二次函數(shù)（13個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單07二次函數(shù)（13個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考曼［*單

一般式

開(kāi)口方向

對(duì)稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

【清單01】次函數(shù)的概念

一般地，形如嚴(yán)辦2+樂(lè)+。（Q,b,。是常數(shù)，。加）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

【清單02】二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=ax1-irbx+c（a,b,c為常數(shù)，〃加）.

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-A）2+k（a,h,左為常數(shù)，。加），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,左）.

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（%-%2）,其中不，％2是二次函數(shù)與工軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，＜#0.

【清單03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

解析式二次函數(shù)產(chǎn)aN+bx+c（q,b,c是常數(shù)，存0）

b

對(duì)稱軸x=---

2a

,b4ac-b2、

頂點(diǎn)

2a4a

。的符號(hào)a>0。<0

yh

圖象

/,-TfV

開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下

*b4ac-b2%b4ac-b2

最值當(dāng)X一時(shí)，＞最小值一當(dāng)廠時(shí)，丁最大值一

2a4。2a4a

最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)

1

當(dāng)XV-2時(shí)，y隨X的增大而減??；當(dāng)了＜-2時(shí)，y隨x的增大而增大；

2a2a

增減性

當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x的增大而增大

當(dāng)時(shí)，夕隨X的增大而減小

2。2。

【清單04】拋物線的平移

二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化

后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式.

向乎＞。）［或下依。）】平移㈤個(gè)單位

向右仇＞0）向右（力＞0）

【或左（加0）］［或左仇＜0）］

平移同個(gè)單位平移網(wǎng)個(gè)單位

回任起向上go）［或下依0）】平移崗個(gè)單位》爐業(yè)訓(xùn)斗后

【清單05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1）二次函數(shù)產(chǎn)ad+^x+c（分0）,當(dāng)y=0時(shí)，就變成了,一■元二次方程ax2+6x+c=0（存0）.

2）ax2+bx+c=0（存0）的解是拋物線y=ax2+6x+c（存0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3）（1）爐_4℃＞00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）〃-4ac=0Q方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

【清單06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問(wèn)題，它的一般方法是：

（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍

（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值

【清單07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問(wèn)題

二次函數(shù)與幾何知識(shí)聯(lián)系密切，互相滲透，以點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相

似、最大（?。┟娣e、周長(zhǎng)等結(jié)合起來(lái)，解決這類問(wèn)題時(shí)，先要對(duì)已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點(diǎn)的

等、坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問(wèn)題得到解決.解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就

是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題

目的

2

盛型需單

【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的概念

【典例1-1】下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（）

A.y—3x—1B.y—ax2+bx+cC.y—2x2—1D.y—x2+-

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義.根據(jù)形如丫=a/+法+

c（a豐0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)可得答案.

【詳解】解：A、y=3x-l是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、y=ax?+bx+c當(dāng)a=0時(shí)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、y=2久2-1是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、y=/+工分母含有自變量，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

X

故選：C.

【典例1-2】關(guān)于x的函數(shù)y=（m—l）xm2+1+5是二次函數(shù)，則小的值是.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的概念：關(guān)于自變量的二次三項(xiàng)式，一般形式為y=a/+b%+c（aA0）,

a、b、。是常數(shù)；根據(jù)概念得1力0,m2+1=2,求解即可.

【詳解】解：由題意得：m-10,m2+1=2,

解得：m――1：

故答案為：-L

【變式1-1】下列屬于二次函數(shù)的是（）

A.y=-2x2+3B.y=2xC.y=§D.y=-x+1

【答案】A

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，一般地，把形如丫=。/+人+°9M0）其中0,b,c是常數(shù)

的函數(shù)叫做二次函數(shù).根據(jù)二次函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、y=—2/+3,是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

B、y=2x,是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、y=L是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

X

3

D、y=-x+1,是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【變式1?2］若y=(m-4)/_5%+3表示歹是x的二次函數(shù)，則m的取值范圍為.

【答案】mH4

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，利用二次函數(shù)的定義得出關(guān)于血的不等式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)形如、=。%2+5%+4見(jiàn)瓦。為常數(shù)，。。0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，可得答案.

【詳解】解：由題意得，m-4^0,

解得THH4,

故答案為：血。4.

【變式1-3］若y=(m-2)%/一2+3%是關(guān)于%的二次函數(shù)，則m的值為.

【答案】-2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)定義，掌握形如丫=。%2+次+。(服b、。是常數(shù)，QW0)的函數(shù)叫

做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

利用二次函數(shù)定義可得加2一2=2,且加一2。0,計(jì)算出冽的值即可.

【詳解】解：:y=(血一2)%7n2-2+3%是關(guān)于%的二次函數(shù)，

/.m2—2=2,且zn—2W0,解得：m=—2.

故答案為：-2.

【考點(diǎn)題型二】特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【典例2】對(duì)于拋物線y=-2(%—1)2+3,下列判斷正確的是()

A.函數(shù)最小值是3B.當(dāng)久＞1時(shí)，y隨x的增大而增大

C.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,3)D.對(duì)稱軸為直線％=1

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)y=a(x-fl?+k的圖像和性質(zhì)，由拋物線y=-2(%-I)2+3可得出

拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸直線為x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,3),進(jìn)而可得出函數(shù)的最大值為3,且當(dāng)x〉l

時(shí)，y隨x的增大而減小，即可判斷.

【詳解】解：：拋物線丫=一2?！?)2+3,a=—2＜0,

二拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸直線為％=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,3),

???函數(shù)的最大值為3,且當(dāng)久＞1時(shí)，歹隨x的增大而減小，

故選：D.

4

【變式2-1］若二次函數(shù)y=/+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(―1,%)，(3,m)，則為與力的大小關(guān)系為()

A.yt=y2B.>y2C.<y2D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了比較函數(shù)值的大小，根據(jù)二次函數(shù)丫=d+3的對(duì)稱軸為y軸，以及開(kāi)口向上可

知，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，判斷即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)解析式為：y=/+3,

.。.對(duì)稱軸為y軸，

，點(diǎn)(T,yD到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)(3,%)到對(duì)稱軸的距離，

=1>0,

yi<y2>故C正確?

故選：C.

【變式2-2］拋物線y=(x-I)2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】B

【分析】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=。(>-/1)2+卜9力。)，頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(無(wú)水)，即可解答.

【詳解】解：拋物線y=0—1)2—2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,—2),

故選：B.

【變式2-3］設(shè)4(一5,%)，B(l,y2),。(2,乃)是拋物線V=-G+3上的三點(diǎn)，貝|乃，y2,乃的大

小關(guān)系為()

A.y2>73>yiB.yi>y3>y-iC.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.也考查了

二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=-(x+1)2+3的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線X=-1,

然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小.

【詳解】解：???拋物線y=—(久+1)2+3的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線％=-1,

'''|—5—(―1)|-6,11—(―1)|=2,|2—(—1)|=3,即6>3>2,

力(-5,月)離直線久=-1的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)離直線*=-1最近，

?1?y2>y3>yi-

故選：A.

5

【變式2-4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=—(x-5)2+1,當(dāng)2<x<6時(shí)，y的取值范圍為

【答案】一8<yW1

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì).求得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象

即可得出當(dāng)％=5,函數(shù)有最大值1；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最小值-8,進(jìn)而求得它們的范圍.

【詳解】解：???拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線久=5,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1),

.?.在2<x<6范圍內(nèi)，當(dāng)x=5,函數(shù)有最大值為1；當(dāng)％=2時(shí)函數(shù)有最小值：y=-9+1=-8,

故答案為：一8<yW1.

【考點(diǎn)題型三】與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識(shí)

【典例3】如圖，拋物線Ci：y=/—軌的對(duì)稱軸為直線x=a,將拋物線的向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到

拋物線C2,則圖中的兩條拋物線、直線x=a與y軸所圍成的圖形(陰影部分)的面積為.

【答案】10

【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，平移的性質(zhì)，理解圖中陰影部分為平行四邊形OEFG是解題的關(guān)

鍵.先求出11的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)求出的的頂點(diǎn)坐標(biāo)，G的坐標(biāo)，求出平行四邊形OEFG的面

積即可.

【詳解】解：?.?拋物線的:y=x2-4x=(x-2,一4,

...對(duì)稱軸為x=2,頂點(diǎn)為(2,—4)

..?拋物線的向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2，

點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

故兩條拋物線、直線x=a與y軸所圍成的圖形(陰影部分)的面積為5x2=10.

故答案為：10.

【變式3-1］如圖，已知拋物線為=—1必+4,-2<x<2,將為向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得拋物線為，

6

則圖中陰影部分的面積s=

【答案】8

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.根據(jù)已知得出陰影部分即為平行四邊形的面積.

【詳解】解：根據(jù)題意知，圖中陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積，故陰影部分面積為：2x

4=8.

故答案為：8.

【變式3-2】如圖，拋物線y=1%2—3與久軸交于力，8兩點(diǎn)，尸是以點(diǎn)C(0,4)為圓心，1為半徑的圓上的

動(dòng)點(diǎn)，。是線段AF的中點(diǎn)，連接OD,BF則線段。。的最大值是.

【答案】3

【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等知識(shí)；運(yùn)

用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵和難點(diǎn).

連接PB,根據(jù)函數(shù)解析式，求B坐標(biāo)，然后求出BC=5,。是線段AF的中點(diǎn)，。是線段的中點(diǎn)，故BF

是△力BF的中位線，當(dāng)B、C、F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在BF之間時(shí)，BF最大,即可求解.

【詳解】解：連接BC,CF,

7

???拋物線y=1%2—3與%軸交于z、B兩點(diǎn),

令y=0即0=1%2—3,

解得%1=-3或%2=3,

.??力(-3,0),8(3,0),

0A=0B=3,

,"(0,4),

0C=4,

BC=V42+32=5,

。是線段4F的中點(diǎn)，。是線段的中點(diǎn)，

故。。是△4BP的中位線，

OD—BF,

2

。。最大，即BF最大，

即B、C、F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在BF之間時(shí)，BF最大,

BFmax-BC+CF=6,

1

ODmax=-BFmax=3,

故答案為：3.

【變式3-3】將拋物線丫=-久2向右平移后，所得新拋物線的頂點(diǎn)是8,新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)/(如

圖所示)，聯(lián)接。力、如果△AOB是等邊三角形，那么點(diǎn)3的坐標(biāo)是.

8

【答案】B(2V3,0)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵.由題意設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(犯一爪2),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

F(2m,0),解出小的值即可得到答案.

【詳解】解：?點(diǎn)/在拋物線y=—/上，

二設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(叫-m2),

???△49B是等邊三角形，

二B(2m,0),m=

m=百或m=0(舍)，

.-.B(2V3,0).

故答案為：B(2V3,0).

【變式3-4］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形力BCD的頂點(diǎn)/、8、C的坐標(biāo)分別為(1,1)、(1,4)、(4,4).若

拋物線y=ad的圖象與正方形48CD有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【答案】^<a<4

16

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，求出拋物線經(jīng)

過(guò)兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的a的值即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：：正方形A8CD的頂點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為(1,1)、(1,4)、(4,4).

/.￡)(4,1),

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(1,4)時(shí)，貝必=4,

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)D(4,l)時(shí),a=2,

16

觀察圖象可知，拋物線y=a/的圖象與正方形ABCD有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是2WaW4,

故答案為：a<4.

16

9

【考點(diǎn)題型四】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

【典例4］已知二次函數(shù)y=一支+1,則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是()

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為B.函數(shù)的最大值為高

C.當(dāng)xWl時(shí)，y隨x的增大而減小D.若1<久1<%2，則為<了2

【答案】D

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).先利用配

方法得到y(tǒng)=2(x-i)2+p可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：y=2/-比+1=2(x-?+看，

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G3),

???拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為Gi),函數(shù)的最小值為(拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

二當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，

二若1</<冷，則當(dāng)<九，

二選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D正確，符合題意，

故選：D

【變式4-1】下列關(guān)于二次函數(shù)y=—3(x+l)(x—2)的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是()

A.點(diǎn)(0,2)在函數(shù)圖象上B.開(kāi)口方向向上

C.對(duì)稱軸是直線x=1D.與直線y=3x有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.求出x=0

時(shí)，y的值即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)-3<0即可判斷選項(xiàng)B；將二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式即可判斷選

項(xiàng)C；聯(lián)立二次函數(shù)與直線y=3x可得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由此即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：當(dāng)％=0時(shí)，y=-3x1x(-2)=6,

則點(diǎn)(0,2)不在函數(shù)圖象上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

V-3<0,

拋物線的開(kāi)口方向向下，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

y=-30+1)(久-2)=—3卜一丁+9，

則對(duì)稱軸是直線％=號(hào)選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

10

聯(lián)立/=—3（%+?（%—2）,得d_2=o,

（.y=3x

解得x=±VX

則與直線y=3x有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確；

故選：D.

【變式4-2】已知二次函數(shù)y=-+27nx+4（m>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（一2/1）,點(diǎn)B（l,y2），點(diǎn)。（3,丫3），那么

yi，y2?乃的大小關(guān)系為（）

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y-iC.y2<ys<7iD.乃<乃<為

【答案】B

【分析】本題考查利用二次函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值大小，涉及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、比較二次函數(shù)值大小

等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，利用圖像上點(diǎn)到對(duì)稱軸距離比較函數(shù)值大小即可得到答案，熟練掌

握利用距離比較二次函數(shù)值大小的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=-m久2+2小久+4（m>0）可知拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為*=-二詈=1,

—2m.

???拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸距離越近，函數(shù)值y越大，

?.?二次函數(shù)y=-機(jī)久2+27nx+4（巾>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（-2,丫1）,點(diǎn)2（1,乃），點(diǎn)C（3,y3），

三個(gè)點(diǎn)4、B、C到對(duì)稱軸的距離為3、0、2,

為<為<為，

故選：B.

【變式4-3】二次函數(shù)丫=。d+支一6的圖象與x軸交于4（-3,0）、3兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.它的對(duì)稱軸為直線x=lB.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-最-6）

C.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,0）D.當(dāng)尤<一1時(shí)，y隨x的增大而增大

【答案】C

【分析】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).待定系數(shù)法求得

二次函數(shù)解析式，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：??,二次函數(shù)y=a/+%一6的圖象與x軸交于4（一3,0）,

A9a-3-6=0,解得：a=1,

?,.二次函數(shù)解析式為y=%2+%-6,

*.*y=%2+x—6=+0—F，

11

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線％=-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3-號(hào))，

故A,B選項(xiàng)不正確，不符合題意；

?：a=1>0,

拋物線開(kāi)口向上,

.,.當(dāng)X<-1時(shí)，y隨x的增大而減小,

故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；

當(dāng)y=0時(shí)，x2+x-6=0,

解得：久1=-3,乂2=2,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),

故C選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：C.

【變式4-4］拋物線y=a/+bx+c(a40),y與X的部分對(duì)應(yīng)值如表所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤是()

A.開(kāi)口向下

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性、增減性以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo).

根據(jù)圖表信息判斷出拋物線的開(kāi)口向下對(duì)稱軸為直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性

解答.

【詳解】解：由圖可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

?.?久=1時(shí)，y=4最大，

拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x<l時(shí)，y隨支的增大而增大，

當(dāng)x=3與％=-1時(shí)，y值相等，

?-,x――2時(shí)，y—5,

；.%=爪=4時(shí)，y=—5.

故選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選：C.

【考點(diǎn)題型五】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值與求參數(shù)范圍問(wèn)題

12

【典例5］已知二次函數(shù)y=/—2ax+a2—1,當(dāng)—1WxW2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為3,則

a的值為()

A.1或0B.1或2-百C.2-百或百一1D.0或百一1

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)解答.

根據(jù)二次函數(shù)y=/—2ax+a2-1,可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)當(dāng)—時(shí)，函數(shù)的最大

值與最小值的差為3和二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論列出方程，然后求解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)y-x2-2ax+a2-1-(<x-a)2-1,

該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線刀=a,函數(shù)的最小值為-1,

???函數(shù)的最大值與最小值的差為3,

...函數(shù)的最大值為2,

?.?當(dāng)—1WxW2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為3,

=ici—(-1)>2—a,即a>［時(shí)，x=-1時(shí)，y=2,

(-1)?+2a+a?-1=2,

解得的=百—1,a2――V3—1(舍去)，

當(dāng)a—(—1)<2—a,即(1<斷寸，x=2時(shí)，y=2,

22—4a+a2—1=2,

解得的=2+b(舍去)，a2—2—V3,

故選：C.

【變式5-1】已知二次函數(shù)y=/-b久+1,當(dāng)一gw比W決寸，函數(shù)y有最小值1，則6的值為()

A.一/或日B.一日或|C.±V2D.一/或一日

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)的最值求系數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

分三種情況：當(dāng)時(shí)，即一3<b<l時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值/當(dāng)拉斷寸，即b>l時(shí),

當(dāng)x/時(shí)，函數(shù)有最小值?；當(dāng)*一瓶寸，即6<-3時(shí)，當(dāng)％=-|時(shí)，函數(shù)有最小值去分別求解即可.

【詳解】解：=久2一6久+1=(X一§+1-\

13

又??,當(dāng)一日三%時(shí)，函數(shù)y有最小值也

.?.當(dāng)W.時(shí)，即一3<匕<1時(shí)，當(dāng)％=-割寸，函數(shù)有最小值g

2

.1b1

解得：b=土近,

?7

:D--

-

b1

當(dāng)V2

>叱

---

22即b>l時(shí)，當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)有最小值去

"(I)-1h+1=P

解得：力=|；

當(dāng)?《一日時(shí)，即人4―3時(shí)，當(dāng)、=—|時(shí)，函數(shù)有最小值%

???(一丁+|6+]=$

解得：b=~(舍去)，

綜上，當(dāng)—|<xW現(xiàn)寸，函數(shù)y有最小值提6的值為—魚(yú)或1.

故選：A.

【變式5-1]已知二次函數(shù)y=一4m%+1,其中租>0.若當(dāng)04%44時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6

個(gè)，則加的取值范圍為()

1355353

A.-<m<-B.1<m<-C.-<m<-D.-<m<-

2444242

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟

練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

由y=m(x2—4x+4)—4m+1=m(x—2)2—4m+1,可知函數(shù)的最小值為1—4m,當(dāng)0W久W4時(shí),

最大值為1，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則一5<1-4,解得即可.

【詳解】丫y=mx2—4mx+1

?t?y=m(x2—4%+4)—4m+1,

2

y=m(x—2)—4m+1,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1-4m),

?,?當(dāng)％=0或%=4時(shí)，y=1,

14

???當(dāng)％=2時(shí)，y有最小值為1-4m,

m>0,

...當(dāng)。《尤W4時(shí)，y的最大值為1,

???m>0,當(dāng)0WxW4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，

;這6個(gè)整數(shù)值為：1、0、一1、一2、一3、-4,

???—5<1—4m<—4

解得：1<m<|

4Z

故選：D

【變式5-2】已知拋物線y=Y+(2a—l)x-3,若當(dāng)一時(shí)，函數(shù)的最大值為1,則。的值

為.

［答案］-1或-或-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論.先求出二次函

數(shù)的對(duì)稱軸為直線久=-號(hào)，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性并結(jié)合-1W久W3,分類討論解答即可.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)y=d+(2a—l)x—3,

...二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線萬(wàn)=-等，

①當(dāng)一笥1>3,即,時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在-1WxW3上y隨x的增大而減小，在x=—l取最大值,

即1一(2a—1)—3=1,解得a=—1,與a<—|'不符；

②匚y—<—V—3即—gWa<—那寸，此時(shí)久—1離二次函數(shù)對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，

二次函數(shù)在x=-1取最大值，即1—(2a-1)一3=1,解得a=-1；

③當(dāng)—1<—1<-1!|〕—<<2<瓶寸,此時(shí)X=3曷二次函數(shù)對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，

二次函數(shù)在x=3取最大值，即9+3(2a—l)—3=1,解得a=—1；

④當(dāng)—等〈—1即。>|時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在—1<x<3上了隨x的增大而增大，在乂=3取最大值，9+

3(2a—l)—3=l,解得a=-：與a2弓不符.

綜上，a的值為—1或—

故答案：—1或—

15

【考點(diǎn)題型六】根據(jù)二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像判斷有關(guān)的信息

【典例6】二次函數(shù)y=a/+6%+以。70）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc<0；②2a+b=0；

③加為任意實(shí)數(shù)，則a+bWm（即1+b）；@a—b+c>0；⑤若a蜉+bx1=ax；+bx2，且勺力盯，則

%1+x2=2.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系.根據(jù)圖象正確的獲取信息，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)

行判斷，是解題的關(guān)鍵.

①根據(jù)開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)位置，進(jìn)行判斷；②利用對(duì)稱軸進(jìn)行判斷；③利用最值進(jìn)行判

斷；④根據(jù)對(duì)稱性和圖象上的點(diǎn)，進(jìn)行判斷；⑤利用對(duì)稱性進(jìn)行判斷.

【詳解】解：???拋物線開(kāi)口向上，則a>0，

:對(duì)稱軸為直線％=-?=1,則6=-2a<0,

2a

/.2a+/）=0,故②正確

拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則cvo,

：.abc>0,故①錯(cuò)誤；

???當(dāng)?shù)?1時(shí)，取得小值，

a+6+c<am2+bm+c,

當(dāng)冽為任意實(shí)數(shù)，則a+b<7n（aTH+b）,故③正確，

④???拋物線關(guān)于1=1對(duì)稱，

/.%=-1和％=3的函數(shù)值相同，

即：a—b+c=9a2+3/）+c,

由圖象知，當(dāng)％=3時(shí)，函數(shù)值大于0,

?，.a—b+c>0,故④正確；

16

⑤當(dāng)?shù)?，%2關(guān)于X=1對(duì)稱時(shí)：即：+%2=2%=2時(shí)，

%1，第2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，

222

即：ax^+bxr+c=ax2+bx+c,

222

axr+bxr=ax2+bx2

2212，+%2=

+bxr=ax2+bx,且%。％則小2；故⑤正確；

綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個(gè)，

故選：C.

【變式6-1］在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=a%2+b%+c（aW0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：

①abcVO；②c+2a<0；③9。-3b+c=0；@4ac—b2>0；⑤a—b>mQam+b）（m為任意實(shí)數(shù)）.其

中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

X=-\

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷得到答案即可.由拋物線的開(kāi)口方向判

斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行

推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①由拋物線可知：a>0,c<0

對(duì)稱軸久=一?<0,

2a

b>0,

???abc<0,故①正確；

②由對(duì)稱軸可知：一?=一1,

2a

???b—2a,

???y=ax2+2ax+c,

17

???拋物線過(guò)點(diǎn)（1,0）,

???a+2。+c=0,

?<-c+2a=-a<0,故②正確；

③（1,0）關(guān)于％=-1的對(duì)稱點(diǎn)為（一3,0）,

.?.%=-3時(shí)，y=9a-3b+c=0,故③正確;

④拋物線與久軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

A>0,

即提—4ac>0,

4ac-b2<0,故④錯(cuò)誤；

⑤當(dāng)久=-1時(shí)，y的最小值為a-b+c,

/.%=TH時(shí)，y=am2+bm+c,

/.am2+bm+c>a—b+c,

即a-b<m（am+b）,故⑤錯(cuò)誤；

故錯(cuò)誤的有：④⑤.

故選：B.

【變式6-2］如圖，已知頂點(diǎn)為（-3,-6）的拋物線丫=。必+匕％+c過(guò)（-1,一4）,則下列結(jié)論：①abcVO；

②對(duì)于任意的K，均有曲濃+力6+。+6>0；@—5a+c=—4；④若a/++。之一4,則無(wú)之一1；

⑤a〈/其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)，即可判斷a,瓦c的符號(hào)，即可判斷①，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)

求得最值，即可判斷②，把（一1,一4）代入y=ax2+bx+c,得a—h+c=a—6a+c=—5a+c=-4,

故③正確，由（―1,—4）關(guān)于直線第=—3對(duì)稱的點(diǎn)為（—5,—4）,進(jìn)而得若a/+b%+。>—4,則%>—1

或久<-5,故④錯(cuò)誤；由拋物線y=ax2+b%+c的頂點(diǎn)為（一3,-6）,b=6a,得c=9a-6,再由一5a+

18

c=-4,得a=1vg，故⑤正確.

【詳解】解：???拋物線開(kāi)口向上，

a>0,

?對(duì)稱軸為直線第=—3=—?<0,

2a

/.b>0,b=6a,

??,拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

c<0,

abc<0,故①正確；

??,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,-6）,即％=-3時(shí)，函數(shù)有最小值，

???ax2+fax+c>—6,

???對(duì)于任意的第，均有曲*+萬(wàn)7n+。+6之0,故②錯(cuò)誤；

:拋物線y=ax2+b%+c過(guò)（一1,一4）,

?*.CL-b+c=CL—6a+c——5a+c——4,故③正確；

???拋物線y=ax2+b%+c過(guò)（-1,一4）,（―1,一4）關(guān)于直線X=-3對(duì)稱的點(diǎn)為（-5,-4）,

???若a/+b%+。之一%則久之一1或工工一5,故④錯(cuò)誤；

:拋物線y=ax2+b%+c的頂點(diǎn)為（一3,-6）,b=6a,

,4ac—b24ac—36a2八,

??-----=-----------=c—9a=-6,

4a4a

c=9a—6,

,?*—5a+c=-4,

?'?-5a+9a—6=-4,

解得a=[</故⑤正確.

正確的個(gè)數(shù)為3.

故選：B.

【變式6-3]如圖，已知二次函數(shù)y=a/+6%+c（a40）的圖象與%軸交于點(diǎn)4（一1,0）,與y軸的交點(diǎn)在

（0,-2）和（0,-1）之間（不包括這兩點(diǎn)）,對(duì)稱軸為直線x=1,下列結(jié)論:①4a+2b+c>0；@4ac-b2<

8a；<a<I；@b>c；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

19

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a豐0)系數(shù)符號(hào)由拋物線

開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對(duì)稱軸及

拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①：圖象與x軸交于點(diǎn)4(—1,0),對(duì)稱軸為直線久=1,

圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),

/.當(dāng)x=2時(shí)，y<0,

.,.4a+2b+c<0,故①錯(cuò)誤；

②；函數(shù)開(kāi)口方向向上，

a>0,

:拋物線與y軸交點(diǎn)在(0,-2)和(0,-1)之間，對(duì)稱軸為直線％=1,

頂點(diǎn)縱坐標(biāo)要小于-1,

二竺*<-1,且a>0,

4a

/.4ac—b2<—4a<8a,故②正確；

③：圖象與y軸的交點(diǎn)在(0,-2)和(0,—1)之間，

—2VcV—1,

,/圖象與X軸交于點(diǎn)4(—1,0)和(3,0),

ax2+bx+c=0的兩根為一1和3,

由韋達(dá)定理可知：￡=—1x3,

a

??c—3a,

—2V—3aV—1,

.*.i<a<-|,故③正確；

④??,對(duì)稱軸為直線為％=-?=1，

2a

20

??b=—2a,

?CL>0,c=3a,

：.b>c,故④正確.

綜上所述，正確的有②③④，

故選：C.

【變式6-4】如圖，二次函數(shù)丫=a/+6%+c的圖象與〉軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(fl),下列結(jié)論:

①abc<0；②抉—4ac>0；③a+b+c<0；@a+b=0；⑤4ac—b2=4a.其中正確的個(gè)數(shù)是()

斗

lr—

O\1\x

2\

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次函

數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性.

【詳解】解：???拋物線開(kāi)口向下，

a<0,

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線X="=：,

2a2

/.b=—a>0,

:拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

c>0,

abc<0,所以①正確；

???拋物線與K軸有2個(gè)交點(diǎn)，

=b2-4ac>0,所以②正確；

:拋物線的對(duì)稱軸為x=g,

/.X=0和X=1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，

.,?久=1時(shí)，y>0,即a+b+c>0,所以③錯(cuò)誤

*.*b=-a,

21

a+fa=0,所以④正確；

???頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)為1,

?4ac-b2_1

??=_L,

4a

.'.4ac-b2-4a,所以⑤正確.

故選：D.

【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移變換

【典例7】將拋物線y=d向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的解析

式為()

A.y=(%+5)2+2B.y—(x-5)2+2

C.y=(x+5)2-2D.y=(%-5)2-2

【答案】A

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律.根

據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進(jìn)行求解即可；

【詳解】解：將拋物線y=d向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后可得：y=(久+5)2+2,

故選：A.

【變式7-1】將拋物線y=3/先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移I個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析

式是()

A.y=3(x+l)2+2B.y=3(x—l)2+2

C.y=3Q—2/+1D.y=3(x-2)2-1

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)得圖像與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖像平移得法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可.

【詳解】將拋物線y=3/先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是

y=3(%—2)2+1.

故選C.

【變式7-2】要得到二次函數(shù)y=-(x-2)2+1的圖象，需將y=-久2的圖象()

A.向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位

B.向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位

22

C.向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位

D.向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

【答案】B

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可.

【詳解】解：根據(jù)“左加右減，上加下減”規(guī)律：

二次函數(shù)y=-好的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即可得到二次函數(shù)y=-(%-2)2+1

的圖象.

故選：B.

【變式7-3］在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=/+i先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到的新的拋物線的函數(shù)解析式為()

A.y=(x-3)2—1B.y=(x+3)2+3

C.y=(x+3)2-1D.y=Q-3)2+3

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律

求函數(shù)解析式.根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：將拋物線y=壯+1先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新的拋

物線的函數(shù)解析式為y=(久一3