專題01 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓（原卷版）

專題01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓【題型目錄】題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關系題型二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題題型三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍題型四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關系式題型五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值題型六二次函數(shù)與x、y軸的交點坐標問題題型七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題題型九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題【知識梳理】知識點二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值0．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，知識點三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關系學生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學們解惑．1．基礎四看“基礎四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點位置，看與x軸的交點個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎上進行一些簡單的組合應用．2．組合二看(1)三全看點在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應的y的值時進行判斷即可．(2)有缺看軸當a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學們來講難度是較大的，如何解決呢？其實我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因為有對稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應點坐標代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進行相關判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系，解題的關鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標軸的交點及其圖象中特殊點的位置，確定出與0的大小關系及含有的代數(shù)式的值的大小關系.(1)決定開口方向:當時拋物線開口向上;當時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當同號時，對稱軸在軸左側(cè);當異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點的縱坐標:當時，圖象與軸交于正半軸;當時，圖象過原點;當時，圖象與軸交于負半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點的個數(shù):當時，拋物線與軸有兩個交點;當時，拋物線與軸有一個交點;當時，拋物線與軸沒有交點.(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點坐標中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點式，找出頂點坐標，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關系】【例1】（2023·安徽黃山·?？家荒＃┤鐖D，拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點在第四象限，對稱軸是直線，過第一、二、四象限的直線（k是常數(shù)）與拋物線交于x軸上一點．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④當拋物線與直線的另一個交點也在坐標軸上時，；⑤若m為任意實數(shù)，則．其中正確的有（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式訓練】1．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象關于直線對稱，與x軸交于，兩點，若，則下列四個結(jié)論：①，②，③，④，⑤．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點坐標為，與x軸的一個交點為，點A和點B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個交點為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號即可）．

3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當時，，則的取值范圍是_______．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題】【例2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知，二次函數(shù)的對稱軸為y軸，將此函數(shù)向下平移3個單位，若點M為二次函數(shù)圖象在（）部分上任意一點，O為坐標原點，連接，則長度的最小值是（

）A． B．2 C． D．【變式訓練】1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的表達式為，將其圖象向右平移個單位，得到二次函數(shù)的圖象，使得當時，隨x增大而增大；當時，隨x增大而減小．則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標軸上的線段長，D為的頂點，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長．若過原點的直線被拋物線，所截得的線段長相等，則這條直線的解析式為______．3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標及其函數(shù)表達式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點，點，點在該拋物線上，其橫坐標為，若該拋物線在點左側(cè)部分（包括點）的最低點的縱坐標為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓練】1．（2021秋·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團（總校）?？计谥校┒魏瘮?shù)y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝2，若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級?？茧A段練習）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點在該二次函數(shù)上．①當時，求的值；②當時，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關系式】【例4】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學?？既＃┬堄妹椟c法畫二次函數(shù)（，，是常數(shù)，）圖象時，部分列表如下：…01……034…依據(jù)以上信息，判斷以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．圖象頂點在第一象限 B．點在該圖象上，若，則C．和4是關于的方程的兩根 D．若恒成立，則【變式訓練】1．（2022春·浙江湖州·九年級專題練習）如圖，將一個含45°的直角三角板放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點的坐標為，點在軸上．過點，作拋物線，且點為拋物線的頂點．要使這條拋物線經(jīng)過點，那么拋物線要沿對稱軸向下平移（

）A．5個單位 B．6個單位 C．7個單位 D．8個單位2．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，過點作平行于軸的直線，交拋物線于點，連接，若點關于直線的對稱點恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點M．①求點M的坐標和k的值．②若，當時，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知點，在的圖象上，下列說法錯誤的是（

）A．當時，二次函數(shù)與軸總有兩個交點B．若，且，則C．若，則D．當時，的取值范圍為【變式訓練】1．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于點，（點在的左側(cè)），與軸交于點．點在線段上，點與點關于拋物線對稱軸對稱，連結(jié)并延長交軸于點．若，則點的橫坐標為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學校校考期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點，求這個二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點．①若，則，試求的值；②當，對任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點坐標問題】【例6】（2023·陜西西安·校考模擬預測）若拋物線向上平移個單位后，在范圍內(nèi)與軸只有一個交點，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）拋物線與坐標軸的交點個數(shù)有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點分別是“芒果”與坐標軸的交點，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長為4，則圖中的長為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當時，關于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·河南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）已知拋物線，若時，拋物線上一點滿足：當時，，則m的值是（

）A．0 B． C．0或 D．0或4【變式訓練】1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知拋物線經(jīng)過，，三點，．當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則的值為（

）A． B．3 C． D．42．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點、，滿足且這兩點在對稱軸兩側(cè)，當時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當，時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標．(2)設該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是，當該函數(shù)圖象經(jīng)過點時，求n關于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）定義：兩個不相交的函數(shù)圖象在平行于軸方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“完美距離”．拋物線與直線的“完美距離”為（

）A． B．3 C． D．【變式訓練】1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）定義表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如，，，，．函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的根的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為_______．3．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來末翻折部分形成一個新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點（1，0），（5，0），與軸交于點，求拋物線的解析式，并在坐標系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點作軸的平行線與拋物線交于點，求線段的長度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當函數(shù)的函數(shù)值大于2時，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點，當時，至少存在一個x使得成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D．若直線與、共有2個不同的交點，則m的取值范圍是______．3．（2023·浙江寧波·?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交點C的坐標為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點P是坐標平面內(nèi)的一動點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對應點分別是、．①當與D點重合時，請在圖中畫出線段，并直接寫出點P的坐標；②當點P在線段上，若線段與拋物線有公共點，請直接寫出P點的橫坐標m的取值范圍．【重難點訓練】1．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)的圖象過兩點，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)（m為常數(shù)），當自變量x的值滿足時，與其對應的函數(shù)值y的最小值為3，則m的值為（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或73．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考階段練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（m是常數(shù)，且)的圖象可能是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，（a，b為常數(shù)，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當時，則 B．若，當時，則C．若，當時，則 D．若，當時，則5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學?？级＃┮阎魏瘮?shù)（為常數(shù)）經(jīng)過點，一元二次方程的兩個解為，，當時，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知y關于x的函數(shù)（m為實數(shù)），當時，恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)（，為常數(shù)）．若．當函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，與之間的數(shù)量關系為（）A．或 B．或 C． D．8．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與軸交于點，過點作直線垂直于軸，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，為圖形上兩點，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€的頂點落在一次函數(shù)的圖象上，則b的最小值為__________．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線x=1，則9a+3b+c的值是__________．11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知是關于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則稱點為函數(shù)圖象上的“平衡點”，例如：直線上存在“平衡點”，若函數(shù)的圖象上存在唯一“平衡點”，則___________．12．（2023春·浙江金華·九年級浙江省義烏市后宅中學校考開學考試）已知拋物線，當時，則y的取值范圍是___________．13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）對于二次函數(shù)．有下列說法：①若，則當時，y隨x的增大而增大．②無論k為何值，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點．③無論k為何值，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過點和兩點．④若k為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點都為整數(shù)點，則．其中正確的是____