中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）

一.選擇題

1.如圖，在等腰RtA43C中，NC=8C=2,點(diǎn)P在以斜邊為直徑的半圓上，M為尸C的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸

沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是（）

P

A.V2TTB.JiC.—7TD.2

2

AD1

2.如圖，點(diǎn)D,E,尸分別在△48C的邊上，——=DE//BC,EF//AB,點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，連接CM

BD3

MN

并延長交于點(diǎn)N,二二的值是（）

3.如圖，等邊△48C的邊長為6,。是3c的中點(diǎn)，E是/C邊上的一點(diǎn)，連接。E,以DE為邊作等邊△

DEF,若CE=2,則線段4F的長為（）

4.如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)￡、F、”分別是/8、BC、CD的中點(diǎn)，CE、DF交于點(diǎn)G,連接NG、HG,

1

下列結(jié)論：?CE±DF；②HG=*BC；③△/OG是等邊三角形；?ZCHG^ZDAG；正確的有（）

個

Afr----------------jD

BFC

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

5.如圖，在%BCD中，E是/。上的一點(diǎn),過點(diǎn)E作斯，5C交BC的延長線于點(diǎn)R交。。于點(diǎn)G,AH

CF1的S△cFG/土、/

于，，且“恰好為BC的中點(diǎn)，若-“一），則c值為______________________?

J七，S/ZJABCD

BH-d4-

6.如圖，在矩形/BCZ）中，4D=10,AB=16,。為CO的中點(diǎn)，連接8尸.在矩形48CZ）外部找一點(diǎn)￡,

使得/3EC+NAPC=180°,則線段OE的最大值為_____

O

Dpc

7.如圖，在△/2C中，4B=4C=3,BC=2,。為5c的中點(diǎn),E,尸分另）］在Z3,/C上，^ZEDF=90°

1

=則點(diǎn)。至!JAB的距禺是______________________,△4EF的周長是_____________________.

A

BDC

8.如圖，已知正方形/BCD、正方形NEFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，連接。尸,

點(diǎn)河是。尸的中點(diǎn)，連接CM,則線段CM的最大值為

三.解答題

9.如圖，在△/8C中，。是8c的中點(diǎn)，DELAB,DFLAC,垂足分別是￡,F,BE=CF.求證:

(1)是△NBC的角平分線；

(2)△NBC是等腰三角形.

10.已知：如圖，在△4BC中，NZC8=90°,AC=BC,。是Z8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在/C上，點(diǎn)尸在2C上,

且NE=CF.

(1)指出?！昱c。尸的關(guān)系，并證明;

(2)若NC=2,連接ER則￡尸的最小值為

CFB

11.如圖①所示，已知48是。。的直徑，點(diǎn)C在半徑CU上，點(diǎn)。，點(diǎn)尸是圓上的點(diǎn)，CD〃OF,點(diǎn)、E是

半徑08的中點(diǎn)，DE與0F交于點(diǎn)、G,連接8G,BF.

(圖①)(圖②)

(1)如果DCLL/3,連接0D,如圖②所示；

①則//的度數(shù)為°；

②若ND0F=NDEC,CO=6,求線段OE的長；

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求一的值.

12.如圖1,在等腰RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=BC,是△48C的角平分線.

(1)直接寫出N4DC的大??；

(2)求證：AC+CD^AB；

(3)E在2c上，過點(diǎn)E作40垂線，垂足為點(diǎn)G,延長EG交/C的延長線于點(diǎn)?

①如圖2,若E是AD的中點(diǎn),求證：BD=2CF；

②如圖3,若E是3c的中點(diǎn),直接寫出三條線段43,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

AA

A

1

CDB

FF

圖1圖2圖3

13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中，C是油的中點(diǎn)，直線CC/B

于點(diǎn)E,則可以得到/請證明此結(jié)論.

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線,稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米

德發(fā)現(xiàn)，若以、依是。。的折弦，C是才S的中點(diǎn),于點(diǎn)E.則/￡=尸￡+尸5.這就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢？小明的證明思路是：在/￡上截取/尸=尸3,連接CZ、

CF、PC、2c…請你按照小明的思路完成證明過程.

(3)如圖3,已知等邊三角形N5C內(nèi)接于。O,48=2,點(diǎn)。是衣上的一點(diǎn)，N4BD=45：AELBD

于點(diǎn)￡,則△ADC的周長為

14.綜合與實(shí)踐:

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形/BCD中，AB=BC=6,尸為邊的中點(diǎn)，￡為邊上一點(diǎn)，連接?！辍F,

分別將△/￡)￡和△CD尸沿。尸翻折，點(diǎn)/、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,點(diǎn)G與點(diǎn)〃重合，則/

EDF=°,AE=；

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形48CD中，48=5,BC=4,尸為2C邊的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn),連接DE、DF,

分別將和廠沿?！?、。尸翻折，點(diǎn)/、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,且。、H、G三點(diǎn)共線.求

/￡的長；

【拓展延伸】

(3)如圖3,在菱形/BCD中，AB=&,Z￡>=60°,尸為CD邊上的三等分點(diǎn)，E為8c邊上一點(diǎn)，連

接力￡、AF,分別將△N8E和尸沿/￡、/尸翻折，點(diǎn)。、8的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、”，點(diǎn)G與點(diǎn)〃

重合，直線GE交直線N8于點(diǎn)P,請直接寫出尸8的長.

圖1

圖2圖3

中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）

一.選擇題

1.如圖，在等腰中，NC=8C=2,點(diǎn)P在以斜邊為直徑的半圓上，M為尸C的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸

沿半圓從點(diǎn)/運(yùn)動至點(diǎn)8時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是（）

lV2

A.V2TTB.兀C.——7TD.2

2

【分析】取N3的中點(diǎn)。、NC的中點(diǎn)￡、8C的中點(diǎn)尸，連接。C、OP、OM、OE、OF、EF,如圖，利

用等腰直角三角形的性質(zhì)得到48=回。=2a,則0C=打8=/，OP=%B=VL再根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得OMLPC,則/。00=90°,于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以0c為直徑的圓上，由于點(diǎn)尸

點(diǎn)在A點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)尸點(diǎn)在B點(diǎn)時，M點(diǎn)在尸點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=

孝，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計算點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長.

【解答】解：取的中點(diǎn)。、/C的中點(diǎn)￡、8C的中點(diǎn)R連接。C、OP、OM.OE、OF、EF,如圖，

在等腰RtZX/BC中，AC=BC=2,

：.AB=V2SC=2V2,

0C=^AB=V2,OP=^AB=V2,

,?ZACS=90°

；.C在。。上，

■為PC的中點(diǎn)，

：.OM±PC,

：.ZCMO=90a,

...點(diǎn)M在以oc為直徑的圓上，

點(diǎn)P在/點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)尸在2點(diǎn)時，初點(diǎn)在尸點(diǎn)，易得四邊形CEOP為正方形，即=。。=/，

：.M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，

...點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長=^*2m—Ji.

222

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動的軌跡.解決此題的關(guān)鍵是利用等

腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以斯為直徑的半圓.

AD1

2.如圖，點(diǎn)。，E,尸分別在△N8C的邊上，一=DE//BC,EF//AB,點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，連接CW

BD3

MN

并延長交48于點(diǎn)N,二二的值是（）

【分析】過點(diǎn)尸作FG〃CN交AB于點(diǎn)G,證明ACV是△ZJG尸的中位線，得GF=2MN,由GF//CN,

EF//AB,得四邊形GFffiV是平行四邊形，證明設(shè)MH=MN=a,則G尸=2°,然后證明CN

=4GF=8a,所以CH=CN-NH=8a-2a=6a,得CM=CH+MH=6a+a=7a,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：過點(diǎn)尸作尸G〃CN交48于點(diǎn)G,

,點(diǎn)〃■是。尸的中點(diǎn)，

是DG的中點(diǎn)，

MN是ADGF的中位線,

：.GF=2,MN,

'：GF//CN,EF//AB,

二四邊形GF/W是平行四邊形，

：.NH=GF=2MN,

：.MH=MN,

設(shè)MH=MN=a,則GF=2a,

'：DE//BC,

△ADEs^ABC,

.DEAD1

BC~AB~4

:?BC=4DE,

?:EF〃AB,DE//BC,

???四邊形DEFB是平行四邊形,

：?DE=BF,

9：FG//CN,

.BFGF

??BC~CN'

..BFDE1

?BC-BC-4’

.GF1

?'CN—4，

:,CN=4GF=8a,

：.CH=CN-NH=8a-2a=Qa,

：.CM=CH+MH=6a+a=7a,

.MNa1

"CM-7a-7’

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，由

平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，等邊的邊長為6,。是5C的中點(diǎn)，￡是4。邊上的一點(diǎn)，連接以。E為邊作等邊△

DEF,若CE=2,則線段4方的長為（）

77

A.V7B.-C.-D.2V2

23

【分析】過尸作交/C于“，交8C于G；過4作于N,然后說明△G〃C為等邊三角

1

形，進(jìn)而可得乙4M=N￡DC；再證AHFE咨ACEDCAAS）可得尸"=CE=2,EH=CD=$C=3,然

后運(yùn)用勾股定理求解即可.

【解答】解：過/作交/C于X,交8c于G,過/作/N_LGA■于N,

AAGHC=ZHGC=ZC=60°,

...△G8C為等邊三角形，

VZAED=ZC+ZEDC,ZAED=ZAEF+ZFED,NC=/FED=6Q°,

：.ZAEF=ZEDC,

'/EHF=4=60°

在△?￡和△CED中，、乙HEF=4EDC，

方尸=DE

:.AHFE注XCED(AAS),

1

：.FH=CE=2,EH=CD=^BC=3,

：.AE=AC-CE=&-2=4,

:?AH=AE-EH=4-3=L

在RtZX/HV中，/AHN=60°,

AZHAN=30°,

：.HN=^AH=I，

：.AN=V3HN=亭，

15

：.FN=FH+HN=2+^=|,

5

在RtZUW中，根據(jù)勾股定理得：相=加+由=(―)2+(-)2=7,

22

：.AF=V7,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，作

出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，正方形N8CD中，點(diǎn)￡、F、”分別是加9、BC、CD的中點(diǎn)，CE、DF交于■點(diǎn)、G,連接NG、HG,

1

下列結(jié)論：?CE±DF；②H6=*BC；③△ADG是等邊三角形；④NCHG=/DAG；正確的有（）

個

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接/〃，由四邊形48CD是正方形與點(diǎn)E、F、8分別是48、BC、8的中點(diǎn)，易證得△5CE

貯ACDF與4ADH咨LDCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得尸與根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì)，即可證得NG=/。，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得"G=%。，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)，即可得NCHG=/D/G.則問題得解.

【解答】解：：四邊形/BCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=90°,

?.?點(diǎn)￡、廠分別是8C的中點(diǎn)，

：.BE=^AB,CF=1T?C,

：.BE=CF,

在△BCE與△C。尸中，

BE=CF

ZB=4DCF,

.BC=CD

:.ABCE咨ACDF(SAS),

NECB=NCDF,

VZBCE+ZECD^9Q°,

：.ZECD+ZCDF^90°,

；.NCGD=90°,

/.CELDF,故①正確;

在RtZXCG。中，”是CD邊的中點(diǎn),

11

:.HG/CD/BC,故②正確;

如圖，連接

同理可得：AHLDF,

1

,:HG=HD==fD,

:.DK=GK,

垂直平分。G,

：.AG=AD,

...△/DG是等腰三角形，故③錯誤；

/DAG=2NDAH,

同理：AADgADCF(SAS),

：.NDAH=NCDF,

GH=DH,

：.NHDG=NHGD,

：.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

:"CHG=NDAG.故④正確.

綜上所述：正確的有：①②④共3個.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，難度較大，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二.填空題

5.如圖，在％8co中，￡是/。上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFLBC交的延長線于點(diǎn)R交DC于點(diǎn)G,AH

CF1SAr'

LBC于H,且〃恰好為2c的中點(diǎn)，若=則.值為

DE2SaABCD

PGrpiFG1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△BGsZXQEG,得力===：；,所以不=大由條件證明四邊

EGDE2EF3

FGFG1

形4"也是矩形，得一=；；；；=7,然后證明△ZBT/s^GCF,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的

AHEF3

平方即可解決問題.

【解答】解：在%BCD中，

?：AD〃BC,

:?&CFGs叢DEG,

.FGCF1

，9EG~DE~2

.FG1

**EF-3，

■:EF1BC,AHLBC,

；?/AHB=NGFC=90°,

?；AD〃BC,

:?/AHB=/GFC=90°=NHAE,

???四邊形4HFE是矩形,

:?AH=EF,

.FGFG1

AH~EF~3f

9：AB//CD,

：./B=/GCF,

：.AABHsAGCF,

.S^ABH/A"、29

SAGCFGF1

S/\ABH=9sAeFG,

???”為BC的中點(diǎn)，

1

：.BH=CH=灑,

.11

:S"BH=*BH?AH=：BC?AH,

L4

:?BC?AH=4S“BH,

???平行四邊形ABCD的面積=5C?4〃=4s△”H=36SZ\CFG,

.S^CFG__1

s口ABCD36

-，1

故答案為：—.

36

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)

鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.

6.如圖，在矩形4SCD中，/。=10,48=16,P為CD的中點(diǎn)，連接8P.在矩形48CD外部找一點(diǎn)E,

使得N8EC+4BPC=180。，則線段的最大值為.

【分析】以AP的中點(diǎn)。為圓心，。8為半徑畫圓，可得所畫圓是RtaBCP的外接圓，弦2c左側(cè)圓弧上

任意一點(diǎn)E與BC構(gòu)成的N8EC與N2PC共弦，可得N2EC+N8PC=180°,連接。。并延長與圓的交

點(diǎn)即為DE的最短距離，作OHLDC于點(diǎn)H,可得OH是4PBC的中位線，根據(jù)勾股定理求出OP和OD

的值，進(jìn)而可得?！甑淖钚≈?

【解答】解：如圖，以AP的中點(diǎn)。為圓心，為半徑畫圓,

在矩形48co中，4D=BC=10,AB=CD=16,

VZ5CP=90°,

.?.所畫圓是RtASCP的外接圓，

弦BC右側(cè)圓弧上任意一點(diǎn)E與BC構(gòu)成的/2EC,使得四邊形BPCE是圓內(nèi)接四邊形,

AZBEC+ZBPC=18Q°,

連接。。并延長與圓的交點(diǎn)即為DE的最短距離,

作OHLDC于點(diǎn)H,

是尸C的中點(diǎn),

：.OH是APBC的中位線，

1

：.OH=券C=5,

<P為CD的中點(diǎn)，

:.CP=DP=1CD=8,

：.PH=|CP=4,

DH=DP+PH=8+4=12,

0P=y/OH2+PH2=-52+42=V41.

：.OE=OP=V41,

'：OD=VOW2+OH2=V122+52=13,

：.DE=OD+OE=13+>j41^

故答案為：13+V41.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，圓周角定理，最短路線問題，解決本

題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識找到點(diǎn)E.

7.如圖，在△N8C中，AB=AC=3,BC=2,。為的中點(diǎn)，E,尸分別在48,/C上，若NEDF=90°

=2乙4,則點(diǎn)。到AB的距離是,△4EF的周長是.

【分析】連接AD,過點(diǎn)。作DGLAB交于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DMLEF交于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作DNLAC交

于點(diǎn)N分別求出80、AD,利用三角形的面積公式求出DG的長即可點(diǎn)。到N8的距離；根據(jù)“兩角分

BEED

別相等的兩個三角形全等”證△3磯>?△（?￡?￡則得一=一,ZBDE=ZCFD,再根據(jù)“兩邊對應(yīng)成

CDDF

比例且夾角相等的兩個三角形相似“證△仍。?△￡￡）/,可得/BED=NDEF,ZBDE=ZDFE,進(jìn)而可

證/XEGD咨△EMD,推出EG=EM,再進(jìn)一步推出/G=4N,BG=CN,EF=BE+CF-2BG,最后證△

DGB?AADB,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BG的長即可.

【解答】解：連接過點(diǎn)。作。GL/8交于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作DM,斯交于點(diǎn)V,過點(diǎn)。作。NL/C

交于點(diǎn)N,如圖所示：

,：AB=AC,。為8c的中點(diǎn)，

111

：.BD=^BC=1,ADLBC,ZADB=ZACD=(180°-ZA)=90°―專乙4,

在RtAABD中，由勾股定理得ADy/AB2-BD2=V32-I2=2&,

11

xABxDG=—xBDxAD,

22

..BDxAD1X2V2272

"G=^-=^—=丁,

1

又?；/EDF=90°—*4

/ABD=/ACD=ZEDF,

ZEDC=NABC+/BED,

/BED=/FDC,

/BED=/FDC,/EBD=/DCF,

△BED?ACDF,

.BEED

=—,/BDE=/CFD,

9CD-DF

。為5C的中點(diǎn),

?BEBEED

9CD-~BD~DF'

■BEBD

—，

??ED一DF

又丁/EBD=/EDF,

：.AEBD?AEDF,

:?/BED=/DEF,/BDE=/DFE,

?:/EGD=/EMD=90°,ZBED=ZDEF,DE=DE,

：.AEGD^AEMD,

:.EG=EM,

同理可得：FN=FM,

U：AB=AC,

???/5C是等腰三角形,

???。為5C的中點(diǎn)，

???ZBAD=ZCADf

?：AD=AD,

：.AAGD?LAND,

:?AG=AN,

X''AB=AC,

:?BG=CN,

：.EF=EM+FM=EG+FN=BE-BG+CF-CN=BE+CF-2BG,

?：NB=/B,NBGD=/ADB=90°,

???ADGB?AADB,

DBGB-1GB

--=---,即-=—,

ABDB31

:.BG=I，

2

：.EF=BE+CF-^,

：.4AEF的周長=/E+/F+8￡+CF-1=AB+AC-1=3+3-j=^.

【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理等知識，添加輔助線，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推理是解答本

題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知正方形4BCD、正方形/EFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，連接DR

點(diǎn)M是。下的中點(diǎn)，連接CM,則線段CM的最大值為.

【分析】延長DC至點(diǎn)尸，使CP=OC,連接尸尸，AP,根據(jù)三角形中位線定理得P尸=2CW,再利用三

角形三邊關(guān)系可得答案.

【解答】解：延長。C至點(diǎn)尸，使CP=DC,連接尸尸，AP,

:點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，CP=DC,

：.CM是ADFP的中位線,

：.PF=2CM,

?.?正方形/BCD、正方形4E?尸G的邊長分別為4,1,

：.AP^V42+82=4V5,AF=5

?；PFWAP+AF,

：.PF的最大值為4A/5+V2,

的最大值為--+2巡，

故答案為：號+2代.

【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系等知識，構(gòu)

造中位線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

9.如圖，在△/2C中，。是2C的中點(diǎn)，DELAB,DFLAC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證：

(1)4D是△/8C的角平分線；

(2)△4BC是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)從可證Rt/XBEDgRtaCF。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=D凡再根據(jù)角平分

線的判定即可求解；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/8=/C,根據(jù)等角對等邊可得N8=4C.

【解答】證明：(1)..?。是3C的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

DELAB,DFL4C,

MBED和ACFD都是直角三角形，

在Rt/XBED與RtACFD中，

(BE=CF

=CD'

：.RtAB￡Z)^RtACFD(HL),

：.DE=DF,

：.AD是△NBC的角平分線；

(2)。；RtABED空RtACFD,

：./B=/C,

：.AB=AC,

：.^ABC是等腰三角形.

【點(diǎn)評】本題主要考查學(xué)生對角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是

證明RtABED出RtACFD.

10.已知：如圖，在△/BC中，ZACB=9Q°,AC=BC,。是N8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在NC上，點(diǎn)尸在8c上，

且/E=CF.

(1)指出與。尸的關(guān)系，并證明；

(2)若NC=2,連接E凡則斯的最小值為.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知/Z=NB=45°,結(jié)合。是N8的中點(diǎn)知CDL48且4D=

BD=CD,繼而得=結(jié)合/￡=CF即可證得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

=DF,/ADE=/CDF,即可解決問題；

(2根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DEL/C,。尸，3c時，防值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出跖=。,

求出CD即可.

【解答】解：(1)DE=DFJ.DE±DF,理由如下：

如圖，連接CD,

；N4CB=90°,。是48的中點(diǎn)，

：.CD=AD=BD,

：.ZDCB=ZB,

■：AC=BC,

/A=/B,

：./A=/DCB,

在△/￡>￡與△CDF中，

AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD,

：.AADE^ACDF(S/S),

：.DE=DF,/ADE=/CDF,

■：AC=BC,。是48的中點(diǎn)，

：.CD1AB,

：.ZADC=90°,即/ADE+/CZ)￡=90°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,即/￡。尸=90°,

：.DE±DF；

(2)在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,

：.ZA=ZB=45°,AB=&AC=2近,

?.?點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

：.CD1AB,ZDCB=45°,AD=BD=CD=V2,

HDE1AC,。尸J_8c時，DE、。下分別取最小值，

VZEDF=90°,

：.EF=y/DE2+DF2,此時的值最小，

.,?四邊形CEZE是矩形，

：.EF=CD=V2,

尸的最小值為企,

故答案為：V2.

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)和

判定，垂線段最短等知識點(diǎn).綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

11.如圖①所示，已知48是。。的直徑，點(diǎn)C在半徑CU上，點(diǎn)。，點(diǎn)尸是圓上的點(diǎn)，CD〃OF,點(diǎn)E是

半徑08的中點(diǎn)，DE與0F交于點(diǎn)、G,連接8G,BF.

(1)如果連接0。，如圖②所示；

①則//的度數(shù)為450；

②若NDOF=NDEC,CO=6,求線段OE的長；

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求點(diǎn)的值.

【分析】(1)①利用垂直的定義，平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；

②設(shè)OO的半徑為，，則。Z)=O5=r,利用勾股定理求得CZA利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到C爐

=CO-EC,從而得到關(guān)于r的方程，解方程即可得出結(jié)論；

(2)延長8G交DC于點(diǎn)K,連接O。，交BK于點(diǎn)、M,設(shè)GO=%,OE=x,貝UO3=G5=2x,OD=OB

=2x,利用三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式，進(jìn)而得到m=

x,則結(jié)論可求.

【解答】解：(1)@'：DCLAB,CD//OF,

：.OF1.AB,

:?/AOF=/BOF=9G°，

?：OB=OF,

：.ZF=ZOF=45

故答案為：45；

②設(shè)。O的半徑為「，貝1」。。=。5=尸,

9：DC.LAB,

:.af+od=oif,

：.CD2=r-^=r-36.

??,點(diǎn)E是半徑05的中點(diǎn),

.1

??OE=2r.

1

：.EC=OC+OE=6+^r.

U：CD//OF,

：.ZCDO=ZDOFf

丁ZDOF=/DEC,

：.ZCDO=ZDEC.

'：/DCO=/ECD,

：.XDCOsXECD,

.DCEC

??—,

COCD

9

:?CD=CO?EC.

oI

Ar-36=6（6+貨），

.」=3土產(chǎn)（負(fù)數(shù)不合題意,舍去）,

.3+3聞

2

1O￡=13+3V33

Z4

（2）延長5G交OC于點(diǎn)K,連接8,交BK于點(diǎn)、M,如圖,

AC0EB

設(shè)GO=m,OE=x,

??,點(diǎn)E是半徑08的中點(diǎn)，BE=CO,

.\BE=CO=OE=x,

OB—GB—2x,OD—OB—2x.

?:CD"OF,CO=OE,

???0G為的中位線，

；?CD=2OG=2m,

?:CD"OF,

：.ABOGsABCK,

.OGBGOB2x2

?*CK-BK-BC-3x-3’

3

：.CK=^m,BK=3x,

1

:?KG=x,DK=CD-CK=

9：CD//OF,

：.ADKMS^OGM,

1

DM_KM_DK22_i

OM~GM~OGm2

4

2-12

：.DM=|x,OM=3KM=余,MG=^x

2o

???BA/=5G+GA/=2x+

14

.KM/1OM/1

?*-o=—，-p——，

DM-x2BM-x2

33

.KM_OM

?'DM~BM'

ZKMD=ZOMB,

：.AKMDs^OMB,

.KD_KM

??OB~OM"

-1m-1x

?2____3_

??~~=4-，

2x\

3

??1Tl=Xf

0Gm1

OF~2x~2

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，線段

的中點(diǎn)的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線

的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,在等腰RtZ\N8C中，ZC=90°,AC=BC,是的角平分線.

(1)直接寫出NNDC的大小;

(2)求證：AC+CD=AB；

(3)E在上，過點(diǎn)E作40垂線，垂足為點(diǎn)G,延長EG交NC的延長線于點(diǎn)冗

①如圖2,若E是AD的中點(diǎn)，求證：BD=2CF；

②如圖3,若E是2C的中點(diǎn)，直接寫出三條線段BD,C戶之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/C43=45°,進(jìn)而利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理

解答即可;

(2)過。作DE'LAB于E',根據(jù)角平分線的性質(zhì)和AAS證明△4CZ＞與全等，進(jìn)而利用全等

三角形的性質(zhì)解答即可;

(3)①設(shè)/C=a,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例解答即可;

②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)解：?.?/C=90°,AC=BC,是八48。的角平分線,

：.ZCAB^45

：.ZCAD^ZDAB^22.5°,

二N/Z)C=90°-22.5°=67.5

(2)證明：過。作?！?于E',

圖1

在△/CD與中，

(^CAD=4'40

\^ACD=^AE'D=90。，

{AD=AD

.?.△ACD/AAE'D(AAS),

：.CD=DE',AC=AE',

■:NDE'B=90°,Z5=45°,

△￡>￡'B為等腰直角三角形，

:.DE'=E'B,

?.ZD是△NBC的角平分線，ZC=90°,DELAB,

:.CD=DE',AC=4E',

：.CD+AC=E'B+AE'=AB；

(3)①證明：設(shè)ZC=a,

,,.AB=V2a,BC—a,

由(2)可知，AC+CD=AB,

a+CD=y[2a,

：.CD=(V2-1)a,

：.BD=(2-V2)a,

■:E為BD中點(diǎn)，

：.DE=^^a,

'：AC±CE,AGLEF,

：.ZCAD=ZAEF,

且//。。=/￡。尸=90°,

：.ZCFE=ZCDA,

：.△ACDs^ECF,

?ACEC

?.=,

CDCF

.aEC

*'(V2-l)a—CF，

:.EC=CD+DE=(V2-1)GH-----^—ci=,

V2

.a=Ta

"(V2-l)a-CF，

解得：CF=22夜.’

'：BD=(2-V2)a,

：.BD=2CF；

②解：'：CD=(V2-1)a,￡為8c中點(diǎn)，CE吟

由①可知，△ACDs^ECF,

.CECA

??,

CFCD

a

oCL

即=~~p------,

CF(V2-l)a

解得：CF=&2I。,

：.CD=2CF,

'：CD+BD=BC,

：.2CF+BD=BC,

「△A4c是等腰直角三角形，

：.AB=V2.BC,

：.y/2C2CF+BD)=AB,

即42,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為48=&(2CF+BD).

【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三

角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和相似三角形解答.

13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中，C是油的中點(diǎn)，直線

于點(diǎn)E,則可以得到/請證明此結(jié)論.

圖1圖2圖3

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米

德發(fā)現(xiàn)，若均、依是。。的折弦，C是才&的中點(diǎn)，CD,我于點(diǎn)E.則/￡=尸￡+尸5.這就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢？小明的證明思路是：在/E上截取/尸=尸3,連接C4、

CF、PC、BC…請你按照小明的思路完成證明過程.

(3)如圖3,已知等邊三角形/2C內(nèi)接于。。，48=2,點(diǎn)。是衣上的一點(diǎn)，/ABD=45°,AE±BD

于點(diǎn)￡,則△5DC的周長為.

【分析】(1)連接NC、BC,由祀=a，WAC=BC,由COL42于點(diǎn)E,可根據(jù)等腰三角形的“三線

合一”證明/￡=8￡；

(2)在/E上截取/尸=尸5,連接CF、PC、BC,由公=a，得/C=3C,而尸8C,即

可證明四△&(7,得CF=CP,由CDLPA于點(diǎn)E,可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明FE=

PE,貝！J

(3)在4E1上截取3G=CD,連接AD,可證明△ZBG四得NG=/。，而/￡_L8D于點(diǎn)E,所以

EG=ED,則BE=EG+BG=ED+CD,所以8D+CD=23￡,再證明N/3Z)=45°,貝U/E=3￡,

所以AB=7AE2+BE2=五BE=2,貝18E=即可求得△BOC的周長為2/+2,于是得到問題的答

案.

【解答】(1)證明：如圖1,連接NC、BC,

圖1

?.?福的中點(diǎn)，

.,.AC=BC,

：.AC=BC,

'：CDLAB于點(diǎn)￡,

：.AE=BE.

(2)證明：在4E?上截取/尸=尸8,連接C4、CF、PC、BC,則/E4C=NP2C,

?；C是彳&的中點(diǎn)，

：.AC=BC,

J.AC^BC,

在AE4c和△P2C中，

AC=BC

/.FAC=Z.PBC,

.AF=BP

:.LFAC咨APBC(S4S*),

：.CF=CP,

'：CDLPA于點(diǎn)￡,

:.FE=PE,

；.AE=FE+AF=PE+PB.

(3)解：如圖3,在BE上截取5G=CD,連接ND則N/8G=//CD,

圖3

：△NBC是等邊三角形，48=2,

:.AB=AC=BC=2,

在△43G和△/CD中，

AB=AC

乙ABG=4ACD,

BG=CD

：.AABG^/\ACD(SAS),

：.AG=AD,

'：AELBD于點(diǎn)E,

：.EG=ED,

：.BE=EG+BG=ED+CD,

：.BD+CD=BE+ED+CD^2BE,

VZAEB=90°,ZABD=45°,

：.ZBAE=ZABD=45°,

：.AE=BE,

；.4B=y/AE2+BE2=V2BE2=y/2BE=2,

:.BE=V2,

：.BD+CD+BC=2s/2+2,

：./\BDC的周長為2夜+2,

故答案為：2&+2.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”、全等三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

14.綜合與實(shí)踐：

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形4BCD中，4B=BC=6,尸為2C邊的中點(diǎn)，￡為48邊上一點(diǎn)，連接DE、DF,

分別將△4DE和△CD尸沿?！辍?。尸翻折，點(diǎn)/、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,點(diǎn)G與點(diǎn)X重合，則/

EDF=°,AE=；

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形48CD中，AB