高中數(shù)學(xué)平面空間向量知識點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)平面空間向量知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)歸納一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小．②零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行③單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量④平行向量（共線向量）⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量???????????????????????2、向量加法：設(shè)AB?a,BC?b，則a+b=AB?BC=AC?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；????????????????????????．AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但這時(shí)必須“首尾相連”3、向量的減法：①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a????????②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：a?b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）??4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：??????（Ⅰ）?a???a；（Ⅱ）當(dāng)??0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)??0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)??0時(shí)，?a?0，方向是任意的????5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線?有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)?，使得b=?a???6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只?????有一對實(shí)數(shù)?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共線的向量e1,e2二.平面向量的坐標(biāo)表示?????1a可表示成a?xi?yj，記作a=(x,y)。2(1)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a?b??x1?x2,y1?y2?(2)若A?x1,y1?,B?x2,y2?，則AB??x2?x1,y2?y1?(3)若a=(x,y)，則?a=(?x,?y)(4)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a//b?x1y2?x2y1?0(5)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a?b?x1?x2?y1?y2若a?b，則x1?x2?y1?y2?0三．平面向量的數(shù)量積??????已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0?a?0????a?b2b︱cos?=∈R，稱為向量b在a投影的絕對值稱為射影?????aa3數(shù)量積的幾何意義：·b等于的長度與b在a方向上的投影的乘積???2?24a?a?a?|a|5?????2?2a?b?a?b?a?b???2?2???2a?b?a?2a?b?b??????a?b；?2???2a?2a?b?b①交換律成立：a?b?b?a??????②對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：??a??b??a?b?a??b???????R???????????③分配律成立：a?b?c?a?c?b?c?c?a?b??????特別注意：（1）結(jié)合律不成立：a?b?c?a?b?c；??????（2）消去律不成立a?b?a?c不能b?c???????a=0或b=0（3）a?b=0不能已知兩個(gè)向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a·b=x1x2?y1y2??????????????008已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=?（0???180）叫做向量a與b的夾角????a?bcos?=cos?a,b??a?b?????00當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，θ=0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)θ=180，同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題??????09垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b10：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?空間向量與立體幾何1、空間向量及其運(yùn)算：??????（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb?0??x?R,a?xb????????（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）??x,y?R,a?xb?yc????????????????OC推論：對于空間任一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)A、B、，OP?xOA?yOB?zOC?x?y?z?1?，則四點(diǎn)O、A、B、C共面（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p?xa?yb?zc（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算????若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，則：a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?????a???x1,?y1,?z1?a?b?1x2zx?1y2y?1z注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；注2：空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：????????（1）證明AB//CD，即證明AB//CD????????（2）證明AB?CD，即證明AB?CD?0????????????????AB//?（3）證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面內(nèi)的基底共面；????????（4）證明AB??，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對應(yīng)的向量；（5）證明兩平面?//?（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面???，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。平面向量真題集訓(xùn)2004年（9）已知平面上直線l的方向向量e?(?,)，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1，則O1A1＝?e，55（A）（B）－（C）2（D）－28.已知點(diǎn)A（，1），B（0，0）C（等于（）A.2B.C.－3D.－，0）.設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有x（1）（文）已知向量a＝（4，2），向量b＝（，3），且a//b,則x＝()（A）9(B)6(C)5(D)32006年2007年????????????1????????CD?CA??CB，則??（）5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD?2DB，2112A．B．C．?D．?2009年6.已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?|b|?（）B.C.5D.252010年uuruuruuur（8）△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平方?ACB．若CB?a，CA?b，a?1，b?2，則CD?（）b（B）b（C）b（D）2011年????????1（3）設(shè)向量a、b滿足a?b?1，a?b??,則a?2b?利用向量法解決立體幾何問題基本知識回顧向量平行，垂直的坐標(biāo)表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0直線的方向向量：1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：????AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α求平面法向量的基本步驟：第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).(一).判定直線、平面間的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系，不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥b(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,①若a∥n,即a=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.（3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β(二)、用向量解決距離問題①兩點(diǎn)A,B間距離|AB|由AB?AB?AB可算出；若AB?a?b，則由數(shù)量積得AB????????????????a???b??2a?b????兩點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接用兩點(diǎn)間距離公式.②點(diǎn)P到直線AB的距離過點(diǎn)P作直線AB的垂線PD，垂足為D，則由PD?AB且點(diǎn)A,B,D共線得PD?AB?0,AD??AB，解出D點(diǎn)后再求|PD|。③異面直線a、b的距離???a?n?0組?得到n?b?n?0?③求二面角?????的大小?已知二面角α—l—β，n1,n2分別是平面α和平面β的一個(gè)法向量，設(shè)二面角α—l—β的大小??為θ，規(guī)定0≤θ≤π，則???n1,n2?（這里若平面α的法向量是二面角的內(nèi)部指向平面α內(nèi)的一點(diǎn)，則平面β的法向量必須是由平面β內(nèi)的一點(diǎn)指向二面角的內(nèi)部，如圖2-1，否則從二面角內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)向兩個(gè)半平面作法向量時(shí)，二面角?????n1,n2?，如圖2-2）二面角?????的大小?（如右圖），也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示，在?、?上分別作棱?的垂線AB、CD（A、C??），從圖中可知：?等于AB、CD所成的角.2004年—2012年云南省高考立體幾何解答題匯總2004年20．（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M.（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.2005年（18）(本小題滿分12分)在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大?。?006年（19）（本小題滿分１２分）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC,D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)。（I）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；A?AD?C1（II）設(shè)AA1?AC?,求二面角1的大小。2007年19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．（1）證明EF∥平面SAD；（2）設(shè)SD?2DC，求二面角A?EF?D的大?。?008年19．（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點(diǎn)E在CC1上且C1E?3EC．（Ⅰ）證明：A1C?平面BED；（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大?。?009年18（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE?平面BCC1（I）證明：AB?AC（II）設(shè)二面角A?BD?C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小。2010年（19）（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE=3EB1（Ⅰ）證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°,求二面角A1-AC1-B1的大小2011年D，AB?CD,BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角（20）如圖，四棱錐S?ABC中形.AB?BC?2,CD?SD?1.（Ⅰ）證明：SD?平面SAB（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小。2012年（19）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱AA1的中點(diǎn)2(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。知識點(diǎn)歸納一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小．②零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行③單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量④平行向量（共線向量）⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量???????????????????????2、向量加法：設(shè)AB?a,BC?b，則a+b=AB?BC=AC?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；????????????????????????．AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但這時(shí)必須“首尾相連”3、向量的減法：①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a????????②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：a?b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）??4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：??????（Ⅰ）?a???a；（Ⅱ）當(dāng)??0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)??0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)??0時(shí)，?a?0，方向是任意的????5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線?有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)?，使得b=?a???6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只?????有一對實(shí)數(shù)?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共線的向量e1,e2二.平面向量的坐標(biāo)表示?????1a可表示成a?xi?yj，記作a=(x,y)。2(1)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a?b??x1?x2,y1?y2?(2)若A?x1,y1?,B?x2,y2?，則AB??x2?x1,y2?y1?(3)若a=(x,y)，則?a=(?x,?y)(4)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a//b?x1y2?x2y1?0(5)若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a?b?x1?x2?y1?y2若a?b，則x1?x2?y1?y2?0三．平面向量的數(shù)量積??????已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0?a?0????a?b2b︱cos?=∈R，稱為向量b在a投影的絕對值稱為射影?????aa3數(shù)量積的幾何意義：·b等于的長度與b在a方向上的投影的乘積???2?24a?a?a?|a|5?????2?2a?b?a?b?a?b???2?2???2a?b?a?2a?b?b??????a?b；?2???2a?2a?b?b①交換律成立：a?b?b?a??????②對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：??a??b??a?b?a??b???????R???????????③分配律成立：a?b?c?a?c?b?c?c?a?b??????特別注意：（1）結(jié)合律不成立：a?b?c?a?b?c；??????（2）消去律不成立a?b?a?c不能b?c???????a=0或b=0（3）a?b=0不能已知兩個(gè)向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a·b=x1x2?y1y2??????????????008已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=?（0???180）叫做向量a與b的夾角????a?bcos?=cos?a,b??a?b?????00當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，θ=0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)θ=180，同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題??????09垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b10：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?空間向量與立體幾何1、空間向量及其運(yùn)算：??????（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb?0??x?R,a?xb????????（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）??x,y?R,a?xb?yc????????????????OC推論：對于空間任一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)A、B、，OP?xOA?yOB?zOC?x?y?z?1?，則四點(diǎn)O、A、B、C共面（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p?xa?yb?zc（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算????若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，則：a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?????a???x1,?y1,?z1?a?b?1x2zx?1y2y?1z注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；注2：空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：????????（1）證明AB//CD，即證明AB//CD????????（2）證明AB?CD，即證明AB?CD?0????????????????AB//?（3）證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面內(nèi)的基底共面；????????（4）證明AB??，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對應(yīng)的向量；（5）證明兩平面?//?（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面???，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。平面向量真題集訓(xùn)2004年（9）已知平面上直線l的方向向量e?(?,)，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1，則O1A1＝?e，55（A）（B）－（C）2（D）－28.已知點(diǎn)A（，1），B（0，0）C（等于（）A.2B.C.－3D.－，0）.設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有x（1）（文）已知向量a＝（4，2），向量b＝（，3），且a//b,則x＝()（A）9(B)6(C)5(D)32006年2007年????????????1????????CD?CA??CB，則??（）5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD?2DB，2112A．B．C．?D．?2009年6.已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?|b|?（）B.C.5D.252010年uuruuruuur（8）△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平方?ACB．若CB?a，CA?b，a?1，b?2，則CD?（）b（B）b（C）b（D）2011年????????1（3）設(shè)向量a、b滿足a?b?1，a?b??,則a?2b?利用向量法解決立體幾何問題基本知識回顧向量平行，垂直的坐標(biāo)表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0直線的方向向量：1.直線的方向向量