計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4“｝的公比為4,

由3aga，5%成等差數(shù)列可得3%+54=2%,即3%+5%/=2a應(yīng),，

因?yàn)?*0,所以2爐一5q2-3=0,解得g2=3或(舍).

5

所以九二1-q=1-/°=1=1-3=121.

生+/q(q4+0(1-^)((/4+^5)/(1-/)32X(1-3)9

故選：A

8.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，S3=6,S“-3=16("24,"N*),Sn=20,

則"的值為()

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前〃項(xiàng)和公式，即可求解.

【詳解】由S3=6,得％+為+%=6①，

因?yàn)镾“_3=16(〃24,〃CN*),S“=20,

所以-sn_3=4,即a“+a,I+an_2=4②，

①②兩式相加，得4+〃〃+。2+。〃-1+。3+。2=1°，即3（4+%）=10,

所以q+a“=g,所以s“=必詈J=g=20,解得“=12.

故選：B.

9.（23-24高三上?山東?期中）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，且-%,%成等差數(shù)

歹!I,若％=1,則邑=（）

A.工或15B.15C.3或-15D.-

888

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,由數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，則4＞。，

333

由—"i，1%，“3為等差數(shù)列，則5%=—%+%,即=—1+/,即2/—3q—2=0,

解得q=2或-1（舍去），又%=1,所以$1義（12.）=6

241-2

故選：B

10.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛%｝中，記其前〃項(xiàng)和為S,,已知生=-4+2q,貝I］金的

d4

值為（）

A.2B.17C.2或8D.2或17

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得4=1或4=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得為/=-。應(yīng)+2%,

整理得/+4-2=0,

解得g=i或q=-2.

&_8._2

當(dāng)g=i時(shí),

$44%

當(dāng)q=-2時(shí),

所以言的值為2或17.

故選：D.

11.（2024?新疆?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和為若q=1,495=25,則于=（）

d12

A.25B.5C.6D.36

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4,

因?yàn)椤?=1,?“25-25,

所以?。25==25,

所以。13=4d2=5,所以［12=5,

邑“1F1-4"1-25=-24「6

S]2q（l-q'~）1—Ql~1-5—4

i-q

故選：c

二、填空題

12.（2024?江西景德鎮(zhèn)?一模）已知公比不為1的等比數(shù)列｛4｝嗎=1且3%,2a2，生成等差，貝1出必=.

【答案】32024

【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

【分析】由等差中項(xiàng)求得等比數(shù)列公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】??,3q,2a2M3成等差，二42=3%+/，又同｝是公比不為1的等比數(shù)列，

22024

4q=3+q,q=3,a2025=3.

故答案為：32024.

13