2025年中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)梳理難點(diǎn)04 特殊三角形的常考題型（8大熱考題型）（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages110110頁(yè)難點(diǎn)04特殊三角形的常考題型（8大熱考題型）題型一：等腰三角形的性質(zhì)題型二：等腰三角形的判定題型三：等腰三角形的構(gòu)造與個(gè)數(shù)問(wèn)題題型四：等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合問(wèn)題題型五：等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合題型六：含有30°銳角的直角三角形題型七：斜邊上的中線題型八：勾股定理及其應(yīng)用題型一：等腰三角形的性質(zhì)【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，，，與交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）直接利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出，利用三線合一性質(zhì)得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．【詳解】（1）證明：由作圖知：．在和中，．（2）解：，，．又，，．，，．【變式1-1】（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過(guò)作，可得，由對(duì)稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，，由對(duì)稱得，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過(guò)作，，，，由對(duì)稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和2，則第三邊長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)6為一腰長(zhǎng)時(shí)；當(dāng)2為一腰長(zhǎng)時(shí)；分別求出第三條邊長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)6為一腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為2，，能構(gòu)成三角形，第三邊長(zhǎng)為6；當(dāng)2為一腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為6，，不能構(gòu)成三角形，舍去；綜上，第三邊長(zhǎng)為6，故答案為：6．【變式1-3】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)分別在上，當(dāng)時(shí)，．【答案】/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，等邊對(duì)等角，得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．【變式1-4】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與角的和差運(yùn)算可得答案；【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，∵，，∴,∴；如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，∵，，∴,∴，故答案為：或【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·山東臨沂·一模）如圖，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，使得，已知，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由，先證，然后由，得到，再進(jìn)一步即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題意得：，；∵，，；，，∴，故選：D．2．（2023·遼寧營(yíng)口·三模）已知為一銳角，如圖，按下列步驟作圖：①在邊上取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)C，連接．②以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接．若，則的度數(shù)為

（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握等邊對(duì)等角，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)畫圖過(guò)程，得到，由等邊對(duì)等角可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)可得，，，則然后求解即可解答．【詳解】解：∵以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，∴，∴，，∵，，∴，解得：．故選：C．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一張三角形紙片，其中，按如下步驟折紙：第一步：將該紙片對(duì)折，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為；第二步：展開后，再將該紙片折疊；折痕為，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上根據(jù)以上折紙過(guò)程，可以求出折痕的長(zhǎng)度為（

）A．10 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三線合一定理，勾股定理，先由折疊的性質(zhì)得到，再由三線合一定理得到，則由勾股定理得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵，∴，故選：D．4．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，E是邊上一點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【答案】60【分析】本題考查等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理：過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，得到，進(jìn)而得到四邊形的面積等于，設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用面積公式求出的面積即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，過(guò)點(diǎn)作，，則：，∵，且，∴，∴四邊形的面積，∵，∴，設(shè)，則：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．5．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰三角形中，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接BD，則的度數(shù)為．【答案】30°/度【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，由作圖可得垂直平分線，則有，所以，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵是等腰三角形，，∴，根據(jù)作圖可得，是線段AB的垂直平分線，∴，∴，∴，故答案為：30°．6．（2024·安徽合肥·三模）如圖，在和中，，，，分別連接，，延長(zhǎng)交于．（1）若，則；（2）連接，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】111【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出合理的輔助線構(gòu)建全等三角形并熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)角的和差求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)線段的和差求解即可．【詳解】解：（1），，在和中，，，，，，，，，，故答案為：111；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于，，．，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：．題型二：等腰三角形的判定【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圖，與相交于點(diǎn)，連接．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與，相交于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了作圖﹣?zhàn)鹘瞧椒志€，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用基本作圖得到，平分，，接著證明得到，然后利用求解．【詳解】解：由作法得，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【變式2-1】（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接，．若，則的長(zhǎng)為

【答案】4【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得得出得出【詳解】解：∵D，E分別是邊，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴∵∴∴故答案為：4【變式2-2】（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在中，，．(1)求證：；(2)若，平分，請(qǐng)直接寫出的形狀．【答案】(1)見解析(2)是等腰直角三角形．【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定．（1）由平行證明，由等量代換得到，利用平行線的判定“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”證明，即可證明；（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求得，，據(jù)此即可得到是等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：是等腰直角三角形．∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，若，則為（

）A．4 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，平行線與角平分線相結(jié)合可得，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，∴．故選：A2．（2024·海南三亞·二模）如圖，是的中位線，平分交于點(diǎn)，若，，則邊的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了三角形中位線定理、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，由三角形中位線定理得出，，，由平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得出，由等角對(duì)等邊得出，求出的長(zhǎng)即可得解．【詳解】解：是的中位線，，，，，平分，，，，，，故選：B．3．（22-23八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，則的長(zhǎng)度是【答案】3【分析】本題考查角平分線的判定，平行線性質(zhì)及等角對(duì)等邊．根據(jù)圖形可得是的角平分線，再根據(jù)平行線性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可得到答案；【詳解】解：作，，由題意可得，如圖所示，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，∴，故答案為：3．4．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的概念和等邊對(duì)等角，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合求解即可．【詳解】∵平分，∴∵∴∴∴∴∴．故答案為：．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定和平行線性質(zhì)．由角平分線的定義得，，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可得，，然后即可求得結(jié)論．解題的關(guān)鍵是證明，．【詳解】解：∵和的平分線交于點(diǎn)，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴線段的長(zhǎng)為．故答案為：．6．（2024·山西太原·二模）如圖，在中，按照如下尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)行操作：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與，交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，與邊交于點(diǎn)；③以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于邊于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)，之間的距離為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了作圖基本作圖，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．連接、，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)題意證明四邊形是菱形，從而得出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交于點(diǎn)，由題意可知，是的角平分線，，又四邊形是平行四邊形，，，，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于邊于點(diǎn)，，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，，，，，故選：B7．（23-24九年級(jí)下·寧夏中衛(wèi)·期中）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上．下列結(jié)論：①連接，點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于成軸對(duì)稱；②連接，，，則是等腰三角形；③連接，點(diǎn)B，E到線段的距離相等．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③【分析】本題考查軸對(duì)稱，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)軸對(duì)稱概念，全等三角形判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等逐個(gè)判斷．解題的關(guān)鍵是根據(jù)描述，正確的畫圖，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．【詳解】解：如圖，連接，由圖可知，，，∵，∴，∴點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于成軸對(duì)稱，故①正確；如圖，連接，，，由圖可知，，，∴是等腰三角形，故②正確；如圖，連接，，，，設(shè)點(diǎn)，到線段的距離分別為，．由圖可知，，，∴，則，∴點(diǎn)B，E到線段的距離相等，故③正確；綜上，正確的有①②③；故答案為：①②③．8．（2024·海南海口·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，作的平分線交于點(diǎn)，連接．若的面積是，則點(diǎn)到AB的距離為，的值是．【答案】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)勾股定理求出AB，即可分別用三角形面積公式推得點(diǎn)到AB的距離和點(diǎn)到AB的距離，再根據(jù)判定即可推得相似比，從而由相似三角形的性質(zhì)得到，由平分和可得，根據(jù)等角對(duì)等邊推得后即可得解．【詳解】解：中，，點(diǎn)到AB的距離，，點(diǎn)到AB的距離，點(diǎn)到的距離，，，且相似比為，，，，，平分，，，，即，，，．故答案為：；23．9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，BD交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊以及中點(diǎn)定義，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由是邊的中點(diǎn)，得，由BD，得，，可得，即可證明結(jié)論成立；（2）由是邊的中點(diǎn)，，得，進(jìn)而，由（1），，由，得，從而，進(jìn)而即可得解．【詳解】（1）證明：∵是邊的中點(diǎn)，∴．又∵BD，∴，，在與中，，∴∴；（2）解：∵是邊的中點(diǎn)，，∴．∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴．10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知：，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，交于點(diǎn)，連接，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)，，，【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊等等：（1）只需要證明，即可證明；（2）由平角的定義得到，則可證明都是等腰直角三角形，由全等三角形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而可得，則可證明都是等腰三角形．【詳解】（1）證明：∵，，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴都是等腰直角三角形，∵，∴，∴，又∵，∴，∴都是等腰三角形．綜上所述，，，，都是等腰三角形．題型三：等腰三角形的構(gòu)造與個(gè)數(shù)問(wèn)題【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

【答案】見解析【分析】根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合題意與網(wǎng)格的特點(diǎn)分別作圖即可求解．【詳解】解：如圖所示，

如圖①，，則是等腰三角形，且是銳角三角形，如圖②，，，則，則是等腰直角三角形，如圖③，，則是等腰三角形，且是鈍角三角形，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2023·浙江寧波·中考真題）在4×4的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖1中先畫出一個(gè)以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的．(2)將圖2中的格點(diǎn)繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）先畫等腰三角形，，再確定平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）確定A，B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，而C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是其本身，再順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖，，即為所求作的三角形；

（2）如圖，即為所求作的三角形，

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)的作圖，作等腰三角形，熟練的利用網(wǎng)格特點(diǎn)以及平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，將直線向上平移個(gè)單位，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為(2)(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入中，求得a的值，再代入中，求得k的值，即得反比例函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)直線向上平移個(gè)單位，即可求得直線的表達(dá)式；（2）因B是直線BC與雙曲線的交點(diǎn)，故得方程，求解方程，即得答案；（3）設(shè)，分和兩種情況，分別列方程求解，即得答案．【詳解】（1）把代入中，得，解得，，，，，且直線向上平移個(gè)單位，∴直線表達(dá)式為；（2）由題意得：，，，（舍去），∴，；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的平移，直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)的探求等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2024·貴州畢節(jié)·一模）點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，若點(diǎn)C是直線l上的點(diǎn)，且是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C最多有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，先以A點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線l于點(diǎn)、，再先以B點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線l于點(diǎn)，最后作的垂直平分線交直線l于點(diǎn)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為所作，故答案為：A．【變式3-2】（2023·貴州遵義·三模）四邊形是平行四邊形，下列尺規(guī)作圖不能得到等腰三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分析每個(gè)選項(xiàng)的尺規(guī)作圖，進(jìn)一步判斷是否又等腰三角形即可．【詳解】A．根據(jù)作圖痕跡可知，為的角平分線，故，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即，故為等腰三角形，A不符合題意；B．根據(jù)作圖痕跡可知，點(diǎn)，在以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上，故，即為等腰三角形，B不符合題意；C．根據(jù)作圖痕跡可知，令的角平分線與交于點(diǎn)，如圖，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即，故為等腰三角形；根據(jù)作圖痕跡可知，以點(diǎn)為圓心，畫弧，與邊交于兩點(diǎn)，分別以該兩點(diǎn)為圓心，畫弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，故為的角平分線，故，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即，故為等腰三角形，C不符合題意；

D．作圖痕跡沒有依據(jù)，D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖——角平分線，等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)做圖痕跡進(jìn)行判斷．【變式3-3】（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使（n為1~4的整數(shù)）不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，等腰三角形的定義，勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得都是等腰三角形，即這三個(gè)三角形都是軸對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故選：B．【中考模擬即學(xué)即練】32．（2023·浙江臺(tái)州·一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本的作圖方法，結(jié)合等腰三角形的判定，逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)垂直平分線的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，，，根據(jù)角平分線的作法可知，，，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能判斷是等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識(shí)，掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)直接寫出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及直線的解析式；(2)點(diǎn)P是上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不與點(diǎn)A重合）；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，，直線的解析式，(2)(3)或或或，【分析】（1）分別令和，即可求點(diǎn)、、的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；（2）先求出的面積，可求的面積為3，從而可以求出的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)M坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式結(jié)合等腰三角形的定義列方程求解即可．【詳解】（1）解：令，得：，解得：，，，，令，得：，，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為：、、．設(shè)直線的解析式為，可得：，解得：，∴直線的解析式為，（2），，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則有，，∴∵，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：．（3）∵拋物線，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)M坐標(biāo)為，∵、．∴，，，當(dāng)時(shí)，，解得：，即點(diǎn)M坐標(biāo)為或，當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，，，，不能構(gòu)成三角形，故M舍去；當(dāng)時(shí)，，解得：，即點(diǎn)M坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，，解得：，即點(diǎn)M坐標(biāo)為，綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為或或或，【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題（3）的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)距離公式結(jié)合等腰三角形的定義列方程求解．題型四：等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合問(wèn)題【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接AB；②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接AD，，則畫出的是直角．操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）見詳解，（2）等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）見詳解【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長(zhǎng)至點(diǎn)D，且，連接即可知以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的為直角；（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理；（3）根據(jù)過(guò)定點(diǎn)作已知直線的垂線的方法作圖即可．【詳解】解：[操作體驗(yàn)]（1）[推理論證]（2）依據(jù)1：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；故答案為：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；[拓展探究]（3）【變式4-1】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，，連接交邊于點(diǎn)，連接．若，則的周長(zhǎng)為．【答案】/【分析】由作圖知是的垂直平分線，則，，角度推導(dǎo)得到，繼而求出，再解求出，即可求解．【詳解】解：由作圖知是的垂直平分線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴周長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴∴，∴又∵∴故選：C【變式4-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，則與l的位置關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：（1）證明，得到，即可得證；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴．【變式4-4】（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形中，，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若．①請(qǐng)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）由余角的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得；（2）①設(shè)，可求，可求，根據(jù)等腰三角形的判定可得；②由勾股定理可求，由“”可證，可得，通過(guò)證明，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：①，理由如下：設(shè)，，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·湖北宜昌·一模）如圖，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于為半徑作弧，兩弧相交于A、M兩點(diǎn)；作直線；連接；(1)是什么三角形？說(shuō)明理由；(2)在中，是平分線，是平分線．求證：．【答案】(1)是等腰三角形，見解析；(2)見解析．【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由作圖知是的垂直平分線，據(jù)此可證明是等腰三角形；（2）證明，即可得到．【詳解】（1）解：是等腰角形，理由如下：根據(jù)作圖，是的垂直平分線，∴．∴是等腰三角形；（2）證明：∵是等腰三角形，，∴，又∵是平分線，是平分線，∴，，∴，又∵，∴．∴．2．（2025·江蘇·一模）某段河流的兩岸是平行的，某數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)甲，乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，在不用涉水過(guò)河的情況下，去測(cè)得河的寬度，結(jié)果都獲得了準(zhǔn)確的答案．組別方案甲組①在河岸邊點(diǎn)處，選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹，即垂直河岸；②沿河岸直行處有一棵樹，繼續(xù)前行到達(dá)點(diǎn)處；③從點(diǎn)處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)樹正好被樹遮擋住的點(diǎn)處時(shí)（即點(diǎn)在同一直線上），停止行走；④測(cè)得的長(zhǎng)為．乙組①在河岸邊點(diǎn)處，選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹，即垂直河岸；②從點(diǎn)出發(fā)，沿著與直線成角的方向前進(jìn)到處，在處測(cè)得，③量出的長(zhǎng)，它就是河寬（即點(diǎn)之間的距離）問(wèn)題解決（1）根據(jù)甲組的方案，①河的寬度是；②請(qǐng)說(shuō)明他們做法的正確性（需寫出必要的過(guò)程）（2）根據(jù)乙組的方案，請(qǐng)寫出在判斷過(guò)程中，他們都用到了哪些數(shù)學(xué)幾何知識(shí)？（至少2條）【答案】（1）①10，②見解析；（2）見解析【分析】本題主要考查了三角形的外角的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意，易得，即可獲得答案，②利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)易得；（2）根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，結(jié)合題意可證明，再根據(jù)等腰三角形“等角對(duì)等邊”的性質(zhì)可得，即可獲得答案．【詳解】結(jié)：（1）①由題意知，米，即河的寬度是10米；故答案為：10；②證明：∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，，∵，∴，∴，∴．所以，根據(jù)乙組的方案，他們用到的數(shù)學(xué)幾何知識(shí)可有：在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，且．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，則，，等量代換，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；（2）延長(zhǎng)交于，連接，根據(jù)題意，垂直平分線的性質(zhì)，證明得到是的垂直平分線，則，，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，則，，根據(jù)，推出，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，則，得到，根據(jù)為邊的中點(diǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，則，根據(jù)邊的等量關(guān)系，即可．【詳解】（1）證明，如下：∵，，∴，∵平分交于點(diǎn)∴，∴，∵，，∴，∴．（2）證明，如下：延長(zhǎng)交于，連接，∵平分，，∴是的垂直平分線，∴，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵為邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．

4．（2024·云南昆明·一模）如圖，在等腰直角中，點(diǎn)D在上，將繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到(1)求的度數(shù)；(2)若求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)90°(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中利用全等三角形得出線段和角相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可；（2）由（1）知，，得到，，利用勾股定理求出，再證明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：是由旋轉(zhuǎn)得到的，為等腰直角三角形，∴，，，；（2）解：∵，由（1）知，，∴，，，在中，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴（負(fù)值舍去）．5．（2024·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把一個(gè)含有角的直角三角尺繞著角的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)重合，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．(1)是_____三角形，的度數(shù)是_____(2)若，求的面積．【答案】(1)等腰，(2)的面積．【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．（1）由旋轉(zhuǎn)，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性質(zhì)可求得的度數(shù)；（2）求得中邊上的高，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴是等腰三角形，；故答案為：等腰，；（2）解：作于點(diǎn)，∵，，∴，∴的面積．6．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作矩形(點(diǎn)、在的同側(cè))，且，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：線段被平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，，證明，得到，由，可得，即可求解；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，由，可推出，證明，得到，推出，結(jié)合，推出，證明，得到，即可證明．【詳解】（1）解：在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)作于，在矩形中，，，，，，又，，，，，，，，，，，線段被平分．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．7．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）小紅在學(xué)習(xí)了等腰三角形相關(guān)性質(zhì)后，對(duì)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)一步探究．在等腰直角中，，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，．(1)【問(wèn)題解決】當(dāng)平分時(shí)，則；(2)【問(wèn)題探究】當(dāng)點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)時(shí)，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)長(zhǎng)．【答案】(1)(2)．理由見解析(3)或【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由角平分線的性質(zhì)可求解；（2）由可證，可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，由可證，可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：情況①：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖②．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，；情況②：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖③．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，；的長(zhǎng)為或．題型五：等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．【變式5-1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形得到，繼而得到，而是等邊三角形，因此得到．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選：C．【變式5-2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．【變式5-3】如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是．【答案】/45度【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、正方形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形性質(zhì)得出，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【變式5-4】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：在與中，，所以；（2）解：因?yàn)?，，所以，，所以是等邊三角形．所以．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，若將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度后得到，連接，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)得，得，得，可判斷出是等邊三角形，故可得．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴而，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴,故選：B．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）動(dòng)點(diǎn)在等邊的邊上，，連接，于，以為一邊作等邊，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用全等三角形的判定定理準(zhǔn)確找出圖中的全等三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，分別連接，，作，交的延長(zhǎng)線于，利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到、；再證明，則，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，從而得到，，，四點(diǎn)共圓，利用圓中最長(zhǎng)的弦為直徑得到當(dāng)取最大值時(shí)，則等于直徑，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，分別連接，，作，交的延長(zhǎng)線于，和是等邊三角形，，，，．在和中，，，，，，，．，，，，，，．在和中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，，四點(diǎn)共圓，當(dāng)取最大值時(shí)，則等于直徑，為直徑，，四邊形為矩形，，，點(diǎn)在上，于，，兩點(diǎn)重合，此時(shí)為中點(diǎn)，，．，．故選：C．3．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知：如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，邊在x軸正半軸上，現(xiàn)將等邊三角形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)O分別作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，根據(jù)是等邊三角形，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，等邊三角形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)6次為一個(gè)循環(huán)，分別求出等邊三角形中心G旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，進(jìn)而可得第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)O分別作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，∵是等邊三角形，∴平分，∴，∵，∴，，∵等邊三角形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)6次為一個(gè)循環(huán)，∵等邊三角形中心G坐標(biāo)為，第一次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸正半軸，坐標(biāo)為：；第二次旋轉(zhuǎn)后到第二象限，坐標(biāo)為：；第三次旋轉(zhuǎn)后到第三象限，坐標(biāo)為：；第四次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸負(fù)半軸，坐標(biāo)為：；第五次旋轉(zhuǎn)后到第四象限，坐標(biāo)為：；第六次旋轉(zhuǎn)后回到第一象限，坐標(biāo)為：，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)為：．故答案為：．4．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，，則的值為．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作，三線合一，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．5．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，，將等邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由等邊三角形的性質(zhì)可得：，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，推出，進(jìn)而求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，DE相交于O，．(1)判斷的形狀；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析(2)【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)可得，，然后根據(jù)，得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，得到結(jié)論；（2）設(shè)，然后表示，的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和和對(duì)頂角相等解題即可．【詳解】（1）是等邊三角形，理由為：由旋轉(zhuǎn)可得，，，又∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，即是等邊三角形；（2）設(shè)，∴，又∵，∴，在四邊形中，．7．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在等邊三角形外側(cè)作直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接．

(1)依題意補(bǔ)全如圖；(2)若，求；(3)若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)即可求解；（3）連接交于點(diǎn)，證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，則，，根據(jù)勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，代入相關(guān)數(shù)據(jù)得出，由，可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交于點(diǎn)，取點(diǎn)，使得，連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，圖1為所求的圖：（2）如圖2：連接，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，在與中，，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖，連接交于點(diǎn)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，∴在與中，∴∵是等邊三角形∴∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，則，，在中，，在中，，∴，∵，，∴8．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．(1)填空：的度數(shù)為______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在中，，，平面上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為4，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連，則是否有最大值和最小值？若有，直接寫出，不需要說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②；(2)，理由見解析(3)存在，的最小值為，的最大值為．【分析】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，握全等三角形判定定理是解題的關(guān)鍵掌．（1）①由和均為等邊三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得；（2）證明可得，故，而，即得；（3）證明得，可證點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓上，當(dāng)D在線段上時(shí)，有最小值，求出，即可得的最小值為；當(dāng)A在線段上時(shí)，的最大值為．【詳解】（1）解：①∵和均為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴；故答案為：；②由①知，∴．故答案為：．（2）解：，理由如下：∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖：∵，∴，在與中，，∴，∴，∵點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離是4，∴，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓上，如圖：當(dāng)D在線段上時(shí)，有最小值，∵，∴，∴此時(shí)，即的最小值為；如圖：當(dāng)A在線段上時(shí)，最大，此時(shí)，即的最大值為．題型六：含有30°銳角的直角三角形【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·海南·中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，邊在數(shù)軸上，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．作于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)E表示的數(shù)是3，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是，故選：D．【變式6-1】（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)M和N，再分別以M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由知．本題主要考查作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，為的平分線，，，則，∴故選：C．【變式6-2】（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，．若點(diǎn)D在直線上（不與點(diǎn)A，B重合），且，則的長(zhǎng)為．

【答案】6或12【分析】本題考查了含的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等知識(shí)，分①點(diǎn)D在線段時(shí)，②點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，③點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，①點(diǎn)D在線段時(shí)，

∵，，∴，∴，∴；②點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵，，∴，∴，∴；③點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，

此時(shí)，即，故不符合題意，舍去，綜上，的長(zhǎng)為6或12．【變式6-3】（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如下圖：

則由題意可得：，，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【變式6-4】（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則．【答案】2【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到為含30度角的直角三角形，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，為等邊三角形，，，∴，∴，∴；故答案為：2．【變式6-5】（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度，，則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．由等腰三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，由含30度直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，∵，即，解得，故答案為：．【變式6-6】（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.

【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，求作的三等分線．閱讀以下作圖步驟：（1）分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)D，E，作直線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，畫射線；（2）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；（3）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)G，畫射線，則射線即為所求．下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B． C． D．為等邊三角形【答案】B【分析】由垂直平分線段可判斷A，由30度角的性質(zhì)可判斷B，由等邊三角形的判定可判斷D，由三線合一可判斷C．【詳解】解：∵，，∴，由作圖可知垂直平分線段，∴，故選項(xiàng)A正確，∴，∵，∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，∴，∴，∴是等邊三角形，故選項(xiàng)D正確，由作圖可知平分，∴，故選項(xiàng)C正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線，含30度的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在是邊上的高，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，下列說(shuō)法不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義判斷A；根據(jù)和都是的余角判斷B；根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)判斷C；根據(jù)和都是的余角，是的外角，是的外角，判斷D．【詳解】A、由作圖知，平分，∴，∴A正確，不符合題意；B、∵是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴B正確，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，，∴C不一定正確，C符合題意；D、∵，∴，∵，∴，∴，∴D正確，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線和直角三角形．熟練掌握角的平分線定義，直角三角形角性質(zhì)，余角定義，含的直角三角形邊性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，且．若，則的邊長(zhǎng)為（

）A．2.5 B．3.5 C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作于．先在中利用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出，于是，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于．在中，，，，∵，．，于，，．故選：C．3．（2023·遼寧錦州·三模）如圖，中，，，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，E，以C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與直線交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，先判斷出是等邊三角形，從而可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，然后求出，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，由題意可知，垂直平分，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題背景如圖（1），在與中，，，．求證：．類比探究如圖（2），D，P是等邊外兩點(diǎn)，連接并取的中點(diǎn)M，且，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．拓展應(yīng)用如圖（3），在四邊形中，，，，，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題背景：見解析；類比探究：；理由見解析；拓展應(yīng)用：【分析】問(wèn)題背景：先證明，再證明即可得到結(jié)論；類比探究：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，證明，可得，，再證明，可得，從而可得結(jié)論；拓展應(yīng)用：過(guò)作，且，連接，并延長(zhǎng)交于，可得，證明，證明，可得，，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】問(wèn)題背景：證明：∵，∴，∵，，∴，∴；類比探究：；理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴為等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴，，而，∴，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，而，∴；拓展應(yīng)用：如圖，過(guò)作，且，連接，并延長(zhǎng)交于，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．題型七：斜邊上的中線【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)D，E，連接(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由題意得是線段AB的垂直平分線，故點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．據(jù)此即可求解；（2）根據(jù)、的周長(zhǎng)即可求解；【詳解】（1）解：由作圖可知，是線段AB的垂直平分線，∴在中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．∴．（2）解：在中，．∵是線段AB的垂直平分線，∴．∴的周長(zhǎng)．【變式7-1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在中，，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴等邊三角形，∴．故選：A．【變式7-2】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)得，則，進(jìn)而得點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由此可對(duì)選項(xiàng)Ａ進(jìn)行判斷；設(shè)，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｂ進(jìn)行判斷；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｃ進(jìn)行判斷；連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進(jìn)而得，，由此得，，由為中點(diǎn)，則，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｄ進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖1所示：

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為斜邊上的中線，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；設(shè)，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長(zhǎng)交于，如圖2所示：

當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，∵為中點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接，點(diǎn)D恰好落在線段上，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得，，，推出是等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，∴，，，∴是等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∴，∴，∴，故選：A．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·甘肅隴南·三模）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，且，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是和的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形，直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三線合一，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，，∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，故選：B．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，是的高線，是的中線，連接．若．則為（）

A．4 B．2．5 C．3 D．【答案】B【分析】本題主要考查了三線合一定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，先由三線合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【詳解】解：∵，，是的高線，∴，∴，∵是的中線，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，故選：B．3．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，，則．【答案】2【分析】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．【詳解】解：∵，D為斜邊中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴．故答案為：2．4．（2025·上海奉賢·一模）等腰三角形中，分別是邊上的中線，且，那么．【答案】3【分析】設(shè)與交于Q，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得，點(diǎn)為的重心，則為中點(diǎn)，，則為等腰直角三角形，設(shè)，則，即可求解．【詳解】解：設(shè)與交于Q，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得，點(diǎn)為的重心，∴為中點(diǎn)，∵，∴，∵，為中點(diǎn)∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴設(shè)，則，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)角的正切值，等腰三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，將，分別沿，翻折使得A與重合，B與重合，若，則．【答案】3【分析】連接，依據(jù)勾股定理以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得出是等腰三角形；再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出與相等，進(jìn)而得到是等腰三角形，即可得出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)，，在中，，，，，中，是的中點(diǎn)，，又，，，即，，又，，∴，又∵，∴，，又，，，即，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，直角三角形斜邊上中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．6．（2025·廣西柳州·一模）如圖，在中，，，為邊的高，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在第一象限，若從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)隨之沿軸下滑，并帶動(dòng)在平面內(nèi)滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)竭_(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接，線段的長(zhǎng)隨的變化而變化，當(dāng)最大時(shí)，．【答案】【分析】本題考查三線合一，勾股定理：三線合一結(jié)合斜邊上的中線求出的長(zhǎng)，根據(jù)，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，得到此時(shí)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，為邊的高，∴，在中，，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，此時(shí)：，∴，∴；故答案為：．題型八：勾股定理及其應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，則．【答案】【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，∴，，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案為：．【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片沿邊折疊，使點(diǎn)在邊中點(diǎn)處．若，則．【答案】/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于的方程．由矩形的性質(zhì)推出，由線段中點(diǎn)定義得到，由折疊的性質(zhì)得到：，設(shè)，由勾股定理得到，求出，得到的值．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵是中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)得到：，設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【典例3】（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的最小值為，CF的最大值為．【答案】6【分析】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理，等邊對(duì)等角，過(guò)點(diǎn)E作于H，則四邊形是矩形，則，根據(jù)，可得的最小值為6，則由折疊的性質(zhì)可得的最小值為6；如圖所示，連接，證明，得到，則，利用勾股定理得到當(dāng)最大時(shí)，最大，即最大時(shí)，最大，則當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，最大，設(shè)此時(shí)，則，據(jù)此利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，則四邊形是矩形，∴，∵，∴的最小值為6，由折疊的性質(zhì)可得，∴的最小值為6；如圖所示，連接，由折疊的性質(zhì)可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，即最大時(shí)，最大，∴當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，最大，設(shè)此時(shí)，則，∴，解得，∴的最大值為故答案為：，．【變式8-1】（2023·江蘇南京·中考真題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問(wèn)題：“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何?”問(wèn)題大意：如圖，在中，里，里，里，則的面積是（

）A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里【答案】C【分析】本題考查了三角形面積，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)直角三角形的公共邊找到突破點(diǎn)．主要利用了勾股定理進(jìn)行解答．過(guò)點(diǎn)作，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出的面積即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)里，則里，在中，，在中，，，，解得，在中，（里，的面積（平方里），故選：C【變式8-2】（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)F．已知，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了作圖基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)基本作圖可判斷平分，過(guò)F作于G，再利用角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：過(guò)F作于G，由作圖得：平分，，，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，，，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，，在中根據(jù)勾股定理得：．故答案為：．【變式8-3】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的表達(dá)式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；以為圓心，為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；……按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查的是一次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律問(wèn)題，作軸于點(diǎn)H，依次求出，找出規(guī)律即可解決．【詳解】解：作軸于點(diǎn)H，均在直線上，，，，，，，，，，同理，，，同理，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故答案為：．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·廣東深圳·一模）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，當(dāng)點(diǎn)C，，三點(diǎn)共線時(shí)，交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，先證明，進(jìn)而證明，于是可得，，設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，是等腰三角形，且，，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，，解得：，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·山東淄博·期中）如圖，中，于點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式求得即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴．故答案為：．3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，②作直線分別與，DB，交于點(diǎn)，，，若，，則．【答案】【分析】如圖，連接，由作圖可知垂直平分線段，由垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)勾股定理可得，再證，得到，由此即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由作圖可知垂直平分線段，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，在和中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，