2024年安徽宣城寧國中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年安徽省宣城市寧國中學(xué)數(shù)學(xué)自主招生（試題卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．下列因式分解正確的是（

）A．； B．；C．； D．；2．若關(guān)于的不等式組的解集中的任意的值，都能使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．如圖，已知中，為的平分線，，，，則的值為（

）A． B．2 C． D．14．定義：表示這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)的最小數(shù)．例如：，．如果，則x的值為（

）A．2或 B．1或 C．2或 D．1或5．如圖，中，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，，則的值可能為（

）A． B． C． D．6．如圖，直線與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，則點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為（

）A． B． C． D．二、填空題7．黃山景色絕美，景觀奇特．“五一”假期，黃山風(fēng)景區(qū)進(jìn)山游客近13萬人，黃山景區(qū)門票旺季190元/人，以此計(jì)算，“五一”假期黃山景區(qū)進(jìn)山門票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示為．8．若，則的值為．9．定義：對(duì)于函數(shù)，隨的增大而增大，且，，．若，則的最大值為．10．已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且過點(diǎn)，若其與直線交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于P、Q兩點(diǎn)，則值為．三、解答題11．（1）若，求；（2）先化簡再求值：，其中．12．請(qǐng)按以下要求完成尺規(guī)作圖．(1)如圖1，菱形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，請(qǐng)作出一對(duì)以所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，使交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．你有幾種解法？請(qǐng)?jiān)谙聢D中完成；（保留必要作圖痕跡，不寫作法）(2)如圖2，點(diǎn)是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，請(qǐng)作出一條過點(diǎn)的直線，交射線，射線于點(diǎn)，且，聰明的你肯定有多種不同作法？請(qǐng)?jiān)谙聢D中完成兩種作法，并選擇其中一種證明：．（保留必要作圖痕跡，不寫作法）13．如圖，直角三角形中，以直角邊為直徑作圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)求；(3)若，求圓的面積．14．已知四邊形，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，連接．(1)若四邊形為正方形，點(diǎn)M在上，且．請(qǐng)判斷之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若四邊形為菱形呢？，其他條件與（1）同，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？并說明理由；(3)若四邊形為正方形，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)于，此時(shí)的最小值為多少？的最小值呢？并說明理由．15．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)分別為點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交點(diǎn)為，一次函數(shù)與軸所形成的夾角的正切值為，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)及該平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若與面積相等，求直線的解析式．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2024年安徽省宣城市寧國中學(xué)數(shù)學(xué)自主招生（試題卷）》參考答案題號(hào)123456答案CDABAD1．C【分析】本題考查了因式分解的判定，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用提公因式法，公式法分解因式進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：A、，原選項(xiàng)不符合題意；B、，原選項(xiàng)不符合題意；C、，正確，符合題意；D、，不是因式分解，不符合題意；故選：C．2．D【分析】本題考查了不等式組求解集，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組解集的取值方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，再解不等式組得到或，分類討論：當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為；由此即可求解．【詳解】解：，∴，，解①得，解②得，，當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為，∵，∴，解得，；當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為，∵，∴，解得，；∴，故選：D．3．A【分析】在取一點(diǎn)，使，連接，利用勾股定理的聯(lián)系定理先判定三是直角三角形，再利用判定三角形全等得到，進(jìn)而得到，，再利用勾股定理求出，進(jìn)而求得的長度．【詳解】解：在取一點(diǎn)，使，連接．，，，，，，是直角三角形，．為的平分線，．在和中，，，，是直角三角形．，，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，作出輔助線構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．4．B【分析】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，分類討論列方程，即可解答，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．結(jié)合題意，分為最大數(shù)，為最大數(shù)，為最大數(shù)三種情況，分別求解即可．【詳解】解：由可得，三個(gè)數(shù)中，最小數(shù)和中位數(shù)相等，當(dāng)為最大數(shù)時(shí)，可得，解得，此時(shí)，，符合題意；當(dāng)為最大數(shù)時(shí)，可得，解得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)為最大數(shù)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合前提條件，當(dāng)時(shí)，，不符合前提條件，綜上，x的值為1或．故選：B．5．A【分析】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過作于，，，，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，，然后由角所對(duì)直角邊是斜邊的一半得，設(shè)，則，則根據(jù)勾股定理可得，又，故有，然后得到，從而求解．【詳解】解：∵中，，，∴將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過作于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，∴，，∴，∴，∴設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，即，∴，選項(xiàng)符合題意，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】過作于，過作軸于，過作延長線于，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，證明，設(shè)，由點(diǎn)和點(diǎn)，則，，求得，可得，進(jìn)而求得直線的解析式為，聯(lián)立，然后求出，再通過即可求解．【詳解】解：過作于，過作軸于，過作延長線于，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，∵直線與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，∴，，解得：，，∴直線解析式為，反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，∵點(diǎn)和點(diǎn)，∴，，∵，∴，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴，令，則，∴，∴，聯(lián)立，解得：或，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的運(yùn)用，正確確定的值是解題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，確定值的方法：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，把原數(shù)變?yōu)闀r(shí)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)位數(shù)即為的值；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，把原數(shù)變?yōu)闀r(shí)，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)位數(shù)的相反數(shù)即為的值，由此即可求解．【詳解】解：黃山風(fēng)景區(qū)進(jìn)山游客近13萬人，黃山景區(qū)門票旺季190元/人，∴，故答案為：．8．【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式的加減，掌握這些知識(shí)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．由，則，即，然后兩式相減得出，最后討論即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：．9．1【分析】本題考查了新定義，不等式的性質(zhì)，配方法求最值的計(jì)算，理解新定義運(yùn)算，掌握不等式的性質(zhì)，配方法求最值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，，則，，由此得到當(dāng)時(shí)，有最大值，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：已知，∴，∴，∵，∴，，∴，解得，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴，故答案為：1．10．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再分別聯(lián)立拋物線與一次函數(shù)的解析式，解出A，B，P，Q的坐標(biāo)，然后再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出，的，最后代入求解即可．【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴二次函數(shù)為又∵且過點(diǎn)∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：聯(lián)立，解得：或，∴A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴聯(lián)立解得：或，∴P．Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，∴，故答案為：11．（1）；（2），【分析】本題考查了解二元一次方程組，分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值；（1）先根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，再代入求值即可；（2）先化簡分式，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出m，再代入求值即可．【詳解】（1）解：，由得，解得：，把代入得，解得：，方程組的解為：，，；（2）解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．12．(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法作圖即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法作圖即可．【詳解】（1）解：如圖所示，以點(diǎn)為圓心，以大于，小于的長為半徑畫弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∵四邊形是菱形，∴，且，∴，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；如圖所示，連接并延長，分別交于點(diǎn)，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；（2）解：方法一，如圖所示，連接交于點(diǎn)；連接并延長交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)；連接，以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)；連接，并向兩邊延伸，交于點(diǎn)，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；方法二，如圖所示，連接，以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接；以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧交于點(diǎn)；連接并向兩邊延時(shí)交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，且，∴，即，∴是的垂直平分線，∴，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）的運(yùn)用，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，可證，，得到，，由為的中點(diǎn)，即，得到即可求解；（2）連接，設(shè)，，可證明，則，而，由，得到，，則在中，由勾股定理得，解得：，那么由即可求解；（3）連接，由直角三角形性質(zhì)得到，則，求出，即可求解面積．【詳解】（1）證明：∵根據(jù)題意，是直角三角形，，以直角邊為直徑作圓，，∴，∴，，∴，，∴，∵為的中點(diǎn)，即，∴；（2）解：連接，設(shè)，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∵，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，，，解得：，∴；（3）解：連接，∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，∴由上得：，∴，∴圓的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，難度較大，正確合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14．(1)，理由見解析(2)不成立，理由見解析(3)最小值為，的最小值為【分析】（1）由勾股定理得，則，證明即可求證；（2）先證明為等邊三角形，則，那么同上可證明：，即可得到；（3）①在上截取，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)，可證明，然后確定軌跡為射線，那么當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q由于點(diǎn)V重合，即最小值為，則；②延長，可得，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在射線上，連接，則，，那么，故當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為，再由勾股定理即可求．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖：連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：不成立，理由如下，連接∵四邊形是菱形，∴，∴為等邊三角形，∴，同上可證明：∴；（3）解：①在上截取，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)∵四邊形是正方形，∴∴，由旋轉(zhuǎn)得：，∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴軌跡為射線，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q由于點(diǎn)V重合，即最小值為，∴，∴最小值為；②延長，∵，，∴，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在射線上，連接，則，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為，∵，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．(1)；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平行四邊形的面積為(3)或【分析】（1）如圖，設(shè)一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為F，與軸交點(diǎn)為E，利用正切的定義得到，，求出，求出k的值，再根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用判別式得到關(guān)于a的方程求解即可；（2）存在，先求出的坐標(biāo)，畫出示意圖，結(jié)合點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸上，得到為四邊形的對(duì)角線，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（3）先求出平移后的拋物線解析式，利用與面積相等，設(shè)，過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，進(jìn)而得到，再分和兩種情況討論，解方程即可．【詳解】（1）解：將代入，則，∴一次函數(shù)圖象過點(diǎn)，∵，∴一次函數(shù)圖象過一、二、三象限，如圖，設(shè)一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為F，與軸交點(diǎn)為E，則，∴，令，解得，∴，則，一次函數(shù)與軸所形成的夾角的正切值為，∴，∴，，一次函數(shù)的解析式為；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，整理得：，，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：存在，理由如下：解方程：，可得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示，點(diǎn)、都在對(duì)稱軸上，是平行四邊形的對(duì)角線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，四邊形是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，；（3）解：把拋物線將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單