2.7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（解析版）

2.7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)01：面積體積最大值1．某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場(chǎng)銷(xiāo)售量調(diào)研，通過(guò)對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷(xiāo)售量（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格（元/千克）近似滿(mǎn)足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷(xiāo)售系列所獲得的利潤(rùn)最大.【答案】（1）；（2）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷(xiāo)售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場(chǎng)每日銷(xiāo)售系列所獲得的利潤(rùn)為，然后根據(jù)利潤(rùn)計(jì)算式得出具體表達(dá)式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場(chǎng)每日銷(xiāo)售系列所獲得的利潤(rùn)為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時(shí)函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.點(diǎn)睛：考查函數(shù)的表示，導(dǎo)函數(shù)最值的應(yīng)用，正確理解題意，寫(xiě)出具體表達(dá)式，然后借助導(dǎo)數(shù)分析思維求解是解題關(guān)鍵，做此類(lèi)題要有耐心，認(rèn)真審題，讀懂題意，屬于中檔題.2．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為(單位：萬(wàn)元)，成本函數(shù)為(單位：萬(wàn)元)．(1)求利潤(rùn)函數(shù)；(提示：利潤(rùn)＝產(chǎn)值－成本)(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？【答案】(1)且；(2)當(dāng)年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大.【分析】（1）根據(jù)，可得函數(shù)關(guān)系式；（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.【詳解】（1）由題可得且；（2）因?yàn)?，由，得?舍去)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為最大值，∴當(dāng)年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大．考點(diǎn)02：利潤(rùn)最大值3．某種兒童型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長(zhǎng)為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)的長(zhǎng)為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，使得最大？【答案】（1），（2）當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.【分析】（1）由矩形其外周長(zhǎng)為毫米，設(shè)的長(zhǎng)為毫米，可得AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓柱和球的體積公式即可求得防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)得，據(jù)此討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最大值．【詳解】解：（1）由得，由得，所以防蚊液體積，（2）求導(dǎo)得，令得；令得，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，答：當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.【點(diǎn)睛】本題是考查關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一道應(yīng)用題，難度不大．4．某市城郊由3條公路圍成的不規(guī)則的一塊土地（其平面圖形為圖所示）．市政府為積極落實(shí)“全民健身”國(guó)家戰(zhàn)略，準(zhǔn)備在此地塊上規(guī)劃一個(gè)體育館．建立圖所示的平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖象由曲線段和直線段構(gòu)成，已知曲線段可看成函數(shù)的一部分，直線段（百米），體育館平面圖形為直角梯形（如圖所示），，．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求函數(shù)的解析式；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使體育館平面圖形面積最大？若存在，求出該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，（百米）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出解析式；（2）寫(xiě)出面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，即可得出點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意，因?yàn)樵谇€上，即，，所以，．又因?yàn)?，，所以線段方程為，所以，．所以函數(shù)的解析式為：．（2）由題意及（1）得，在中，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．又，，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直角梯形的面積，即，所以．令，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以時(shí)，函數(shù)取得最大值．故在線段上存在點(diǎn)，使體育館平面圖形面積最大，且到的距離（百米）．考點(diǎn)03：成本最小問(wèn)題5．某城鎮(zhèn)在規(guī)劃的一工業(yè)園區(qū)內(nèi)架設(shè)一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經(jīng)搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設(shè)電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬(wàn)元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費(fèi)用等為萬(wàn)元，所有高壓電線塔都視為“點(diǎn)”，且不考慮其他因素，記余下的工程費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)問(wèn)：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費(fèi)y有最小值？最小值是多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬(wàn)元【分析】（1）由已知可得工程費(fèi)用包括建造高壓線電塔所需費(fèi)用和搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費(fèi)用的總和，即可列出函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最小值即可.【詳解】（1）（1）由題意知，需要新建的高壓線塔為座．

所以，

即．（2）由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函數(shù)y在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值，且，此時(shí)應(yīng)建高壓線塔為（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬(wàn)元．6．由于多種因素影響，某地豬肉價(jià)格節(jié)節(jié)攀升，該地方政府為落實(shí)“迅速采取有力措施穩(wěn)定生豬生產(chǎn)，確保豬肉供應(yīng)和市場(chǎng)基本穩(wěn)定”這一重要指示，決定對(duì)宰殺生豬的定點(diǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，平衡豬肉的市場(chǎng)價(jià)格.設(shè)豬肉的市場(chǎng)價(jià)格為元/千克，政府補(bǔ)貼為元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)時(shí)，豬肉市場(chǎng)日供應(yīng)量萬(wàn)千克近似地滿(mǎn)足關(guān)系：，日需求量萬(wàn)千克近似地滿(mǎn)足關(guān)系：已知豬肉市場(chǎng)價(jià)格為26元/千克時(shí)，日需求量為13.2萬(wàn)千克，定義豬肉市場(chǎng)日供應(yīng)量與日需求量相等時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為豬肉市場(chǎng)的平衡價(jià)格.（1）將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格的函數(shù)，并求出該函數(shù)的值域；（2）為使市場(chǎng)的平衡價(jià)格不高于28元/千克，政府補(bǔ)貼應(yīng)至少為每千克多少元？【答案】（1）函數(shù)；值域?yàn)椋唬?）應(yīng)至少為元/千克.【解析】（1）根據(jù)題中條件，先求出，進(jìn)而得出，設(shè)，所以，由導(dǎo)函數(shù)的方法研究其單調(diào)性，進(jìn)而可得出值域；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到時(shí)，，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)豬肉市場(chǎng)價(jià)格為26元/千克時(shí)，日需求量為13.2萬(wàn)千克，所以，解得；根據(jù)題意，由得，所以.設(shè)，所以，所以，所以是關(guān)于的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，由（1）易知是關(guān)于的減函數(shù)，所以欲使，則需；答：要使市場(chǎng)的平衡價(jià)格不高于28元/千克，政府補(bǔ)貼應(yīng)至少為元/千克.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用，屬于常考題型.求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般需要根據(jù)題中條件，先得出函數(shù)解析式，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，得出最值，即可確定結(jié)果.考點(diǎn)04：用料最省問(wèn)題7．工廠需要圍建一個(gè)面積為512的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度y（單位：m）是利用原有墻壁長(zhǎng)度x（單位：m）的函數(shù)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？(3)當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最?。俊敬鸢浮?1)(2)見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）利用題意建立函數(shù)關(guān)系即可；（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（3）根據(jù)（2）求函數(shù)的極值、最值即可.【詳解】（1）由題意可知與原有墻壁垂直的新墻長(zhǎng)度為：，則，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，；（2）由（1），顯然當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)隨著x的增大，y也增大；當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)隨著x的增大，y減小；（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，y可取得極小值也是最小值，此時(shí)，所以長(zhǎng)和寬分別為32，16時(shí)最省料，此時(shí)長(zhǎng)寬比為.8．工廠需要圍建一個(gè)面積為512的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度（單位：）是利用原有墻壁長(zhǎng)度（單位：）的函數(shù)．(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式，確定的取值范圍．(2)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬之比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最??？【答案】(1)，(2)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)寬之比為2:1時(shí)，需要砌的墻所用材料最省.【分析】（1）求出矩形堆料場(chǎng)的另一邊新墻的長(zhǎng)度為，得到砌起的新墻的總長(zhǎng)度為，；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到時(shí)，最小，此時(shí)，故得到長(zhǎng)寬之比為2:1，可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，矩形堆料場(chǎng)利用原有的墻壁的邊長(zhǎng)為，另一邊為，則砌起的總長(zhǎng)度，；（2），令得：（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大.由以上可知，當(dāng)長(zhǎng)，寬時(shí)，有最小值，所以堆料場(chǎng)的長(zhǎng)與寬的比為2:1時(shí)，需要砌的墻所用材料最省.1．某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．其他【答案】B【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，以及取得最值的值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選：B2．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.已知銷(xiāo)售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬(wàn)斤；銷(xiāo)售額的單位：萬(wàn)元，a是常數(shù)），若種植2萬(wàn)斤，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（

）A．6萬(wàn)斤 B．8萬(wàn)斤 C．3萬(wàn)斤 D．5萬(wàn)斤【答案】A【分析】銷(xiāo)售利潤(rùn)為,根據(jù)得．可得，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【詳解】設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為，得，，當(dāng)時(shí)，，解得．，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，故選：A3．已知某幾何體由兩個(gè)有公共底面的圓錐組成，兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為，，底面半徑為．若，則該幾何體的體積最大時(shí)，以為半徑的球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知該幾何體的體積為，令，求導(dǎo)得到當(dāng)時(shí)取得最大值，從而利用球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知該幾何體的體積為，令，則，令，得（舍去），則時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)該幾何體的體積最大．則以2為半徑的球的體積為．故選：C．4．某城市要在廣場(chǎng)中央的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力.某公司設(shè)計(jì)方案如圖，等腰△PMN的頂點(diǎn)P在半徑為20的大⊙O上，點(diǎn)M，N在半徑為10的小⊙O上，點(diǎn)O，P在弦MN的同側(cè).設(shè)，當(dāng)△PMN的面積最大時(shí)，對(duì)于其它區(qū)域中的某材料成本最省，則此時(shí)（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】設(shè)△PMN的面積為，進(jìn)而得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，結(jié)合二倍角的余弦公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】等腰△PMN中，，設(shè)△PMN的面積為，則，，求導(dǎo)，令，即，解得：（舍去負(fù)根），記，，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即，取得極大值，即最大值，則故選：C.5．進(jìn)入4月份以來(lái)，為了支援上?？箵粢咔?，A地組織物流企業(yè)的汽車(chē)運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫物資.已知A地距離上海500，設(shè)車(chē)隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車(chē)隊(duì)每小時(shí)運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運(yùn)輸成本最低，車(chē)隊(duì)速度v應(yīng)為（

）A．80 B．90 C．100 D．110【答案】C【分析】設(shè)運(yùn)輸成本為元，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得解；【詳解】解：設(shè)運(yùn)輸成本為元，依題意可得，則所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值即最小值，所以時(shí)全程運(yùn)輸成本最低；故選：C6．生物學(xué)家為了研究某生物種群的數(shù)量情況，經(jīng)過(guò)數(shù)年的數(shù)據(jù)采集，得到該生物種群的數(shù)量Q（單位：千只）與時(shí)間t（，單位：年）的關(guān)系近似地符合，且在研究剛開(kāi)始時(shí)，該生物種群的數(shù)量為5000只．現(xiàn)有如下結(jié)論：①該生物種群的數(shù)量不超過(guò)40000只；②該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度逐年減?。虎墼撋锓N群數(shù)量的年增長(zhǎng)量不超過(guò)10000只．其中所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可知，求出，然后得，化成帶分式便可求出的取值范圍判斷①，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性便可求出增長(zhǎng)速度，可判斷②③.【詳解】解：由題意得：，即，解得，故．因?yàn)?，故①正確；因?yàn)椋芍?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度先增大后減小，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選C．7．（多選）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些？高二某研究小組針對(duì)飲料瓶的大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響進(jìn)行了研究，調(diào)查如下：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分（不考慮瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．下面結(jié)論正確的有（

）（注：；利潤(rùn)可為負(fù)數(shù)）A．利潤(rùn)隨著瓶子半徑的增大而增大 B．半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大C．半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小 D．半徑為3cm時(shí)，制造商不獲利【答案】BCD【分析】先根據(jù)條件及球的體積公式求出每瓶液體材料的利潤(rùn)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)即可逐一判斷．【詳解】由已知，每個(gè)瓶子的利潤(rùn)為，，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故B正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，故C正確；又，故D正確．故選：BCD．8．（多選）已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且當(dāng)該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大時(shí)，則有（

）A．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤(rùn)最大值為38萬(wàn)元 D．年利潤(rùn)最大值為38.6萬(wàn)元【答案】AD【分析】根據(jù)利潤(rùn)銷(xiāo)售收入成本，將利潤(rùn)表示為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)年利潤(rùn)為W.當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.6；當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為9000件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，且年利潤(rùn)最大值為38.6萬(wàn)元.故選：AD.9．已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費(fèi)用為元．設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為，且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比，且比例系數(shù)為，較長(zhǎng)的池壁總維修費(fèi)用滿(mǎn)足代數(shù)式，則當(dāng)泳池的總維修費(fèi)用最低時(shí)的值為．【答案】【分析】將池壁的總維修費(fèi)用表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得最小值點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：池底面積為，則池底維修費(fèi)用為（元）；表示較短池壁長(zhǎng)，，解得：，池壁的總維修費(fèi)用表達(dá)式為，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即此時(shí)泳池的總維修費(fèi)用最低.故答案為：.10．如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的矩形，矩形兩邊、緊靠?jī)蓷l互相垂直的路上，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修一條直線的路，這條路不能穿過(guò)古建筑群，且與另兩條路交于點(diǎn)和．則的面積的最小值為．

【答案】4【分析】設(shè)，然后由三角形相似可表示出，從而可表示出的面積，再利用導(dǎo)數(shù)可求出其最小值【詳解】設(shè)，因?yàn)椤?，所以∽，所以，得．即，故，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：411．如圖所示，一座小島距離海岸線上的點(diǎn)的距離是，從點(diǎn)沿海岸正東處有一個(gè)城鎮(zhèn).一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是（單位：）表示他從小島到城鎮(zhèn)所用的時(shí)間，（單位：）表示小船?？奎c(diǎn)距點(diǎn)的距離.(1)將表示為的函數(shù)，并注明定義域；(2)此人將船停在海岸線上何處時(shí)，所用時(shí)間最少？【答案】(1)(2)此人將船停在點(diǎn)沿海岸正東處，所用時(shí)間最少.【分析】（1）根據(jù)題目信息將表示為的函數(shù)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）由題意可得：（2），由解得在上遞增，列表如下：0+單調(diào)遞減最小值單調(diào)遞增所以此人將船停在點(diǎn)沿海岸正東處，所用時(shí)間最少.12．一輛正在加速的汽車(chē)在5s內(nèi)速度從0提高到了90．下表給出了它在不同時(shí)刻的速度，為了方便起見(jiàn)，已將速度單位轉(zhuǎn)化成了，時(shí)間單位為s．時(shí)間t/s012345速度v/（m/s）0915212325(1)分別計(jì)算當(dāng)t從0s變到1s、從3s變到5s時(shí)，速度v關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它們的實(shí)際意義；(2)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，可以得到速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)近似表示式為，求，并解釋它的實(shí)際意義．【答案】(1)平均變化率分別為，，它們分別表示在相應(yīng)的時(shí)間內(nèi)，時(shí)間每經(jīng)過(guò)1s，速度增加9和2，也就是加速度分別為(2)，它的意義是在t＝1s這一時(shí)刻，每過(guò)1s，汽車(chē)的速度增加8，也就是這一時(shí)刻汽車(chē)的加速度為【分析】（1）根據(jù)平均變化率的公式及意義求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義求解.【詳解】（1）當(dāng)t從0s變到1s、從3s變到5s時(shí)，速度v關(guān)于時(shí)間t的平均變化率分別為，，它們分別表示在相應(yīng)的時(shí)間內(nèi)，時(shí)間每經(jīng)過(guò)1s，速度增加9和2，也就是加速度分別為.（2）∵，∴，它的意義是在s這一時(shí)刻，每過(guò)1s，汽車(chē)的速度增加8，也就是這一時(shí)刻汽車(chē)的加速度為.1．某中學(xué)為美化校園將一個(gè)半圓形邊角地改造為花園．如圖所示，為圓心，半徑為千米，點(diǎn)、、都在半圓弧上，設(shè)，，其中．(1)若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，求當(dāng)取何值時(shí)，參觀的線路最長(zhǎng)；(2)若在花園內(nèi)的扇形和四邊形內(nèi)種滿(mǎn)杜鵑花，求當(dāng)取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)用表示出、、，應(yīng)用倍角余弦公式、換元法及二次函數(shù)性質(zhì)求參觀路線的最大長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的取值；（2）利用扇形、三角形面積公式用表示出扇形、、的面積，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求種植總面積最大對(duì)應(yīng)的取值.【詳解】（1）解：如下圖，連接，則，在中，，即，同理可得，且，所以參觀路線的長(zhǎng)度，令，即.當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，即時(shí)，參觀路線最