中考數(shù)學難點突破與訓練：全等三角形中的一線三垂直模型（含答案及解析）

專題03全等三角形中的一線三垂直模型

【模型展示】

特點

【已知】如圖，AABC為等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【證明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=>ZCBE=ZBAD,

ZBAD=NCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中AB=BCnAABDvABCE.

ZABD=NBCE

結(jié)論^ABD=NBCE,DE=AD+CE.

【模型證明】

【結(jié)論一】

在△ABC中，/ACB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,

解決方案

則有以下結(jié)論成立:

①△ADCdCEB;②DE=AD+BE

【證明】：

①3正明：'：AD±DE,BEVDE,

：./AOC=/8EC=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,ZDAC+ZACD=9Q0,

：.ZDAC=ZBCE,

,ZCDA=ZBEC

在△4。。和4CEB中，ZDAC=ZECB

AC=BC

.?.△ADCdCEB（AAS）.

②證明：由（1）知：AADC^ACEB,

：.AD=CE,CD=BE,

■:DC+CE=DE,

:.DE=AD+BE.

【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）

①DE=AD-BE

②DE=BE-AD

2

【題型演練】

一、單選題

1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所

示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a=8cm,則DE的長為（）

C.56cmD.64cm

2.如圖，點尸，。分別是NABC邊54,上的點，且即=4,ZABC=60°.連結(jié)P。，以尸。為邊，在

尸。的右側(cè)作等邊△OPE,連結(jié)8E,則ABOE的面積為（）

C.4D.6g

3.如圖，AC=CE,ZACE=90°,ABLBD,EDLBD,AB=6cm,DE=2cm,則8。等于（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

二、填空題

4.如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,于點。，BE_LDE于點、E,且點C在。E上,

3

若AO=5,BE=8,則?！甑拈L為

5.如圖所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.直線/經(jīng)過點4過點2作班—于點E,過點C作CB_L/

于點F.若BE=2,CF=5,則￡F=.

三、解答題

6.已知：如圖，ABLBD,ED±BD,C是8。上的一點，AC1.CE,AB=CD,求證：BC=DE.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且于。，BELMN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①△ADC四△CE2；

②DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段。E的長.

8.(1)課本習題回放:“如圖①，NACB=90。，AC=BC,AD±CE,BE,CE,垂足分別為。，E,AD=2.5cm,

DE=1.7cm.求班的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為.

4

(2)探索證明：如圖②，點8,C在/M4N的邊A"、AN上，A3=AC,點E,P在/M4N內(nèi)部的射線

AD上，旦NBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^ACAF.

(3)拓展應用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>3C.點。在邊8c上，CD=2BD,點、E、歹在線

段AD上，ZBED=ACFD=ABAC.若AABC的面積為15,則AACF與ABDE的面積之和為.(直

接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程)

9.問題背景：(1)如圖①，已知AABC中，ABAC=9Q°,AB^AC,直線機經(jīng)過點A,直線機，CEL

直線垂足分別為點。，E,易證：DE=+.

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在AABC中，AB^AC,D,A,E三點都在直線機上,

并且有ZBD4=NAEC=NBAC,請求出。E,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)實際應用：如圖③，在中,ZACB=90°,AC=BC,點C的坐標為(一2,0),點A的坐標為(-6,3),

請直接寫出8點的坐標.

10.如圖，在AABC中，AB=BC.

cc

5

(1)如圖①所示，直線過點8,AM_LMN于點M,CNLMN千點、N,且NABC=90。.求證：

MN=AM+CN.

(2)如圖②所示，直線MN過點B,A4交MN于點M,CN交MN于點N,S.ZAMBZABCZBNC,

則兒W=AM+QV是否成立？請說明理由.

11.在直線機上依次取互不重合的三個點。，A,E,在直線加上方有AB=AC,且滿足NBZMU/AECM

ZBAC=a.

(1)如圖1,當a=90。時，猜想線段。E,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當0<a<180時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由.

12.如圖，ZABC=90。,以，42于點A,點。在直線A3上，AD=BC,AF=BD.

(1)如圖1,若點。在線段AB上，判斷。尸與DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點。在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結(jié)論是否成立，并說明理由.

13.(1)如圖1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線優(yōu)經(jīng)過點A,8￡>_L直線能，CE_L直線出

垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意鈍角，請問結(jié)論DE=8O+CE是否成立？如成立，請你給出證明;

若不成立，請說明理由.

6

14.在直線加上依次取互不重合的三個點。,AE,在直線加上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(1)如圖1,當。=90。時，猜想線段。E,32CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當0＜。＜180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應用：如圖3,在△ABC中，ZBAC是鈍角，AB=AC,NBAD＜NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直線機

與CB的延長線交于點/，若BC=3FB,AABC的面積是12,求AfSO與AACE的面積之和.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點。且AD_LMN于BELMN于E.

(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①AADC空人CEB；

②DE=AD+BE；

(2)當直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD—BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，

并加以證明.

16.(1)如圖1,在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,直線機經(jīng)過點A,2。，直線相，CE,直線機，垂

7

足分別為點。、E.求證：△ABO名ZXCAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三點都在直線切上，并且有

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△A3。g是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(。，A,E三點互不重合)，點、F

為N8AC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接8Z),CE,若/BD4=NAEC=/BAC,

求證：△DE77是等邊三角形.

17.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為。，E.

學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1,若AD=2.5cm,DE=l.lcm,求BE的長；然

后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、與直線CE的垂直關(guān)

系不變，如圖2,猜想A。、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時，試問。￡、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個

8

等量關(guān)系（不寫證明過程）；

（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問。E、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個

等量關(guān)系（不寫證明過程）.

9

專題03全等三角形中的一線三垂直模型

【模型展示】

特點【已知】如圖,

【證明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°ZCBE=ABAD,

ZBAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,<AB=BC

ZABD=ZBCE

AABD=ABCE.

結(jié)論AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型證明】

【結(jié)論一】

在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且ADJ_MN于D,

解決方

案BE_LMN于E,則有以下結(jié)論成立：

?AADC^ACEB;?DE=AD+BE

10

【證明】：

①證明：'：AD1DE,BE1.DE,

：./AZ）C=/8EC=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,ZDAC+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

,ZCDA=ZBEC

在44。（7和4CEB中，ZDAC=ZECB

AC=BC

:.△ADC-CEB（AAS）.

②證明：由（1）知：AADC^ACEB,

：.AD^CE,CD=BE,

■:DC+CE=DE,

:.DE=AD+BE.

【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）

①DE=AD-BE

②DE=BE-AD

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【題型演練】

一、單選題

1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱

子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚

度a=8cm,則OE的長為（）

C.56cmD.64cm

【答案】c

【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/ACB=90。，AC^CB,因此可以考慮證明AAC。

和ACBE全等，可以證明的長為7塊磚的厚度的和.

【分析】解：由題意得/AOC=/CEB=NACB=90。，AC=CB,

：.ZACD=90°-NBCE=NCBE,

在△4。9和4CBE中,

ZADC=ZCEB

ZACD=NCBE,

AC=CB

:.△ACD"XCBE(A4S),

:?CD=BE=3a,AD=CE=4a,

/.DE=CD+CE=3〃+4〃=7a,

?〃=8cm,

/.7〃=56cm,

?\DE=56cmf

故選c.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角

形的性質(zhì)與判定條件.

12

2.如圖，點尸，。分別是/ABC邊54,8C上的點，且m=4,ZABC=60°.連結(jié)尸￡）,

以P。為邊，在PO的右側(cè)作等邊△OPE,連結(jié)BE,則ABOE的面積為（）

A.4-73B.2C.4D.673

【答案】A

【分析】要求ABDE的面積，想到過點E作￡F_L3C,垂足為尸，因為題目已知NABC=60。，

想到把NABC放在直角三角形中，所以過點。作DGL8A,垂足為G,利用勾股定理求出DG

的長，最后證明AG尸D=AFDE即可解答.

【詳解】解：過點E作EFL8C,垂足為尸，過點。作DGL8A,垂足為G,

在比ABGD中，BD=4,NABC=60。，

,-.ZBDG=30°,

:.BG=-BD=2,

2

GD=-JBD2-BG2=26，

?.?APDE是等邊三角形，

:.NPDE=60°,PD=DE,

ZPDB+ZEDF=180O-ZPDE=120°,

?//ABC=60。，

NPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

:.ZBPD=ZEDF,

?;NPGD=ZDFE=90°,

\GPD=AFDE(AAS),

:.GD=EF=2-j3,

.?.ABDE的面積=；BQ.EF,

=—x4x2G,

2

=4v5,

故選：A.

13

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的

已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線.

3.如圖，AC=CE,ZAC￡=90°,ABA.BD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,則8。等于

()

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【分析】根據(jù)題意證明ZVIBC也△€?石即可得出結(jié)論.

【詳解】解：9：AB±BD,ED±BD,

：.ZABC=ZCDE=90°9

'：NACE=90。，

???ZACB+ZDCE=90°,

ZACB+ZBAC=90°,

：.ABAC=ZDCE,

在△ABC和中，

ZABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<,

AC=CE

：.△ABC四△CD￡(A4S),

AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=8cm,

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定

理是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.如圖，已知A8C是等腰直角三角形，NACB=90。，AOLDE于點。，BE_LDE于點E,

且點C在。E上，若AO=5,BE=8,則。E的長為.

14

【答案】13

【分析】先根據(jù)AO_LDE,BE±DE,ZADC=ZCEB=9Q°,則/ZMC+/DCA=90。，AABC

是等腰直角三角形，ZACB=90°，可得AC=C3,推出ZDAC=ZECB,即可證明△DAC^AECB

得至(JCE=AD=5,CD=BE=8,由此求解即可.

【詳解】解:'.'AD±DE,BE1,DE,

：./ADC=/CEB=9。。,

：.ZDAC+ZDCA=90°,

是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,

：.ZDCA+ZBCE=90°,AC=CB

：.ZDAC=ZECB,

.".△DAC^AECB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=8,

：.DE=CD+CE^13,

故答案為：13.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練

掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件.

5.如圖所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.直線/經(jīng)過點A,過點B作于點E,

過點C作CV，/于點?若BE=2,CF=5,貝ijEF=.

【答案】7

【分析】根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進行計算，即可得到答案;

【詳解】解：CF±l,

：.ZAEB=ZCFA=90°.

：.ZEAB+ZEBA=9Q°.

又：ZBAC=90°,

ZEAB+ZCAF=9Q°.

：.ZEBA=ZCAF.

15

在△人防和^C朋中

VZAEB=ZCFA,ZEBA=ZCAF,AB=AC,

：.AAEB^ACM.

：.AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

BE=2,CF=5,

：.EF=2+5=7；

故答案為：7.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學的

知識，正確的證明三角形全等.

三、解答題

6.已知：如圖，AB±BD,EDLBD,C是3。上的一點，AC±CE,AB=CD,求證：BC=

DE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【詳解】證明：'：ABA.BD,EDLBD,AC±CE（已知）

AZACE=ZB=ZD=9Q°（垂直的意義）

VZBCA+ZDCE+ZACE=180°（平角的意義）

ZACE=90°（已證）

：.ZBCA+ZDCE=9Q°（等式性質(zhì)）

VZBCA+ZA+ZB=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）

ZB=90°（已證）

AZBCA+ZA=90°（等式性質(zhì)）

：.ZDCE=ZA（同角的余角相等）

在△42。和4CDE中，

ZA=ZDCE

<AB=CD,

NB=ND

:.AABCHCDE（ASA）

16

:.BC=DE(全等三角形對應邊相等)

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且于。，BELMN于

E.

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①△AD8ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段的長.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；

(2)D￡=3

【分析】(1)①由己知可知，AD1MN,BE1MN,得到/ADC=NCE3=90。，再根據(jù)三角

形內(nèi)角和與平角性質(zhì)，得到=即可證明△ADC之△(?￡?G4AS)；②根據(jù)

△ADC公ACEB,得到AD=CE,DC=BE,即可證明。E=AO+BE.

(2)由已知可知，AD±MN,BE工MN,得到NADC=/CEB=90。，再根據(jù)

ZCAD+ZACD=90°、ZACD+ZBCE=90°,得到ACAD=ZBCE，可證明AADC名△CEB,

得到CE=AT>,CD=BE,即可求出。E長.

(1)

①證明：:ADLMN,BELMN,ZACB=90°

：.ZADC=NCEB=ZACB=90°,

Z.CAD+ZADC+ZACD=IWP,

ZACD+ZACB+ZBCE=\SQ°,

：.NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ACAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS)；

②證明：,?AADC學△CEB,

17

/.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

證明："：ADLMN,BE工MN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

?/ZACB=90°,

ZACD+ZBCE=90°

：.NCAD=NBCE,

在△AOC和△CEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

AADC冬ACEB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5-2=3.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知準確找到符合全等的條件是解

題關(guān)鍵.

8.(1)課本習題回放："如圖①，ZACB=90°,AC=BC,AD±CE,BELCE,垂足分

別為D,E,AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：3E的長為

（2）探索證明：如圖②，點8,C在/肱4N的邊AM、AN上，AB=AC,點E,尸在NM47V

內(nèi)部的射線AD上，且ZBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^ACAF.

（3）拓展應用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,

點E、P在線段AD上，ZBED=Z.CFD=ZBAC.若AABC的面積為15,則AACF與AfiDE

的面積之和為.（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）

【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5

【分析】（1）利用A4s定理證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可;

18

(2)由條件可得/8EA=/A尸C,Z4=ZABE,根據(jù)A4s可證明△ABEgZxCAB

(3)先證明△ABE也尸，得到AACV與ABDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)

CD=2也故可求解.

【詳解】解：(1):BELCE,AD±CE,

：.ZE=ZADC=90°,

：.ZEBC+ZBCE^90°.

'：ZBCE+AACD=9G°,

：.ZEBC=ZDCA.

ZE=ZADC

在△CEB和△ADC中，＜NEBC=ZDCA

BC=AC

.,.△CEB^AADCGUS),

：?BE=DC,CE=AD=2.5cm.

?：DC=CE—DE,DE=1.7cm,

/.Z)C=2.5-1.7=0.8cm,

：.BE=O.Scm

故答案為：0.8。加；

(2)證明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

???N1=NA3E+N3,Z3+Z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,/ABE=/4,AB=AC,

：.AABE^ACAF(AAS).

(3)?:NBED=NCFD=NBAC

：.ZABE-^ZBAE=ZFAC+ZBAE=Z.FAC+ZACF

：.ZABE=ZCAFfZBAE=ZACF

5LAB=AC

：.△ABE也△CAR

19

?v—Q

,,tJJAF

：.AACF與ABDE的面積之和等于AABE與NBDE的面積之和，即為△ABD的面積,

VCD=2BD,AABD與△AC。的高相同

=

貝U^AABD§5AAec=5

故AACF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.問題背景：（1）如圖①，已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC,直線相經(jīng)過點A,BD1.

直線相，CEL直線相，垂足分別為點。，E,易證：DE=+.

（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D,A,E三點

都在直線加上，并且有ZBD4=NAEC=NA4C,請求出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

（3）實際應用：如圖③，在△ACB中，ZACB=90°,AC=BC,點C的坐標為（一2,0）,點

A的坐標為（-6,3）,請直接寫出2點的坐標.

【答案】（1）2。CE；證明見詳解；（2）r>E=2D+CE；證明見詳解；⑶點3的坐標為3。,4）.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到=AD=CE,結(jié)合圖形解答即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明=證明AAB。絲ACAE,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到=AD=CE,結(jié)合圖形解答即可；

（3）根據(jù)AAEC2ACFB,得到CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根據(jù)坐標與圖形性

20

質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）證明：:班），加，CE_Lm,

：.ZADB=ZCEA=90°f

???NBA。=90。，

???ZBAZ）+ZC4E=90°,

?.,ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在和△CE4中

ZABD=/CAE

<NADB=/CEA,

AB=CA

：.△AD的△CE4,

AAE=BD,AD=CE,

JDE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案為：BD；CE；

（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE,

證明：在中，ZABD=1800-ZADB-ZBAD,

VZCAE=i800-ZBAC-ZBAD,ZBDA=ZAECf

：.ZABD=ZCAE,

在△極）和△口!￡；中，

NABD=NCAE

<NBD4/AEC

AB=CA

：.^ABD^CAE,

；?AE=BD,AD=CE,

:.DE=AD+AE=BD+CE；

（3）解：如圖，作軸于E,軸于憶

由（1）可知，小AEC^^CFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

；?OF=CF—OC=1,

21

；?點2的坐標為3（1,4）.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在“WC中，AB=BC.

CC

（1）如圖①所示，直線過點8,4〃，"乂于點"，CNLMN于氤N,且

ZABC=90°.求證：MN=AM+CN.

（2）如圖②所示，直線過點8,AM交于點M,CN交于點N,且

ZAMB=ZABC=ABNC,則MN=AM+OV是否成立？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）MN=AM+CN仍然豉豆,理由見解析

【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到/區(qū)4M=NCBN,然后證明

AAMB^ABNC（AAS）,然后根據(jù)全等三角形對應邊相等得到40=BN,BM=CN,然后

通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明MN=AM+OV；

（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NMAB=NCBN,然后證明△AMB三△3NC（A4S）,

根據(jù)全等三角形對應邊相等得到肱V=MB+隴，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明

MN=AM+CN.

【詳解】證明：（1）'：AMYMN,CN1,MN,

：.ZAMB=NBNC=9O°,

：.ZABM+ZBAM=90°,

ZABC=90°,

ABM?CBN90?,

NBAM=NCBN,

在和中，

2AMB=NBNC

<ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMB三ABNC（AAS）,

:.AM=BN,BM=CN,

'：BN+MB=MN,

22

：.MN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN削然成魚,理由如下：

?/ZAMB+ZMAB+ZABM=ZABM+ZABC+ZCBN=180°,

ZAMB=ZABC,

：.NMAB=/CBN,

在AAWS和△■BNC中，

ZAMB=ZBNC

<ZBAM=ZCBN,

AB=BC

：.AAMB三△3NC(AAS),

；.AM=BN,NC=MB,

,:MN=MB+BN,

：.MN=AM+CN.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，

解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到ZBAM=NCBN.

11.在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB=AC,且滿足

=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如圖1,當a=90。時，猜想線段OE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當0<d<180時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若

不成立，請說明理由.

【答案】Q)DE=BD+CE.

(2)DE=BO+CE仍然成立，證明見解析

【分析】(1)由N■BZM=NJa4C=NAEC=90。得到/a4r>+/EAC=NBAr>+/DBA=90。，

進而得到/。8A=/EAC,然后結(jié)合AB=AC得證△OA40△E4C,最后得到DE=BD+CE；

(2)由/B。A=NBAC=NAEC=a得到NBAD+/EAC=N?BAD+/。BA=180。-a,進而

得到NOB4=/EAC,然后結(jié)合4B=AC得證△DBAg/XEAC,最后得到。E=BD+CE.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

23

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

???ZBAD+ZEAC=ZBAD+Z￡>BA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

*：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

OE=3D+CE仍然成立，理由如下，

???ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+Z￡)BA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

VAB=AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

12.如圖，a43。=90。,用，43于點八，點。在直線人呂上，AD=BC,AF=BD.

圖1圖2

⑴如圖1,若點。在線段A3上，判斷。尸與DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點D在線段A3的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結(jié)論是否成立,

并說明理由.

【答案】(1)。尸=OC,DFLDC-,理由見解析

(2)成立，理由見解析

【分析】(1)先證AA。F經(jīng)△BC。，得DF=DC,ZADF=ZBCD,再證NFOC=90。即可得垂

直；

(2)先證△AZ)/名ABCD,得DF=DC,ZADF=ZBCD,再證/〃)C=90。即可得垂直.

24

⑴

解：VZABC=9&,FALAB,

ZABC=ZDAF=90°,

AF=BD

在4A￡>/與△BCD中,NDAF=ZABC,

AD=BC

BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

,：ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,BPDF±DC.

(2)

^ABC=9O,FA1AB,

NDBC=ZDAF=90°,

AF=BD

在4ADF與△BCD中，ZDAF=ZDBC,

AD=BC

：.4ADF沿&BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

'：ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,BPDFLDC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能判斷哪兩個三角形全等.

13.(1)如圖1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線能經(jīng)過點A,8D_L直線機，

CE_L直線機，垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三點都在直線機上，

并且有/3ZM=NAEC=/3AC=a,其中a為任意鈍角，請問結(jié)論。E=BZ)+CE是否成立？如

成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)AAS可證明AAOB也△€<￡>!,可得AE=B。，AD=CE,可得DE=BD+CE.

25

(2)由已知條件可知N84O+NCAE=18()o—a,ZDBA+ZBAD=lSO0-a,可得

/DBA=/CAE,結(jié)合條件可證明△AD3也△CEA,同(1)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1,直線加，CE,直線徵,

：.ZBDA=ZCEA=90°f

'：ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°

:ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在△人。8和4CE4中，

ABDA=ACEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：.AE=BDfAD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

9：ZBDA=ZBAC=(^,

ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZDBA=ZCAEf

在△人。3和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

</CAE=ZABD

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：.AE=BDfAD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到3Z>AE,

26

CE=A。是解題的關(guān)鍵.

14.在直線機上依次取互不重合的三個點A,E,在直線加上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(1)如圖1,當《=90。時，猜想線段DE,3。CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當0<&<180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若

不成立，請說明理由；

(3)應用：如圖3,在AABC中，Z&4C是鈍角，AB=AC,

ABAD<ZCAE,ABDA=AAEC=ABAC,直線機與CB的延長線交于點F,若BC=3FB,

△ABC的面積是12,求△FBD與AACE的面積之和.

【答案】⑴。E=BO+CE

⑵DE=BD+CE仍然成立,理由見解析

(3)A與△ACE的面積之和為4

【分析】(1)由/8。4=/8/^7=/4￡^=90。得到/34。+/￡?^7=/&4。+/。&4=90。，

進而得到NO8A=NEAC,然后結(jié)合A8=AC得證△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由N8ZM=NBAC=/AEC=a得到/BAO+NEAC=NBA。+/。8A=180。-a,進而

得到/￡>8A=/EAC,然后結(jié)合AB=AC得證△DBAg/XEAC,最后得到￡>E=8D+CE；

(3)由NBADA/CAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NC4E=NA8。，由A4s證得

△ADB^ACAE,得出CEA,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底

的比，得出SAABF即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,?ZBDA=ZBAC=NAEC=90。，

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

C.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

27

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

ZBDA=ZBAC=ZAEC=af

：.ZBAD^-ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：?；/BADC/CAE,NBDA=NAEC=/BAC,

：.ZCAE=NABD,

在△43。和4CAE中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

5AABD=S>CAE,

設(shè)小ABC的底邊8C上的高為h,則4ABF的底邊B尸上的高為h,

：.S4ABC=gBC-h=12,SAABF=^BF-h,

?；BC=3BF,

:.SAABF=4,

VSAABF=SXBDF+S^ABD=SAFBD+SAACE=4,

LFBD與小ACE的面積之和為4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

15.在44BC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C且AD_LMN于。，BE±MN

于E.

⑴當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證:

①AADUACEB；

28

@DE=AD+BE；

⑵當直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD—BE；

⑶當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫

出這個等量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析

(2)證明見解析

(3)DE=BE-AD(或者對其恒等變形得到45=DE,BE=AD+DE),證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)ADLMN,BELMN,NACB=90。，得出/CAD=/BCE,再根據(jù)A4S

即可判定AAPC二ACEB；②根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得出CE=AD,CD=BE,

進而得到DE=CE+CD=AD+BE；

(2)先根據(jù)AT>_LMN,BELMN,得到ZADC=NCEB=ZACB=90。，進而得出

NCAD=NBCE,再根據(jù)A4S即可判定AWCMACEB,進而得到CE=AD,CD=BE,最后

彳導出DE=CE—CD=AD—BE；

(3)運用(2)中的方法即可得出DE,AD,8E之間的等量關(guān)系是：=或恒

等變形的其他形式.

(1)

解：①BE±MN,

ZADC=ZACB=90°=NCEB,

ZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZACD=90°,

:.NCAD=NBCE,

V在MDC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

?NADC=NCEB

AC=BC

:.^ADC=\CEB{AAS).

?-.-AAZX?sACEB,

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)

證明：?；AD1MN,BEYMN,

ZADC=Z.CEB=ZACB=90°,

:"CAD=NBCE,

???在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

29

■./^DC^ACEB(AAS)；

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE—CD=AD—BE；

(3)

證明：當MN旋轉(zhuǎn)到題圖(3)的位置時，A。，DE,班1所滿足的等量關(guān)系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE—AD+DE.

理由如下：vAD±ACV,BE1MN,

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

:.ZCAD=ZBCE,

???在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

:.AADC=/^CEB(AAS),

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CD-CE=BE-AD(或者對其恒等變形得到=石或郎=AD+OE).

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題時

注意：全等三角形的對應邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系

進行推導，得出結(jié)論.

16.(1)如圖1,在AA3C中，NBAC=90。，AB=AC,直線機經(jīng)過點A,2D，直線相，

3_1直線相，垂足分別為點。、E.求證：4ABD會MAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線加上，

并且有/BZM=NAEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論△AB。絲△CAE

是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(。，A,E三點互

不重合)，點尸為/8AC平分線上的一點，且△ABE和AACF均為等邊三角形，連接8。，

CE,若/BD4=/AEC=N&1C,求證：△ZJEF是等邊三角形.

【答案】(1)見詳解；(2)成立，理由見詳解；(3)見詳解

【分析】(1)根據(jù)直線加，小，直線加得/皿4=/0￡4=90。，而/BAC=90°,根

據(jù)等角的余角相等得Z.CAE=ZABD,然后根據(jù)“A45”可判斷^ADB^CEA；

(2)利用==貝!|NDBA+/BAD=ZBAD+ZC4E=180。-。，得出

30

ZCAE=ZABD,然后問題可求證；

(3)由題意易得班^AFMABMACNZWMN^FnNfACu的。，由(1)(2)易證AAT應之ACE4,

則有AE=8D,然后可得ZEBD=NE4E,進而可證AD跳?AE4F,最后問題可得證.

【詳解】(1)證明：?「BD，直線機，。石，直線加，

/BDA=NCEA=900,

-ZBAC=90°,

..ZBAD+ZCAE=90°f

-.-ZBAD+ZABD=90°,

.\ZCAE=ZABD,

?/在AADB和^CEA中,

ZABD=NCAE

<ABDA=/CEA,

AB=AC

AADB^ACEA(AAS)；

解：(2)成立，理由如下：

?.?NBDA=ZBAC=a,

.\ZDBA-^ZBAD=ZBAD+Z