2024-2025學(xué)年同步試題 數(shù)學(xué) 必修第二冊(cè)單元形成性評(píng)價(jià)（四）（第九章）

單元形成性評(píng)價(jià)(四)(第九章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.為了解某中學(xué)高一年級(jí)600名學(xué)生的身高情況,抽查了其中100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.下列敘述錯(cuò)誤的是()A.以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B.每名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)個(gè)體C.100名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)樣本D.600名學(xué)生的身高是總體【解析】選A.以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查,A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,符合題意.2.①一次數(shù)學(xué)考試中,某班有12人的成績(jī)?cè)?00分以上,30人的成績(jī)?cè)?0~100分,12人的成績(jī)低于90分,現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況;②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加4×100m接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道.針對(duì)這兩件事,恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為()A.分層隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層隨機(jī)抽樣D.分層隨機(jī)抽樣,分層隨機(jī)抽樣【解析】選A.①中,考試成績(jī)?cè)诓煌謹(jǐn)?shù)段之間的同學(xué)有明顯的差異,用分層隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng);②中,總體包含的個(gè)體較少,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng).3.假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從800袋中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn),利用隨機(jī)數(shù)表抽樣時(shí),先將800袋牛奶按000,001,…,799進(jìn)行編號(hào),如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列開始向右讀,則抽取檢測(cè)的第5袋牛奶的編號(hào)是()(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A.199 B.175 C.507 D.012【解析】選B.找到第8行第7列的數(shù)開始向右讀,前五個(gè)符合條件的是785,667,199,507,175,故抽取檢測(cè)的第5袋牛奶的編號(hào)是175.4.某校高二年級(jí)有50人參加2023屆“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽,將他們競(jìng)賽的成績(jī)制成了如下的頻率分布表,根據(jù)該表估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分為()分組[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.20.40.30.1A.70 B.73 C.78 D.81.5【解析】選C.估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分x=65×0.2+75×0.4+85×0.3+95×0.1=78.5.某校的體能測(cè)試結(jié)果分為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí),已知甲、乙兩個(gè)班的體能測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)分別用條形圖和扇形圖描述,如圖所示,若乙班的學(xué)生人數(shù)為50,則下列結(jié)論不正確的是()A.甲、乙兩個(gè)班共有學(xué)生100人B.乙班體能測(cè)試等級(jí)不合格的有5人C.甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)與乙班一樣D.甲班體能測(cè)試等級(jí)為合格的人數(shù)比乙班多【解析】選D.對(duì)于A,由題中甲班體能測(cè)試等級(jí)條形圖可知甲班人數(shù)為8+22+14+6=50,故甲、乙兩個(gè)班共有學(xué)生100人,故A選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于B,由題中乙班體能測(cè)試等級(jí)扇形圖可知,乙班體能測(cè)試等級(jí)不合格的人數(shù)為50×10%=5,故B選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于C,甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)為8+22=30,乙班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)為48%×50+12%×50=30,即甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)與乙班一樣,故C選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于D,甲班體能測(cè)試等級(jí)為合格的人數(shù)為14,乙班等級(jí)為合格的人數(shù)為(1-48%-12%-10%)×50=15,故D選項(xiàng)說法不正確,符合題意.6.若樣本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均數(shù)為10,方差為2,則樣本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均數(shù)和方差分別是()A.19,12 B.23,12C.23,18 D.19,8【解析】選D.設(shè)樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,由已知可得∑i=1n解得x=8,所以樣本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均數(shù)為∑i=1n因?yàn)椤苅所以方差為∑i=1n(7.(2024·昆明高一檢測(cè))云南人“打跳”的視頻頻頻沖上各大平臺(tái)熱搜.唱最樸素的歌,跳最熱情的舞,云南人的快樂就是這么簡(jiǎn)單.某平臺(tái)為了解“打跳”視頻的受歡迎程度,對(duì)20~60歲的人群進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,其中喜歡“打跳”視頻的有100人,把這100人按照年齡分成4組,然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)從第二組和第四組的人中分層隨機(jī)抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,則應(yīng)從第二組抽取的人數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.由題圖可知,第二組的頻率為0.2,頻數(shù)為20,第四組的頻率為0.3,頻數(shù)為30,按分層隨機(jī)抽樣抽取10人,則應(yīng)從第二組抽取的人數(shù)為10×2050=48.某班統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分與方差,計(jì)算完畢以后才發(fā)現(xiàn)有位同學(xué)的卷子還未登記分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為x,s2,新平均分和新方差分別為x1,s12,若此同學(xué)的得分恰好為xA.x=x1,s2=s12 B.x=x1,C.x=x1,s2>s12 D.x<x1,【解析】選C.設(shè)這個(gè)班有n個(gè)同學(xué),得分分別為a1,a2,…,ai,…,an,第i個(gè)同學(xué)的得分沒登記(ai=x),第一次計(jì)算時(shí)總分為(n-1)x,方差為s2=1n-1·[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)第二次計(jì)算時(shí),平均數(shù)x1=(n-方差s12=1n[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)2+(x-x)2]=n-1ns2二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為56,46,53,48,51,53,71,58,56,56,64,66,則關(guān)于該地區(qū)的月降水量,以下說法正確的是()A.20%分位數(shù)為51B.75%分位數(shù)為61C.中位數(shù)為56D.平均數(shù)為57【解析】選ABC.將數(shù)據(jù)從小到大排列為46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,共12個(gè)數(shù)據(jù),因?yàn)?2×20%=2.4,所以20%分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)據(jù),即為51,故A正確;因?yàn)?2×75%=9,所以75%分位數(shù)為58+642該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為56+562該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為46+48+51+53+53+56+56+56+58+64+66+7112=56.5,故D錯(cuò)誤10.甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國(guó)際聯(lián)賽中,甲隊(duì)平均每場(chǎng)的進(jìn)球數(shù)是3.2,全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3;乙隊(duì)平均每場(chǎng)的進(jìn)球數(shù)是1.8,全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3.下列說法中正確的是()A.乙隊(duì)的技術(shù)比甲隊(duì)好B.乙隊(duì)比甲隊(duì)發(fā)揮穩(wěn)定C.乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球D.甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞【解析】選BCD.因?yàn)榧钻?duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8,甲隊(duì)平均數(shù)大于乙隊(duì)平均數(shù)較多,所以甲隊(duì)技術(shù)比乙隊(duì)好,所以A不正確;因?yàn)榧钻?duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊(duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,乙隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊(duì),所以乙隊(duì)比甲隊(duì)發(fā)揮穩(wěn)定,所以B正確;因?yàn)橐谊?duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,說明每次進(jìn)球數(shù)接近平均值,乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球,甲隊(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為3,說明甲隊(duì)表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞,所以C,D正確.11.某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺(tái)的觀眾年齡分布情況,向各大短視頻平臺(tái)的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷,共回收有效問卷4000份,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法正確的是()A.a=0.028B.在4000份有效問卷中,短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為32歲D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲【解析】選CD.對(duì)于A,因?yàn)?0.015+0.033+a+0.011+0.011)×10=1,所以a=0.030,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題中頻率分布直方圖,短視頻觀眾年齡在10~20歲的對(duì)應(yīng)頻率為0.15,所以短視頻觀眾年齡在10~20歲的有4000×0.15=600(人),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,平均年齡為x=(0.015×15+0.033×25+0.03×35+0.011×45+0.011×55)×10=32(歲),故C正確;對(duì)于D,設(shè)75%分位數(shù)為x,則0.015×10+0.033×10+(x-30)×0.03=0.75,解得x=39,故D正確.三、填空題(每小題5分,共15分)12.高一和高二兩個(gè)年級(jí)的同學(xué)參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽,高一年級(jí)有450人,高二年級(jí)有350人,通過按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為160的樣本,得到高一和高二兩個(gè)年級(jí)的競(jìng)賽成績(jī)的平均分分別為80分和90分,則高一、高二抽取的樣本量分別為________;此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分約為________分.

【解析】由題意可得高一年級(jí)抽取的樣本量為450450+350×160=90,高二年級(jí)抽取的樣本量為350450+350×160=70,此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分約為x=9090+70×80+7090+70答案:90,7084.37513.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注,某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名,對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.從左至右五個(gè)小組的頻率之比是5∶7∶12∶10∶6,則這400名學(xué)生視力的眾數(shù)約為________,中位數(shù)約為________.

【解析】由題圖可知,眾數(shù)的估計(jì)值為4.7.第五小組的頻率為0.5×0.3=0.15,由從左至右五個(gè)小組的頻率之比是5∶7∶12∶10∶6,可得第一小組的頻率為0.15×56=0.第二小組的頻率為0.15×76=0.175第三小組的頻率為0.15×126=0.所以中位數(shù)在第三小組,第三小組的矩形面積為0.3,則第三小組的高為0.3設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x,則0.125+0.175+(x-4.55)×1=0.5,解得x=4.75.答案:4.74.7514.某校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況,部分調(diào)查數(shù)據(jù)如表:項(xiàng)目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總樣本方差s2=________.

【解析】由題意知,總樣本平均數(shù)為x=100300×167+100300×170+所以總樣本方差為s2=100300×[120+(167-170)2]+100300×[150+(170-170)2]+100300×[150+(173-170)答案:146四、解答題(共77分)15.(13分)如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖,且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率;(2)求樣本容量;(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,求在[18,33]內(nèi)的頻數(shù).【解析】(1)由題中樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于475×3=4(2)因?yàn)闃颖驹赱15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,由(1)可知,樣本容量為8÷425=50(3)因?yàn)樵赱12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06,故樣本在[15,33]內(nèi)的頻數(shù)為50×(1-0.06)=47,又在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,故在[18,33]內(nèi)的頻數(shù)為47-8=39.16.(15分)在一次高二年級(jí)統(tǒng)一考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分為10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,計(jì)劃從900名學(xué)生的選做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本,為此將900名學(xué)生的選做題的成績(jī)隨機(jī)編號(hào)為001,002,…,900.(1)若采用隨機(jī)數(shù)法抽樣,并按照以下隨機(jī)數(shù)表,以第一行第十三列的數(shù)字5為起點(diǎn),從左向右依次讀數(shù),每次讀取三位隨機(jī)數(shù),一行數(shù)讀完之后接下一行左端.寫出樣本編號(hào)的中位數(shù).6171629915065129169358057709515126878585548766475473320811124495926316295624294826996165535837788070(2)若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績(jī)分為兩層,且樣本中選擇A題目的成績(jī)有8個(gè),平均數(shù)為7,方差為4;樣本中選擇B題目的成績(jī)有2個(gè),平均數(shù)為8,方差為1.試用樣本估計(jì)該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)與方差.【解析】(1)根據(jù)題意,讀取的編號(hào)依次是512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重復(fù)),687,858,554,876,647,547,332.將有效的編號(hào)由小到大排序,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,故樣本編號(hào)的中位數(shù)為647+6872=667(2)設(shè)樣本中選擇A題目的成績(jī)的平均數(shù)為x,方差為s2;樣本中選擇B題目的成績(jī)的平均數(shù)為y,方差為t2,則x=7,s2=4,y=8,t2=1,所以樣本的平均數(shù)為88+2x+28+2y=45方差為88+2×[s2+(x-7.2)2]+28+2×[t2+(y-7.2)2]=45×[4+(7-7.2)2]+15×[1+(8-7.2)2故估計(jì)該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)為7.2,方差為3.56.17.(15分)已知A,B兩家公司的員工月均工資(單位:萬元)情況分別如圖1,圖2所示.(1)以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值為代表,根據(jù)圖1估計(jì)A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù),你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平?請(qǐng)說明理由;(2)小明擬到A,B兩家公司中的一家應(yīng)聘,以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù),他應(yīng)該選哪個(gè)公司?【解析】(1)A公司員工月均工資的平均數(shù)為0.3×0.21+0.5×0.29+0.7×0.27+0.9×0.21+29×0.02=1.166(萬元).由題圖1可知A公司員工月均工資在0.6萬元以下的比例為0.21+0.29=0.5,所以A公司員工月均工資的中位數(shù)約為0.6萬元.用中位數(shù)更能反映該公司普通員工的工資水平,理由如下:因?yàn)槠骄鶖?shù)受每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越離群的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響越大,該公司少數(shù)員工的月收入很高,在這種情況下平均數(shù)并不能較好地反映普通員工的工資水平,而中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響,可以較好地反映普通員工的工資水平.(2)B公司員工月均工資的平均數(shù)為(0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125)×0.2=0.69(萬元),由題圖2可知,B公司員工月均工資在0.6萬元以下的頻率為(0.375+0.75)×0.2=0.225,在0.8萬元以下的頻率為(0.375+0.75+2.75)×0.2=0.775.設(shè)B公司員工月均工資的中位數(shù)為x萬元,則(x-0.6)×2.75=0.5-0.225,解得x=0.7.小明應(yīng)選擇B公司應(yīng)聘,理由如下:B公司員工工資數(shù)據(jù)較為集中,月均工資的平均數(shù)和中位數(shù)均能反映該公司普通員工的平均工資水平,B公司員工月均工資平均數(shù)為0.69,中位數(shù)為0.7,大于A公司員工月均工資的中位數(shù)0.6,所以以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù),小明應(yīng)該選B公司應(yīng)聘.18.(17分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量表得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)已知在這些數(shù)據(jù)中,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,105)內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為94,方差為40,所有這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為100,方差為202,求質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[105,125]內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差.【解析】(1)由題意可知,分組[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125]對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.06,0.26,0.38,0.22,0.08.則頻率分布直方圖如圖所示:(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+(110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.(3)由題意知,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,105)內(nèi)的產(chǎn)品有70件,設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值為x1,x2,…,x70,平均數(shù)為x=94,方差為sx則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[105,125]內(nèi)的產(chǎn)品有30件,設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值分別為y1,y2,…,y30,平均數(shù)為y,方差為sy則這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為z=100,方差為sz2=202,則100z=70x+30所以y=114,又因?yàn)閟x2=170則∑i又因?yàn)閟z2=1100(∑i=1則∑j所以sy2=130∑19.(17分)中國(guó)獨(dú)有的文書工具,即筆、墨、紙、硯,有文房四寶之名,起源于南北朝時(shí)期.其中宣紙“始于唐代,產(chǎn)于涇縣”,因唐代涇縣隸屬宣州管理,故因地得名宣紙,宣紙按質(zhì)量等級(jí)分為:正牌(優(yōu)等品)、副牌(合格品)、廢品三等.某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作,年產(chǎn)宣紙10000刀(1刀=100張),該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定等級(jí)如表所示:x的范圍(44,48]∪(52,56](48,52][0,44]∪