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文檔簡介
中考救考總象可壹料
代賴弗今
第一率:實薇
基礎(chǔ)知識點:
一、實數(shù)的分類:
[正整數(shù)〕
整數(shù)
有理數(shù)〔負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)/J數(shù)
實數(shù)'正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
.正無理數(shù)
無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無理數(shù)
1、有理數(shù):任何一種有理數(shù)總可以寫成K的形式,其中p、q是互質(zhì)H勺整
q
數(shù),這是有理數(shù)的直要特性。
2、無理數(shù):初中碰到的無理數(shù)有三種:開不盡的方根,如血、/;特
定構(gòu)造的不循環(huán)無限小數(shù),如1.001……;特定意義的數(shù),如n、sin450
等。
3、判斷一種實數(shù)的I數(shù)性不能僅憑表面上的感覺,往往要通過整頓化簡后才
下結(jié)論。
二、實數(shù)中的幾種概念
1、相反數(shù):只有符號不一樣的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。
(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a;(2)a和b互為相反數(shù)=a+b=O
2、倒數(shù):
(1)實數(shù)a(a區(qū)0)的倒數(shù)是L;(2)a和b互為倒數(shù)<=>。人=1;(3)
a
注意0沒有倒數(shù)
3、絕對值:
a,4Ao
⑴一種數(shù)a『、J絕對值有如卜三種狀況:同=?0,。=0
-a,aY0
(2)實數(shù)叫絕對值是一-種非負(fù)數(shù),從數(shù)軸上看,一種實數(shù)的絕對值,就是
數(shù)軸上表達這個數(shù)的點到原點口勺距離。
(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性(正、
負(fù))確認(rèn),再去掉絕對值符號。
4、n次方根
(1)平方根,算術(shù)平方根:設(shè)a20,稱土右叫a的平方根,〃'叫a的
算術(shù)平方根。
(2)正數(shù)H勺平方根有兩個,它們互為相反數(shù);。的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有
平方根。
(3)立方根:叫實數(shù)aH勺立方根。
(4)一種正數(shù)有一種正向立方根;0的立方根是0;一種負(fù)數(shù)有一種負(fù)的
立方根。
三、實數(shù)與數(shù)軸
1、數(shù)軸:規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、
單位長度是數(shù)軸的三要素。
2、數(shù)軸上日勺點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系:數(shù)軸上的每一種點都表達一種實數(shù),而
每一種實數(shù)都可以月數(shù)軸上的唯一時點來表達。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一
對應(yīng)的關(guān)系。
四、實數(shù)大小時比較
1、在數(shù)軸上表達兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
2、正數(shù)不小于0;負(fù)數(shù)不不小于0;正數(shù)不小于一切負(fù)數(shù);兩個負(fù)數(shù)絕對
值大的反而小。
五、實數(shù)的運算
1、加法:
(1)同號兩數(shù)相加,取本來的符號,并把它們的絕對值相加;
(2)異號兩數(shù)相加,取絕對值大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較
小的絕對值。可使月加法互換律、結(jié)合律。
2、減法:
減去一種數(shù)等于加上這個數(shù)H勺相反數(shù)。
3、乘法:
(1)兩數(shù)相乘,同號取正,異號取負(fù),并把絕對值相乘。
(2)n個實數(shù)相乘,有一種因數(shù)為0,積就為0;若n個非0的實數(shù)相乘,
積日勺符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定,當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時,積為正;當(dāng)負(fù)因數(shù)
為奇數(shù)個時,積為負(fù)。
(3)乘法可使用乘法互換律、乘法結(jié)合律、乘法分派律。
4、除法:
(1)兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相除。
(2)除以一種數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。
(3)0除以任何數(shù)都等于(),()不能做被除數(shù).
5、乘方與開方:乘方與開方互為逆運算。
6、實數(shù)的運算次序:乘方、開方為三級運算,乘、除為二級運算,力n、減
是一級運算,假如沒有括號,在同一級運算中要從左到右依次運算,不一
樣級的運算,先算高級的運算再算低級的運算,有括號口勺先算括號里的運
算。無論何種運算,都要注意先定符號后運算。
六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法
1、科學(xué)記數(shù)法:設(shè)N>0,則N=aX10"(其中WaVlO,n為整數(shù))。
2、有效數(shù)字:一種近似數(shù),從左邊第一種不是()日勺數(shù),到精確到日勺數(shù)位為
止,所有的數(shù)字,叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種:(1)精
確到那一位;(2)保留幾種有效數(shù)字。
例題:
例1、己知實數(shù)a、b在數(shù)軸上日勺對應(yīng)點日勺位置如圖所示,且a>打。
化簡:,一心+母—忸—。]
例2、若4=(一()一3,〃=一(()3,C=(?)",比較a、b、c的1大小。
例3、若卜―2|與|人+2|互為相反數(shù),求a+b日勺值
例4、已知a與b互為相反數(shù),c與d互為倒數(shù),m日勺絕對值是1,求
"-cd+m2時值。
tn
例5、計算:(1)8,9WX0.1251994(2)—色-----
22
代裁麻臺
第二*:代敖式
基礎(chǔ)知識點:
一、代數(shù)式
1、代數(shù)式:用運算符號把數(shù)或表達數(shù)的字母連結(jié)而成日勺式子,叫代數(shù)
式。單獨一種數(shù)或者一種字母也是代數(shù)式。
2、代數(shù)式的值:用數(shù)值替代代數(shù)里的字母,計算后得到的成果叫做代
數(shù)式的值。
3、代數(shù)式的分類:
單項式
整式,
有理多項式
代數(shù)式
分式
無理式
二、整式的有關(guān)概念及運算
1、概念
(1)單項式:像x、7、2/y,這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨
一種數(shù)或字母也是膽項式。
單項式H勺次數(shù):一種單項式中,所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次
數(shù)。
單項式口勺系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式口勺系數(shù)。
(2)多項式:兒種單項式的I和叫做多項式。
多項式日勺項:多項式中每?種單項式都叫多項式日勺項。一種多項式具
有幾項,就叫幾項式。
多項式日勺次數(shù):多項式里,次數(shù)最高日勺項的次數(shù),就是這個多項式的
次數(shù)。不含字母時項叫常數(shù)項。
升(降)幕排列:把一種多項式按某一種字母的指數(shù)從小(大)到大
(?。┑拇涡蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升(降)幕排列。
(3)同類項:所含字母相似,并且相似字母時指數(shù)也分別相似的項叫
做同類項。
2、運算
(1)整式附加減:
合并同類項:把同類項的系數(shù)相加,所得成果作為系數(shù),字母及字母
日勺指數(shù)不變。
去括號法則:括號前面是“+”號,把括號和它前面的“十”號去掉,
括號里各項都不變;括號前面是”號,把括號和它前面日勺”號去掉,
括號里時各項都變號。
添括號法則:括號前面是“+”號,括到括號里的各項都不變;括號
前面是”號,括到括號里日勺各項都變號。
整式的加減實際上就是合并同類項,在運算時,假如碰到括號,先去
括號,再合并同類項。
(2)整式的乘除:
事的運算法則:其中m、n都是正整數(shù)
同底數(shù)哥相乘:=〃'"+";同底數(shù)暴相除:?!ǎ??!ǘ?"一";
幕的乘方:("")”=心〃積的乘方:(ab)n=anb\
單項式乘以單項式:用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù),對于相似的字母,
用它們的指數(shù)附和作為這個字母日勺指數(shù);對于只在一種單項式里具有的字
母,則連同它的指數(shù)作為積的一種因式。
單項式乘以多項式:就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的
積相加。
多項式乘以多項式:先用?種多項式日勺每?項乘以另?種多項式的I每
一項,再把所得的積相加。
單項除單項式:把系數(shù),同底數(shù)幕分別框除,作為商的因式,對于只
在被除式里具有字母,則連同它日勺指數(shù)作為商的一種因式。
多項式除以單項式:把這個多項式的每一項除以這個單項,再把所得
日勺商相加。
乘法公式:
平方差公式:(。+/?)(。一〃)=cJ-b2;
222
完全平方公式:(。+/力2=。2+2"+〃,(a-b)=a-2ah+h
三、因式分解
1、因式分解概念:把一種多項式化成幾種整式的積H勺形式,叫因式分
解。
2、常用的因式分解措施:
(1)提取公因式法:ma+mb+me=m(a+b+c)
(2)運用公式法:
平方差公式:。2一力2=(4+切(〃一切;完全平方公式:
a2±2ab+b2=(d±/?)2
(3)十字相乘法:x1+{ah)x+ah={x+a)(x+h)
(4)分組分解法:將多項式的項合適分組后能提公因式或運用公式分
解。
(5)運用求根公式法:若。V+飯+c=0(。w0)的兩個根是陽、匕
2
則有:ax+bx+c=a(x-x])(x-x2)
3、因式分解日勺一般環(huán)節(jié):
(1)假如多項式的各項有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或無公因式可提,再考慮可否運用公式或十字相乘法;
(3)對二次三項式,應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解,不行的再用求根公
式法。
(4)最終考慮用分組分解法。
四、分式
A
1、分式定義:形如一的式子叫分式,其中A、B是整式,且B中具
B
有字母。
(1)分式無意義:B=()時,分式無意義;BWO時,分式故意義。
(2)分式的值為0:A=0,BW0時,分式的值等于0。
(3)分式的約分:把一種分式H勺分子與分母的公因式約去叫做分式的
約分。措施是把分子、分母因式分解,再約去公因式。
(4)最簡分式:一種分式的分子與分母沒有公因式時,叫做最簡分式。
分式運算日勺最終止昊若是分式,一定要化為最簡分式。
(5)通分:把幾種異分母時分式分別化成與本來分式相等的同分母分
式口勺過程,叫做分式口勺通分。
(6)最簡公分母:各分式的分母所有因式日勺最高次第日勺積。
(7)有理式:整式和分式統(tǒng)稱有理式。
2、分式的基本性質(zhì):
(1)4=生”.(/是工0的整式);(2)
BB,M
2=生絲(加是,0的整式)
BB+M
(3)分式的變號法則:分式的分子,分尾與分式自身的符號,變化其
中任何兩個,分式日勺值不變。
3、分式的運算:
(1)力口、減:同分母的分式相加減,分母不變,分子相加減;異分母
日勺分式相加減,先把它們通提成同分母日勺分式再相加減。
(2)乘:先對各分式的分子、分母因式分解,約分后再分子乘以分子,
分母乘以分母。
(3)除:除以一種分式等于乘上它口勺倒數(shù)式。
(4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念:式子JZ(aNO)叫做二次根式。
(1)最簡二次根式:被開方數(shù)H勺因數(shù)是整數(shù),因式是整式,被開方數(shù)
中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。
(2)同類二次根式:化為最簡二次根式之后,被開方數(shù)相似日勺二次艱
式,叫做同類二次根式。
(3)分母有理化:把分母中的I根號化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:把兩個具有二次根式的代數(shù)式相乘,假如它們的積
不具有二次根式,我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用口勺有理化
因式有:與J3;?;?cJ7與)
2、二次根式的性質(zhì):
a(a>0)
(1)(Vtz)2=a(a>0);(2)=|f/|=*;(3)
-a(a<0)
y[ab=yfa-4b(a20,b20);(4)
3、運算:
(1)二次根式日勺加減:將各二次根式化為最簡二次根式后,合并同類
二次根式。
(2)二次根式日勺乘法:4a-4b=4ab(a,0,b20)。
(3)二次根式日勺除法:落日…心0)
二次根式運算的最終止果假如是根式,要化成最簡二次根式。
例題:
一、因式分解:
1、提公因式法:
例1、24a2(x-y)+6h2(y-x)
分析:先提公因式,后用平方差公式
解:略
[規(guī)律總結(jié)]因式分解本著先提取,后公式等,但應(yīng)把第一種因式都分
解到不能再分解為止,往往需要對分解后日勺每一種因式進行最終日勺市查,
假如還能分解,應(yīng)繼續(xù)分解。
2、十字相乘法:
例2、(1)——5x~—36;(2)(x+y)~—4(x+y)—12
分析:可當(dāng)作是工2和(x+y)的二次三項式,先用十字相乘法,初步分
解。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]應(yīng)用十字相乘法時,注意某一項可是單項日勺一字母,也可
是某個多項式或整式,有時還需要持續(xù)用十字相乘法。
3、分組分解法:
例3、丁+2r-x-2
分析:先分組,第一項和第二項一組,第三、第四項一組,后提取,
再公式。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]對多項式合適分組轉(zhuǎn)化成基本措施因式分組,分組H勺目的
是為了用提公因式,十字相乘法或公式法解題。
4、求根公式法:
例4、x2+5x+5
解:略
二、式的運算
巧用公式
例5、計算:(1——1)2—(1+」7)2
a—ba—b
分析:運用平方差公式因式分解,使分式運算簡樸化。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]抓住三個乘法公式的特性,靈活運用,尤其要掌握公式的
幾種變形,公式的逆用,掌握運用公式日勺技巧,使運算簡便精確。
2、化簡求值:
例6、先化簡,再求值:5x2-(3x2+5x2)+(4y2+Jxy),其中x二—
1y=1-V2
解:略
[規(guī)律總結(jié)]一定要先化到最簡再代入求值,注意去括號的法則。
3、分式的計算:
例7、化簡士工+(*-—a-3)
2a-6a-3
a2-9
分析:-。-3可當(dāng)作-----=
解:略
[規(guī)律總結(jié)]分式計算過程中:(1)除法轉(zhuǎn)化為乘法時,要倒轉(zhuǎn)分子、
分母;(2)注意負(fù)號
4、根式計算
例8、已知最簡二次根式同XT和是同類二次根式,求b時
值。
分析:根據(jù)同類二次根式定義可得:2b+l=7-bo
解:略
[規(guī)律總結(jié)]二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容,尤其是二次根式
日勺化簡、求值及性質(zhì)日勺運用是中考的重要考察內(nèi)容。
代拆郵臺
第三*;方程和方程似
基礎(chǔ)知識點:
一、方程有關(guān)概念
I、方程:具有未知數(shù)日勺等式叫做方程。
2、方程的解:使方程左右兩邊口勺值相等的未知數(shù)的值叫方程的解,具
有一種未知數(shù)的方程日勺解也叫做方程的根。
3、解方程:求方程的解或方判斷方程無解日勺過程叫做解方程。
4、方程的增根:在方程變形時,產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程
H勺增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
(1)一元一次方程的原則形式:ax+b=O(其中x是未知數(shù),a、b是
己知數(shù),aWO)
(2)一?玩一次方程的最簡形式:ax=b(其中x是未知數(shù),a、b是已
知數(shù),aWO)
(3)解一元一次方程的一般環(huán)節(jié):去分母、去括號、移項、合并同類
項和系數(shù)化為1。
(4)一元一次方程有唯一的一種解。
2、一元二次方程
(1)一元二次方程的I一般形式:ax1+bx+c=O(其中x是未知數(shù),
a、b、c是己知數(shù),aWO)
(2)一元二次方程的解法:直接開平措施、配措施、公式法、因式
分解法
(3)一元二次方程解法日勺選擇次序是:先特殊后一般,假如沒有規(guī)定,
一般不用配措施。
(4)一元二次方程時根日勺鑒別式:△=
當(dāng)△>0時=方程有兩個不相等的實數(shù)根;
當(dāng)A=0時0方程有兩個相等日勺實數(shù)根;
當(dāng)A<0時<=>方程沒有實數(shù)根,無解;
當(dāng)A20時<=>方程有兩個實數(shù)根
(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:
若內(nèi),工2是一元二次方程a/+〃X+C=()的兩個根,那么:
bc
X|+x=——,X[?々=—
2a~a
(6)以兩個數(shù)為,工2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是:
X2-(%1+工2)工+*尤2=0
三、分式方程
(1)定義:分母中具有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
(2)分式方程日勺解法:
一般解法:去分母法,方程兩邊都乘以最簡公分母。
特殊措施:換元法。
(3)檢查措施:一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母,使最簡公
分母不為0日勺就是原方程的I根;使得最簡公分母為0時就是原方程日勺增根,
增根必須舍去,也可以把求得的未知數(shù)口勺值代入原方程檢查。
四、方程組
1、方程組的解:方程組中各方程日勺公共解叫做方程組日勺解。
2、解方程組:求方程組的解或判斷方程組無解口勺過程叫做解方程組
3、一次方程組:
(1)二元一次方程組:
一人,
一般,形式:《[a,x+b,y=c,(卬,。2,々,①,G,G不全為0)
a2x-^-b2y=c2
解法:代入消遠(yuǎn)法和加減消元法
解的個數(shù):有唯一的解,或無解,當(dāng)兩個方程相似時有無數(shù)的解。
(2)三元一次方程組:
解法:代入消元法和加減消元法
4、二元二次方程組:
(1)定義:由一種二元一次方程和一種二元二次方程構(gòu)成的方程組以
及由兩個二元二次方程構(gòu)成的)方程組叫做二元二次方程組。
(2)解法:消元,轉(zhuǎn)化為解一元二次方程,或者降次,轉(zhuǎn)化為二元一
次方程組。
考點與命題趨向分析
例題:
一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程:
(l)-(x+3)2=2;(2)2x2+3x=l;(3)4(x+3)2=25(x-2)2
分析:(1)用直接開措施解;(2)用公式法;(3)用因式分解法
解:略
[規(guī)律總結(jié)]假如一元二次方程形如(1+機)2=H(H>0),就可以用直接開
措施來解;運用公式法可以解任何一種有解日勺一元二次方程,運用公式法
解一元二次方程時,一定要把方程化成一般形式。
例2、解下列方程:
(1)/一。(3無一2。+人)=0(工為未知數(shù));(2)x2+2ax-8a2=0
分析:(1)先化為一般形式,再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因
式分解后可求解。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別,在用
公式法時要注意判斷△的正負(fù)。
二、分式方程的解法:
例3、解下列方程:
/、211/、/+26犬.
(2)----7=-----1;⑵------+F----=5
1—xx+1xx+2
分析:(1)用去分母日勺措施;(2)用換元法
解:略
[規(guī)律總結(jié)]一般的分式方程用去分母法來解,某些具有特殊關(guān)系如:有平
方關(guān)系,倒數(shù)關(guān)系等日勺分式方程,可采用換元法來解。
三、根的鑒別式及根與系數(shù)的關(guān)系
例4、已知有關(guān)x的方程:(〃-1)尤2+2*+〃+3=0有兩個相等日勺實數(shù)
根,求p7、J值。
分析:由題意可得A=0,把各系數(shù)代入A=()中就可求出p,但要先化為一
般形式。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]對于根的鑒別式的三種狀況要很純熟,尚有要尤其留心二次項
系數(shù)不能為0
例5、已知a、b是方程X?-收工一1二0日勺兩個根,求下列各式的值:
11
(1)〃7“+/?“;(2;—I—
ab
分析:先算出a+b和ab時值,再代入把(1)(2)變形后的式子就可求出
解。
[規(guī)律總結(jié)]此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積,再把規(guī)定日勺式子變
形成具有兩根之和和兩根之積日勺形式,再代入計算。但要注意檢查一下方
程與否有解。
例6、求作一種一元二次方程,使它的兩個根分別比方程/―工―5=0的
兩個根小3
分析:先出求原方程的兩根之利匹+£和兩根之積七”2再代入求出
區(qū)-3)+(%-2)和(芭-3)(%-3)的值,所求的方程也就輕易寫出來。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]此類題目可以先解出第一方程H勺兩個解,但有時這樣又太復(fù)雜,
用根與系數(shù)日勺關(guān)系就比較簡樸。
三、方程組
例7、解下列方程組:
x+y-2z=1
2x+3y=3
(1)V(2)2x-y-z=5
x-2y=5
x+y+3z=4
分析:(1)用加減消元法消x較簡樸;(2)應(yīng)當(dāng)先用加減消元法消去y,
變成二元一次方程組,較易求解。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]加減消元法是最常用的消元措施,消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最
簡樸就先消那個未知數(shù)。
例8、解下列方程組:
y=li3x2-xy-4y2-3x+4y=0
(1)xy=\2,[x2+y2=25
分析:(1)可用代入消遠(yuǎn)法,也可用根與系數(shù)日勺關(guān)系來求解;(2)要先把
第一種方程因式分解化成兩個二元一次方程,再與第二個方程分別構(gòu)成兩
個方程組來解。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]對于一種二元一次方程和一種二元二次方程構(gòu)成的方程組一般
用代入消元法,對于兩個二元二次方程構(gòu)成的方程組,一定要先把其中一
種方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程構(gòu)成兩個方程組來求
解。
代小部今
第四幸:孫方在(做)解成用敗
知識點:
一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般環(huán)節(jié)
1、審題:
2、設(shè)未知數(shù);
3、找出相等關(guān)系,列方程(組);
4、解方程(組);
5、檢查,作答;
二、列方程(組)解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系;
1、工程問題
(1)基本工作量的關(guān)系:工作量=工作效率X工作時間
(2)常見的等量關(guān)系:甲的I工作量+乙的工作量二甲、乙合作的工作
總量
(3)注意:工程問題常把總工程看作“1”,水池注水問題屬于工程問
題
2、行程問題
(1)基本量之間的關(guān)系:旅程=速度X時間
(2)常見等量關(guān)系:
相遇問題:甲走的旅程+乙走口勺旅程二全旅程
追及問題(設(shè)日速度快):
同步不一樣地:甲的時間二乙的時間;甲走時旅程-乙走日勺旅程=本來
甲、乙相距旅程
同地不一樣步:甲的時間二乙日勺時間-時間差;甲日勺旅程二乙日勺旅程
3、水中航行問題:
順流速度二船在靜水中的速度+水流速度;
逆流速度;船在靜水中的速度-水流速度
4、增長率問題:
常見等量關(guān)系:增長后的量=本來的量+增長口勺量;增長的量二本來的
量X(1+增長率);
5、數(shù)字問題:
基本量之間的關(guān)系:三位數(shù)二個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的
數(shù)義1()()
三、列方程解應(yīng)用題的常用措施
1、譯式法:就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成
代數(shù)式,然后根據(jù)代數(shù)之間日勺內(nèi)在聯(lián)絡(luò)找出等量關(guān)系。
2、線示法:就是用同一直線上口勺線段表達應(yīng)用題中口勺數(shù)量關(guān)系,然后
根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)絡(luò),找出等量關(guān)系。
3、列表法:就是把已知條件和所求的未知量納入表格,從而找出多種
量之間的關(guān)系。
4、圖示法:就是運用圖表達題中日勺數(shù)量關(guān)系,它可以使量與量之間的
關(guān)系更為直觀,這種措施能協(xié)助我們更好地理解題意。
例題:
例1、甲、乙兩組工人合作完畢一項工程,合作5天后,甲組另
有任務(wù),由乙組再單獨工作1天就可完畢,若單獨完畢這項工程乙組比甲
組多用2天,求甲、乙兩組單獨完畢這項工程各需幾天?
分析:設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨完畢工程需要x天,則乙組完畢
工程需要(x+2)天,等量關(guān)系是甲組5天日勺工作量+乙組6天的J工作量=工,'乍
總量
解:略
例2、某部隊奉命派甲連跑步前去90千米外口勺A地,1小時45分后,
因任務(wù)需要,又增派乙連乘車前去支援,已知乙連比甲連每小時快28千米,
恰好在全程的!處追上甲連。求乙連H勺行進速度及追上甲連H勺時間
3
分析:設(shè)乙連的速度為v千米/小時,追上甲連的時間為I小時,則甲
7
連口勺速度為(v-28)千米/小時,這時乙連行了(f+一)小時,其等量關(guān)系
4
為:甲走日勺旅程二乙走時旅程二30
解:略
例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺支援抗洪,由于
改善了操作技術(shù);每天生產(chǎn)日勺臺數(shù)比原計劃多5()%,成果提前2天完畢任
務(wù),求改善操作技犬后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺?
分析:設(shè)原計劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺,則改善操作技術(shù)后每天生產(chǎn)
x(1+0.5)臺,等量關(guān)系為:原計劃所用時間-改善技術(shù)后所用時間=2天
解:略
例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元,二月份由于種種原因,經(jīng)
營不善,銷售額下降10%,后來經(jīng)加強管理,又使月銷售額上升,到四月
份銷售額增長到96萬元,求三、四月份平均每月增長的百分率是多少?
分析。:設(shè)三、四月份平均每月增長率為x%,二月份日勺銷售額為6()
(1-10%)萬元,三月份時銷售額為二月份時(1+x)倍,四月份日勺銷售額
又是三月份的(l+x)倍,因此四月份H勺銷售額為二月份H勺(1+x)2倍,
等量關(guān)系為:四月份銷售額為=96萬元。
解:略
例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%日勺利息
稅,例如存入一年期100元,到期儲戶納稅后所得到利息時計算公式為:
稅后利息
=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)
已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元,
問該儲戶存入了多"本金?
分析:設(shè)存入x元本金,則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為
2.25%(l-20%)x元,方程輕易得出。
例6、某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天售出20件,每件盈利40
元,為了擴大銷售,增長盈利,減少庫存,商場決定采用合適時減少成本
措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),假如每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2
件。若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?
分析:設(shè)每件襯衫應(yīng)當(dāng)降價x元,則每件襯衫的利潤為(40-x)元,
平均每天的銷售量為(20+2x)件,由關(guān)系式:
總利潤二每件H勺利潤X售出商品的叫量,可列出方程
解:略
代裁部臺
第JL*.,系等K4系著W姐
知識點:
一、不等式與天等式的性質(zhì)
1、不等式:表達不等關(guān)系的式子。(表達不等關(guān)系的常用符號:
<,>)o
2、不等式的性質(zhì):
(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一種數(shù),不等號方向不變化,
如a>b,c為實數(shù)=>a+c>b+c
(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一和正數(shù),不等號方向不變,如
a>b,c>0=>ac>bco
(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一種負(fù)數(shù),不等號方向變化,如
a>b,c<()=>ac<bc.
注:在不等式口勺兩邊都乘以(或除以)一種實數(shù)時,一定要養(yǎng)成好的
習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性(正數(shù),零,負(fù)數(shù))再確定不等號方向與否
變化,不能像應(yīng)用等式的I性質(zhì)那樣隨便,以防出錯。
3、任意兩個實數(shù)a,bfl勺大小關(guān)系(三種):
(1)a-b>0<=>a>b
(2)a-b=0<=>a=b
(3)a—bVOOaVb
4、(1)a>b>0<?4a>4b
(2)a>b>()<z>a2<h2
二、不等式(組)的解、解集、解不等式
1、能使一種不等式(組)成立的未知數(shù)日勺一種值叫做這個不等式(組)
口勺一種解。
不等式的所有解H勺集合,叫做這個不等式的解集。
不等式組中各人不等式日勺解集的公共部分叫做不等式組日勺解集。
2.求不等式(組)的解集的過程叫做解不等式(組)。
三、不等式(組)的類型及解法
1、一元一次不等式:
(1)概念:具有一種未知數(shù)并且含未知數(shù)內(nèi)項的次數(shù)是一次口勺不等式,
叫做一元一次不等式。
(2)解法:與解一元一次方程類似,但要尤其注意當(dāng)不等式日勺兩邊同
乘以(或除以)一種負(fù)數(shù)時,不等號方向要變化。
2、一元一次不等式組:
(1)概念:具有相似未知數(shù)日勺幾種一元一次不等式所構(gòu)成時不等式組,
叫做一元一次不等式組。
(2)解法:先求出各不等式的解集,再確定解集的公共部分。
注:求不等式組的解集?般借助數(shù)軸求解較以便。
例題:
措施1:運用不等式的基本性質(zhì)
1、判斷正誤:
(1)若a>b,c為實數(shù),WJac2>be2;
(2)若ac?>be?,則a>b
分析:在(1)中,若c=0,則。。2=乩2;在(2)中,由于”>,,,
因此。CWO,否則應(yīng)有=故a>b
解:略
[規(guī)律總結(jié)]將不等式對的變形口勺關(guān)鍵是牢記不等式口勺三條基本性質(zhì),
不等式的兩邊都乘以或除以具有字母的式子時,要對字母進行討論。
措施2:特殊值法
例2、若aVbVO,那么下列各式成立的是()
A、一<一BabVOC、一<1D、一>1
abbb
分析:使用直接解法解答常常費時間,又由于答案在一般狀況下成立,
當(dāng)然特殊狀況也成立,因此采用特殊值法。
解:根據(jù)aVbVO的條件,可取a=-2,b=-l,代入檢查,易知@>1,
h
因此選D
[規(guī)律總結(jié)]此種措施常用于解選擇題,學(xué)生知識有限,不能直接解答
時使用特殊值法,既快,又能找到符合條件的答案。
措施3:類比法
例3、解下列一元一次不等式,并把解集在數(shù)軸上表達出來。
x—1x—1
(1)8-2(x+2)<4x-2;(2)1----->2------
23
分析:解一元一次不等式的環(huán)節(jié)與解一元一次方程類似,重要環(huán)節(jié)有
去分母,去括號、移項、合并同類項,把系數(shù)化成I,需耍注意日勺是,不
等式的兩邊同步乘以或除以同一種負(fù)數(shù),不等號要變化方向。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]解一元一次不等式與解一元一次方程的環(huán)節(jié)類似,但要注
意當(dāng)不等式日勺兩邊都乘以或除以同?種負(fù)數(shù)時,不等號日勺方向必須變化,
類比法解題,使學(xué)生輕易理解新知識和掌握新知識。
措施4:數(shù)形結(jié)合法
2(x+8)(10—4(x—3)
例4、求不等式組:\x+\6K+7日勺非負(fù)整數(shù)解
------------<1
23
分析:規(guī)定一種不等式組時非負(fù)整數(shù)解,就應(yīng)先求出不等式組的解集,
再從解集中找出其中的非負(fù)整數(shù)解。
解:略
措施5:逆向思索法
例5、己知有關(guān)x的不等式(。-2)x>10-。的解集是x>3,求a的
值。
分析:由于有關(guān)x時不等式的解集為x>3,與原不等式時不等號同向,
因此有a-2>(),即原不等式的解集為匕U匕3=3解此方程求
a-2a-2
出a的值。
解:略
[規(guī)律總結(jié)]此題先解字母不等式,后著眼已知H勺解集,探求成立的條
件,此種類型題都夾用逆向思索法來解。
代薇耶今
第矣幸;善裁4其出俄
知識點:
一、平面直角些標(biāo)系
1、平面內(nèi)有公共原點且互相垂直口勺兩條數(shù)軸,構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)H勺點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)日勺關(guān)系。
2、不一樣位置點的坐標(biāo)日勺特性:
(1)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)有如下特性:
點P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0;
點P(x,y)在第二象限OxVO,y>();
點P(x,y)在第三象限<=>xV0,y<0;
點P(x,y)在第四象限<=>x>0,y<0o
(2)坐標(biāo)軸上日勺點有如下特性:
點P(x,y)在x軸上Oy為0,x為任意實數(shù)。
點P(x,y)在y軸上Ox為0,y為任意實數(shù)。
3.點P(x,y)坐標(biāo)時幾何意義:
(1)點P(x,y)到x軸的距離是|y|;
(2)點P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是|x|;
(3)點P(x,y)到原點的距離是
4.有關(guān)坐標(biāo)軸、原點對稱的點H勺坐標(biāo)的特性:
(1)點P(a,b)有關(guān)x軸口勺對稱點是P^a-b);
(2)點P(a,b)有關(guān)x軸日勺對稱點是鳥(一4/?);
(3)點P(a,b)有關(guān)原點的I對稱點是A(—c/,—b);
二、函數(shù)的概念
1、常量和變量:在某一變化過程中可以取不一樣數(shù)值口勺量叫做變量;
保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量。
2、函數(shù):一般地,設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y,假如對于
x/、J每一種值,y均有唯一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是xlf、J
函數(shù)。
(1)自變量取值范圍確實是:
①解析式是只具有一種自變量的整式的函數(shù),自變量取值范圍是全體
實數(shù)。
②解析式是只具有一種自變量日勺分式日勺函數(shù),自變量取值范圍是使分
母不為。的實數(shù)。
③解析式是只具有一種自變量的偶次根式歐I函數(shù),自變量取值范圍是
使被開方數(shù)非負(fù)時實數(shù)。
注意:在確定函數(shù)中自變量H勺取值范圍時,假如碰到實際問題,還必
須使實際問題故意義。
(2)函數(shù)值:給自變量在取值范圍內(nèi)的一種值所求得日勺函數(shù)日勺對應(yīng)值。
(3)函數(shù)的表達措施:①解析法;②列表法;③圖像法
(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像,一般環(huán)節(jié)是:①列表;②描點;
③連線
三、幾種特殊的函數(shù)
1、一次函數(shù)
自變量的
解析式圖像性質(zhì)
函數(shù)取值范圍
22
J
正比例y=kx全體
o1
函數(shù)(k#0)實數(shù)
k>>0k<0①當(dāng)k>0時y
隨X的增大而
增大
1
②當(dāng)kV0時y
隨的增大而
22X
減小
J,b>0
y=kx^\,b=0
一次全體
+b
函數(shù)實數(shù)
(k#0)為日。
k:>0k<0b<0
直線位置與k,bH勺關(guān)系:
(1)k>0直線向上日勺方向與x軸日勺正方向所形成的夾角為銳角;
(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角;
(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方;
(4)b=0直線過原點;
(5)bVO直線與y軸交點在x軸的J下方;
2、二次函數(shù)
自變量的
函數(shù)解析式圖像(搪物線)
取值范圍
y
(1)一般式:yua^+bx+cI
(a#0)
體
(2)頂點式:y=a(x-mV+n全
二次
數(shù)
頂點為(m,n)實
函數(shù)
1:IT
(3)兩根式:2a
y=a(x-X])(x-X2)與
X軸兩交點:(X].O)(X2,O)?a>0a<0
-y>0-<o
2a'2,a
拋物線位置與a,b,c日勺關(guān)系:
々>()0開口向上
(1)a決定拋物線的開口方向《
〃<()=開口向下
(2)c決定拋物線與y軸交點/、J位置:
c>0o圖像與y軸交點在x軸上方;c=0。圖像過原點;c<0<=>圖像
與y軸交點在x軸下方;
(3)a,b決定拋物線對稱軸歐J位置:a,b同號,對稱軸在y軸左側(cè);
b=(),對稱軸是y軸;a,b異號。對稱軸在y軸右側(cè);
3、反比例函數(shù):
函數(shù)解析式圖像(雙曲線)性質(zhì)
①k>0時,圖像的兩個分
分別在一、三象限,在每
象限內(nèi),隨的增大而
反比kx00yX
小;
例y=—X?的
②k<0時,圖像的兩個分
函數(shù)(k#0)實數(shù)
分別在二、四象限,在每
象限內(nèi),y隨x的增大而
大
k>0
4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)H勺對照表:
函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)
解析式y(tǒng)=kx(k^O)尸K(k于0)
X
圖像直線,經(jīng)過原點雙曲線,與坐標(biāo)軸沒有交點
自變量取值范圍全體實數(shù)的一切實數(shù)
圖像的位置當(dāng)k>Q^匕在一、三象限;當(dāng)A>0時匕在一、三象限;
當(dāng)A<0時匕在二、四象限。當(dāng)A<0時匕在二、四象限。
性質(zhì).當(dāng)A>0時,y隨%增大而增大;當(dāng)A>0時,y隨%增大而減小;
當(dāng)時,y隨力的增大而減小。_當(dāng)A<0時,y隨%增大而增大。
例題:
例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都通過點P(m,4),已知點P
到x軸的距離是到y(tǒng)軸日勺距離2倍.
⑴求點P的J坐標(biāo).;
⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。
分析:由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知:21ml=4,易求
出點P的坐標(biāo),再運用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)日勺解析式。
解:略
例2、已知a,b是常數(shù),且y+b與x+a成正比例.求證:y是xH勺一次
函數(shù).
分析:應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的體現(xiàn)式,然后判斷所得成果與否符
合一次函數(shù)定義.
證明:由己知,有y+b=k(x+a),其中kWO.
整頓,得y=kx+:ka—b).①
由于kWO且ka—b是常數(shù),故y=kx+(ka-b)是x的J一次函數(shù)式.
例3、填空:假如直線方程ax+by+c=O中,a<0,bVO且bcVO,則此
直線通過第象限.
分析:先把ax-by+c=O化為一.由于aVO,b<0,因此
bb
又bcVO,即£<0,故一£>0.相稱于在一次函數(shù)y=kx+1
hhhb
中,k=--<0,1=-->0,此直線與y軸的交點(0,一二)在X軸上方.
bbb
且此直線日勺向上方向與x軸正方向所成角是鈍角,因此此直線過第一、二、
四象限.
k
例4、把反比例函數(shù)y二一與二次函數(shù)y二kx'(kWO)畫在同一種坐標(biāo)系
x
里,對時的是().
答:選(D),這兩個函數(shù)式中勺正、負(fù)號應(yīng)相似(圖13—110).
例5、畫出二次函數(shù)yr?-6x:7的圖象,根據(jù)圖象回答問題:
(1)當(dāng)x=T,1,3時y的值是多少?
(2)當(dāng)y=2時,對應(yīng)口勺x值是多少?
(3)當(dāng)x>3時,隨x值的增大y的值怎樣變化?
(4)當(dāng)x時值由3增長1時,對應(yīng)時y值增長多少?
分析:要畫出這個二次函數(shù)的圖象,首先用配措施把產(chǎn)X?-6x+7變形
為y=(x-3)2-2,確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo),然后列表、
描點、畫圖.
解:圖象略.
彳列6、拖拉機開始工作時,油箱有油45升,假如每小時耗油6升.
(1)求油箱中的余油量Q(升)與工作時間I(時)之間的函數(shù)關(guān)系
式;
(2)畫出函數(shù)的I圖象.
答:(1)QM5-6t.
(2)圖象略.注意:這是實際問題,圖象只能由自變量t的取值范
圍0WtW7.5決定是一條線段,而不是直線.
代冊郵臺
第七*:柘泰初步
知識點:
一、總體和樣太:
在記錄時,我們把所要考察的對象日勺全體叫做總體,其中每一考察對
象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一種樣本,樣本中個
體歐I數(shù)目叫做樣本容量。
二、反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢日勺特性數(shù)
1、平均數(shù)
-1
(1)―,“2,工3,…,%〃的平均數(shù),X=_(X]+>2+?一+%)
n
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