等腰三角形（練習(xí)）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第四章三角形

第18講等腰三角形

口題型12手拉手模型

模擬基礎(chǔ)練口題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

□題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

口題型01分類(lèi)討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用

口題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題

口題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明

口題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題

□題型03根據(jù)三線合一求解或證明

口題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題

□題型04在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形

□題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系

口題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

口題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明重難創(chuàng)新練

□題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)

口題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合

口題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型10等邊三角形的判定

口題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合

模擬基礎(chǔ)練?

口題型01分類(lèi)討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用

1.（2024.云南昆明.一模）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程/-6x+8=0的兩根，則該等腰

三角形的周長(zhǎng)為.

【答案】10

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判

斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵.求出一元二次方程的解，得出三角形的邊長(zhǎng)，用三角形存在的

條件分類(lèi)討論邊長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】解：x2-6x+8-0

（x—2）（x-4）=0

解得：x=2或％=4,

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)能組成三角形，周長(zhǎng)為2+4+4=10,

所以三角形的周長(zhǎng)為10,

故答案為：10.

2.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)優(yōu)，"滿足-7|+|3-=o,且機(jī)，〃恰好是等腰△4BC的兩條邊的

邊長(zhǎng)，則ATIBC的周長(zhǎng)是.

【答案】17

【分析】根據(jù)偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性可得：m-7=0,3-n=0,從而可得爪=7,n=3,然后分

兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為7,底邊長(zhǎng)為3時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3,底邊長(zhǎng)為7時(shí)，從而進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【詳解】解：：|由一7|+|3—n|2=0,

m—7=0,3—?i=0,

解得：m-7,n-3,

分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為7,底邊長(zhǎng)為3時(shí)，

△2BC的周長(zhǎng)=74-7+3=17；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3,底邊長(zhǎng)為7時(shí)，

V3+3=6<7,

,不能組成三角形；

綜上所述：AABC的周長(zhǎng)是17,

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，偶次方，算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況

討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模）學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)后，小麗同學(xué)將課后練習(xí)“一個(gè)等腰三角形的頂角是36。，

求底角的度數(shù)”改為“等腰三角形的一個(gè)角是36。，求底角的度數(shù)”.下面的四個(gè)答案，你認(rèn)為正確的是（）

A.36°B.144°C.36?；?2°D.72°或144°

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180度是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)題意分以下兩種情況，當(dāng)36。是等腰三角形的底角，以及當(dāng)36。是等腰三角形的頂角，討論求解,

即可解題.

【詳解】解：當(dāng)36。是等腰三角形的底角，則底角的度數(shù)為36。；

當(dāng)36。是等腰三角形的頂角，則底角的度數(shù)為又等￡=72。；

綜上所述，等腰三角形的一個(gè)角是36。，其底角的可以是36。或72。.

故選：C.

4.（2024?河南駐馬店?三模）如圖，在等腰AABC中，ABAC=120°,AB=AC=4,。是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，

連接4D,將AABD沿4D折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為e，若NBDB'=120。，貝的長(zhǎng)為.

【分析】本題考查等腰三角形中的翻折問(wèn)題，當(dāng)ZBD8'=120。時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B'在下方；②當(dāng)

點(diǎn)B'在上方，解直角三角形求解即可

【詳解】解：當(dāng)NBDB，=120。時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)夕在BC下方時(shí)，如圖，

圖①

設(shè)4m與的交點(diǎn)為。，

V/.BAC=120°,AB=AC,

:.乙B=ZC=30°,

由折疊得，N9=乙8=30°

;乙BDB'=120°,

:.乙B'DO=60°

/./.DOB'=90°,

：.DO=-B'D=-BD,

22

13

：.BO=BD+DO=BD+-BD=-BD,

22

在Rt△ABO中，BO=AB-cos30°=2A/3,

C.-BD=2V3

2

解得，BD=^；

圖②

由折疊得，乙ADB'=^ADB==60°,

VzB=30°,

A/.BAD=90°,

*：AB=4,

.DnAB48V3

??DL）-~-―/="一,

cos300在3

2

綜上所述，BD的長(zhǎng)為挈或苧

故答案為：竽或第

5.（22-23八年級(jí)上?河南南陽(yáng)?期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40。,則腰上的高與底邊的夾角為

【答案】20?；?0。

【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計(jì)算.

【詳解】當(dāng)40。角為底角時(shí)，如圖，

*：CA=CB,

：./.CAB==40°,

過(guò)點(diǎn)A作/交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

J.Z.ADC=90°,

：.^DAB=90°-Z.B=50°；

當(dāng)40。角為頂角時(shí)，如圖，

,：CA=CB,

180°—40°

J.Z.CAB=ZB==70°,

2

過(guò)點(diǎn)A作4G1C8,交BC于點(diǎn)G,

J./-AGB=90°,

/./.GAB=90°-Z.B=20°；

故答案為20。或50。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的角的計(jì)算，熟練掌握分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵.

口題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明

6.（2024?陜西渭南三模）如圖，點(diǎn)。是正八邊形4BCDEFGH的中心，連接04、OB,若。4=2,則該正八

邊形的面積為.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】8V2

【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，先求出乙4。8=等=45。，作于點(diǎn)

8

H,構(gòu)造等腰直角△。氏4,求出4H,進(jìn)而可依次求出S-oB和該正八邊形的面積.

【詳解】解：如圖，作4HJ.0B于點(diǎn)"

E

F.D

???該多邊形為正八邊形,OA=2,

OB=OA=2,乙408=—=45°,

8

又「AH1OB,

.??△。凡4是等腰直角三角形，

AH=-0A=—X2=y[2,

22

???S^AOB=|OB?AH=|x2xV2=V2,

?,?該正八邊形的面積=8sMOB=8V2,

故答案為：8V2.

7.（2024.陜西.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，/D,CE相交于點(diǎn)F,連接貝此CF8的度數(shù)是

【分析】根據(jù)五邊形43coE是正五邊形，求出4CDE==108。，再根據(jù)等腰三角形的定義及三角形

內(nèi)角和定理求出乙以M=4/ME=36。，同理得NQEC=36。，再求出4DFE=108。，證明△/FEw/kCFO,

得至Ij/F=CF,再證明△4BE三ZkCBF,推出乙。尸8=4人尸8=1ZTIFC=[NDFE,即可解答.

【詳解】解：,??五邊形/BCDE是正五邊形，

???乙CDE=乙DEA=（5-2）：180：=log。，

DE=AE,

???/LEDA=乙DAE=|（180°-^DEA）=36°,

同理NDEC=36°,

???4DFE=180°-乙DEF-乙EDF=180-36°-36°=108°,

v乙DEF=乙EDF,乙EDF=Z-EAD,

???Z-DEF=Z.EAD,

???(DEF=Z.DCE,

Z.DCE=Z.EADf

??.AAFE=乙CFD,CD=AE,

AFE=△CFD,

AF=CF,

vZ.BAE=乙BCD,乙DAE=乙DCE,

???^BAE-/.DAE=乙BCD-乙DCE,即ZJBZF=乙BCF,

BF=BF,

ABF=△CBF,

11

.SB=NWC=/ME=54°,

故答案為：54°.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，

熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，45=4C,zS=30。，點(diǎn)尸為直線BC上一點(diǎn)，且AC=CP,

連接力P,貝lUBAP的度數(shù)是（）

A

A.45°B.135°C.45°或135°D.30°或135°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.注意點(diǎn)尸為直線2C上一點(diǎn)，分別作圖，運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)分別

列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖所示：

以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，分別交直線BC于兩點(diǎn)，即七，P2,連接4Pi，AP2

9CAB=AC,AB=30°

J./-BCA=30°,Z-BAC=180°-30°X2=120°

*：AC=CP1

：.=(180°-Z.BCA)+2=75°,

：.^PrAB=120°-75°=45°,

*：AB=AC,乙B=30°

：.^BCA=30°,ABAC=180°-30°x2=120°

9

：AC=CP2

：.ACAP2=Z-AP2C=15°

:?乙P2AB=120°+15°=135°,

故選：C

9.(2024?廣東河源?二模)如圖，在四邊形/BCD中，4c4。=90。，Z.B=30°,乙。=60。且AC=BC.

(2)若AD=1,求四邊形/BCD的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)也

v74

【分析】本題主要考查了平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形三線合一、等邊對(duì)等角、含30度

角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定、含30度角的直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角，得出NE4C=NB=30。,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算求出乙4CD的度數(shù)，得出N84C=

“CD,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，即可證明力BIICD；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CEL4B于E,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一，結(jié)合勾股定理，求

、

出AC、CE4B的長(zhǎng)，根據(jù)S&4CD=|x4CXAD>ShABC=|XCFXAB計(jì)算，最后根據(jù)S四邊形=^^ACD+

S-BC得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：N8=30。，4c=8C,

?.^BAC=NB=30°,

\9Z.CAD+4。+Z,ACD=180°,^CAD=90°,乙D=60°,

J.Z-ACD=180°-/.CAD一乙D=180°-90°-60°=30°,

：.￡.BAC=乙ACD,

：.AB\\CD；

(2)解：9：Z-CAD=90°,AD=1,由(1)得乙4。。=30。,

ACD=2,BC=AC=y/CD2-AD2=V22-l2=V3,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CE14B于E,

VzB=30°,

：.CE=-BC=—,

22

,*.AE=BE=VBC2—CE2=J(V5)2—O=I，

：.AB=AE+BE=-+-=3

22f

???SAABC=3XCEX4B=乎，

?Q_$.Q_V33y/3_5\/3

??3四邊形4BCO=3-CD+30BC

10.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位.模擬預(yù)測(cè))如圖，已知矩形力BCD,點(diǎn)E在C8延長(zhǎng)線上，點(diǎn)廠在BC延長(zhǎng)線

上，過(guò)點(diǎn)尸作FH1EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，連接2F交E”于點(diǎn)G.若GE=G"，—=AD=4,貝U

FH6

EF=.

【答案】6

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，直角三角形的性質(zhì)，全等

三角形的性質(zhì)與判定等等，先由矩形的性質(zhì)得到CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,乙4BC=乙DCB=90°,

再證明ADCEsAHFE得到*=若=；；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到GE=GF=GH,則NGFE=NE,進(jìn)而

FHFH6

證明AABF三△DCE(AAS),推出BE=CF.設(shè)BE=CF=x,貝i]CE=x+4,EF=2x+4,可得出=三,

2x+46

解得％=1,貝IJEF=6.

【詳解】解：:四邊形/BC。是矩形，

：.CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,A.ABC=^.DCB=90°,

VFH1EF,

：.CDWFH,

：.△DCEs〉HFE,

.EC_CD

99EF~TH9

,CD_AB_5

??FH-FH-6,

VFH1EFfGE=GH,

：.GE=GF=GH,

:,(GFE=乙E,

A△ABF三△OCE(AAS),

：.BF=CE,

:.BF-BC=CE-BC,即BE=CF.

設(shè)BE=CF=x,

■;BC=/O=4,

/.CE=x+4,EF=2x+4,

,x+4_5

2x4-4-6’

解得％=1,

經(jīng)檢驗(yàn)％=1是原方程的解，

：.EF=6.

故答案為：6.

口題型03根據(jù)三線合一求解或證明

11.（2024?貴州黔東南?二模）如圖，△ABC中，ZB=6O°,BA=3,BC=5,點(diǎn)E在B4的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在BC

邊上，且ED=EC.若4E=4,則BD的邊長(zhǎng)為（）

C.2D.V3+1

【答案】C

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).過(guò)點(diǎn)E作EF1BC于工先在Rt△BEF

中利用30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出8F==3.5,于是CF=BC—BF=1.5,再根據(jù)等腰三

角形三線合一的性質(zhì)得出OC=2CF=3,然后根據(jù)=BC—OC即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于尸.

在RtABEF中，???乙BFE=90°,zB=60°,

???4BEF=30°,

'：AE=4,AB=3,BE=AE+AB,

：.BF=-BE=3.5,

2

??.CF=BC-BF=5-3.5=1.5.

vED=EC,EF1BC^F,

.?.DC=2CF=3,

.-.BD=BC-DC=5-3=2.

故選：C.

12.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ABC中，48=AC,點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=￡(k>0,%>0)的圖

象上，點(diǎn)B、C在久軸上，BC=40C,若A4BC的面積等于8,貝丸的值為

【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例圖象上點(diǎn)的特征、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形的面積.要求

學(xué)生掌握設(shè)而不求的方法解題.設(shè)OC=a,過(guò)點(diǎn)A作4E1*軸于點(diǎn)E,表示出BC、AE,結(jié)合△力BC的面積

即可求出人的值.

【詳解】解：設(shè)。C=a,貝UC(a,O),

???BC=40C,

OB=5a,CB=4a,

過(guò)點(diǎn)A作4E上工軸于點(diǎn)E,

??,AB=AC,

CE=EB=2a,

OE=3a,

vOE?AE=k,

11u

-BC-AE=-^a--=8

?，S^ACB=223af

???k=12.

故答案為：12.

13.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰三角形力BC中，AB=AC,取4C的中點(diǎn)E,連接BE,過(guò)點(diǎn)C作BE的

垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若BD=8,DC=2,則DE的長(zhǎng)為.

【答案】v

【分析】作4MLBC,EN1BC,垂足為點(diǎn)M、N.先由勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再由等腰三角形“三線合一”

與三角形中位線的逆定理可求得BM、MN的長(zhǎng),從而可知BN的長(zhǎng),最后利用△BNEBDC可求得DE的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)4、點(diǎn)E分別作4M18C,ENLBC,垂足為點(diǎn)M、N.貝必M||EN,

VZ.BDC=90°,BD=8,DC=2,

：.BC=y/BD2+DC2=V82+22=2g.

\'AB=4C,AM1BC,

：.BM=CM=^BC=V17,

為AC的中點(diǎn)，AM||EN,

：.MN=CN=-CM=—.

22

：.BN=BM+MN,

2

設(shè)DE=%,貝UBE=BD-DE=8-x.

■:乙BNE=^BDC=90。,乙EBN=cCBD,

：.△BNEfBDC,

.BEBN口門(mén)8-X3V17

=—,即：1==二一,

BCBD2V178

.*.8(8-%)=51,

解得：

o

即：DE=-.

8

故答案為：V-

O

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理

等，解題的關(guān)鍵作出恰當(dāng)?shù)妮o助線.

14.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))在勞動(dòng)課上，小華同學(xué)所在小組進(jìn)行了風(fēng)箏框架設(shè)計(jì)比賽

(1)小華設(shè)計(jì)的風(fēng)箏框架平面圖如圖1,已知.AB^AD,CB=CD,AC與BD交于點(diǎn)。，求證：BO=DO

(2)小明提出了改進(jìn)建議：制作風(fēng)箏框架只需要兩個(gè)支架AC和BD(如圖2),當(dāng)4c垂直平分BD時(shí)即可固定風(fēng)

箏.現(xiàn)在有總長(zhǎng)度為120cm的細(xì)木條用于制作該風(fēng)箏框架，小明同學(xué)想做面積最大的風(fēng)箏，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)：

當(dāng)4C為何值時(shí)，風(fēng)箏的面積最大，面積最大值為多少？

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)4C為60cm時(shí)，風(fēng)箏的面積最大，面積最大值為1800cm2

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：

(1)先證AABC三△ADC(SSS),推出=根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明B。=DO；

(2)設(shè)=貝/0=120-列出風(fēng)箏的面積S關(guān)于尤的二次函數(shù)關(guān)系式，變形為頂點(diǎn)式，求出最值

即可.

【詳解】(1)證明：r48=4。，CB=CD,AC=AC,

.-.LABCSAXDC(SSS),

???Z-BAC=Z-DAC,

即/C平分4840,

又「AB=ADf

BO=DO；

(2)解：設(shè)4c=xcm,貝！JBO=(120—%)cm,

v4c垂直平分BQ,

OB=OD=-BD,AC1BD,

2

???風(fēng)箏的面積S=SXABC+SAADC=|xc-OB+|xc-OD=|XC-BD,

???S=jx(120-x)=-1(%-60)2+1800,

?■1-1<0,

.?.當(dāng)x=60時(shí)，S取最大值1800,

即AC為60cm時(shí)，風(fēng)箏的面積最大，面積最大值為1800cm2.

15.(2024?山東聊城?三模)如圖，△ABC中，點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DEII4B,點(diǎn)尸是4。的中點(diǎn)，連

接EF,并延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G.

(1)連接DG,求證：四邊形4GDE是平行四邊形.

(2)若使四邊形4GDE是菱形，△ABC應(yīng)為什么特殊三角形？點(diǎn)。在BC的什么位置？證明你的猜想.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)AABC為等腰三角形時(shí)，4GDE是菱形；點(diǎn)。為BC中點(diǎn)

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，其

中證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)證明AAGF三△DEF,得DE=4G；再由DE||4B即可證明四邊形4GDE是平行四邊形；

(2)當(dāng)為等腰三角形且48=4C時(shí)，由。是中點(diǎn)，則NE4D=^EDA,從而得4E=DE,即四邊形AGDE

是菱形.

【詳解】(1)證明：?.?點(diǎn)/是AD的中點(diǎn)，

?-.AF=DF；

???DEWAB,

Z.GAF=Z.EDF,

vZ.AFG=Z.DFE,

.*.△AGF=△DEF(ASA),

??.DE=AG；

???DEWAB,

???四邊形4GDE是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)為等腰三角形且48=/C時(shí)，且。中點(diǎn)，四邊形4G0E是菱形;

BDC../B=4。時(shí)，且。是中點(diǎn)，

Z.GAD=Z.EAD；

???DEWAB,

Z.GAD=Z.EDA,

???Z.EAD=Z.EDA,

???AE=DE,

即平行四邊形力GDE是菱形.

口題型04在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形

16.(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A,8兩個(gè)格點(diǎn)，使得AABC是等腰三角形，則這樣

的格點(diǎn)C有一一個(gè).

【答案】8

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)AABC是直角三角形

得出多種情況解答.

【詳解】解：如圖所示：

GC4

點(diǎn)G的位置如圖，

2222

其中力C/=Vl+l=V2,BCr=Vl+l=V2,4B=2,

由勾股定理得：aC/+BC/=4B2,

故△4EC1為直角三角形，

2222

同理：AC2=V1+I=V2,BC2=V1+1=V2,4B=2,

由勾股定理得：ACl+BCl=AB2,

故△力BC2為直角三角形，

網(wǎng)格中其他點(diǎn)C如圖所示，

所以格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8,

故答案為：8.

17.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))圖①、圖②、圖③均是2義2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，

點(diǎn)A、C均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作格點(diǎn)圖形，保留作圖痕跡.

圖1圖2圖3

(1)在圖①中，以2C為中線作AABD,使4B=a。；

(2)在圖②中，以2C為中線作Rt△力EF,使NA￡T=90。；

(3)在圖③中，以AC為中線作A4MN,使NAMN為鈍角且tan/MAC=1.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形中線的定義以及題意要求畫(huà)出圖形；

(2)根據(jù)直角三角形的判定三角形中線的定義畫(huà)出圖形；

(3)根據(jù)三角形中線的定義以及題意要求畫(huà)出圖形；

【詳解】(1)解：使=即讓AAB。是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，過(guò)C點(diǎn)作4c的垂線,

使C為BD中點(diǎn)即可；

(2)解：在2點(diǎn)正下方與C點(diǎn)對(duì)齊的地方找到E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、C畫(huà)直線使C為BD中點(diǎn)即可得到點(diǎn)F；

圖2

(3)解：過(guò)點(diǎn)C畫(huà)斜線使C為中點(diǎn)找到M、N,連接起來(lái)即可使tanzMAC

圖3

18.(2024?浙江嘉興?一模)如圖，在2X4的方格紙力BCD中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,已知格點(diǎn)P,請(qǐng)按要

求完成以下問(wèn)題.

(1)在圖中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)等腰三角形PEF,使得底邊長(zhǎng)為我；

(2)在圖中再找一個(gè)格點(diǎn)G,使得P,E,F,G四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)1或3

【分析】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，

理解相關(guān)圖形的性質(zhì).

(1)底邊長(zhǎng)為或即底邊為小方格的對(duì)角線，根據(jù)要求畫(huà)出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點(diǎn)上的

頂點(diǎn)即可得到等腰APEF,即可求解；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找到點(diǎn)G的位置，即可求解.

等腰三角形PEF,即為所求；

(2)當(dāng)PE=EF=1,。9=或時(shí)，點(diǎn)G如圖所示，

此時(shí)該平行四邊形的面積為1XI-1；

當(dāng)PE=￡1尸=有，=/時(shí)，點(diǎn)G如圖所示，

此時(shí)該平行四邊形的面積為2x|xlx3=3；

故答案為：1或3.

19.(2024?河北邯鄲?三模)如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使AAB4("為1~4的整數(shù))不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是()

P

B.2C.P3D.P4

【答案】B

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，等腰三角形的定義，勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理

可得^ABP4,△力BP3都是等腰三角形，而A4BP2不是等腰三角形，再根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即

可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得AaBPi、^ABP4,A/lBPs都是等腰三角形，即這三個(gè)三角

形都是軸對(duì)稱圖形，

△4BP2不是軸對(duì)稱圖形，

故選：B.

口題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

20.（2024.廣西桂林?一模）如圖，在等邊4ABC中,AB=6,BD平分N&8C,點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且NE=30°,

則CE的長(zhǎng)為.

【答案】3

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等角對(duì)等邊，由等邊三角形的性質(zhì)可得力C=AB=

6,乙4cB=60°,CD=171C=3,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得=乙4cB—乙E=30°,得到/CDE=乙E,

進(jìn)而即可求解，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ABC為等邊三角形，AB=6,

：.AC=AB=6,4ACB=60°,

平分N4BC,

/.CD=-2AC=3,

VZE=30°,

:,乙CDE=AACB一乙E=60°-30°=30°,

Z.CDE=Z.E,

ACE=CD=3.

21.（2024.貴州畢節(jié)?三模）如圖，在RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=BC,點(diǎn)。在AB上，AD=4,

CD=V10，則BD的長(zhǎng)為

A

【答案】2

【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，過(guò)D作DE1BC于點(diǎn)E,作DF1AC

于點(diǎn)尸，得四邊形DECF是矩形，根據(jù)性質(zhì)可知CF=DE,再由等角對(duì)等邊得DE=BE,AF=DF,最后由

勾股定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)。作DE于點(diǎn)E,作。F，力。于點(diǎn)F,

A

:.乙DEB=90°,Z.AFD=乙CFD=90°,

；4ACB=90°,

四邊形DECF是矩形，

ACF=DE,

\"AC=BC,

J.Z.A=48=45°,

:.乙B=乙EDB=45°,ZX=^ADF=45°,

：.DE=BE,AF=DF,

則由勾股定理得：BD=V2DE=近BE,AD=^2DF=&AF=4,

：.AF=DF=2VL

/27

在Rt中，由勾股定理得：DF=VCD2-CF2=J(VlO)-(2A/2)=&,

：.DE=CF=V2,

：.BD=42DE=V2XV2=2,

故答案為：2.

22.（2024?海南海口?一模）如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是4C邊上的一點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作DFII2B,交BC于點(diǎn)尸，作NB2C的平分線交DF于點(diǎn)E,連接BE.若AABE的面積是2,則點(diǎn)E到的

距離為—，普的值是.

EF

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，解題關(guān)

鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

先根據(jù)勾股定理求出48,即可分別用三角形面積公式推得點(diǎn)C到4B的距離和點(diǎn)E到4B的距離，再根據(jù)DF||

4B判定△CDFC4B即可推得相似比，從而由相似三角形的性質(zhì)得到鄉(xiāng)=啜=|，由4E平分N84C和DF||

C/JTID5

AB可得ND4E=乙4ED,根據(jù)等角對(duì)等邊推得DE=4。=（后即可得解.

【詳解】解：：Rt△4BC中，AB=^JAC2+BC2=V32+42=5,

.?.點(diǎn)C到4B的距離無(wú)=與竺=三，

AB5

S^ABE=mx%=2,

???點(diǎn)E至!MB的距離九1=I，

???點(diǎn)C到D尸的距離九2=h-h1=1,

???DF||AB,

:△CDF八CAB,且相似比為九2：h=|，

.CD_DF_2

''CA~AB~

CD=-x4=PF=-x5=—,

3333

4

AD=AC-CD=

3

VZE平分NB4C,

???Z.BAE=Z.DAE,

??.DF||AB.

???乙BAE=Z.AED,

即皿IE=乙4E0,

4

DE=AD=

3

104

：.EF=DF-DE=---=2,

33

4

.DE_2_2

''EF~2-3,

故答案為：I;|.

23.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是高鎰酸鉀制取氧氣的化學(xué)

實(shí)驗(yàn)裝置,安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的沙（BE=1AB）,已知試管AB=24cm,

試管傾斜角a為10。，實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管BF交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且ED1CF,測(cè)得DE=27.36cm,ZXBF=145°,

【分析】本題考查解直角三角形，矩形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定.

過(guò)點(diǎn)8分別作1DE于點(diǎn)H,BP1FC于點(diǎn)P,則四邊形BPDH是矩形，得到=DP,BP=HD,在Rt△

BE"中，HE=BE-sin/EBH?1.36,BH=BE-cos^EBH?7.84,從而DP=BH=7.84,BP=HD=DE-

HE=26,證明PF=BP=26,根據(jù)DF=DP+PF即可解答.

【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)8分別作B”IDE于點(diǎn)H,8「1尸。于點(diǎn)尸，

■:ED1CF

???四邊形BPDH是矩形，

：.BH=DP,BP=HD

9：AB=24,BE=-AB=8,乙EBH=a=10°,

3

???在Rt△BEH中，HE=BE-sin乙EBH=8?sinl0°?1.36,

BH=BE-cosZ-EBH=8-cosl0°?7.84,

：.DP=BH=7.84,

HD=DE-HE=27,36-1.36=26,

：.BP=HD=26,

"BF=145°-90°-10°=45°,

:?乙FBP=180°-Z.BPF-乙PBF=45°,

：.PF=BP=26

：.DF=DP+PF=7.84+26=33.84,

答：OF的長(zhǎng)度約為33.84cm.

24.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為BC邊上一點(diǎn),且ZD平分NB4C,若ZB=5,AC=4,

則△ABD與△AC。的面積比為（）

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)。作CEIIAD,交3/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質(zhì),

三角形面積特點(diǎn)解答即可.

本題考查了平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，三角形面積，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作CEII4。，交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石，

貝！J吧=—,LE=/.BAD,ADAC=^LACE,

DCAE

???/。平分乙3/。，

A￡.BAD=NO/C,

/.Z.E=/.ACE,

：.AE=AC,

*：AB=5,AC=4,

?\AE=4,

?

??B~D~=5一，

DC4

?S&ABD_￡￡_5

SxACDDC4'

故選A.

25.（2024?新疆烏魯木齊?一模）在△ABC中，BD平分NABC,交2C于點(diǎn)D,AE1BC,交BC于點(diǎn)E,且4B=5,

AE=BC4,則CD的長(zhǎng)為—.

【答案］警《舊

99

【分析】過(guò)點(diǎn)C作4B的平行線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用AaBDSACFD結(jié)合等腰三角形CBF求出結(jié)果.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作48的平行線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

在直角△ABE中，^LAEB=90°,

BE=yjAB2-AE2=V52-42=3,

=BC-BE=4—3=1,

在直角AAEC中，由勾股定理得

AC='AE?+CE2=V17.

*.?CFWAB,

：.AABDfCFD,

.AD_AB

**DC-CF'

?「BO平分乙48C,

Azi=Z2,

VCF\\AB,

Azl=ZF,

/.z2=Z-F.

：.CF=CB=4,

?,?AD—_―5，

CD4

：.CD=-AC=—.

99

故答案為：空.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，角平分線的定義，勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)平

行線構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

口題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明

26.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，。是4B邊的中點(diǎn)，。是CO上一點(diǎn)，AE||BD交C。的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

c

⑴求證：AE=BD；

(2)若42CB=90。，乙BDO=ACAO,AC=6,求BO的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；

⑵6.

【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般，平行線的性

質(zhì)，等角對(duì)等邊以及中點(diǎn)定義，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由。是28邊的中點(diǎn)，得2。=8。,由4E||BD,得4E=LBDO,/.OAE=Z.OBD,可得△OAE三4

OBD(AAS),即可證明結(jié)論成立；

(2)由。是4B邊的中點(diǎn)，N4CB=90。,得4。=BO=0C，進(jìn)而N4C。=^CAO,由(1)BD=AE,^BDO=乙E,

由NBD。=ACAO,得乙4C。=ACAO=NE,從而AC=AE=6,進(jìn)而即可得解.

【詳解】(1)證明：???。是4B邊的中點(diǎn)，

：.AO=BO.

5L'：AE||BD,

Z.E—Z.BDO,Z.OAE—/.OBD,

在AOAE^/s.OBD中，

'乙E=乙BDO

X.OAE=Z.OBD,

.OA=OB

：.△OAE=△OBD(AAS)

：.AE=BD；

(2)解：?.,。是AB邊的中點(diǎn)，4cB=90。，

1

：.AO=BO=OC=-AB.

2

J.Z.ACO=Z.CAO,

■:二OAEW2OBD(APS，

乙

：.BD=AEfBDO=(E,

■:(BDO=A.CAO,

Z-ACO—Z-CAO=Z-E,

：.AC=AE=6,

：.BD=AE=6.

27.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)：正方形對(duì)角線上任意一

點(diǎn)與正方形其他兩個(gè)頂點(diǎn)相連形成的線段一定相等.該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若過(guò)該點(diǎn)作其中一條線

段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長(zhǎng)線段和前面形成的兩條線段也有關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)下列探究思路完成

作圖和解答：

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)E作EF14E.分別交邊4。、BC于點(diǎn)G、F.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)求證：EC=EF=AE.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)基本作圖一經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作直線的垂線作出圖形即可；

(2)證明三△CDE(SAS),推出=再證明EF=EC,可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：?.?四邊形2BCD是正方形

BO平分N4DC,/.ABC=乙BCD=4BAD=90°,ADCD.

???Z-ADE=乙CDE,

在和△COE中,

AD=CD

/.ADE=乙CDE

、DE=DE

.*.△ADE三△COE(SAS).

???乙DAE=Z-DCE,AE=CE,

又???乙BAE=乙BAD-乙DAE

(BCE=乙BCD-乙DCE

Z.BAE=(BCE,

vEF1AE,

???^AEF=90°,

???匕ABF+(BFE+AFEA+Z.BAE=360°,^ABF+Z.FEA=90°+90°=180°

???^BAE+乙BFE=180°

???Z-BFE+乙EFC=180°,

???乙EFC=Z-BAE.

???Z-ECF=乙EFC,

.?.EF=EC=AE.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖一經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作直線的垂線，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰

三角形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

口題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)

28.(2023九年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí))如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、尸都是格點(diǎn).

⑴從4。、E、尸四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)8、C為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，求所畫(huà)三角形是等腰三角形的概

率;

⑵從A、D、E、尸四點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)8、C為頂點(diǎn)畫(huà)四邊形，求所畫(huà)四邊形是平行四邊形的

概率.

【答案】⑴5

【分析】此題主要考查了利用樹(shù)狀圖求概率，根據(jù)已知正確列舉出所有結(jié)果，進(jìn)而得出概率是解題關(guān)鍵.

根據(jù)從A、D、E、尸四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，只有選取O點(diǎn)時(shí)，所畫(huà)三角形是等腰三角形,

即可得出答案；

⑵利用樹(shù)狀圖得出從A、D、E、尸四個(gè)點(diǎn)中先后任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，一共有12種可能，進(jìn)而得出以點(diǎn)4

E、B、C為頂點(diǎn)及以F、B、C為頂點(diǎn)所畫(huà)的四邊形是平行四邊形，即可求出概率.

點(diǎn)評(píng)

【詳解】（1）

根據(jù)從4D、E、P四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，只有選取。點(diǎn)時(shí)，所畫(huà)三角形是等腰三角形,

故P（所畫(huà)三角形是等腰三角形）=；;

4

（2）用“樹(shù)狀圖”列出所有可能的結(jié)果：

開(kāi)始

ZAKZDNZNEF

DEFAEFADFAED;當(dāng)選取的兩個(gè)頂點(diǎn)為點(diǎn)&、石或點(diǎn)。、尸時(shí)，所畫(huà)的四邊形是

平行四邊形，

???所畫(huà)的四邊形是平行四邊形的概率P=展=/

29.（2023蘭州市模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4B分別在y軸和無(wú)軸上，^ABO=60°,在坐

標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使得4PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】分類(lèi)討論：作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn),

以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案.

【詳解】作AB的垂直平分線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到P5,此時(shí)AP=BP；

以A為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得至UP2和P6,此時(shí)AB=AP；

以B為圓心AB為半徑作圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到Pl、P3和P4,止匕時(shí)BP=BA；

綜上所述：符合條件的點(diǎn)P共有6個(gè).

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來(lái)，不遺漏掉任何一種情況是本

題的關(guān)鍵.

30.(2020?江蘇泰州?一模)已知點(diǎn)A(2,m),點(diǎn)P在y軸上，且APOA為等腰三角形，若符合條件的點(diǎn)P

恰好有2個(gè)，則m=.

【答案】0或士學(xué)

【分析】由于當(dāng)OP=OA時(shí)，這樣的P點(diǎn)一定有2個(gè)，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，這時(shí)才滿足

符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，從而得到m=0,當(dāng)4P=。4時(shí)，可得n=2m,n為任何值均成立，然后將n=2m

分別代入另外兩種情況中求出m的值即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(0,n)

①當(dāng)。尸=。4時(shí)，這樣的尸點(diǎn)一定有2個(gè)，

???PO二用不存在，也不存在，

???A點(diǎn)在x軸上，

此時(shí)m=0.

②當(dāng)4P=。4時(shí)，22+(m—n)2=22+m2

可得九(九—2m)=0

??,點(diǎn)P、O、A能夠成三角形

：.n=2m,n為任何值均成立

③當(dāng)。尸=P4時(shí)，n2=22+(m—n)2

可得44-m2-2mn=0

???符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)

.*.22+m2=層與4+m2—2mn=0應(yīng)該存在兩個(gè)不同的解

/.將幾=27n代入2?+m2="中

可得2?+m2=(2m)2

解得血=±誓

將71=27n代入4+m2—2mn=0中

可得4+m2—4m2=0

解得血=±誓

故答案為：?；蛲?^.

P

.A

------------------------------------>

0

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的問(wèn)題，掌握等腰三角形的性質(zhì)以及判定、勾股定理、解一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

31.(2024君山區(qū)一模)已知坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)4(1,1),試在久軸上找到一點(diǎn)P,使A40P為等腰三角形，寫(xiě)出

滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

【答案】(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；利用分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意分O4=4P1，OA=OP2,OP3^AP3=1,=?！?,四種情況討論求解即可.

【詳解】解：如圖：

...△40P1是等腰三角形，且B點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)；

②當(dāng)。A=OP2時(shí)?！?=OA=Vl2+I2=V2,且P2在無(wú)軸的負(fù)半軸時(shí)，

點(diǎn)坐標(biāo)是(一V2,0).

③當(dāng)?！?=AP-i=1,

...△Q4P3就是等腰三角形，且P3的坐標(biāo)是(1,0)；

④當(dāng)。4=?！?應(yīng)，且”在x軸的正半軸時(shí)，「4點(diǎn)坐標(biāo)是(魚(yú)，0),

故答案為：(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

□題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合

32.(2024通遼市模擬)如圖，在ZMBC中，AB=AC,BC=4,面積是10.4B的垂直平分線ED分別交

邊于E、。兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)，則APBF周長(zhǎng)的最小值為.

【分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由垂直

平分線的性質(zhì)可得4與B關(guān)于ED對(duì)稱，連接4P,AF,當(dāng)4、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，APBF周長(zhǎng)最小為2F+的

長(zhǎng).

【詳解】解：「ED是線段48的垂直平分線,

2與B關(guān)于ED對(duì)稱，

連接力P,AF

c

PBF周長(zhǎng)=PB+PF+FB=