2025屆云南省元江一中高三下-半期考試數(shù)學試題試卷含解析

2025屆云南省元江一中高三下-半期考試數(shù)學試題試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種2．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．3．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．84．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知實數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．07．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，9．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，則（）A．36 B．72 C． D．10．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．4011．已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．312．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____14．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.15．已知函數(shù)，對于任意都有，則的值為______________.16．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．18．（12分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設(shè)，，求證：.19．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.20．（12分）對于很多人來說，提前消費的認識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風靡的，從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸．信用卡“忽如一夜春風來”，遍布了各大小城市的大街小巷．為了解信用卡在市的使用情況，某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？（2）①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；②將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，求面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．本題考查了排列組合問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題．2．D【解析】

先根據(jù)向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.3．B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于難題.4．D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．5．A【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項；由于，所以，排除C選項；由于當時，，排除D選項.故A選項正確.故選：A本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.6．B【解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.7．D【解析】

先求出的值域，再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.8．D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設(shè)，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應用，關(guān)鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

根據(jù)是與的等比中項，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.10．A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.11．A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數(shù)項為，當取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

化簡得，利用周期即可求出答案．【詳解】解：，∴函數(shù)的最小正周期為6，∴，，故答案為：．本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.15．【解析】

由條件得到函數(shù)的對稱性，從而得到結(jié)果【詳解】∵f＝f，∴x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．∴f＝±2.本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性，注意對稱軸必過最高點或最低點，屬于基礎(chǔ)題.16．或【解析】

用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析．【解析】由與，得，，的方程為．設(shè)，則，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），當且僅當或時，取最小值，此時，，故與共線．18．（1）.（2）見解析【解析】

（1）由絕對值三解不等式可得，所以當時，，即可求出參數(shù)的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得證；【詳解】解：（1）∵，∴當時，，解得.（2）∵，∴，∴，當且僅當，即，時，等號成立.∴.本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用，屬于中檔題．19．（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，所以，所以，因為，所以平面.（2）解：設(shè)，則，四面體的體積.，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故當時，四面體的體積取得最大值.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導數(shù)求解體積的最大值.20．（1）不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；（2）①；②分布列見解析，，【解析】

(1)計算再對照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學期望和方差即可.【詳解】（1）由列聯(lián)表可知,,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).（2）①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有（人）,偶爾或不用信用卡的有（人）.則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機變量的分布列為：0123故隨機變量的數(shù)學期望為,方差為.本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學期望與方差公式等.屬于中檔題.21．（1）見解析；（2）【解析】

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