2024-2025學(xué)年同步試題 數(shù)學(xué) 必修第二冊單元形成性評價（二）（第七章）

單元形成性評價(二)(第七章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知復(fù)數(shù)z=2+i(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A.5 B.2 C.3 D.1【解析】選A.由復(fù)數(shù)z=2+i得,|z|=22+1=2.若復(fù)數(shù)z=i(9i-1),則z的虛部為()A.-i B.-1 C.-9 D.1【解析】選B.依題意得z=i(9i-1)=9i2-i=-9-i,則z的虛部為-1.3.(2024·廣州高一檢測)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)1-2i與-1+3i分別對應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點,則||=()A.1 B.5 C.2 D.29【解析】選D.由復(fù)數(shù)的幾何意義知:=(1,-2),=(-1,3),=-=(-2,5),所以||=(-2)2+52=29.4.(2024·泉州高一檢測)已知復(fù)數(shù)z=2-i1-3i+i7A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.z=2-i1-3i+i7=(2-i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)5.(2024·紹興高一檢測)已知i是虛數(shù)單位,a∈R,則“a2=1”是“(a+i)2=2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)(a+i)2=2i時,即a2-1+2ai=2i,得a2-1=0而a2=1時,a=±1,所以“a2=1”是“(a+i)2=2i”的必要不充分條件.6.如圖,在復(fù)平面內(nèi),一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-2+i,0,那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i【解析】選D.由題圖得,=+,所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i-2+i=-1+3i,所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+3i.7.已知復(fù)數(shù)方程x2+2x+a=0(a∈R)其中的一個復(fù)數(shù)根為-1+2i,另一個復(fù)數(shù)根為z,則|z+a|=()A.2 B.5 C.22 D.25【解析】選D.方法一:將x=-1+2i代入方程中得(-1+2i)2+2(-1+2i)+a=0,化簡得-5+a=0,解得a=5,故方程為x2+2x+5=0,由求根公式解得x=-2±故z=-1-2i,故|z+a|=|4-2i|=25.方法二:由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知(-1+2i)+故|z+a|=|4-2i|=25.8.(2024·鄭州高一檢測)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i|,則|z+1+2i|的最小值為()A.1 B.3 C.3 D.5【解析】選A.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,因為復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i|,所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,點Z到點(0,-3)和(0,1)的距離相等,所以在復(fù)平面內(nèi)點Z的軌跡為y=-1,又|z+1+2i|表示點Z到點(-1,-2)的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為y=-1上的動點Z到定點(-1,-2)距離的最小值,當(dāng)Z為(-1,-1)時,到定點(-1,-2)的距離最小,最小值為1,所以|z+1+2i|的最小值為1.二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.下列說法中錯誤的是()A.2+3i>1+2iB.虛軸上的點表示的數(shù)都是純虛數(shù)C.若一個數(shù)是實數(shù),則其虛部不存在D.若z=1i,則z3【解析】選ABC.兩個不全為實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小,故A錯誤,符合題意;原點也在虛軸上,表示實數(shù)0,故B錯誤,符合題意;實數(shù)的虛部為0,故C錯誤,符合題意;D中z3+1=1i310.(2024·合肥高一檢測)下面四個命題中的真命題為()A.若復(fù)數(shù)z∈R,則z∈RB.復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z=zC.對任意復(fù)數(shù)z,w都有z+w=zD.若復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R),且|z|=2,則a=1【解析】選ABC.對于A,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),若復(fù)數(shù)z∈R,即b=0,則z=z∈R,正確;對于B,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),若z=z?a+bi=a-bi?b=0,所以復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z=z,正確;對于C,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R),則z+w=(a+c)+(b+d)i,所以z+w=(a+c)-(b+d)i,而z+w=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+即有z+w=z+對于D,若復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R),且|z|=2,所以a2+12=211.已知z是復(fù)數(shù),z是其共軛復(fù)數(shù),則下列命題中正確的是()A.z2=|z|2B.若|z|=1,則|z-1-i|的最大值為2+1C.若z=(1-2i)2,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限D(zhuǎn).若1-3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根,則q=-9【解析】選BC.對于A,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|2=a2+b2,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,z2≠|(zhì)z|2,A錯誤;對于B,由|z|=1知,在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點在以原點為圓心的單位圓上,|z-1-i|可看作該單位圓上的點到點(1,1)的距離,則距離最大值為2+1,B正確;對于C,z=(1-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限,C正確;對于D,依題意,(1-3i)2+p(1-3i)+q=0,整理得(p+q-8)+(-3p-6)i=0,而p,q∈R,因此p+q-8=0-3三、填空題(每小題5分,共15分)12.若復(fù)數(shù)1+ai2-i【解析】因為1+ai2-i=(1+ai)(2+i答案:213.將x2+2x+5在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解為____________________.

【解析】令x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16=16i2,所以x=-2±4i2=-1±2i,即x2+2x+5=(x+1-2i)(x答案:(x+1-2i)(x+1+2i)【補償訓(xùn)練】若2+i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根,則m+n等于________.

【解析】因為2+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,由復(fù)數(shù)相等可得2m+n+3=0,4+m答案:114.已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=1,|z2|=5,則|z1-z2|的取值范圍是________.

【解析】方法一:設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,則易得z1,z2對應(yīng)的點的軌跡分別是以坐標(biāo)原點為圓心,1和5為半徑的圓,易得|z1-z2|的最小值為4,最大值為6,故|z1-z2|的取值范圍是[4,6].方法二:因為||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|,所以|1-5|≤|z1-z2|≤|1+5|,即4≤|z1-z2|≤6,則|z1-z2|的取值范圍是[4,6].答案:[4,6]四、解答題(共77分)15.(13分)設(shè)x∈R,若復(fù)數(shù)z=log12(x2-3)+i·log2(x+3)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第三象限,求x【解析】因為復(fù)數(shù)z=log12(x2-3)+i·log2(所以log12所以x2-3>1即實數(shù)x的取值范圍為(-3,-2).16.(15分)已知復(fù)數(shù)z1=m-2i,復(fù)數(shù)z2=1-ni,其中i是虛數(shù)單位,m,n為實數(shù).(1)若m=1,n=-1,求|z1+z2|的值;(2)若z1=z22,求m,n【解析】(1)當(dāng)m=1,n=-1時,z1=1-2i,z2=1+i,所以z1+z2=(1-2i)+(1+i)=2-i,所以|z1+z2|=22+(-(2)若z1=z22,則m-2i=(1-ni)2,所以m-2i=(1-n2)-2ni,所以m17.(15分)(2023·淮安高一檢測)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2+ai(a∈R),z2=1-i,i為虛數(shù)單位.(1)若z1·z2為純虛數(shù),求a的值;(2)若z1+2z2為實數(shù),求z1z2【解析】(1)因為z1·z2=(2+ai)(1-i)=(2+a)+(a-2)i,若z1·z2為純虛數(shù),則2+a=0a-(2)因為z1+2z2=2+ai+2-2i=4+(a-2)i,若z1+2z2為實數(shù),則a-2=0,解得a=2,即z1=2+2i,方法一:因為z1z2=2+2i1-i=方法二:可得z1z2=|z1|18.(17分)已知復(fù)數(shù)z的模為1,求|z-1-2i|的最大值和最小值.【解析】因為復(fù)數(shù)z的模為1,所以z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點是以原點為圓心,1為半徑的圓.而|z-1-2i|=|z-(1+2i)|可以看成圓上的點Z到點A(1,2)的距離,如圖.所以|z-1-2i|min=|AB|=|OA|-|OB|=5-1,|z-1-2i|max=|AC|=|OA|+|OC|=5+1.19.(17分)(2024·上海高一檢測)已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程2x2+kx+26=0有兩個虛數(shù)根x1和x2,且|x