空間向量與立體幾何（八大題型8大易錯(cuò)題）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題13空間向量與立體幾何（八大題型8大易錯(cuò)題）

述題型專練

【題型1用基向量表示指定向量的方法】

1.（24-25高二上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）如圖在三棱錐P-4BC中，”是4B的中點(diǎn)，若P4a,PB=b,

PC=c,則下列向量中與CM相等的向量是（）

Ai,ir-

A.—ct—b-cB.-CL-b+c

22

「ITlr.-?

C.—CL—bcD.a+b—c

22

【答案】A

【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的運(yùn)算求解即可;

【詳解】M是AB的中點(diǎn)，所以西刀+而）=|（PX-PC+RB-PC）=|（a-c+—c)=|a+

7-落

故選：A.

2.（24-25高二上?海南?階段練習(xí)）如圖，空間四邊形0ABe中，~0A=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)”為3。中

點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)棱04上，且。N=2NA,則標(biāo)=（

A2-117*,1f2firi-

A.——a+-b+-cBD.—CL—b—c

322322

「1.1t1-c1-2-1T

C--a+-b——cD.——a——b+-c

222232

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】MN^ON-0M^OA-1(OB+OC)=|a-|h-|c.

故選：B.

3.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，空間四邊形0ABe中，0A=a,OB=b,方=落點(diǎn)〃在

04上，且麗=|瓦5,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則而等于（）

A1^,17*1-

A--a+-D——cB.-|a+jb+|c

222

「2Tl2TITC2^,2^IT

C--a+-b——cD.——a+-b——c

332332

【答案】B

【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.

【詳解】回點(diǎn)N為BC中點(diǎn),

---->---->---->---->1---->---->1---->---->1----->1----->1—>1.

WN=0B+BN=0B+-BC=0B+-(0C-0B)=-0B+-0C=-b+-c,

=0N-OM=0N--OA=-b+-c--a=--d+-b+-c.

3223322

故選：B.

4.（24-25高二上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，三棱錐?！狝BC中，OAa,OB=b,OC=c,點(diǎn)M為8C中

點(diǎn)，點(diǎn)N滿足加=2涵，則而=（）

O

11T211T2

TT5+T

-a--b--c---b-c

A.233B.233

【答案】c

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】JlN=M0+0N=-|（0B+oc）+|ol=|OX-|OB-|oc=|a-1h-|c.

故選：c.

【題型2三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的問(wèn)題】

5.（24-25高二上?四川?期末）已知向量a=（2,-1,一3）,b=（A,2,/z）,若窗I共線,則2-〃=（）

A.-2B.2C.-10D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】依題意可得;=三=5,解得4=一4,11=6,

所以a-[1=—io.

故選：c.

6.（24-25高二上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）設(shè)e「02是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知近=2京+k石，麗=

評(píng)+3孩，虎=2瓦（—孩，且4、B、。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-2B.-4C.-8D.8

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算表示而，根據(jù)4、B、。三點(diǎn)共線可得同=4而，建立等量關(guān)系可得k的

值.

【詳解】團(tuán)AB=24+ke2,=0+3e2^DC=2er—%,

^iAD=AB+BC—DC=（2"+ke2）+（q+3e2）—（2e1一,2）=+（k+4）。？，

國(guó)4、B、。三點(diǎn)共線，

MAe/?,使得荏=a而，

即2e1+k,62=A[0+（k+4）3]=入出+A.（k.+4）92，

團(tuán)A=2,2（fc+4）=fc,解得k=-8.

故選：c.

7.（24-25高二上?山西?階段練習(xí)）若何石，針構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A.a+b,c,a+b+c,B.a—c,a,a+c

C.b+c,b,c—hD.a+b,b+c,c+a

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合向量共面逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槲?另+5=伍+3)+*所以B+另+之a(chǎn)+b,3共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镹=-均+*3+均，所以江一己a,2+m共面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閎=僅一b),所以3+泊b,0一3共面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,假設(shè)三個(gè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)x,y,使得2+b=x僅+6)+y僅+成立，

,x—1,

貝用y=l,顯然方程組無(wú)解，所以日+^b+c,3+2不共面，故D正確.

.x+y—0.

故選：D.

8.(24-25高二上?貴州六盤水?期末)已知向量麗=(2,1,2),麗=(-2,1,1),而=(8,6,4),若。,M,N,P四

點(diǎn)共面，則向量訶在而上的投影向量的模為()

AYr-22-44r44

A-12B-Tc-TD-T

【答案】D

【分析】根據(jù)O,M,N,P四點(diǎn)共面，可得而，而，而共面，再根據(jù)空間向量共面定理求出;I,再求出向量而

在麗上的投影長(zhǎng)度即可.

【詳解】因?yàn)镺,M,N,P四點(diǎn)共面，

所以而，赤，而共面，

則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得赤=xOM+yON,

即(8,6,A)=x(2,l,2)+y(—2,1,1),

-8=2x-2y(x=5

所以-6=x+y,解得y=1,

.A=2x+yU=11

所以(8,6,11),

向量而在麗上的投影向量的模即為向量而在而上的投影長(zhǎng)度，

所以向量存在南上的投影向量的模為4需=?

故選：D.

9.(24-25高二上?河南?階段練習(xí))已知三個(gè)向量日=(1,1,0),3=(—1,0,2),(招2,5)共面，則久=()

【答案】c

【分析】根據(jù)向量共面設(shè)出對(duì)應(yīng)向量關(guān)系式，解方程組可求出結(jié)果.

（X=m—n

【詳解】因?yàn)榱?5共面，所以設(shè)=根2+71人所以］2=m,解得尤=一工，

t5=2n

故選：C.

10.（24-25高二上,貴州貴陽(yáng),階段練習(xí)）。為空間任意一點(diǎn)，若赤=2瓦？+工4+t反，若4B,C,P四點(diǎn)

48

共面，貝！k=<)

A.1B-1c-1D-;

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量共面的基本定理可得答案.

【詳解】若4B,C,P四點(diǎn)共面，貝吟+：+t=l,

48

解得”"

O

故選：C.

【題型3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】

11.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）在正方體A8CD中，ACC\BD=0,D±OnBrD=P,

則直線pa與直線PB夾角的余弦值為（）

A.漁B.如C.匹D.返

6352

【答案】A

【分析】作出相關(guān)圖象，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解直線P4與直線PB夾角的余弦值，即可求

解.

【詳解】由題意作出相關(guān)圖象，如下圖，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4DC,。％所在直線為與y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,

貝i」D(O,O,O)4(2,0,0),5(2,2,0),0(1,1,0),Di(0,0,2),

連接易得與ADP。相似，又由正方體性質(zhì)2。。=%。1，

所以DiP=2P。，從而可得P(|，|，|)，

故P4=(%—1，_|)，PB=G，［,—|),

所以，

設(shè)直線24與直線P8夾角為。，則cos8=f,故A正確.

故選：A.

12.(24-25高二上?貴州貴陽(yáng),期中)若日=(-1,2,1)石=(1,2,3),貝U伍+司?(2之一反)=()

A.4B.5C.21D.26

【答案】A

【分析】先求2+3,2石-3的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)槲?(-1,2,1)5=(1,2,3),

所以Z+6=(0,4,4),2d—b=(—3,2,—1),

貝Ij(a+司?(22-司=0x(-3)+4X2+4X(-1)=4.

故選：A.

13.(24-25高二上?四川眉山?期中)棱長(zhǎng)為1的正四面體4BCD中，點(diǎn)E是2。的中點(diǎn)，則瓦？?瓦=()

【答案】A

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則和數(shù)量積的性質(zhì)可得B4-CE=BA-CA+BA-AE,結(jié)合數(shù)量積定義可

得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)槎?刀+族，

所以BA-CE=BA-（G4+AE）=BA-CA+BA-AE,

又卜力=|cx|=1,|>4E|=I,，，

所以BA-CE=1x1xcos-+1x-xcos—=

3234

故選：A.

14.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）已知空間向量d石*滿足1+1+1=6,且⑷=2,1山=3,同=4,則

cos(a,b)=()

A.-B.五C.立D.-

2224

【答案】D

【分析】由題可知2+3=-落然后兩邊同時(shí)平方，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?+3+8=6,

所以d+[=—c=>(a+fo)=(―c)2=>a2+62+2a-=c2,

得4+9+2x2x3cos但而=16=cos但b)=

故選：D

15.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))空間四邊形。48c中，OB=0C,^AOB=AAOC=p則cos(瓦C同)的值

是()

A.—B.—C.——D.0

222

【答案】D

【分析】利用。B=0C,以及瓦心前的數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)cos(色，品)的值，

【詳解】。8=。。，故亦阮=H畫-函)=H瓦-H礪

“Tn"7T"TT"TE

=0A-0Ccos——0A-OBcos—=0A?OBcos——0A?OBcos—=0

3333

所以.

故選：D.

16.(24-25高二上?安徽黃山?期中)如圖，在平行六面體力BCD一件BiQO]中,AB=AD=1MQ=4,4%=3,

^ArAB=^ArAD=p則/BAD=()

A..H-B_.—2TTC_.7-1D_.-T[

3342

【答案】B

【分析】由圖及空間向量加法可得福*二方+而+京，后由題意及模長(zhǎng)公式可得答案.

【詳解】設(shè)2艮4。=0,因?yàn)榱骟w-A/iGA是平行六面體，

所以溫=AB+AD+AAl，因?yàn)閆B=AD=1,AC1=4,A41=3,

代入計(jì)算可得：

>2/>>>、2>->2------>,>>>>

22

ACr={AB+AD+AA^=AB+AD+AAr+2AB-AD+2AD-AA1+2AA1-AB,

故有：16=1+1+9+21AB|?\AD\cos/.BAD+2|AD|?[AA^^os^AD+2\AA^\■[AB^os^AB,所

以16=11+2COSB+6cosm+6小，

所以cos。=—5,因?yàn)?。G(O,Tt)i所以8=—.

故選：B

【題型4利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系】

17.(20-21高二上?山東荷澤?階段練習(xí))如圖，正方形ADEP與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD1CD,

AB//CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).

(1)求證：BM3平面AOEP；

⑵求證：BC，平面BDE.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）依題意可以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明元1的，即

可證明BM〃平面ADEF；

（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明BC1D8,BCLDE,再由線面垂直的判定定理即可證明BC，平面

BDE.

【詳解】（1）根據(jù)題意可知平面1平面48CD,平面C平面48CD=A。，

又4DEF是正方形，所以2D1ED,EDu平面ZDEF,

所以EDI平面4BCD,從而可得瓦?，DC,屁兩兩垂直；

以。為原點(diǎn)，分別以瓦?，DC,南分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2),

又M為CE的中點(diǎn)，所以“(0,2,1),

則的=(-2,0,1),且平面4DEF的一個(gè)法向量為元=(0,1,0),

因?yàn)樵?前=0,可知元1麗，

又BM仁平面4DEF,所以8M回平面4DEF.

(2)因?yàn)辂?(-2,2,0),RB=(2,2,0),DF=(0,0,2)

易知阮?麗=-4+4=0,所以BCJ.DB；

又玩?礪=0,可得BC1DE；

又DBCDE=D,u平面8DE,

所以BC，平面BDE.

18.（23-24高二上?新疆阿克蘇?階段練習(xí)）如圖，在正方體力BCD—4/1。1必中，E,F,G分別是棱CD

的中點(diǎn).

(1)證明：EF||&G；

(2)證明：ArF1GE；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)共線即可求解,

(2)根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

E(2,1,0),尸(1,2,0),4式2。2)6(0,2,2),

故乩=(-2,2,0),EF=(-1,1,0),

由于用瓦=2而，故砧7/麗，顯然EF,4G不重合，故EFII46；；

(2)A^F=(-1,2,-2),亨=(2,-1,-2)

故,C]E=(—1,2,—2)-(2,—1,—2)=—2—2+4=0,

因此審1C^E,故為F1GE

19.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在四棱錐P—ABC。中，PA1AB,底面4BCD是矩形，且4B=4,

AD=3.側(cè)面PBC是面積為日的直角三角形，其中BC1BP.點(diǎn)E,F分別為線段力B,PC的中點(diǎn)，連接EF.

（1）證明：直線EF〃平面PAD；

（2）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

陪.

【分析】（1）法1,取PC的中點(diǎn)G,利用線面平行的判斷，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)推理得證.法2,利用

垂直關(guān)系證明直線兩兩垂直，以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證

明推理即得.

（2）法1,過(guò)點(diǎn)E作EQ1PB交PB于點(diǎn)Q,利用定義法求出線面角的正弦值.法2,由（1）中空間直線

坐標(biāo)系，求出平面P8C的法向量，再利用線面角的向量求法求解.

【詳解】（1）法1,取PD的中點(diǎn)G,連接GF,G4.

由尸為PC的中點(diǎn)，得GF〃DC且GF=^DC,由四邊形4BCD為矩形，^AB//DCRAB=DC,

貝UGF//4B且GF=得48,又E為ZB的中點(diǎn)，貝UGF//AE且GF=4E,

四邊形4EFG為平行四邊形，于是EF〃4G,而EFC平面PAD,4Gu平面PAD,

所以EF〃平面PAD.

法2：取PD的中點(diǎn)G,連接G4由BC1BP,BCLAB,ABCPB=B,

力B,PBu平面PAB,得BCJ?平面PAB,5LAD//BC,于是AD_L平面PAB,

而P4u平面PAB,貝IjAD1PA,又PA1AB,AB1AD,貝I］直線PA,AB,2D兩兩垂直,

以力為原點(diǎn)，直線P44BMD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

Z)

AEBx

在RtAPBC中,SAPBC=3BC,PB=*BC=3,貝UPB=5,

在RtAP4B中，AB=4,PA=<PB2-AB2=3,

則2(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),E(2,0,0),F(2,|,|),G(0,|,|),

則E=(0,|,|),而=即前=而，因止匕EF//4G,

又EFC平面PAD,AGu平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)法1：過(guò)點(diǎn)E作EQ1PB交PB于點(diǎn)Q,連接QF.

由BCJ.8P,BC1AB,ABCiPB=B,AB,PBu平面P48,得BC1平面PAB,

而EQu平面PAB,貝UEQIBC,又BCCPB=B,BC,PBc^?PSC,貝UEQ_L平面尸BC,

因此NE”即為直線EF與平面PBC所成的角，

在RtAPBC中，S^BC=|-5C-PB=y,由BC=3,得PB=5,

在RtAPAB中，AB=4,PA=<PB2-AB2=3,

而PAu平面PAB,貝IJ8C1P45LAD//BC,于是_LPA,

在RtAPAD中，PA=AD=3,G為PD中點(diǎn)，貝MG=EF=早，

由NPAB=乙EQB=90°,4ABp=乙QBE,得AEQBPAB,

則H=警，艮哼=g，解得EQ=(,在RtAEQF中，sin/EFQ=|^=竽,

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為野.

法2：由(1)得配=(0,3,0),BP=(-4,0,3),而=(0,|,|),

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x,y,z),則［三BC=3y=0,令％=3,得元=(3,0,4),

5?BP=-4x+3z=0

設(shè)直線EF與平面PBC所成的角為仇

則sine=\cos(EF,n)\=*焉=矗=乎，

2

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為半.

【題型5用向量法求異面直線所成角】

20.（23-24高二上?山西呂梁?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，AB1BC,AB=BC,=

AC=2V2,點(diǎn)E為棱&&的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱BC上的一點(diǎn)，且BF=3FC,則直線4E與C】F所成角的余弦

值為（）

A16「8V33口16回

A.——C.-------

99-it99?99

【答案】D

【分析】求出ZB、BC的長(zhǎng)，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA,所在直線分別為x、y、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線力E與GF所成角的余弦值.

【詳解】因?yàn)?B1BC,AB=BC,AA±=AC=2&,貝1］心=ABi+8c2=2.=8,

故2B=BC=2,

在直三棱柱48C-a/iG中，BBi1底面4BC,

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA.BBi所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)辄c(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱BC上的一點(diǎn)，且BF=3FC,

則力（0,2,0）、￡（0,l,2V2）,G（2,0,2V2）＞F（|,0,0）,

AE=（0,-l,2V2）,C^F=（-|,0,-2V2）,

所以，cos延序）=窗篇=湛=—喏.

2

因此，直線4E與所成角的余弦值為噂.

故選：D.

21.(24-25高二上?遼寧大連?期中)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BC0中，E為BC的中點(diǎn),

CF=^CC「則異面直線EF與劣名所成角的余弦值為()

AB.叵

-I6

【答案】C

【分析】以。為原點(diǎn)，分別以所在直線為居y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則而=

(-1,0,1),=(2,2,0),然后根據(jù)線線角的向量公式即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，分別以D4DC,。氏所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,且E為BC中點(diǎn)，CF=2CCi，

則。1(0,0,2),Bi(2,2,2),￡(1,2,0),F(0,2,1).

所以麗=(-1,0,1),OT=(220),

設(shè)異面直線EF與Bi。1所成角為。，

貝(麗麗)1=9=置方，

所以異面直線EF與所成角的余弦值為|.

故選：C.

22.(24-25高三上?吉林?期末)正三棱臺(tái)ABC—DEF中，AB=2AD=2DE,G,H分別為AB,DE的中點(diǎn),

則異面直線GH,BF所成角的余弦值為()

【答案】c

【分析】先做E77/GH,得出NTBE=g,再得出BF=百，進(jìn)而應(yīng)用空間向量的線性表示及數(shù)量積公

式計(jì)算，最后應(yīng)用異面直線所成角的向量法求解.

【詳解】

設(shè)=24。=2DE=2,過(guò)點(diǎn)E做￡T〃GH,T是GB中點(diǎn)，

因?yàn)镚,“分別為AB,DE的中點(diǎn)，所以GH1AB,所以ET1AB,

因?yàn)?7=觸￡1=1,所以砥=￡7'=Jl-i=y,

所以4739=或因?yàn)檎馀_(tái)48C-DEF中，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰梯形,

所以NBEF=y,BF2=l+l-2xlxlxCOS4BEF=3,BF=V3

所以炭?EF=-EB-FF=-1X1Xcos/BEF=|,BE-BG=1X1Xcos乙GBE=

—一1——1

EF-BG=-BC-BG=1x1xcosZ.ABC=-

22

又因?yàn)辂?元=前—麗=屁―：前,RF=SE+￡T,

所以旗.而=（BF+EF）?（BE-|BG）=~BE2-^BG-BE+SE-￡T--EF=l-;+|-;=1>

設(shè)異面直線GH,BF所成角為。

|GH-BF|_12

所以COS。=

\GH\-[BF\~^xV33

故選：C.

23.(24-25高二上,四川成都?期末)如圖，在平行六面體4BCD-&/的/中，AB=AD=1,AA1=

2,/.A±AD=乙4遇8=p^BAD=]則異面直線4G與所成角的余弦值為(

A.iB.農(nóng)

23

【答案】D

【分析】設(shè)屈=a,AD=b,AA[=c,利用空間向量的夾角公式可求異面直線4cl與BBi所成角的余弦

值.

【詳解】設(shè)2B=a,AD=b,4A1=c,ACr=a.+b+c,BB1-c,

22

ACr-BB1=(a+fe+c)-c=a-c+fo-c+c=lx2xj+lx2x|+2=6,

???|宿|=J(a+b+c)2=Ja2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c.

=Jl2+l2+22+2x0+2xlx2x|+2xlx2x1=V10，.“宿|=V10.

???異面直線2C1與BB1所成角的余弦值甯.

故選：D.

24.(24-25高二上廣東東莞?期中)若空間中三個(gè)點(diǎn)4(-1,0,0),8(0,1,2,—1,2),則直線力B與直線AC

夾角的余弦值是()

A.-迥B,巫C.=D.i

3333

【答案】B

【分析】求出向量荏,灰，利用向量夾角公式求解可得.

【詳解】因?yàn)?(—l,0,0),B(0,l,—1),C(—2,—1,2),所以屈=(1,1,—1),前=(―1,—1,2),

記直線與直線力C的夾角為仇

則cos。=\C0S(AB,AC)\==V-

故選：B

【題型6用向量法求解直線與平面所成角】

25.（24-25高二上?河南駐馬店?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面4BCD_1平面PAD,AB14。,

AB=BC=CD=AD=PA=PD=2,點(diǎn)E是線段PA的中點(diǎn)

⑴求異面直線CE與P8所成角的余弦值；

⑵求直線P4與平面BCE所成角的正弦值.

【答案】⑴?

（2）返

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得PF，平面4BCD,即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角

求解，

（2）求解平面法向量，即可利用向量的夾角求解.

【詳解】（1）取4。的中點(diǎn)F,連接PF.

因?yàn)镻2=PD,所以PF14。.

因?yàn)槠矫?BCD1平面P4D,平面ABC。C平面PAD=AD,PFu平面PAD,

故PF1平面ABCD.

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀，反，而的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝U4(1,0,0),B(l,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,V3),E

故G=P5=(l,2,-V3),

故18s固而）|=箭=春=拳

故異面直線CE與PB所成角的余弦值為".

（2）由（1）得方=（2,0,0）,EB=

設(shè)平面BCE的法向量為沅=Q,y,z）,貝山沆,竺二仇即（1,：”一[，n

im-EB=0,[-x+2y-yz=0,

易知久=0,令y=V5,則z=4,即布=（0,遮,4）.

設(shè)直線PZ與平面BCE所成的角為氏易得Q=（-1AV3）,

貝Usin。=|cos（猊沆）|=保焉=標(biāo)=警，

故直線P4與平面BCE所成角的正弦值為誓.

26.（24-25高二上?山東泰安?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC^,AB=BC=2vLPA=PB=PC=AC=

4,。為AC的中點(diǎn).

⑴證明：P。！平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角M—P2—C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）?

【分析】（1）連接。8,證明出0P14C,PO1OB,然后利用線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)而=4而，

其中0<2Wl,利用空間向量法可求出2的值，然后利用空間向量法可求得PC與平面P4M所成角的正

弦值.

【詳解】（1）因?yàn)?P=CP=2。=4,。為4C的中點(diǎn)，所以。P12C,且OP=2V5.

連接。8,因?yàn)?8=8。=2應(yīng)，AC=4,貝IJ4B2+8。2=人。2,可得AB_LBC,

所以△48C為等腰直角三角形，

因?yàn)椤?C的中點(diǎn)，則。B14C,且。8=稱"=2,

由。p2+OB2=PB2知P。1OB.

因?yàn)?。PlAC,PO1OB,OBdAC=0,OB、ACu平面ABC,所以，P。_L平面ABC.

(2)因?yàn)?。Pl平面力BC,OB1AC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由已知得。(0,0,0)、B(2,0,0)、4(0,—2,0)、C(0,2,0),P(0,0,273),

所以，AP=(0,2,273),易知平面P2C的一個(gè)法向量為記=(1,0,0),

設(shè)加=XCB=A(2,-2,0)=(2A.-2/1,0),其中0<4W1,

則俞=芯+兩=(0,4,0)+(22,-22,0)=(2A,4-24,0),

n-AP=2y+2V3z=0

設(shè)平面PAM的法向量為元=(x,y,z),則

n-AM=2Ax+(4-2A)y=0'

取久=日(2—2),可得元=(百(2—2),—百4"),

由題意可得|cos優(yōu)創(chuàng)=繇|V3(2—A)|_y/3

J3(2—2)2+442-2

因?yàn)?<4WL解得"不所以，n=

可取平面PAM的一個(gè)法向量為N=(2V3,-V3,1).

又因?yàn)檠?(0,2,-2V3),cos呼㈤=磊=吉=—亨,

所以，PC與平面P4M所成角的正弦值為

4

27.(24-25高二上?河南南陽(yáng),階段練習(xí))在圖1的直角梯形A8CD中，乙4=功=90。,4B=BC=2,DC=3,

點(diǎn)E是DC邊上靠近于點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，AC交BE于點(diǎn)F,以8E為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)前的

位置，且力G=V6,如圖2.

圖1圖2

⑴求四棱錐Cl-力BED的體積U；

（2）求G8與平面前4。所成角的正弦值.

【答案】（1）|；

⑵乎

【分析】（1）根據(jù)邊長(zhǎng)可得NC=60。，^ABC=120°；進(jìn)而可得四邊形力BCE為菱形，即可根據(jù)勾股

定理得4F1QF,可證C/_L平面4BED,即可根據(jù)體積公式求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解法向量，即可根據(jù)向量夾角求解.

【詳解】（1）根據(jù)題意，由直角梯形邊長(zhǎng)ZB=BC=2,DC=3,

可知cosC=啜=|,故〃=6。。，=120°；

又點(diǎn)E是DC邊上靠近于點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，所以EC=2,可得△BCE為等邊三角形；

連接4E,如下圖所示：

C,

可得四邊形4BCE為菱形，所以力C1BE,

即折起后GF1BE,

2

如圖所示，易知4F=QF=V3,又AC】=V6,滿足4尸2+C1F=ACj,

即力尸1GF；

又AFCBE=F,AF,BEu平面ABED,

所以GF1平面2BED,且梯形ABED的面積為［x（1+2）xB=誓，

所以U=」x逋=2

322

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以瓦?，屁為x,y軸，屬*方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖

所示：

則0(0,0,0),4(8,0,0),B(V3,2,0),E(0,l,0)￡g,|,⑹,

可得蒜=住彳,—旬，西=(今|,⑹，瓦?=(遮,0,0),

設(shè)平面C14D的法向量訪=（x,y,z）,則pfx+gy+8z=0

IV3x=0

令y=-2,則得沅=（0,-2,舊）為平面GAD一個(gè)法向量，

設(shè)BG與平面GAD所成的角為氏

所以sin。=|cos保，西）|=舄鬻=夏=終

【題型7利用向量法解二面角問(wèn)題】

28.（2024?浙江溫州?一模）如圖，在三棱柱力BC-A/iCi中，平面ABC11平面ABC,力Q_L平面BCC1%.

（1）求證：BG1BC；

⑵若二面角4一為。1一%的正弦值為當(dāng)且力B=2BC=2,求力C「

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）竿

【分析】（1）過(guò)G作GE14B于點(diǎn)E,然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得GE1面ABC,然后再利用線面

垂直的性質(zhì)定理得GE1BC,同理4Q1BC,然后再利用線面垂直的判定定理得BCL面力BQ,然后用

線面垂直的性質(zhì)定理得BQ1BC；

（2）以B為原點(diǎn)，BA,BC分別為％,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用坐標(biāo)計(jì)算確定Q位置，計(jì)算2C1

的長(zhǎng)度即可.

【詳解】(1)過(guò)Cl作C1E14B于點(diǎn)E,

因?yàn)槠矫?BQ1平面力BC,所以GE1面2BC,

因?yàn)锽Cu面ABC

所以6E1BC,

又因?yàn)榱_L平面BCG%,所以4cl1BC,

而4GnGE=C^AC^CiEu面2BC1，

所以BC1面ABC1，

因?yàn)?Gu面AB前

所以BQ1BC

(2)如圖，以8為原點(diǎn)，BA,8c分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,

二面角4—-的平面角與二面角Ci-AC-B的平面角互補(bǔ)，記為a,

設(shè)J4B=8,有4(2,0,0),G(2-2cos20,0,2cos0sin0),C(0,1,0),

2

AC=(—2,1,0),ACt=(-2cos0,0,2cos0sin0)

設(shè)面"G的法向量為沅=(x,y,z),有恒.絲二°,

[m-ACr=0

即[「+y=0，令％=L得沆=(i,2,朕)，

I—2COS20X+2cos6sin6z=01sm"

又面ZBC的法向量為元=(0,0,1),

_>TIcosdl

所以|cosa|=|cos(流砌=|^|==2

3

解得tan。=I，所以AR=2cos0=卓.

29.（24-25高二上?河南南陽(yáng),階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面四邊形A8CD為正方形，E為

棱尸。的中點(diǎn)，。為邊AB的中點(diǎn).

⑴求證：4E〃平面POC；

⑵若側(cè)面P4B，底面ABCD,且NP4B=1,AB=2.PA=4,求二面角P—BD-4的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵W

【分析】（1）取線段PC的中點(diǎn)M,連接OM,EM,證得四邊形AOME為平行四邊形，得線線平行后

可得線面平行；

（2）取0A中點(diǎn)為Q,CD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)為M證得PQ,QM4B兩兩垂直，以Q為原點(diǎn)，分別以

QB,QN,QP所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求面面角的余弦值.

【詳解】（1）取線段PC的中點(diǎn)M,連接。M,EM,

在△PCD中，E,M分別為尸￡）,PC的中點(diǎn)

SEM//CD,5.EM^\CD,

又回底面ABC。是正方形，且。是的中點(diǎn),

0XO//CZ）,SLAO=\CD,

SEM//AO,且EM=2。

回四邊形AOME為平行四邊形，貝U0M〃4E,

又OMu平面POC,AE，平面POC,

ME〃平面POC.

p

c

(2)由。力=PA=2,/.PAB=60°,可知APOa為等邊三角形,

設(shè)。4中點(diǎn)為Q,則PQ104

又回平面P4B1平面ABCD,平面P4Bn平面4BCD=OA,PQu平面P4B,

所以PQinABCD,

設(shè)CO上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)為N,則QN14B,PQ1QN,

以Q為原點(diǎn)，分別以。2,QN,QP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Q-比yz,

貝l」P(0,0,舊)，5(3,0,0),0(—1,4,0),PB=(3,0,-V3),BD=(-4,4,0),

設(shè)平面PBD的法向量為元=(X,y,z),貝■竺=3x—=°,

[n-BD=-4x+4y=0

取工=1,得y—1,z—V3,

所以元=(1,1,舊)為平面PBD的一個(gè)法向量.

取平面ABD的法向量為沅=(0,0,1)

設(shè)平面P8O與平面所成的平面角為仇且。為銳角，

1l???In-mII1X0+1X0+V3X1IV15

則mcos。=|cos(n,m)|=|麗|=|一獲一|=年

所以二面角P——4的余弦值為卓.

30.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))如圖在三棱柱ABC—&B1G中，平面/GCB1平面ABC,△48c是等

邊三角形，B1cl=CCi=2,NBCQ=120°.

c,

n

AB

（1）求棱錐B—ACC1的體積；

（2）若。為棱&G的中點(diǎn)，求二面角A-BiD-C的正弦值.

【答案】⑴1

（2呼

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出BiGCB是菱形，做BC邊上的高/。，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出名。垂

直底面，即當(dāng)。也是棱柱的高，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化求出三棱錐體積；

（2）結(jié)合（1）中條件，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CD%