2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第十章 復(fù)數(shù) 10.2.2 第1課時(shí) 復(fù)數(shù)的乘法（教師用書）教學(xué)實(shí)錄 新人教B版必修第四冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)10.2.2第1課時(shí)復(fù)數(shù)的乘法（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教B版必修第四冊(cè)主備人備課成員設(shè)計(jì)思路本課時(shí)以復(fù)數(shù)的乘法為主線，通過引入幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生理解復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)律。結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算方法，并通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)。設(shè)計(jì)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過復(fù)數(shù)乘法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力。同時(shí)，提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生能夠在實(shí)際情境中運(yùn)用復(fù)數(shù)知識(shí)解決問題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算、乘方和開方等知識(shí)，具備了一定的代數(shù)基礎(chǔ)，能夠理解代數(shù)式的變形和方程的解法。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與個(gè)人興趣、家庭背景和以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷有關(guān)。他們?cè)趲缀沃庇^和抽象思維能力方面表現(xiàn)不一，部分學(xué)生可能對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義和運(yùn)算規(guī)則較為陌生，但普遍對(duì)數(shù)學(xué)問題解決和應(yīng)用有較強(qiáng)的求知欲。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，有的學(xué)生偏好通過圖形直觀理解概念，有的則更習(xí)慣于符號(hào)推導(dǎo)。

3.學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法時(shí)可能遇到的困難包括：理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，區(qū)分實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)乘法的結(jié)果；記憶復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則，特別是復(fù)數(shù)的乘方；應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法解決實(shí)際問題時(shí)，如何建立數(shù)學(xué)模型。此外，學(xué)生可能在面對(duì)復(fù)雜的運(yùn)算時(shí)容易出錯(cuò)，需要教師提供有效的反饋和指導(dǎo)。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解復(fù)數(shù)乘法的定義、運(yùn)算規(guī)則和幾何意義，幫助學(xué)生建立清晰的概念體系。

2.討論法：組織學(xué)生小組討論，通過合作學(xué)習(xí)，共同探討復(fù)數(shù)乘法的應(yīng)用和解決實(shí)際問題。

3.案例分析法：通過典型例題，引導(dǎo)學(xué)生分析復(fù)數(shù)乘法的解題思路，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示復(fù)數(shù)乘法的幾何圖形，直觀展示運(yùn)算過程，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力。

2.互動(dòng)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生親身體驗(yàn)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算過程。

3.實(shí)踐操作：提供在線練習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生在課堂上即時(shí)練習(xí)，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

1.回顧實(shí)數(shù)乘法的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生思考如何在復(fù)數(shù)平面上表示復(fù)數(shù)的乘法。

2.展示復(fù)數(shù)的幾何圖形，提問學(xué)生如何用幾何方法表示復(fù)數(shù)的乘法。

3.提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、新課講授（用時(shí)15分鐘）

1.講解復(fù)數(shù)乘法的定義和運(yùn)算規(guī)則，舉例說明如何進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。

2.結(jié)合幾何圖形，解釋復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，幫助學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)律。

3.講解復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算方法，通過實(shí)例演示乘方的運(yùn)算過程。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.學(xué)生獨(dú)立完成基礎(chǔ)練習(xí)題，鞏固復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則。

2.小組合作完成應(yīng)用題，將復(fù)數(shù)乘法應(yīng)用于實(shí)際問題解決。

3.利用軟件工具進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法的動(dòng)態(tài)演示，觀察運(yùn)算結(jié)果，加深理解。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.舉例回答：如何將兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，得到的結(jié)果又是什么？

舉例：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

2.舉例回答：如何計(jì)算復(fù)數(shù)的乘方？

舉例：$(a+bi)^n=(\sqrt{a^2+b^2})^n(\cos(n\arctan(\frac{a}))+i\sin(n\arctan(\frac{a})))$

3.舉例回答：如何利用復(fù)數(shù)乘法解決實(shí)際問題？

舉例：計(jì)算電路中的交流電電壓的有效值。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

內(nèi)容：

1.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的規(guī)則和幾何意義。

2.總結(jié)復(fù)數(shù)乘法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如電子技術(shù)、信號(hào)處理等領(lǐng)域。

3.提出課后思考題，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索復(fù)數(shù)乘法的應(yīng)用。

總用時(shí)：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)掌握：

-學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)乘法的定義和運(yùn)算規(guī)則，如乘法的分配律、結(jié)合律等。

-學(xué)生能夠熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，包括基本乘法和乘方運(yùn)算。

-學(xué)生能夠?qū)?fù)數(shù)乘法應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如電路分析、信號(hào)處理等。

2.能力提升：

-學(xué)生在幾何直觀方面得到鍛煉，能夠?qū)?fù)數(shù)乘法與復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何意義聯(lián)系起來。

-學(xué)生在邏輯推理能力方面得到提升，能夠通過實(shí)例和規(guī)律推導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則。

-學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力方面得到加強(qiáng)，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算的形式。

3.學(xué)習(xí)興趣：

-學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法產(chǎn)生濃厚的興趣，愿意主動(dòng)探索復(fù)數(shù)運(yùn)算的奧秘。

-學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

-學(xué)生通過解決實(shí)際問題，感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

4.實(shí)踐應(yīng)用：

-學(xué)生能夠?qū)?fù)數(shù)乘法應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如計(jì)算電路中的交流電電壓的有效值。

-學(xué)生在實(shí)驗(yàn)和操作中，提高了解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)了實(shí)踐操作技能。

-學(xué)生通過小組合作，學(xué)會(huì)了與他人溝通、協(xié)作，提升了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

5.思維發(fā)展：

-學(xué)生在復(fù)數(shù)乘法的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)了抽象思維能力，能夠從具體問題中提煉出一般規(guī)律。

-學(xué)生在解決復(fù)數(shù)乘法問題時(shí)，鍛煉了分析問題和解決問題的能力。

-學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會(huì)了歸納總結(jié)，提高了自主學(xué)習(xí)能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①復(fù)數(shù)乘法的定義

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法的概念，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的運(yùn)算。

-重點(diǎn)詞句：復(fù)數(shù)乘法、乘積、實(shí)部、虛部。

②復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法的分配律、結(jié)合律和交換律。

-重點(diǎn)詞句：分配律、結(jié)合律、交換律、實(shí)部相乘、虛部相乘。

③復(fù)數(shù)乘法的幾何意義

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法在復(fù)平面上的幾何表示，包括旋轉(zhuǎn)和縮放。

-重點(diǎn)詞句：復(fù)平面、旋轉(zhuǎn)、縮放、模長、輻角。重點(diǎn)題型整理1.題型一：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算

-題目：計(jì)算復(fù)數(shù)乘法$(3+4i)(2-3i)$。

-答案：$(3+4i)(2-3i)=3\cdot2+3\cdot(-3i)+4i\cdot2+4i\cdot(-3i)=6-9i+8i-12i^2=6-i+12=18-i$。

2.題型二：復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算

-題目：計(jì)算復(fù)數(shù)乘方$(1+i)^4$。

-答案：$(1+i)^4=(1+i)^2\cdot(1+i)^2=(1+2i+i^2)\cdot(1+2i+i^2)=(1+2i-1)\cdot(1+2i-1)=(2i)^2=-4$。

3.題型三：復(fù)數(shù)乘法與幾何意義

-題目：如果復(fù)數(shù)$z_1=2+3i$和$z_2=1-2i$，求$z_1\cdotz_2$在復(fù)平面上的幾何表示。

-答案：$z_1\cdotz_2=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$。在復(fù)平面上，這個(gè)乘積表示為點(diǎn)$(8,-1)$。

4.題型四：復(fù)數(shù)乘法與模長

-題目：已知復(fù)數(shù)$z=5-12i$，求$z$的模長。

-答案：$|z|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。

5.題型五：復(fù)數(shù)乘法與輻角

-題目：已知復(fù)數(shù)$z=3+4i$，求$z$的輻角。

-答案：$\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$。在復(fù)平面上，這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的輻角是$\theta$，即$\theta$是使得$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$的角度。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生能夠積極參與課堂討論，對(duì)復(fù)數(shù)乘法的概念和運(yùn)算規(guī)則有較好的理解和掌握。

-學(xué)生在解答問題時(shí)表現(xiàn)出較高的計(jì)算準(zhǔn)確性和邏輯性，能夠正確運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法解決簡單的實(shí)際問題。

2.小組討論成果展示：

-小組討論中，學(xué)生能夠有效合作，共同解決問題，展現(xiàn)了良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

-學(xué)生在討論中提出的問題有助于激發(fā)其他同學(xué)的思考，共同探討復(fù)數(shù)乘法的多種應(yīng)用場景。

3.隨堂測試：

-通過隨堂測試，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法的掌握情況得到檢驗(yàn)，測試結(jié)果顯示大部分學(xué)生能夠正確進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。

-測試中存在的問題主要集中在復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算和幾何意義的理解上，需要教師在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)輔導(dǎo)。

4.課后作業(yè)反饋：

-學(xué)生能夠按時(shí)完成課后作業(yè)，作業(yè)質(zhì)量普遍較高，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法的重視。

-通過批改作業(yè)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在處理復(fù)雜問題時(shí)存在細(xì)節(jié)錯(cuò)誤，需要教師在課堂上給予個(gè)別輔導(dǎo)。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-針對(duì)課堂表現(xiàn)，教師鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，對(duì)表現(xiàn)出色的學(xué)生給予肯定，對(duì)表現(xiàn)一般的學(xué)生提出改進(jìn)建議。

-對(duì)于小組討論成果展示，教師強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生在小組中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，共同提高。

-針對(duì)隨堂測試和課后作業(yè)中的問題，教師將針對(duì)性地進(jìn)行講解和輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，提高解題能力。

-教師將根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，適時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保每位學(xué)生都能夠跟上教學(xué)進(jìn)度，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.強(qiáng)化幾何直觀教學(xué)：在講解復(fù)數(shù)乘法時(shí)，更多地結(jié)合幾何圖形，讓學(xué)生直觀地看到復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.互動(dòng)式教學(xué)策略：設(shè)計(jì)一些互動(dòng)環(huán)節(jié)，比如讓學(xué)生上臺(tái)演示計(jì)算過程，或者分組討論復(fù)雜問題的解決方法，增強(qiáng)學(xué)生的參與感和主動(dòng)性。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則掌握不牢固：在隨堂測試和課后作業(yè)中，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，容易出現(xiàn)基礎(chǔ)錯(cuò)誤，如虛數(shù)單位$i$的運(yùn)算。

2.學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘方的幾何意義理解不夠深入：一些學(xué)生在處理復(fù)數(shù)乘方時(shí)，難以將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，影響了他們的解題能力。

3.課堂時(shí)間分配不夠合理：有時(shí)候在講解某些概念時(shí)，可能過于詳細(xì)，導(dǎo)致課堂時(shí)間不夠，影響了其他教學(xué)內(nèi)容的深入講解。

反思改進(jìn)措施（三）

1.針對(duì)基礎(chǔ)錯(cuò)誤，我將增加基礎(chǔ)練習(xí)的量，確