圓與正多邊形 知識歸納與題型突破（21類題型清單）解析版-2024-2025學(xué)年滬教版九年級數(shù)學(xué)下冊

同與正多邊形知識歸納與題型突破（21類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

知識點(diǎn)01.圓的認(rèn)識

（1）圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段。/繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)/所形成的圖形叫做圓.固

定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。/叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，記作讀作“圓O”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

知識點(diǎn)02.圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余

各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣

弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原

圖形完全重合.

(4)在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

知識點(diǎn)03.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點(diǎn)P在圓外Qd>r

②點(diǎn)P在圓上Qd=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

(3)符號“o”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識點(diǎn)04.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

知識點(diǎn)05.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

知識點(diǎn)06.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

知識點(diǎn)07.直線與圓的位置關(guān)系

（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫

切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d.

①直線I和。。相交=40

②直線/和。。相切=d=r

③直線/和。O相離

知識點(diǎn)08.切線的性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓

心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角

形解決問題.

知識點(diǎn)09.切線的判定

（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（2）在應(yīng)用判定定理時注意：

①切線必須滿足兩個條件：°、經(jīng)過半徑的外端；6、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.

②切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的.

③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時，常過圓心作該直線

的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出

直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作

半徑，證垂直”.

知識點(diǎn)10.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

知識點(diǎn)11、正多邊形與圓

（一）正多邊形及有關(guān)概念

（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

（2）正多邊形的畫法：把圓〃等分23）,順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這

個圓就是這個正多邊形的外接圓。------、

O

中心

(3)正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。

(4)正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

(5)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。

(6)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

(二)正多邊形的有關(guān)計算

(1)正n邊形的每個內(nèi)角都等于(“-2)T80°=i80°—處.

nn

360°

(2)正〃邊形的每個中心角都等于——.

n

(3)正〃邊形的其他計算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示,

設(shè)正〃邊形的半徑為民一邊46=。，邊心距(W=r,則有/80河=幽,氏2=72+]|]，正〃邊

形

的周長/=na,面積S=然"=2nSABOM=gk

知識點(diǎn)12、弧長及扇形的面積

設(shè)。。的半徑為R,"。圓心角所對弧長為/,

(一)弧長的計算

(1)弧長公式：/=上述

180

(2)公式推導(dǎo)：在半徑為火的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C=2?R,所以1。的圓心

角所

對的弧長是紅即巫，于是n°的圓心角所對的弧長為1=—

360°180°180

注意：(1)在弧長公式中，〃表示1。的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑尺=6c優(yōu)，計算20°的圓

心角

20。x6xTC

所對弧長/時，不要錯寫成/=---------(cm).

(2)在弧長公式中，已知，/，〃，氏中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

(二)扇形面積的計算

(1)扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。

(2)扇形的面積：S扇形=嚼^=^/凡我為扇形所在圓的半徑，/為扇形的弧長。

(3)公式推導(dǎo)：

①在半徑為R的圓中，因為360。的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積5=乃氏2,所以圓心角是1。的扇形

而工曰乃火2工曰尸1、缶平，0曲盧誼石工□日。rurR2

面積是----，于是圓心角為〃的扇形面積是S扇刑=------.

360扇形360

②s扇花="之="4?'氏=！/氏，即無形=1次，其中/為扇形的弧長，R為半徑。

扇形36018022扇格2

點(diǎn)撥：(1)扇形面積公式S=」出與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲邊三角形，把弧

2

長/看成底，半徑火看成高即可。

(2)在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式S扇形=嘿^還是S扇形;/R

(3)已知S扇形,/,尺,〃四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。

(4)公式中的“〃”與弧長公式中的“〃”的意義是一樣的，表示“1?！钡膱A心角的倍數(shù)，計算時不帶單位。

已知S,L〃，/?四個量中的任意兩個，都可以求出另外兩個量.

03題型歸納

題型一圓的基本概念

1.下列說法中，不正確的是()

A.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.圓的每一條直徑都是它的對稱軸

C.圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都會與自身重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

【答案】B

【分析】本題主要考查圓的對稱性，掌握圓的軸對稱和旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，說法正確；

B.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，原說法錯誤；

C.圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都會與自身重合，說法正確；

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個，說法正確；

故選：B.

2.如圖，點(diǎn)B,。在OO上，乙4=36。，ZC=28°,則().

【答案】A

【分析】此題考查了圓的半徑相等，等邊對等角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

連接CM,根據(jù)等邊對等角得到/CMC=/C=28。，然后求出/Q/3=/A4C+/CMC=36o+28o=64。，然

后利用等邊對等角求解即可.

【詳解】解：連接04,

c

OA=OC,

：.NOAC=NC=28°,

ZOAB=ZBAC+AOAC=36°+28°=64°,

OA=OB,

：.NB=NOAB=64°.

故選：A.

3.如圖，在RtA^SC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,QO是"BC的外接圓，則下列說法正確的

個數(shù)是（）

①不？和前都是劣弧；

②AB是QO中最長的弦；

③A,O,B三點(diǎn)能確定一個圓；

【答案】C

【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識，涉及劣弧的定義，弦長，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的

知識.根據(jù)劣弧的定義，弦長，勾股定理逐一判斷即可.

【詳解】①元和前都用兩個字母表示，是小于半圓的弧，是劣弧，故①正確；

②?.?/C=90°,二48是。。的直徑，又直徑是圓中最長的弦，故②正確；

③過同一條直線上的三個點(diǎn)不能作圓，故③錯誤；

④???ZC=90°,AC=6,BC=8,：.AB=^AC2+BC2=762+82=10-，的半徑為5,故④正確.

故選:C.

鞏固訓(xùn)練

1.下列命題中，正確的是（）

A.相等的圓心角所對弦相等B.同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么兩條弦所對的弧相

等

C.平分弦的直徑平分弦所對的弧D.同圓或等圓中，圓心到弦的距離相等，則這兩條弦相等

【答案】D

【分析】本題考查的是圓心角，弧，弦，弦心距的關(guān)系，垂徑定理，熟記定理是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???同圓或等圓中，相等的圓心角所對弦相等，

??.A選項的結(jié)論不正確，不符合題意；

???同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么兩條弦所對的優(yōu)弧或劣弧分別相等，

???B選項的結(jié)論不正確，不符合題意；

?.?平分弦（不是直徑）的直徑平分這條弦所對的兩條弧，

???C選項的結(jié)論不正確，不符合題意；

???同圓或等圓中，圓心到弦的距離相等，則這兩條弦相等，

???D選項的結(jié)論正確，符合題意.

故選：D.

2.如圖，N3是。。的直徑，C是A4延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，且CD=O4C￡＞的延長線交。。于E,

若NBOE=72。,則，。的度數(shù)是.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，先證明

CD=OA=OD,則NC=/DOC,由三角形外角的性質(zhì)得到NODE=2NC,則可證明/E==2NC,

再由三角形外角的性質(zhì)可得NBOE=NC+NE=3ZC=72°,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：如圖所示，連接8,

E

CD=OA=OD,

：.ZC=/DOC,

???/ODE=NC+/DOC=2ZC,

OD=OE,

：.N￡=/EDO=2ZC,

???/BOE=NC+/E=3ZC=72°,

ZC=24°,

故答案為：24°.

3.如圖，。。的弦4民C。的延長線交于點(diǎn)尸，連接OP,且O尸平分N/PC.求證：PA=PC.

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線

是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作OG,45于點(diǎn)G,OH,CD于點(diǎn)連接。4。。，則可證明Rt△尸。G之RMPQH(HL),則

PG=PH,再證明區(qū)區(qū)/。6段11M。。7/(111),則/G=C〃，繼而得以求證.

【詳解】證明：過點(diǎn)。作OGL/3于點(diǎn)G,OH，CD于點(diǎn)打，連接。4。。.

?.?0尸平分N4PC,

OG=OH,

P0=P0

RMPOG義RtAPW(HL),

.-.PG=PH

又：OA=OC,

RtA/OGgRtACO〃(HL)

AG=CH,

PA=PC.

題型二求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值

4.已知點(diǎn)P在圓外，它到圓的最近距離是1cm,到圓的最遠(yuǎn)距離是7cm,則圓的半徑為（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

【答案】A

【分析】圓外一點(diǎn)，直徑所在直線經(jīng)過此點(diǎn)，直徑的遠(yuǎn)端點(diǎn)與此點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，近端點(diǎn)與此點(diǎn)距離最近.

【詳解】解：P為圓外一點(diǎn)，且尸點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最近距離為1cm,到圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為7cm,則圓的直徑

是7-1=6（cm）,因而半徑是3cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離問題，理解何時距離最遠(yuǎn)、最近是解題的關(guān)鍵.

5.在平面內(nèi)，在Rt448C中，=過點(diǎn)N作2C邊上的垂線/D平面內(nèi)一點(diǎn)E到點(diǎn)/的距離

AE=AD,若BE最長為2+枝,則LBC=（）

A.4B.2C.V2D.272

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意，得出點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)/為圓心，2。為半徑的圓上，并

且結(jié)合勾股定理列式得以=/&京=x&，因為8/+/O=3/+/E=xV^+x=2+后，進(jìn)行計算，即可

作答.

【詳解】解：：在Rta/BC中，=過點(diǎn)/作8C邊上的垂線平面內(nèi)一點(diǎn)E到點(diǎn)/的距離

AE=AD,

.?.點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)/為圓心，為半徑的圓上，如圖：

B,

E

上圖，此時點(diǎn)E在A4的延長線上，滿足BE最長為2+夜，

設(shè)AD=x,

?..在RtZi/BC中，AB=AC,

：.ZABD=45°,DB=AD=x,

,,BA=y/x2+x2—x\[2,

^BA+AD=BA+AE=X42+X^2+42>

解得x=V2,

:?BA=x?=2=AC，

貝！I^^ABC=2x2x—=2,

故選：B.

6.在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為4,圓心。到直線/的距離為6,P為圓上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線

/的距離不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

【答案】D

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意可知圓上的點(diǎn)尸到直線/的最短距離為2,最長距離為

10,據(jù)此判斷即可，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

由題意得，OA—4,OB=6,

當(dāng)點(diǎn)P在2。的延長線與QO的交點(diǎn)時，點(diǎn)尸到直線/的距離最大,

此時，點(diǎn)尸到直線/的最大距離是6+4=10,

當(dāng)點(diǎn)P在2。與。。的交點(diǎn)時，點(diǎn)、P到直線/的距離最小,

此時，點(diǎn)尸到直線/的最小距離是6-4=2,

點(diǎn)尸到直線/的距離2WdW10,

故點(diǎn)P到直線/的距離不可能是14,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.若O。所在平面內(nèi)一點(diǎn)尸到O。上的點(diǎn)的最大距離為8,最小距離是2,則此圓的半徑是（）

A.5B.3C.5或3D.10或6

【答案】C

【分析】由于點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】解：設(shè)O。的半徑為「，

當(dāng)點(diǎn)尸在圓外時，r=等=3；

當(dāng)點(diǎn)尸在。。內(nèi)時，r=等=5.

綜上可知此圓的半徑為3或5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對題目進(jìn)行分類討論，然后求得結(jié)果是解題的關(guān)鍵.

2.如果。。外一點(diǎn)P到。。上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是8,最小距離是3,那么OO的半徑長等于.

【答案】2.5

【分析】根據(jù)最大距離與最小距離之差等于直徑即可得.

【詳解】解：:。。外一點(diǎn)P到。。上所有的點(diǎn)的距離中，最大距離是8,最小距離是3,

Q_"2

QO的半徑長等于丁=2.5,

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解最大距離與最小距離之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.如圖所示，在。O上有一點(diǎn)C（C不與A、B重合），在直徑AB上有一個動點(diǎn)P（P不與A、B重合）.試判

斷PA、PC、PB的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】當(dāng)點(diǎn)尸在。4上時尸/<PC<P2,02上時依<PC<P/,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。處時尸N=P8=PC

【詳解】試題分析：分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。處，易得PA=PB=PC；當(dāng)點(diǎn)P在0A上，同樣方法可得PA<

PC<PB；連接OC,如圖，當(dāng)點(diǎn)P在OB上，由三角形三邊的關(guān)系得到OP+OOPC,則OA+OP>PC,所

以PA>PC,再由OC=OB得至!J/B=NOCB,則/B>NPCB,

所以POPB,于是得到PB<PB<PA；

試題解析：

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時，PA=PB=PC,

當(dāng)點(diǎn)尸在。/上時，PA<PC<PB.

理由：連接OC,

在ZPOC中，oc-OP<PC<OP+OC,

,/OA^OB^OC,

：.OA-OP<PC<OP+OB,.,.PA<PC<PB,

同理，當(dāng)P點(diǎn)在。2上時，PB<PC<PA.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識：掌握與圓有關(guān)的概念.也考查了三角形三邊的關(guān)系和分類討論的思想.

題型三圓的周長和面積問題

7.如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,則圓的面

積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】設(shè)則O4=3x,BC=2x,根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：OA=OD,OB=OC,

???圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,

.,.設(shè)O8=x,則O/=3x,BC=2x,

i、,

.?.圓的面積=兀（3》）2=9口2,正方形的面積=］（2x）=2x2,

9

/.9itx2^2x2=-~14,即：圓的面積約為正方形面積的14倍，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個圖形的面積,

是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，兩個同心圓中有兩條互相垂直的直徑，其中大圓的半徑是2,則圖中陰影部分的面積是（）

A.兀B.2兀C.3itD.4兀

【答案】B

【分析】由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，可知陰影部分的面積剛好拼成大圓的一半，據(jù)此解題.

【詳解】解：根據(jù)題意，大圓、小圓都被兩條互相垂直的直徑平均分成4份，由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，可得陰

影部分的面積剛好拼成大圓的一半，陰影部分面積：；"22=2兀,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的旋轉(zhuǎn)對稱性等知識，是常見考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

9.如圖，圓環(huán)中內(nèi)圓的半徑為。米，外圈半徑比內(nèi)圓半徑長1米，那么外圓周長比內(nèi)圓周長長（）

A.2萬米B.（2萬+a）米C.（2萬+2。）米D.萬米

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的周長公式可以得到解答.

【詳解】解：由題意可得：

外圓周長=2%（。+1）,內(nèi)圓周長=2萬。，

2%+=Ina+1n-Ina=2萬（加）,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的應(yīng)用，熟練掌握圓周長的計算公式是解題關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，分別以正方形的三條邊為直徑畫了三個半圓，那么，正方形的面積與陰影部分面積的比是（）

A.3:1B.4:1C.3:2D.2:1

【答案】D

【分析】如解圖所示，作輔助線，將下方陰影部分補(bǔ)到箭頭所指位置，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如下圖所示，作輔助線，將下方陰影部分補(bǔ)到箭頭所指位置，可得正方形的面積與陰影部分

面積的比是2:1.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查的是求面積的比，掌握分割法和平移法是解決此題的關(guān)鍵.

2.滾鐵環(huán)有助于提高人體的平衡性、肢體的協(xié)調(diào)性以及眼力，可以提高四肢活動能力.如圖，直徑為4分

米的鐵環(huán)從原點(diǎn)。沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）到達(dá)點(diǎn)。，則—分米.

【分析】根據(jù)鐵環(huán)從原點(diǎn)。沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）到達(dá)點(diǎn)。，可知。O'為圓的周長，即可得出答案.

【詳解】???鐵環(huán)從原點(diǎn)。沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）到達(dá)點(diǎn)。，

。。'=4萬分米

故答案為：4萬

【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長，正確理解題意，理解圓的周長的公式是解題的關(guān)鍵.

3.隨著城市的發(fā)展，住宅小區(qū)的建設(shè)也越來越人性化.為響應(yīng)國家“加強(qiáng)全民健身設(shè)施建設(shè)，發(fā)展全民體

育”的號召.哈市某小區(qū)在一片足夠大的空地中，改建出一個休閑廣場，規(guī)劃設(shè)計如圖所示.（兀取3）

（1）求塑膠地面休閑區(qū)的面積；

（2）求廣場中種植花卉的面積與種植草坪的面積的比值.

【答案】（1）塑膠地面休閑區(qū)的面積為350平方米；（2）|

【分析】根據(jù)圓的面積公式和長方形的面積公式計算相應(yīng)的面積即可.

2

【詳解】解：（1）5??=S?=10x20+-7TX（三）=200+507i~350（平方米）,

答：塑膠地面休閑區(qū)的面積為350平方米;

（2）S種花南二S長方形一S半窗=200-150=50（平方米）,

S種草坪=S羊圉=5071x150（平方米），

所以，廣場中種植花卉的面積與種植草坪的面積的比值為普=g.

【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形面積的計算方法，掌握圓、長方形、扇形的面積計算方法是得出正確結(jié)果的關(guān)

鍵.

題型四利用垂徑定理求值

10.如圖，在OO中，0c，弦43于點(diǎn)C,AB=4,0c=1,則08的長為（）

A.17B.15C.V5

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理.利用垂徑定理得到“C=8C=g/3=2,然后根據(jù)勾股定理求解即

可.

【詳解】解：OC，弦于點(diǎn)C,AB=4,

又0c=1,

OB=^BC2+OC2=VF+F=石?

故選c.

11.如圖，在。。中，弦48的長為2,點(diǎn)C在48上移動，連接。C,過點(diǎn)C作COLOC交。。于點(diǎn)D,

則CD的最大值為（）

A.4B.2c.V2D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，先由勾股定理得至=一,則當(dāng)。C的值最小時,

。的值最大，再由垂線段最短可得當(dāng)時，0C最小，即此時8的值最大，止匕時。、8兩點(diǎn)重合,

據(jù)此利用垂徑定理可得答案.

【詳解】解：連接。。，如圖,

...ZDCO=90°,

?*-CD=ylOD2-OC2，

當(dāng)。C的值最小時，CD的值最大,

.?.當(dāng)時，OC最小，即此時CD的值最大，此時。、3兩點(diǎn)重合,

：.CD=CB=-AB=1,

2

即CD的最大值為1,

故選：D.

12.如圖，已知的半徑為5cm,弦48的長為8cm,P是48的延長線上一點(diǎn)，BP=2cm,則。尸等

3也cmC.25/5cniD.3石cm

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，注意：垂直于弦的直徑平分弦.過點(diǎn)。作于點(diǎn)

C,根據(jù)垂徑定理求出ZC、BC,在RM/OC中，根據(jù)勾股定理求出。C,在RtaPOC中，根據(jù)勾股定理求

出OP即可.

【詳解】過點(diǎn)。作oc，AB于點(diǎn)C,

VOC1AB,OC過圓心O,

：.AC=BC=-AB=4cm,

2

在RM/OC中，0c=Jo/2-4C2=,52-42=3cm，

,/BP=2cm,

PC=BC+BP=6cm,

在RtA.POC中，op=Sc。+PC?="+6?=3限m，

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在。。中，已知。4。8是O。的半徑，OC_L/3于點(diǎn)C,48=8,。。的直徑為10,則OC=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此

題的關(guān)鍵.由垂徑定理得/C=3C=；/2=4,然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：于點(diǎn)C,AB=8,

：.AC=BC=-AB=4.

2

???。。的直徑為10,

OA=5,

,OC=yJOA2-AC2=3.

故選A.

2.如圖，是RtA42C的外接圓，。￡_148于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)￡,若48=8,?！?2,則CM的長為.

E

【答案】5

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由垂徑定理得=ZADO=ZBDO=90°,設(shè)

半徑為『，由勾股定理得OT=002+求出廠=5即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

/.AD=BD=-AB=4,ZADO=ZBDO=90°,

2

設(shè)半徑為『，貝l]OD=OE-0￡=r—2,

在Rt”。。中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2,

：.r2=(r-2)2+4\解得r=5,

/.OA-5.

3.如圖，已知AB為O。直徑，C。是弦，且連接NC、BC.

(1)求證：/CAB=/BCD；

(2)若8E=1,CD=6,求OO的半徑.

【答案】（1）證明見解析

（2）5

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，垂徑定理證明即可；

（2）設(shè)。。的半徑為尺，利用勾股定理解答即可.

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握三個定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：為。。直徑，8是弦，AB1CD,

-'-BC=BD^

：.ZCAB=/BCD；

（2）解：設(shè)。。的半徑為凡根據(jù)題意，得

貝l」OE=O8-班=及一1,

XC￡,=-CD=-x6=3,

22

在Rt^CE。中，由勾股定理可得，

OC2=CE2+OE2,

即7?2=32+（7?-1）2,

解得R=5,

即：OO的半徑為5.

題型五垂徑定理的推論

13.下列命題中是真命題的為（）

A.弦是直徑

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.相等的弧所對的弦相等

D.相等的圓心角所對的弧相等

【答案】C

【分析】本題考查的是命題的真假，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)的概念、定理等.依次根據(jù)弦的概念，垂徑定理

的推論，圓心角、弧與弦的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：A、弦不一定是直徑，故本選項命題是假命題，不符合題意；

B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故本選項命題是假命題，不符合題意；

c、相等的弧所對的弦相等，是真命題，符合題意；

D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項命題是假命題，不符合題意.

故選：D.

14.如圖，在△48C中，AABC=40°,以4B為直徑的。。交8c于點(diǎn)。，交。的延長線于點(diǎn)E,若點(diǎn)E

在的垂直平分線上，則NC的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理以及垂直平分線的性質(zhì).過點(diǎn)￡作即，8。于點(diǎn)下，由點(diǎn)￡在8。的垂直平

分線上可知靛=是，直線E尸必過圓心，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出48。萬的度數(shù)；根據(jù)乙48。=40。

得出/49E的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NCEF的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)E作鏟18。于點(diǎn)F,連接4D,

:點(diǎn)、E在BD的垂直平分線上,

:?箴=擊，直線E尸必過圓心，EFLBD,

NABC=40°,

ABOF=NAOE=ABAD=50°,

AO=OE,

ZOEA=1(180°-50°)=65°,

ZC=90°-ZOEA=90°-65°=25°.

故選：A.

15.如圖，42是OO的直徑，CO是（DO的弦，48，。于點(diǎn)￡,則下列結(jié)論不一定正確的是要（）

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

【答案】c

【分析】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容.由于根據(jù)垂徑定理有

CE=ED,BC^BD，因為。4、02都為圓的半徑，可得。4=。2,不能得出0E=2E.

【詳解】解：

：.CE=ED,BC=^D，所以A選項、B選項正確，不符合題意；

只有當(dāng)8垂直平分03時，0E=BE,所以C選項符合題意；

0A>02都為圓的半徑，

/.OA=OB,所以D選項正確，不符合題意.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，點(diǎn)48是。。上兩點(diǎn)，48=10,點(diǎn)尸是。。上的動點(diǎn)（P與48不重合），連接4P、PB,過點(diǎn)

。分別作OE_L4P交相于點(diǎn)￡,OFLPB交PB于點(diǎn)、F,則E尸等于（)

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出NE=PE，PF=BF,故可得出E尸是陽的中位線，再根據(jù)中位線定理即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??。石，/尸于E，OFLPB于F,48=10,

AE=PE,PF=BF,

.1E尸是八4尸5的中位線，

:.EF=-AB=-x\Q=5.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，中位線定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，AB為OO的直徑，E為弦C。的中點(diǎn)，若NBAD=30°,且2E=2,則8c的長是.

【答案】4

【分析】先由垂徑定理的推論得出AB±CD,從而得/BEC=90°，再由圓周角定理得出ZBCE=ABAD=30°,

然后由直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：：45為。。的直徑，E為弦8的中點(diǎn)，

/.AB±CD,

：./BEC=90°,

NBCE=ABAD=30°,

BC=2BE=2x2=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理的推論，圓周角

定理，含量30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵.

3.如圖，已知在半圓/O8中，AD=DC,ZCAB=30°,4B=8,求的長.

【答案】AD=4

【分析】連接。。交4c于E,根據(jù)垂徑定理的推論得出814C,根據(jù)題意得出//?！?60。，繼而得出

△3。為等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：連接0。交/。于E,如圖，

???AD=CD,

-9-AD=CD^

：.0DLAC,

.'.ZAEO=90°f

,：ZCAB=30°f

：.ZAOE=60°,

而04=0。，

???△040為等邊三角形，

AD=AO=—AB=—x8=4.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出814C是解題的關(guān)鍵.

題型六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

16.某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學(xué)想到了如下

方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、3、C、。四點(diǎn)，然后利用

刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,45=4cm,8=3cm.請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（）

D.6cm

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理.由垂徑定理求出配，CN的長，設(shè)ON=x,由勾股定理

得至UX2+22=（3.5-X）2+1S,求出x的值，得到ON的長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑長.

【詳解】解：如圖，MN1AB,過圓心。，連接。。，OB,

'：AB//CD,

:.MNLCD,

.-.CAf=|cD=1x3=1.5(cm),BN=；/8=gx4=2(cm),

設(shè)ON=xcm,

:.OM=MN-ON=(3.5-x)cm,

■：OM~+MC1=OC1,ON1+BN2=OB2,

OM'+MC2=ON2+BN"

.-.(3.5-X)2+1.52=X2+22,

x—1.5,

.-.O7V=1.5(cm),

OB=y/ON2+MB2=A/1,52+22=2.5(cm),

，紙杯的直徑為2.5x2=5（cm）.

故選：B.

17.我國明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了一種我國古代常用的水利灌溉工具——筒車，如圖,

筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。在水面的上方，。。的半徑長為5米，。。被水

面截得的弦4B長為8米，點(diǎn)C是運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦N3的距離為（）

A.5米B.4米C.3米D.2米

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.連接。4、

oc,OC交4B于點(diǎn)D,由垂徑定理得/D=8O=g/8=4（米），再由勾股定理得。。=3（米），然后求

出。的長即可.

【詳解】解：如圖，連接04、OC,OC交AB于點(diǎn)、D,

圖2

由題意得：CM=0C=5米，OC1AB,

,-.AD=BD=^AB=4（:米），ZAD0=90°,

OD=>JOA2-AD2=V52-42=3（米），

:.CD=OC-OD=2^z,

故選：D

18.趙洲橋是我國建筑史上一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和地震卻安然無恙.如圖,

若橋跨度約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧所在圓的半徑為（）

A.25米B.30米C.35米D.50米

【答案】A

【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，先求解=再利用勾股定理

建立方程求解即可.

【詳解】解：vOCLAB,AB=40,

：.AD=BD=^AB=20^z.

設(shè)圓的半徑是R,則。。=R-10,

7?2=202+（7?-10）2,

解得及=25米.

故選A

鞏固訓(xùn)練

1.“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個問題“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一

尺，問徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，己知：鋸口深為1寸，鋸道N8=l尺（1尺=10

C.13寸D.50.5寸

【答案】A

【分析】過點(diǎn)。作?！?/3,交48于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)E,設(shè)。。的半徑為八在中,

40=5,OD=r-l,OA=r,由勾股定理得出方程/=5?+（―，解方程即可.

本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。交48于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)￡,

設(shè)。。的半徑為r.

在RtZXNOO中，AD=5,OD=r-\,OA=r,

由勾股定理得出方程r=52+（一球，

解得：r=13,

。。的直徑為26寸，

故答案為：26.

2..筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1,點(diǎn)P表示筒車的

一個盛水桶.如圖2,當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心。為圓心，6m為半徑的圓，且圓心在水

面上方.若圓被水面截得的弦42長為6房，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為

圖1圖2

【答案】3

【分析】此題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線利用勾股定理進(jìn)行計算.根據(jù)題意作于E,

交。。于點(diǎn)。，再利用勾股定理得出OE,即可解答.

【詳解】解：作。。JL45于E,交。。于點(diǎn)。，

AE=3A/3

在RtZk/EO中，AO=6,

OE=yj0A2-AE2=3，

ED=OD-OE=3m,

二.筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為3m,

故答案為：3.

3.如圖是一根圓形下水管道的橫截面，管內(nèi)有少量的污水，此時的水面寬N5為0.6米，污水的最大深度為

(1)求此下水管橫截面的半徑：

(2)隨著污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此時水面的寬度增加了多少？

【答案】⑴0.5米

(2)0.2米

【分析】(1)過點(diǎn)。作于點(diǎn)C,交圓。于點(diǎn)D,連接02,則8=01米，根據(jù)垂徑定理可得

=米，設(shè)止匕下水管橫截面的半徑為「米，則08=0D=r米，可得。C=(廠一0.1)米，在RMBOC

中，由勾股定理，即可求解；

(2)過點(diǎn)。作欣于點(diǎn)”，根據(jù)垂徑定理可得MH=NTf=,再由勾股定理求出的長，即

可求解.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)C,交圓。于點(diǎn)。，連接03,則。。=0.1米，

/.8C=；/8=0.3米，

設(shè)此下水管橫截面的半徑為r米，則@=OD=r米,

℃=(—0.1)米，

在RtAB。。中，OB2=OC2+BC2,

：.r2=(r-0.1)2+0.32,

解得：r=0.5,

即此下水管橫截面的半徑為0.5米；

（2）解：如圖，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)”,

根據(jù)題意得：8=0.7米，ON=0.5米，

/.C〃=0.7-（0.5-0.1）=0.3米，

NH=y/ON2-OH2=0.4米，

W8米，

此時水面的寬度增加了0.8-0.6=0.2米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵.

題型七圓心角概念

19.如圖，在。。中，N8是弦，C是弧上一點(diǎn).若/。48=25。，NOC4=40。，則的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NOA4=/OAB=25。，ZOAC=ZOCA=40°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理求出N4OB和N4OC,再求出答案即可.

【詳解】解：,.?CU=05,NOAB=25。,

：.ZOBA=ZOAB=25°,

：.ZAOB=\SO°-NOAB-NO84=130。，

?：OA=OCfZOCA=40°,

：.ZOAC=ZOCA=40°,

：.ZAOC=180°-AOAC-ZOCA=100°,

：.ZBOC=ZAOB-N40c=130。-100°=30°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是掌握圓心角的定義.

20.如圖，在。。中，ZABC=20°fNZX4C=24。，則N4DO的度數(shù)為（）

A.43°B.44°C.45°D.46°

【答案】D

【分析】連接CM,OC,根據(jù)圓周角定理得到N/OC=2N/8C=40。，ZCOD=2ZCAD=4S°,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

C

如圖，連接04,OC,

VZABC=2009ZDAC=24°,

：.ZAOC=2ZABC=40°f/COD=2NCAD=48。,

???Z^OD=40°+48°=88°,

9

\OA=ODf

1

/.//。0=/0/。=3*（180°-88°）=46°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)與圓周角定理的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

21.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓心角相等B.優(yōu)弧一定大于劣弧

C.經(jīng)過三點(diǎn)可以作一個圓D.相等的圓心角所對的弧相等

【答案】A

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系、確定圓的條件相關(guān)概念進(jìn)行判斷即可

【詳解】A：等弧所對的圓心角相等，故A正確；

B：如果不在同一個圓內(nèi)的話，優(yōu)弧不一定大于劣弧，故B錯誤；

C：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以作一個圓，故C錯誤；

D：相等的圓心角所對的弧不一定相等，故D錯誤.

所以答案為A選項.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、確定圓的條件等相關(guān)概念，熟練掌握以上概念是解題關(guān)

鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學(xué)說:

45°；乙同學(xué)說：60°；丙同學(xué)說：90°；丁同學(xué)說：135。.以上四位同學(xué)的回答中，正確的是（）

A.甲B.