2025年高中物理新教材同步 必修第三冊(cè) 第10章　3　電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

3電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.知道電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系式，了解其適用條件(重點(diǎn))。2.會(huì)用關(guān)系式U＝Ed處理勻強(qiáng)電場(chǎng)問(wèn)題，利用公式E＝eq\f(U,d)定性分析非勻強(qiáng)電場(chǎng)(重點(diǎn))。一、勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系如圖甲所示，在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，A、B是相距為d且沿電場(chǎng)方向上的兩點(diǎn)，其電勢(shì)差為UAB，現(xiàn)將一個(gè)電荷量為q的電荷由A移到B。甲(1)從力和位移的角度計(jì)算靜電力所做的功；(2)通過(guò)A、B間的電勢(shì)差計(jì)算靜電力所做的功；(3)比較兩次計(jì)算功的大小并總結(jié)電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系；(4)如果A、B兩點(diǎn)不在同一條電場(chǎng)線(xiàn)上(如圖乙)，上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)嘗試進(jìn)行論證。乙答案(1)WAB＝Fd＝qEd；(2)WAB＝qUAB；(3)兩次計(jì)算功的大小相等，UAB＝Ed；(4)WAB＝Flcosθ＝Fd＝qEd，WAB＝qUAB，UAB＝Ed。故仍成立。1．勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于電場(chǎng)強(qiáng)度與這兩點(diǎn)沿電場(chǎng)方向的距離的乘積，即UAB＝Ed，如果勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩點(diǎn)連線(xiàn)不沿電場(chǎng)方向，d的取值應(yīng)為在電場(chǎng)方向的投影距離。2．公式：E＝eq\f(UAB,d)。(1)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與兩點(diǎn)沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向的距離之比。(2)電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于沿電場(chǎng)方向單位距離上降低的電勢(shì)。(3)電場(chǎng)強(qiáng)度單位的換算：1_V/m＝1N/C。如圖，圖中虛線(xiàn)為等勢(shì)線(xiàn)，B、C、D三點(diǎn)位于同一等勢(shì)線(xiàn)上。(1)比較A與B、A與C、A與D間電勢(shì)差的大小；(2)電勢(shì)沿AB、AC、AD三條線(xiàn)，哪一個(gè)方向降落最快？由此說(shuō)明什么？答案(1)UAB＝UAC＝UAD(2)AB方向，說(shuō)明電場(chǎng)強(qiáng)度方向指向電勢(shì)降落最快的方向。(1)由公式E＝eq\f(UAB,d)得電場(chǎng)強(qiáng)度跟兩點(diǎn)的電勢(shì)差成正比，跟兩點(diǎn)的距離成反比。(×)(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿電場(chǎng)線(xiàn)方向，任何相同距離上電勢(shì)降落必定相等。(√)(3)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)降低的方向必是電場(chǎng)強(qiáng)度方向。(×)例1(2023·云南省文山市第一中學(xué)高二期末)如圖所示，A、B、C是勻強(qiáng)電場(chǎng)中一直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中∠C＝30°，AB方向與電場(chǎng)方向平行，AC邊長(zhǎng)0.8m。已知A、C兩點(diǎn)的電勢(shì)φA＝9V，φC＝3V，下列說(shuō)法正確的是()A．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為7.5V/mB．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為15V/mC．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為5eq\r(3)V/mD．B點(diǎn)比C點(diǎn)電勢(shì)低答案B解析由題圖可知，BC與電場(chǎng)線(xiàn)方向垂直，為等勢(shì)線(xiàn)，則φB＝φC＝3V，由幾何知識(shí)可知dAB＝dACsin30°＝0.8×eq\f(1,2)m＝0.4m，則勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E＝eq\f(UAB,dAB)＝eq\f(9－3,0.4)V/m＝15V/m，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。針對(duì)訓(xùn)練1(2024·眉山市高二期中)如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝100V/m，A、B兩點(diǎn)相距10cm,A、B連線(xiàn)與電場(chǎng)線(xiàn)夾角為60°，則UBA為()A．5V B．5eq\r(3)VC．－5V D．－5eq\r(3)V答案C解析根據(jù)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低可知B點(diǎn)電勢(shì)低于A點(diǎn)電勢(shì)，則UBA為負(fù)值，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可得UBA＝－EdABcos60°＝－5V，故選C。例2(2024·天津市五校高二期中)如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中∠A＝30°，邊長(zhǎng)AC＝16cm。將電荷量q＝－6×10－6C的點(diǎn)電荷由A點(diǎn)移到B點(diǎn)，靜電力做功2.4×10－5J，再由B點(diǎn)移到C點(diǎn)，該點(diǎn)電荷克服靜電力做功2.4×10－5J，取B點(diǎn)的電勢(shì)為零，求：(1)A、C兩點(diǎn)的電勢(shì)；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。答案(1)－4V－4V(2)eq\f(100\r(3),3)V/m，方向垂直AC斜向左上解析(1)將點(diǎn)電荷由A點(diǎn)移到B點(diǎn)，由勻強(qiáng)電場(chǎng)的電勢(shì)差與靜電力做功的關(guān)系式可得UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(2.4×10－5,－6×10－6)V＝－4V由電勢(shì)差定義可得UAB＝φA－φB解得φA＝－4V將點(diǎn)電荷由B點(diǎn)移到C點(diǎn)，由勻強(qiáng)電場(chǎng)的電勢(shì)差與靜電力做功的關(guān)系式可得UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(－2.4×10－5,－6×10－6)V＝4V由電勢(shì)差定義可得UBC＝φB－φC解得φC＝－4V(2)因φA＝φC，因此直線(xiàn)AC是勻強(qiáng)電場(chǎng)的一條等勢(shì)線(xiàn)，由電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)垂直且由高電勢(shì)指向低電勢(shì)，如圖所示，LBC＝LAC·sin30°＝8cm可得電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝eq\f(UBC,d)＝eq\f(UBC,LBCsin60°)＝eq\f(100\r(3),3)V/m方向垂直AC斜向左上。電勢(shì)差的三種求解方法1．應(yīng)用定義式UAB＝φA－φB來(lái)求解。2．應(yīng)用關(guān)系式UAB＝eq\f(WAB,q)來(lái)求解。3．應(yīng)用關(guān)系式UAB＝Ed(勻強(qiáng)電場(chǎng))來(lái)求解。UAB＝Ed闡述的是一個(gè)矢量的大小與另一個(gè)標(biāo)量間的關(guān)系，所以不帶符號(hào)計(jì)算，結(jié)果的正負(fù)根據(jù)題意另行判斷。二、利用公式E＝eq\f(U,d)定性分析非勻強(qiáng)電場(chǎng)運(yùn)用E＝eq\f(U,d)怎樣解釋電場(chǎng)線(xiàn)密的地方等差等勢(shì)線(xiàn)也密？答案由E＝eq\f(U,d)知，U一定時(shí)，E越大，d越小，故電場(chǎng)線(xiàn)密的地方等差等勢(shì)線(xiàn)也密。UAB＝Ed只適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)的定量計(jì)算，在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不能進(jìn)行定量計(jì)算，但可以定性地分析有關(guān)問(wèn)題。例3(2024·陜西省西安市東方中學(xué)月考)如圖所示，一條100kV超高壓輸電線(xiàn)斷裂并垂落地面，地面電場(chǎng)可等效為場(chǎng)源電荷所形成的電場(chǎng)。圖中圓1、2、3、4的圓心均為垂落點(diǎn)O，圓半徑之比r1∶r2∶r3∶r4＝1∶2∶3∶4，關(guān)于相鄰兩圓之間電勢(shì)差的絕對(duì)值，以下關(guān)系正確的是()A．U12＝U23＝U34 B．U12<U23<U34C．U12>U23>U34 D．U23>U12>U34答案C解析地面電場(chǎng)可等效為場(chǎng)源電荷為正電荷所形成的電場(chǎng)，根據(jù)點(diǎn)電荷周?chē)妶?chǎng)的特點(diǎn)可知，越靠近場(chǎng)源電荷，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，由于相鄰兩圓間的距離相等，由公式U＝eq\x\to(E)d可知U12>U23>U34，故選C。針對(duì)訓(xùn)練2(多選)如圖所示，一個(gè)電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)分布關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，O、M、N是y軸上的三個(gè)點(diǎn)，且OM＝MN，P點(diǎn)在y軸的右側(cè)，MP⊥ON，則()A．M點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)的電勢(shì)高B．將負(fù)電荷由O點(diǎn)移動(dòng)到P點(diǎn)，靜電力做正功C．M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差大于O、M兩點(diǎn)間的電勢(shì)差D．在O點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)不計(jì)重力的帶正電的粒子，該粒子將沿y軸做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)答案AD解析分別過(guò)M、P點(diǎn)作等勢(shì)線(xiàn)，可得過(guò)P點(diǎn)的等勢(shì)線(xiàn)在過(guò)M點(diǎn)的等勢(shì)線(xiàn)上方，因沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低，則有φM>φP，A對(duì)；將負(fù)電荷由O點(diǎn)移到P點(diǎn)，由于UOP>0，則W＝qUOP<0，靜電力做負(fù)功，B錯(cuò)；由U＝Ed定性分析可知，MN間的平均電場(chǎng)強(qiáng)度小于OM間的平均電場(chǎng)強(qiáng)度，故M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差小于O、M兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，C錯(cuò)；根據(jù)題意可知，y軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿y軸向上，所以在O點(diǎn)由靜止釋放一不計(jì)重力的帶正電的粒子，其所受靜電力沿y軸正方向，則該粒子將沿y軸做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，D對(duì)。課時(shí)對(duì)點(diǎn)練[分值：60分]1～4題、6、7題每題4分，5題12分，共36分考點(diǎn)一公式UAB＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用1．對(duì)公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解，下列說(shuō)法正確的是()A．公式UAB＝Ed適用于計(jì)算任何電場(chǎng)中A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差B．由UAB＝Ed知，A點(diǎn)和B點(diǎn)間距離越大，則這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差越大C．由E＝eq\f(UAB,d)知，勻強(qiáng)電場(chǎng)中A、B兩點(diǎn)沿電場(chǎng)線(xiàn)的距離越大，則電場(chǎng)強(qiáng)度越小D．公式中的d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中A、B所在的兩等勢(shì)面之間的距離答案D解析公式UAB＝Ed只適用于計(jì)算勻強(qiáng)電場(chǎng)中A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，故A錯(cuò)誤；由UAB＝Ed知，當(dāng)E一定時(shí)，A點(diǎn)和B點(diǎn)間沿電場(chǎng)線(xiàn)方向距離越大，則這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差越大，故B錯(cuò)誤；勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度處處相同，與距離無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；公式中的d是勻強(qiáng)電場(chǎng)中A、B所在的兩等勢(shì)面之間的距離，即沿電場(chǎng)線(xiàn)方向的距離，故D正確。2．(2023·廣東省臺(tái)山市第一中學(xué)高二期中)正常情況下空氣是不導(dǎo)電的，但如果空氣中的電場(chǎng)很強(qiáng)，空氣也可以被擊穿，空氣被擊穿時(shí)會(huì)看到電火花或閃電。若觀察到某次閃電的火花長(zhǎng)約1000m，且已知空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度大小為3×106V/m，那么發(fā)生此次閃電的電勢(shì)差約為()A．3×109V B．3×108VC．3×105V D．3×104V答案A解析發(fā)生此次閃電的電勢(shì)差約為U＝Ed＝3×106×1000V＝3×109V，故選A。3.(2023·江蘇省立人高中高二學(xué)業(yè)考試)如圖為某勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)面分布圖(等勢(shì)面豎直分布)，已知每?jī)蓚€(gè)相鄰等勢(shì)面相距2cm，則該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為()A．1V/m，水平向左B．1V/m，豎直向上C．100V/m，水平向左D．100V/m，豎直向上答案C解析電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面(線(xiàn))垂直，且由電勢(shì)高的一端指向電勢(shì)低的一端，可知電場(chǎng)線(xiàn)水平向左，兩個(gè)相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差為U＝2V，則電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E＝eq\f(U,d)＝eq\f(2,2×10－2)V/m＝100V/m，故選C。4.如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向平行于xOy平面，在xOy平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R＝5cm的圓，圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，半徑OP與x軸正方向的夾角為θ，P點(diǎn)沿圓周移動(dòng)時(shí)，O、P兩點(diǎn)的電勢(shì)差滿(mǎn)足UOP＝25cosθ(V)，則該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為()A．500V/m，沿x軸正方向B．500V/m，沿y軸負(fù)方向C．500eq\r(2)V/m，沿y軸方向D．250eq\r(2)V/m，沿x軸負(fù)方向答案A解析當(dāng)cosθ>0時(shí)，則UOP>0、0<θ<90°，可知電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸正方向，根據(jù)U＝ERcosθ，可知ER＝25V，則E＝eq\f(25,0.05)V/m＝500V/m，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。5．(12分)(2023·廣東省博羅縣教師發(fā)展中心高二期中)如圖所示，兩平行金屬板A、B間為一勻強(qiáng)電場(chǎng)，A、B相距6cm，C、D為電場(chǎng)中的兩點(diǎn)(其中C點(diǎn)在金屬板上)，且LCD＝4cm，CD連線(xiàn)和電場(chǎng)強(qiáng)度方向成60°角。已知電子從D點(diǎn)移到C點(diǎn)靜電力做功為3.2×10－17J，電子電荷量e＝1.6×10－19C，求：(1)(4分)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大??；(2)(3分)A、B兩板間的電勢(shì)差；(3)(5分)若A板接地，D點(diǎn)電勢(shì)為多少。答案(1)1×104V/m(2)600V(3)－200V解析(1)由題可知，D→C靜電力做正功，根據(jù)靜電力做功有W＝eELCDcos60°＝3.2×10－17J解得E＝eq\f(W,eLCDcos60°)＝eq\f(3.2×10－17,1.6×10－19×0.04×0.5)V/m＝1×104V/m(2)因從D點(diǎn)移到C點(diǎn)靜電力做正功，則知電子在電場(chǎng)中受到的靜電力方向向上，電子帶負(fù)電，則電場(chǎng)強(qiáng)度方向向下，則A、B間電勢(shì)差為UAB＝EdAB＝600V(3)C、D間電勢(shì)差為U＝ELCDcos60°＝200V，A板接地，則φC＝0，由U＝φC－φD，可得φD＝－200V。考點(diǎn)二用U＝Ed定性分析非勻強(qiáng)電場(chǎng)6．(2024·黑龍江肇東市第四中學(xué)高二月考)下列選項(xiàng)描述的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面之間的關(guān)系，實(shí)線(xiàn)表示電場(chǎng)線(xiàn)，虛線(xiàn)表示等勢(shì)面，其中正確的是()答案C解析等勢(shì)面和電場(chǎng)線(xiàn)處處垂直，根據(jù)U＝Ed定性分析可知電場(chǎng)線(xiàn)密集的地方等勢(shì)面也密集，故選C。7．(2024·榆林市高二期中)某一電場(chǎng)中的電場(chǎng)線(xiàn)和等勢(shì)面分布如圖所示，在電場(chǎng)中有A、B、C三點(diǎn)，A、B間距離等于B、C間距離。下列說(shuō)法中正確的是()A．A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度比B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度小B．正電荷在A點(diǎn)的電勢(shì)能比在B點(diǎn)的電勢(shì)能大C．B、A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差大于C、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差D．負(fù)電荷由B向C移動(dòng)，靜電力做負(fù)功答案C解析根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)越密電場(chǎng)強(qiáng)度越大，由題圖可知，A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度比B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低，A點(diǎn)電勢(shì)低于B點(diǎn)，由公式Ep＝φq可知，正電荷在A點(diǎn)電勢(shì)能小于B點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)U＝Ed定性分析可知，由于AB間電場(chǎng)強(qiáng)度大于BC間電場(chǎng)強(qiáng)度，則B、A間的電勢(shì)差大于C、B間的電勢(shì)差，故C正確；負(fù)電荷由B向C移動(dòng)，靜電力做正功，故D錯(cuò)誤。8、9題每題7分，共14分8.(2023·山西省晉城市第二中學(xué)校高二月考)如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一圓心角為120°的扇形OAB，電場(chǎng)方向平行于扇形平面，O點(diǎn)為扇形的圓心，C點(diǎn)為AB弧的中點(diǎn)，半徑OA＝OB＝0.1m。將一點(diǎn)電荷從A點(diǎn)以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，若再將一個(gè)電荷量為2×10－7C的負(fù)點(diǎn)電荷由O點(diǎn)移到C點(diǎn)，克服靜電力做功1×10－6J。不計(jì)點(diǎn)電荷的重力，則()A．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為50V/m，方向由A指向BB．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為50eq\r(3)V/m，方向由A指向BC．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為50V/m，方向由O指向CD．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為50eq\r(3)V/m，方向由O指向C答案C解析點(diǎn)電荷從A點(diǎn)以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有UABq＝ΔEk＝0，可得A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差等于零，即A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)相同，如圖連接AB，AB為一等勢(shì)線(xiàn)，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)為電場(chǎng)強(qiáng)度方向所在的直線(xiàn)，因?yàn)閷⒁粋€(gè)電荷量為2×10－7C的負(fù)點(diǎn)電荷由O點(diǎn)移到C點(diǎn)，克服靜電力做功1×10－6J，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向由O指向C，OC間電勢(shì)差為UOC＝eq\f(W,q)＝eq\f(－1×10－6,－2×10－7)V＝5V，所以E＝eq\f(UOC,OC)＝eq\f(5,0.1)V/m＝50V/m，故選C。9.(2023·河南省商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)如圖所示，真空中有一勻強(qiáng)電場(chǎng)(圖中未畫(huà)出)，電場(chǎng)方向與圓周在同一平面內(nèi)，△ABC是圓的內(nèi)接直角三角形，∠BAC＝60°，O為圓心，半徑R＝2cm。位于A處的粒子源向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射初動(dòng)能均為2eV、電荷量為＋e的粒子，這些粒子會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)，其中到達(dá)B點(diǎn)的粒子動(dòng)能為6eV，到達(dá)C點(diǎn)的粒子動(dòng)能也為6eV。忽略粒子受到的重力和粒子間的相互作用，下列說(shuō)法正確的是()A．UCA＝4VB．電場(chǎng)方向由B指向AC．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為200V/mD．經(jīng)過(guò)圓周上的所有粒子，動(dòng)能最大為6eV答案C解析根據(jù)題意可知到達(dá)B點(diǎn)的粒子動(dòng)能與到達(dá)C點(diǎn)的粒子動(dòng)能相等，所以B、C兩點(diǎn)電勢(shì)相等，BC連線(xiàn)為勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線(xiàn)，根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)相互垂直，且電荷量為＋e的粒