黑龍江省哈爾濱市第24中學2023-2024學年高三下學期自測卷(一)數(shù)學試題_第1頁
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黑龍江省哈爾濱市第24中學2022-2023學年高三下學期自測卷(一)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.22.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.3.盒中有6個小球,其中4個白球,2個黑球,從中任取個球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時盒中黑球的個數(shù),則()A., B.,C., D.,4.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.5.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.6.是正四面體的面內(nèi)一動點,為棱中點,記與平面成角為定值,若點的軌跡為一段拋物線,則()A. B. C. D.7.如圖在直角坐標系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當時,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關系(用不等號連接)為()A. B.C. D.12.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為,側(cè)面積為,則該棱錐的體積為__________.14.已知點是拋物線上動點,是拋物線的焦點,點的坐標為,則的最小值為______________.15.已知函數(shù),若關于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是_______________.16.己知函數(shù),若曲線在處的切線與直線平行,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù),為實數(shù),且.(Ⅰ)當時,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).19.(12分)山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語,自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績采用“賦分制”,即原始分數(shù)不直接用,而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分,該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分為:設該同學化學科的轉(zhuǎn)換等級分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.(1)某校高一年級共2000人,為給高一學生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學在這次考試中物理原始分為84分,等級為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取4人,記X表示這4人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.(附:若隨機變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68220.(12分)已知是拋物線:的焦點,點在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設直線與交于另一點,為的中點,點在軸上,.若,求直線的斜率.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,,證明:.22.(10分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

如圖所示建立直角坐標系,設,則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系,則,,,設,則.當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.2.D【解析】

設點,由,得關于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.3.C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出概率并求得數(shù)學期望,由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球,所以.表示取出一個黑球,,所以.表示取出兩個球,其中一黑一白,,表示取出兩個球為黑球,,表示取出兩個球為白球,,所以.所以,.故選:C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望的計算,屬于中檔題.4.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.5.B【解析】

由題中垂直關系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構造齊次關系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學生綜合分析,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.6.B【解析】

設正四面體的棱長為,建立空間直角坐標系,求出各點的坐標,求出面的法向量,設的坐標,求出向量,求出線面所成角的正弦值,再由角的范圍,結(jié)合為定值,得出為定值,且的軌跡為一段拋物線,所以求出坐標的關系,進而求出正切值.【詳解】由題意設四面體的棱長為,設為的中點,以為坐標原點,以為軸,以為軸,過垂直于面的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則可得,,取的三等分點、如圖,則,,,,所以、、、、,由題意設,,和都是等邊三角形,為的中點,,,,平面,為平面的一個法向量,因為與平面所成角為定值,則,由題意可得,因為的軌跡為一段拋物線且為定值,則也為定值,,可得,此時,則,.故選:B.【點睛】考查線面所成的角的求法,及正切值為定值時的情況,屬于中等題.7.A【解析】

設所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標,利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.8.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得,,當時,,因為,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用、冪、指、對的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.9.B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達式,把分母設為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設,,則的定義域為.,當,,單增,當,,單減,則.則在上單增,上單減,.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.10.A【解析】

對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.11.A【解析】因為,所以,即周期為4,因為為奇函數(shù),所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調(diào)遞增,因為,因此,選A.點睛:函數(shù)對稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關于原點對稱);(2)函數(shù)關于點對稱,函數(shù)關于直線對稱,(3)函數(shù)周期為T,則12.D【解析】

先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.14.【解析】

過點作垂直于準線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當和拋物線相切時,的值最小.再利用直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標,從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點,準線方程為,過點作垂直于準線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當最小時,的值最小.設切點,由的導數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡單應用,直線的斜率公式,導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.15.【解析】

畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個交點時的的值,然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個交點即可,當過點時兩個函數(shù)有一個交點,即時,與函數(shù)有一個交點,由圖象可知,直線向下平移后有兩個交點,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16.【解析】

先求導,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義,有求解.【詳解】因為函數(shù),所以,所以,解得.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,還考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,設,可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點建立空間直角坐標系,利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1)連接,設,連接,在四棱柱中,分別為的中點,,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.(2)以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.設,四邊形為正方形,,,則,,,,,,,設為平面的法向量,為平面的法向量,由得:,令,則,,由得:,令,則,,,,,二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系的證明、空間向量法求解二面角的問題;關鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法,易錯點是求得法向量夾角余弦值后,未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角,造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.18.(Ⅰ)極大值0,沒有極小值;函數(shù)的遞增區(qū)間,遞減區(qū)間,(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)由,令,得增區(qū)間為,令,得減區(qū)間為,所以有極大值,無極小值;(Ⅱ)由,分,和三種情況,考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域,即可得到本題答案.【詳解】當時,,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,故當時,函數(shù)取得極大值,沒有極小值;函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,,當時,,在上單調(diào)遞增,即函數(shù)的值域為;當時,,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)的值域為;當時,易得時,,在上單調(diào)遞增,時,,在上單調(diào)遞減,故當時,函數(shù)取得最大值,最小值為,中最小的,當時,,最小值;當,,最小值;綜上,當時,函數(shù)的值域為,當時,函數(shù)的值域,當時,函數(shù)的值域為,當時,函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值,以及利用導數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域,考查學生的運算求解能力,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想.19.(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間,結(jié)合所給示例,即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122(2)根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25,由二項分布即可求得X【詳解】(1)(i)設小明轉(zhuǎn)換后的物理等級分為x,93-8484-82求得x≈82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分;(ii)因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為2000×0.136=272(人);(2)由題意得,隨機抽取1人,其等級成績在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25隨機抽取4人,則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數(shù)學期望EX【點睛】本題考查了統(tǒng)計的綜合應用,正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法,分布列及數(shù)學期望的求法,文字多,數(shù)據(jù)多,需要細心的分析和理解,屬于中檔題。20.(1)(2)【解析】

(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物

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