2023年中考數(shù)學(xué)知識點總結(jié)第一輪

中考救考總象可壹料

代賴弗今

第一率:實薇

基礎(chǔ)知識點:

一、實數(shù)的分類:

［正整數(shù)〕

整數(shù)

有理數(shù)〔負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)/J數(shù)

實數(shù)'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

.正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一種有理數(shù)總可以寫成K的形式，其中p、q是互質(zhì)H勺整

q

數(shù)，這是有理數(shù)的直要特性。

2、無理數(shù)：初中碰到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如血、/；特

定構(gòu)造的不循環(huán)無限小數(shù)，如1.001……；特定意義的數(shù)，如n、sin450

等。

3、判斷一種實數(shù)的I數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要通過整頓化簡后才

下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾種概念

1、相反數(shù)：只有符號不一樣的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)=a+b=O

2、倒數(shù):

(1)實數(shù)a(a區(qū)0)的倒數(shù)是L；(2)a和b互為倒數(shù)<=>。人=1；(3)

a

注意0沒有倒數(shù)

3、絕對值：

a,4Ao

⑴一種數(shù)a『、J絕對值有如卜三種狀況：同=?0,。=0

-a,aY0

(2)實數(shù)叫絕對值是一-種非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一種實數(shù)的絕對值，就是

數(shù)軸上表達這個數(shù)的點到原點口勺距離。

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性(正、

負(fù))確認(rèn)，再去掉絕對值符號。

4、n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a20,稱土右叫a的平方根，〃'叫a的

算術(shù)平方根。

(2)正數(shù)H勺平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有

平方根。

(3)立方根：叫實數(shù)aH勺立方根。

(4)一種正數(shù)有一種正向立方根；0的立方根是0；一種負(fù)數(shù)有一種負(fù)的

立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、

單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上日勺點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一種點都表達一種實數(shù)，而

每一種實數(shù)都可以月數(shù)軸上的唯一時點來表達。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一

對應(yīng)的關(guān)系。

四、實數(shù)大小時比較

1、在數(shù)軸上表達兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)不小于0；負(fù)數(shù)不不小于0；正數(shù)不小于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)絕對

值大的反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

(1)同號兩數(shù)相加，取本來的符號，并把它們的絕對值相加;

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較

小的絕對值。可使月加法互換律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一種數(shù)等于加上這個數(shù)H勺相反數(shù)。

3、乘法：

（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負(fù)，并把絕對值相乘。

（2）n個實數(shù)相乘，有一種因數(shù)為0,積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘,

積日勺符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)

為奇數(shù)個時，積為負(fù)。

（3）乘法可使用乘法互換律、乘法結(jié)合律、乘法分派律。

4、除法：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

（2）除以一種數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

（3）0除以任何數(shù)都等于（），（）不能做被除數(shù).

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算次序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力n、減

是一級運算，假如沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不一

樣級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號口勺先算括號里的運

算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N>0,則N=aX10"（其中WaVlO,n為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一種近似數(shù)，從左邊第一種不是（）日勺數(shù)，到精確到日勺數(shù)位為

止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精

確到那一位；（2）保留幾種有效數(shù)字。

例題:

例1、己知實數(shù)a、b在數(shù)軸上日勺對應(yīng)點日勺位置如圖所示，且a>打。

化簡：,一心+母—忸—。］

例2、若4=(一()一3,〃=一(()3,C=(?)",比較a、b、c的1大小。

例3、若卜―2|與|人+2|互為相反數(shù)，求a+b日勺值

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m日勺絕對值是1,求

"-cd+m2時值。

tn

例5、計算：(1)8,9WX0.1251994(2)—色-----

22

代裁麻臺

第二*：代敖式

基礎(chǔ)知識點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表達數(shù)的字母連結(jié)而成日勺式子，叫代數(shù)

式。單獨一種數(shù)或者一種字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值替代代數(shù)里的字母，計算后得到的成果叫做代

數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

單項式

整式，

有理多項式

代數(shù)式

分式

無理式

二、整式的有關(guān)概念及運算

1、概念

（1）單項式：像x、7、2/y,這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨

一種數(shù)或字母也是膽項式。

單項式H勺次數(shù)：一種單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次

數(shù)。

單項式口勺系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式口勺系數(shù)。

（2）多項式：兒種單項式的I和叫做多項式。

多項式日勺項：多項式中每?種單項式都叫多項式日勺項。一種多項式具

有幾項，就叫幾項式。

多項式日勺次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高日勺項的次數(shù)，就是這個多項式的

次數(shù)。不含字母時項叫常數(shù)項。

升（降）幕排列：把一種多項式按某一種字母的指數(shù)從小（大）到大

（?。┑拇涡蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）幕排列。

（3）同類項：所含字母相似，并且相似字母時指數(shù)也分別相似的項叫

做同類項。

2、運算

（1）整式附加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得成果作為系數(shù)，字母及字母

日勺指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“十”號去掉，

括號里各項都不變；括號前面是”號，把括號和它前面日勺”號去掉,

括號里時各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號

前面是”號，括到括號里日勺各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，假如碰到括號，先去

括號，再合并同類項。

(2)整式的乘除：

事的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)哥相乘：=〃'"+"；同底數(shù)暴相除：?！ǎ??！ǘ?"一"；

幕的乘方：("")”=心〃積的乘方:(ab)n=anb\

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相似的字母,

用它們的指數(shù)附和作為這個字母日勺指數(shù)；對于只在一種單項式里具有的字

母,則連同它的指數(shù)作為積的一種因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的

積相加。

多項式乘以多項式：先用?種多項式日勺每?項乘以另?種多項式的I每

一項，再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別框除，作為商的因式，對于只

在被除式里具有字母，則連同它日勺指數(shù)作為商的一種因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得

日勺商相加。

乘法公式：

平方差公式：(。+/?)(。一〃)=cJ-b2；

222

完全平方公式：(。+/力2=。2+2"+〃，(a-b)=a-2ah+h

三、因式分解

1、因式分解概念：把一種多項式化成幾種整式的積H勺形式，叫因式分

解。

2、常用的因式分解措施：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：。2一力2=(4+切(〃一切；完全平方公式：

a2±2ab+b2=(d±/?)2

(3)十字相乘法：x1+{ah)x+ah={x+a)(x+h)

(4)分組分解法：將多項式的項合適分組后能提公因式或運用公式分

解。

(5)運用求根公式法：若。V+飯+c=0(。w0)的兩個根是陽、匕

2

則有：ax+bx+c=a(x-x])(x-x2)

3、因式分解日勺一般環(huán)節(jié)：

(1)假如多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法;

(3)對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公

式法。

(4)最終考慮用分組分解法。

四、分式

A

1、分式定義：形如一的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中具

B

有字母。

(1)分式無意義：B=()時，分式無意義；BWO時，分式故意義。

(2)分式的值為0：A=0,BW0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一種分式H勺分子與分母的公因式約去叫做分式的

約分。措施是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一種分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

分式運算日勺最終止昊若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾種異分母時分式分別化成與本來分式相等的同分母分

式口勺過程，叫做分式口勺通分。

（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式日勺最高次第日勺積。

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

（1）4=生”.（/是工0的整式）；（2）

BB,M

2=生絲（加是，0的整式）

BB+M

（3）分式的變號法則：分式的分子，分尾與分式自身的符號，變化其

中任何兩個，分式日勺值不變。

3、分式的運算：

（1）力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母

日勺分式相加減，先把它們通提成同分母日勺分式再相加減。

（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子,

分母乘以分母。

（3）除：除以一種分式等于乘上它口勺倒數(shù)式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ（aNO）叫做二次根式。

（1）最簡二次根式：被開方數(shù)H勺因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)

中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

（2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相似日勺二次艱

式，叫做同類二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的I根號化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把兩個具有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積

不具有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式（常用口勺有理化

因式有：與J3；?；?cJ7與）

2、二次根式的性質(zhì):

a(a>0)

(1)(Vtz)2=a(a>0)；(2)=|f/|=*；(3)

-a(a<0)

y[ab=yfa-4b(a20,b20)；(4)

3、運算:

（1）二次根式日勺加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類

二次根式。

（2）二次根式日勺乘法：4a-4b=4ab（a，0,b20）。

（3）二次根式日勺除法:落日…心0）

二次根式運算的最終止果假如是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-y)+6h2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一種因式都分

解到不能再分解為止，往往需要對分解后日勺每一種因式進行最終日勺市查，

假如還能分解，應(yīng)繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)——5x~—36；(2)(x+y)~—4(x+y)—12

分析：可當(dāng)作是工2和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分

解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］應(yīng)用十字相乘法時，注意某一項可是單項日勺一字母，也可

是某個多項式或整式，有時還需要持續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、丁+2r-x-2

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，

再公式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對多項式合適分組轉(zhuǎn)化成基本措施因式分組，分組H勺目的

是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x2+5x+5

解：略

二、式的運算

巧用公式

例5、計算：(1——1)2—(1+」7)2

a—ba—b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡樸化。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個乘法公式的特性，靈活運用，尤其要掌握公式的

幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式日勺技巧，使運算簡便精確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2-(3x2+5x2)+(4y2+Jxy),其中x二—

1y=1-V2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。

3、分式的計算：

例7、化簡士工+(*-—a-3)

2a-6a-3

a2-9

分析：-。-3可當(dāng)作-----=

解：略

［規(guī)律總結(jié)］分式計算過程中：(1)除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要倒轉(zhuǎn)分子、

分母；(2)注意負(fù)號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式同XT和是同類二次根式，求b時

值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-bo

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容，尤其是二次根式

日勺化簡、求值及性質(zhì)日勺運用是中考的重要考察內(nèi)容。

代拆郵臺

第三*；方程和方程似

基礎(chǔ)知識點：

一、方程有關(guān)概念

I、方程：具有未知數(shù)日勺等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊口勺值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，具

有一種未知數(shù)的方程日勺解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解日勺過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程

H勺增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的原則形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是

己知數(shù)，aWO）

（2）一?玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已

知數(shù)，aWO）

（3）解一元一次方程的一般環(huán)節(jié)：去分母、去括號、移項、合并同類

項和系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一種解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的I一般形式：ax1+bx+c=O（其中x是未知數(shù),

a、b、c是己知數(shù)，aWO）

（2）一元二次方程的解法：直接開平措施、配措施、公式法、因式

分解法

（3）一元二次方程解法日勺選擇次序是：先特殊后一般，假如沒有規(guī)定,

一般不用配措施。

（4）一元二次方程時根日勺鑒別式：△=

當(dāng)△>0時=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當(dāng)A=0時0方程有兩個相等日勺實數(shù)根;

當(dāng)A<0時<=>方程沒有實數(shù)根，無解；

當(dāng)A20時<=>方程有兩個實數(shù)根

（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若內(nèi)，工2是一元二次方程a/+〃X+C=（）的兩個根，那么：

bc

X|+x=——,X[?々=—

2a~a

（6）以兩個數(shù)為,工2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是：

X2-（%1+工2）工+*尤2=0

三、分式方程

（1）定義：分母中具有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程日勺解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊措施：換元法。

（3）檢查措施：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公

分母不為0日勺就是原方程的I根;使得最簡公分母為0時就是原方程日勺增根,

增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)口勺值代入原方程檢查。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程日勺公共解叫做方程組日勺解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解口勺過程叫做解方程組

3、一次方程組：

（1）二元一次方程組：

一人,

一般,形式：《[a,x+b,y=c,（卬，。2，々，①，G，G不全為0）

a2x-^-b2y=c2

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當(dāng)兩個方程相似時有無數(shù)的解。

（2）三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由一種二元一次方程和一種二元二次方程構(gòu)成的方程組以

及由兩個二元二次方程構(gòu)成的）方程組叫做二元二次方程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一

次方程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程:

（l）-（x+3）2=2；（2）2x2+3x=l；（3）4（x+3）2=25（x-2）2

分析：（1）用直接開措施解；（2）用公式法；（3）用因式分解法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］假如一元二次方程形如（1+機）2=H（H>0）,就可以用直接開

措施來解；運用公式法可以解任何一種有解日勺一元二次方程，運用公式法

解一元二次方程時，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

（1）/一。（3無一2。+人）=0（工為未知數(shù)）；（2）x2+2ax-8a2=0

分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因

式分解后可求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用

公式法時要注意判斷△的正負(fù)。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

/、211/、/+26犬.

（2）----7=-----1；⑵------+F----=5

1—xx+1xx+2

分析：（1）用去分母日勺措施；（2）用換元法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，某些具有特殊關(guān)系如：有平

方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等日勺分式方程，可采用換元法來解。

三、根的鑒別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知有關(guān)x的方程：(〃-1)尤2+2*+〃+3=0有兩個相等日勺實數(shù)

根，求p7、J值。

分析：由題意可得A=0,把各系數(shù)代入A=()中就可求出p,但要先化為一

般形式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于根的鑒別式的三種狀況要很純熟，尚有要尤其留心二次項

系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程X?-收工一1二0日勺兩個根，求下列各式的值：

11

(1)〃7“+/?“；(2；—I—

ab

分析：先算出a+b和ab時值，再代入把(1)(2)變形后的式子就可求出

解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把規(guī)定日勺式子變

形成具有兩根之和和兩根之積日勺形式，再代入計算。但要注意檢查一下方

程與否有解。

例6、求作一種一元二次方程，使它的兩個根分別比方程/―工―5=0的

兩個根小3

分析：先出求原方程的兩根之利匹+￡和兩根之積七”2再代入求出

區(qū)-3)+(%-2)和(芭-3)(%-3)的值，所求的方程也就輕易寫出來。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程H勺兩個解，但有時這樣又太復(fù)雜,

用根與系數(shù)日勺關(guān)系就比較簡樸。

三、方程組

例7、解下列方程組:

x+y-2z=1

2x+3y=3

(1)V(2)2x-y-z=5

x-2y=5

x+y+3z=4

分析：(1)用加減消元法消x較簡樸；(2)應(yīng)當(dāng)先用加減消元法消去y,

變成二元一次方程組，較易求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元措施，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最

簡樸就先消那個未知數(shù)。

例8、解下列方程組:

y=li3x2-xy-4y2-3x+4y=0

（1）xy=\2，［x2+y2=25

分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)日勺關(guān)系來求解；（2）要先把

第一種方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別構(gòu)成兩

個方程組來解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于一種二元一次方程和一種二元二次方程構(gòu)成的方程組一般

用代入消元法，對于兩個二元二次方程構(gòu)成的方程組，一定要先把其中一

種方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程構(gòu)成兩個方程組來求

解。

代小部今

第四幸：孫方在（做）解成用敗

知識點：

一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般環(huán)節(jié)

1、審題:

2、設(shè)未知數(shù);

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

4、解方程（組）；

5、檢查，作答；

二、列方程（組）解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問題

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時間

（2）常見的等量關(guān)系：甲的I工作量+乙的工作量二甲、乙合作的工作

總量

（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問

題

2、行程問題

（1）基本量之間的關(guān)系：旅程=速度X時間

（2）常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的旅程+乙走口勺旅程二全旅程

追及問題（設(shè)日速度快）：

同步不一樣地：甲的時間二乙的時間；甲走時旅程-乙走日勺旅程=本來

甲、乙相距旅程

同地不一樣步：甲的時間二乙日勺時間-時間差；甲日勺旅程二乙日勺旅程

3、水中航行問題：

順流速度二船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度;船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=本來的量+增長口勺量；增長的量二本來的

量X(1+增長率)；

5、數(shù)字問題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)二個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的

數(shù)義1()()

三、列方程解應(yīng)用題的常用措施

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成

代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間日勺內(nèi)在聯(lián)絡(luò)找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上口勺線段表達應(yīng)用題中口勺數(shù)量關(guān)系，然后

根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出多種

量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是運用圖表達題中日勺數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的

關(guān)系更為直觀，這種措施能協(xié)助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完畢一項工程，合作5天后，甲組另

有任務(wù)，由乙組再單獨工作1天就可完畢，若單獨完畢這項工程乙組比甲

組多用2天，求甲、乙兩組單獨完畢這項工程各需幾天？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨完畢工程需要x天，則乙組完畢

工程需要(x+2)天，等量關(guān)系是甲組5天日勺工作量+乙組6天的J工作量=工，'乍

總量

解：略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前去90千米外口勺A地，1小時45分后,

因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前去支援，已知乙連比甲連每小時快28千米,

恰好在全程的！處追上甲連。求乙連H勺行進速度及追上甲連H勺時間

3

分析：設(shè)乙連的速度為v千米/小時，追上甲連的時間為I小時，則甲

7

連口勺速度為(v-28)千米/小時,這時乙連行了(f+一)小時,其等量關(guān)系

4

為：甲走日勺旅程二乙走時旅程二30

解：略

例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺支援抗洪，由于

改善了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)日勺臺數(shù)比原計劃多5()%,成果提前2天完畢任

務(wù)，求改善操作技犬后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺？

分析：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺，則改善操作技術(shù)后每天生產(chǎn)

x(1+0.5)臺，等量關(guān)系為：原計劃所用時間-改善技術(shù)后所用時間=2天

解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經(jīng)

營不善，銷售額下降10%,后來經(jīng)加強管理，又使月銷售額上升，到四月

份銷售額增長到96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析。：設(shè)三、四月份平均每月增長率為x%,二月份日勺銷售額為6()

(1-10%)萬元，三月份時銷售額為二月份時(1+x)倍，四月份日勺銷售額

又是三月份的(l+x)倍，因此四月份H勺銷售額為二月份H勺(1+x)2倍，

等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬元。

解：略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%日勺利息

稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息時計算公式為:

稅后利息

=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，

問該儲戶存入了多"本金？

分析：設(shè)存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為

2.25%(l-20%)x元，方程輕易得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40

元，為了擴大銷售，增長盈利，減少庫存，商場決定采用合適時減少成本

措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，假如每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2

件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)當(dāng)降價x元，則每件襯衫的利潤為(40-x)元，

平均每天的銷售量為(20+2x)件，由關(guān)系式：

總利潤二每件H勺利潤X售出商品的叫量，可列出方程

解：略

代裁部臺

第JL*.,系等K4系著W姐

知識點:

一、不等式與天等式的性質(zhì)

1、不等式：表達不等關(guān)系的式子。（表達不等關(guān)系的常用符號：

<,>）o

2、不等式的性質(zhì)：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)，不等號方向不變化，

如a>b,c為實數(shù)=>a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一和正數(shù)，不等號方向不變，如

a>b,c>0=>ac>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一種負(fù)數(shù)，不等號方向變化，如

a>b,c<（）=>ac<bc.

注：在不等式口勺兩邊都乘以（或除以）一種實數(shù)時，一定要養(yǎng)成好的

習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號方向與否

變化，不能像應(yīng)用等式的I性質(zhì)那樣隨便，以防出錯。

3、任意兩個實數(shù)a,bfl勺大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>0<=>a>b

(2)a-b=0<=>a=b

(3)a—bVOOaVb

4、（1）a>b>0<?4a>4b

（2）a>b>（）<z>a2<h2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一種不等式（組）成立的未知數(shù)日勺一種值叫做這個不等式（組）

口勺一種解。

不等式的所有解H勺集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各人不等式日勺解集的公共部分叫做不等式組日勺解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：具有一種未知數(shù)并且含未知數(shù)內(nèi)項的次數(shù)是一次口勺不等式,

叫做一元一次不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要尤其注意當(dāng)不等式日勺兩邊同

乘以（或除以）一種負(fù)數(shù)時，不等號方向要變化。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：具有相似未知數(shù)日勺幾種一元一次不等式所構(gòu)成時不等式組,

叫做一元一次不等式組。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集?般借助數(shù)軸求解較以便。

例題：

措施1：運用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

(1)若a>b,c為實數(shù)，WJac2>be2；

(2)若ac?>be?,則a>b

分析：在(1)中，若c=0,則。。2=乩2；在(2)中，由于”>,,,

因此。CWO,否則應(yīng)有=故a>b

解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式對的變形口勺關(guān)鍵是牢記不等式口勺三條基本性質(zhì),

不等式的兩邊都乘以或除以具有字母的式子時，要對字母進行討論。

措施2：特殊值法

例2、若aVbVO,那么下列各式成立的是()

A、一<一BabVOC、一<1D、一>1

abbb

分析：使用直接解法解答常常費時間，又由于答案在一般狀況下成立,

當(dāng)然特殊狀況也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)aVbVO的條件,可取a=-2,b=-l,代入檢查，易知@>1,

h

因此選D

［規(guī)律總結(jié)］此種措施常用于解選擇題，學(xué)生知識有限，不能直接解答

時使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。

措施3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表達出來。

x—1x—1

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1----->2------

23

分析：解一元一次不等式的環(huán)節(jié)與解一元一次方程類似，重要環(huán)節(jié)有

去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數(shù)化成I,需耍注意日勺是，不

等式的兩邊同步乘以或除以同一種負(fù)數(shù)，不等號要變化方向。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的環(huán)節(jié)類似，但要注

意當(dāng)不等式日勺兩邊都乘以或除以同?種負(fù)數(shù)時，不等號日勺方向必須變化，

類比法解題，使學(xué)生輕易理解新知識和掌握新知識。

措施4：數(shù)形結(jié)合法

2(x+8)(10—4(x—3)

例4、求不等式組：\x+\6K+7日勺非負(fù)整數(shù)解

------------<1

23

分析：規(guī)定一種不等式組時非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求出不等式組的解集,

再從解集中找出其中的非負(fù)整數(shù)解。

解：略

措施5：逆向思索法

例5、己知有關(guān)x的不等式(。-2)x>10-。的解集是x>3,求a的

值。

分析：由于有關(guān)x時不等式的解集為x>3,與原不等式時不等號同向,

因此有a-2>(),即原不等式的解集為匕U匕3=3解此方程求

a-2a-2

出a的值。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知H勺解集，探求成立的條

件，此種類型題都夾用逆向思索法來解。

代薇耶今

第矣幸；善裁4其出俄

知識點:

一、平面直角些標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點且互相垂直口勺兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)H勺點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)日勺關(guān)系。

2、不一樣位置點的坐標(biāo)日勺特性：

(1)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)有如下特性：

點P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限OxVO,y>()；

點P(x,y)在第三象限<=>xV0,y<0；

點P(x,y)在第四象限<=>x>0,y<0o

(2)坐標(biāo)軸上日勺點有如下特性：

點P(x,y)在x軸上Oy為0,x為任意實數(shù)。

點P(x,y)在y軸上Ox為0,y為任意實數(shù)。

3.點P(x,y)坐標(biāo)時幾何意義：

(1)點P(x,y)到x軸的距離是|y|；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是|x|；

(3)點P(x,y)到原點的距離是

4.有關(guān)坐標(biāo)軸、原點對稱的點H勺坐標(biāo)的特性:

(1)點P(a,b)有關(guān)x軸口勺對稱點是P^a-b)；

(2)點P(a,b)有關(guān)x軸日勺對稱點是鳥(一4/?)；

(3)點P(a,b)有關(guān)原點的I對稱點是A(—c/,—b)；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不一樣數(shù)值口勺量叫做變量;

保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y,假如對于

x/、J每一種值，y均有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是xlf、J

函數(shù)。

(1)自變量取值范圍確實是：

①解析式是只具有一種自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體

實數(shù)。

②解析式是只具有一種自變量日勺分式日勺函數(shù)，自變量取值范圍是使分

母不為。的實數(shù)。

③解析式是只具有一種自變量的偶次根式歐I函數(shù)，自變量取值范圍是

使被開方數(shù)非負(fù)時實數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量H勺取值范圍時，假如碰到實際問題，還必

須使實際問題故意義。

(2)函數(shù)值:給自變量在取值范圍內(nèi)的一種值所求得日勺函數(shù)日勺對應(yīng)值。

(3)函數(shù)的表達措施：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般環(huán)節(jié)是：①列表；②描點;

③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

自變量的

解析式圖像性質(zhì)

函數(shù)取值范圍

22

J

正比例y=kx全體

o1

函數(shù)(k#0)實數(shù)

k>>0k<0①當(dāng)k>0時y

隨X的增大而

增大

1

②當(dāng)kV0時y

隨的增大而

22X

減小

J,b>0

y=kx^\,b=0

一次全體

+b

函數(shù)實數(shù)

(k#0)為日。

k:>0k<0b<0

直線位置與k,bH勺關(guān)系:

(1)k>0直線向上日勺方向與x軸日勺正方向所形成的夾角為銳角;

(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角;

(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方；

(4)b=0直線過原點；

(5)bVO直線與y軸交點在x軸的J下方；

2、二次函數(shù)

自變量的

函數(shù)解析式圖像(搪物線)

取值范圍

y

(1)一般式:yua^+bx+cI

(a#0)

體

(2)頂點式:y=a(x-mV+n全

二次

數(shù)

頂點為(m,n)實

函數(shù)

1:IT

(3)兩根式：2a

y=a(x-X])(x-X2)與

X軸兩交點：(X].O)(X2,O)?a>0a<0

-y>0-<o

2a'2,a

拋物線位置與a,b,c日勺關(guān)系:

々>()0開口向上

(1)a決定拋物線的開口方向《

〃<()=開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點/、J位置:

c>0o圖像與y軸交點在x軸上方；c=0。圖像過原點；c<0<=>圖像

與y軸交點在x軸下方;

(3)a,b決定拋物線對稱軸歐J位置：a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；

b=(),對稱軸是y軸；a,b異號。對稱軸在y軸右側(cè);

3、反比例函數(shù):

函數(shù)解析式圖像(雙曲線)性質(zhì)

①k>0時，圖像的兩個分

分別在一、三象限，在每

象限內(nèi)，隨的增大而

反比kx00yX

小；

例y=—X?的

②k<0時，圖像的兩個分

函數(shù)(k#0)實數(shù)

分別在二、四象限，在每

象限內(nèi)，y隨x的增大而

大

k>0

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)H勺對照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k^O)尸K(k于0)

X

圖像直線，經(jīng)過原點雙曲線，與坐標(biāo)軸沒有交點

自變量取值范圍全體實數(shù)的一切實數(shù)

圖像的位置當(dāng)k>Q^匕在一、三象限；當(dāng)A>0時匕在一、三象限；

當(dāng)A<0時匕在二、四象限。當(dāng)A<0時匕在二、四象限。

性質(zhì).當(dāng)A>0時,y隨％增大而增大；當(dāng)A>0時,y隨％增大而減小；

當(dāng)時，y隨力的增大而減小。_當(dāng)A<0時，y隨％增大而增大。

例題:

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都通過點P(m,4),已知點P

到x軸的距離是到y(tǒng)軸日勺距離2倍.

⑴求點P的J坐標(biāo).；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：21ml=4,易求

出點P的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)日勺解析式。

解:略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是xH勺一次

函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的體現(xiàn)式，然后判斷所得成果與否符

合一次函數(shù)定義.

證明：由己知，有y+b=k(x+a),其中kWO.

整頓，得y=kx+：ka—b).①

由于kWO且ka—b是常數(shù)，故y=kx+(ka-b)是x的J一次函數(shù)式.

例3、填空：假如直線方程ax+by+c=O中，a<0,bVO且bcVO,則此

直線通過第象限.

分析:先把ax-by+c=O化為一.由于aVO,b<0,因此

bb

又bcVO,即￡<0,故一￡>0.相稱于在一次函數(shù)y=kx+1

hhhb

中，k=--<0,1=-->0,此直線與y軸的交點(0,一二)在X軸上方.

bbb

且此直線日勺向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，因此此直線過第一、二、

四象限.

k

例4、把反比例函數(shù)y二一與二次函數(shù)y二kx'(kWO)畫在同一種坐標(biāo)系

x

里，對時的是().

答:選(D),這兩個函數(shù)式中勺正、負(fù)號應(yīng)相似(圖13—110).

例5、畫出二次函數(shù)yr?-6x：7的圖象，根據(jù)圖象回答問題:

(1)當(dāng)x=T,1,3時y的值是多少？

(2)當(dāng)y=2時，對應(yīng)口勺x值是多少？

(3)當(dāng)x>3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當(dāng)x時值由3增長1時，對應(yīng)時y值增長多少？

分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，首先用配措施把產(chǎn)X?-6x+7變形

為y=（x-3）2-2,確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，然后列表、

描點、畫圖.

解：圖象略.

彳列6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，假如每小時耗油6升.

（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間I（時）之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（2）畫出函數(shù)的I圖象.

答：（1）QM5-6t.

（2）圖象略.注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范

圍0WtW7.5決定是一條線段，而不是直線.

代冊郵臺

第七*：柘泰初步

知識點：

一、總體和樣太：

在記錄時，我們把所要考察的對象日勺全體叫做總體，其中每一考察對

象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一種樣本，樣本中個

體歐I數(shù)目叫做樣本容量。

二、反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢日勺特性數(shù)

1、平均數(shù)

-1

（1）―,“2，工3,…，％〃的平均數(shù)，X=_（X]+>2+?一+%）

n