高等數(shù)學(xué) 課件 第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限_第1頁
高等數(shù)學(xué) 課件 第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限_第2頁
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文檔簡介

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)PARTSIX第六節(jié)

極限存在準(zhǔn)則和兩

個(gè)重要極限學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解極限存在的兩個(gè)收斂準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則).2.熟練掌握利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限.一、極限存在準(zhǔn)則又因yn

xn

zn

，所以當(dāng)

n>N

時(shí)，有

a-e<yn

xn

zn<a+e

，a-e<yn<a+e

，a-e<z

n<a+e

，即|x

n-a|<e

．

證明：由極限的定義，

e>0，即

N

>0，當(dāng)n>N

時(shí)，有|y

n-a|<e

及|z

n-a|<e

，準(zhǔn)則1：（夾逼準(zhǔn)則）

如果數(shù)列{xn

}、{yn}及{zn}滿足下列條件：

(1)yn

xn

zn(n=1，2，3，…)，準(zhǔn)則1

：如果函數(shù)g(x)、f(x)及h(x)滿足下列條件：準(zhǔn)則2：單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)數(shù)列：如果數(shù)列{x

n}滿足條件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就稱數(shù)列{x

n}是單調(diào)增加的；

如果數(shù)列{x

n}滿足條件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就稱數(shù)列{x

n}是單調(diào)減少的．

單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．收斂與有界的關(guān)系：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂

如果數(shù)列不僅有界，并且是單調(diào)的，那么這個(gè)數(shù)列的極限必定存在，也就是這個(gè)數(shù)列一定收斂幾何意義二、兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限：

因?yàn)?，令u=a(x)，則u

0，于是

解：=1．

例22202x2sinlim21???è?=?xx

例4：解：令例5求.于是由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)法則得，當(dāng)x?0時(shí)，有t?0.第二個(gè)重要極限e是個(gè)無理數(shù)，它的值是e=2.718281828459045·

·

·

．

還可證明根據(jù)準(zhǔn)則II，數(shù)列{x

n}必有極限．可以證明數(shù)列{x

n}是單調(diào)增加并且有界．這個(gè)極限我們用e來表示．即ee

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