高一數(shù)學(xué)必修一必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合(一)集合有關(guān)概念1.集合的含義2.集合的中元素的三個(gè)特性:確定性、互異性、無(wú)序性3.集合的表示:(1)常用數(shù)集及其記法(2)列舉法(3)描述法4、集合的分類:有限集、無(wú)限集、空集5.1.子集、真子集、空集;2.有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集;3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.(一)函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域.2.常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn):○1解析法:必須注明函數(shù)的定義域;○2圖象法:描點(diǎn)法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;○3列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.優(yōu)點(diǎn):解析法:便于算出函數(shù)值.列表法:便于查出函數(shù)值.圖象法:便于量出函數(shù)值.求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1;(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的,那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合;(6)指數(shù)為零底不可以等于零;(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.相同函數(shù)的判斷方法:(以下兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(1)表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));(2)定義域一致.求函數(shù)值域方法:(先考慮其定義域)(1)函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2)應(yīng)熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3)求函數(shù)值域的常用方法有:直接法、換元法、配方法、分離常數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法等.2.函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過(guò)來(lái),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等,注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù).(2)畫(huà)法:描點(diǎn)法;圖象變換法常用變換方法有三種:平移變換;對(duì)稱變換;*伸縮變換.3.區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類:開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間;(2)無(wú)窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.4.映射一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射.記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):A(原象集)→B(象集)”對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿足:(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.5.分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù);(2)各部分的自變量的取值情況;(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.(二)函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.定義的變形應(yīng)用:如果對(duì)任意的12,xxD∈,且21xx≠有0)()(1212>--xxxfxf或者2121(()())()0fxfxxx-->,則函數(shù))(xf在區(qū)間D上是增函數(shù);如果對(duì)任意的12,xxD∈,且21xx≠有2121()()0fxfxxx-<-或者2121(()())()0fxfxxx--<,則函數(shù))(xf在區(qū)間D上是減函數(shù).注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).(2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3)函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3變形(通常是因式分解和配方);○4定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));○5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.2.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.3.函數(shù)的解析表達(dá)式(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:湊配法;待定系數(shù)法;換元法;消參法.如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法,這時(shí)要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí),也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)4.函數(shù)最大(小)值(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;(2)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;(3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念:一般地,如果axn=,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.◆負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作00=n.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),aann=,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),???<≥-==)0()0(||aaaaaann2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:)1,,,0(*>∈>=nNnmaaanmnm,)1,,,0(11*>∈>==-nNnmaaanmnmnm◆0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)rsrsaaa+?=(0,,)arsR>∈;(2)()rsrsaa=),,0(Rsra∈>;(3)()rrrabab=(0,)arR>∈.(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù))1,0(≠>=aaayx且叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)在[a,b]上,)1a0a(a)x(fx≠>=且值域是)]b(f),a(f[(a>1)或)]a(f),b(f[(0<a<1);(2)若0x≠,則1)x(f≠;)x(f取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)Rx∈;(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù))1a0a(a)x(fx≠>=且,總有a)1(f=.二、對(duì)數(shù)函數(shù)(一)對(duì)數(shù)的概念:一般地,如果Nax=)1,0(≠>aa,那么數(shù)x叫做以.a為底..N的對(duì)數(shù),記作:Nxalog=(a—底數(shù),N—真數(shù),Nalog—對(duì)數(shù)式)說(shuō)明:○1注意底數(shù)的限制0>a,且1≠a;○2xNNaax=?=log.兩個(gè)重要對(duì)數(shù):○1常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù)Nlg;○2自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù)71828.2=e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)Nln.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化冪值真數(shù)N?logN(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果0>a,且1≠a,0>M,0>N,那么:○1Ma(log2=)NMalog+Nalog;○2=NMalogMalog-Nalog;○3naMlogn=Malog)(Rn∈.注意:換底公式abbccalogloglog=(0>a,且1≠a;0>c,且1≠c;0>b).利用換底公式可得下面的結(jié)論:(1)bmnbanamloglog=;(2)abbalog1log=.(三)對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)0(log>=axya,且)1≠a叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:○1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別.如:xy2log2=,5log5xy=都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).○2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:0a>,且1a≠.21.冪函數(shù)定義:一般地,形如αxy=)(Ra∈的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).2.冪函數(shù)性質(zhì)歸納:(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)當(dāng)0>α?xí)r,冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間),0[+∞上是增函數(shù).特別地,當(dāng)1>α?xí)r,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)10<<α?xí)r,冪函數(shù)的圖象上凸;(3)當(dāng)0<α?xí)r,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間),0(+∞上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸,當(dāng)x趨于∞+時(shí),圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù)))((Dxxfy∈=,把使0)(=xf成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)))((Dxxfy∈=的零點(diǎn).2.函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù))(xfy=的零點(diǎn)就是方程0)(=xf實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù))(xfy=的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:方程0)(=xf有實(shí)數(shù)根?函數(shù))(xfy=的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù))(xfy=有零點(diǎn).3.函數(shù)零點(diǎn)的求法:○1(代數(shù)法)求方程0)(=xf的實(shí)數(shù)根;○2(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù))(xfy=的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).4.二次函數(shù)的零點(diǎn):二次函數(shù))0(2≠++=acbxaxy.(1)△>0,方程02=++cbxax有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)△=0,方程02=++cbxax有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).(3)△<0,方程02=++cbxax無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).二、函數(shù)的應(yīng)用解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是認(rèn)真讀題,縝密審題,確切理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括,將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是要合理選取參變數(shù),設(shè)定變?cè)?就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型;最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解.數(shù)學(xué)必修2各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章空間幾何體12三視圖定義:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注:正視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度.3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x軸平行且長(zhǎng)度不變;②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y軸平行,長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(((3)球體的表面積和體積公式:V球=33Rπ;S球面=4R第二章空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)平面①平面的概念:平面是無(wú)限伸展的.②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi));也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如平面BC.③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面α內(nèi),記作Aα∈;點(diǎn)A不在平面α內(nèi),記作Aα?.點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)A在直線l上,記作:A∈l;點(diǎn)A在直線l外,記作A?l.直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作l?α;直線l不在平面α內(nèi),記作l?α.(2)平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語(yǔ)言”、“符號(hào)語(yǔ)言”、“圖形語(yǔ)言”列表如下:推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.(3)空間直線與直線之間的位置關(guān)系公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行①空間兩條直線的位置關(guān)系:????????相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);共面直線平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).②異面直線判定:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線③異面直線所成角:已知兩條異面直線,ab,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線//,//aabb'',把,ab''所成的銳角(或直角)叫異面直線,ab所成的角(或夾角).,ab''所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無(wú)關(guān),為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上;異面直線所成的角的范圍為(0,90]?,如果兩條異面直線所成的角是直角,則叫兩條異面直線垂直,記作ab⊥.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步:選點(diǎn)→平移→定角→計(jì)算.④等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ).(4)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:aα?;a∩α=A;a∥α.(5)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒(méi)有公共點(diǎn),記作α∥β.相交——有一條公共直線,記作α∩β=b.2、空間中的平行問(wèn)題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.(線線平行?線面平行)符號(hào)表示為:,,////ababaααα???.線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行.線面平行?線線平行符號(hào)表示為:////aaabbαβαβ??????=?(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(線面平行→面面平行),用符號(hào)表示為:,,////,//ababPabβββααα??=????.*(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行.(線線平行→面面平行),*(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個(gè)平面平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.(面面平行→線面平行)用符號(hào)表示為:α∥β,a?β//aα?(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.(面面平行→線線平行)用符號(hào)表示為:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b//ab?3、空間中的垂直問(wèn)題(1)線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直.③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直.(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面.(線線垂直→線面垂直)用符號(hào)表示為:l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m?α,n?α?l⊥α性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.用符號(hào)表示為:a⊥α,b⊥α?//ab②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.(線面垂直→面面垂直)用符號(hào)表示為:a?α,α⊥β?α⊥β.性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面.(面面垂直→線面垂直)用符號(hào)表示為:αβ⊥,lαβ=,aα?,al⊥?aβ⊥.4、空間角問(wèn)題(1)直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角:規(guī)定為0.②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.③兩條異面直線所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線ba'',,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.(2)直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為0.②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為90.③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”.(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)..分別作垂直于...棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到二面角平面角.*垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角第三章直線與方程1、直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線的斜率①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即tankα=.斜率反映直線與軸的傾斜程度.當(dāng)[)90,0∈時(shí),0≥k;當(dāng)()180,90∈α?xí)r,0<k;當(dāng)90=α?xí)r,k不存在.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式:)(211212xxxxyyk≠--=③設(shè)1122(,),AxyBxy,(),則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)公式為1212(,)22xxyy++βaαb2、直線的方程注意:各式的適用范圍;○2特殊的方程如:平行于x軸的直線:by=(b為常數(shù));平行于y軸的直線:ax=(a為常數(shù)).(2)直線系方程(即具有某一共同性質(zhì)的直線)①平行直線系:平行于已知直線0000=++CyBxA(00,BA是不全為0的常數(shù))的直線系方程為:000=++CyBxA(C為參數(shù))②垂直直線系:垂直于已知直線0000=++CyBxA(00,BA是不全為0的常數(shù))的直線系方程為:000=+-CyAxB(C為參數(shù))③過(guò)定點(diǎn)的直線系:(ⅰ)斜率為k的直線系方程為()00xxkyy-=-,直線過(guò)定點(diǎn)()00,yx;*(ⅱ)過(guò)兩條直線0:1111=++CyBxAl,0:2222=++CyBxAl的交點(diǎn)的直線系方程為()()0222111=+++++CyBxACyBxAλ(λ為參數(shù)),其中直線2l不在直線系中.3、兩直線平行與垂直已知111:bxkyl+=,222:bxkyl+=,則212121,//bbkkll≠=?;12121-=?⊥kkll注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否.4、兩條直線的交點(diǎn)0:1111=++CyBxAl,0:2222=++CyBxAl相交,交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組???=++=++00222111CyBxACyBxA的一組解.方程組無(wú)解21//ll?;方程組有無(wú)數(shù)解?1l與2l重合5、距離公式:(1)平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離為|P1P2|特別地,當(dāng)12,PP所在直線與x軸平行時(shí),1212||||PPxx=-;當(dāng)12,PP所在直線與y軸平行時(shí),1212||||PPyy=-;(2)平面上任意一點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的距離為d=|Ax0+By0+C|\r(A2+B2).(3)兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不同時(shí)為0,且C1≠C2)間的距離為d=|C1-C2|\r(A2+B2).第三章圓與方程1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑.2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程()()222rbyax=-+-,圓心()ba,,