高等代數(shù)考試題型及答案

高等代數(shù)考試題型及答案姓名：____________________

一、填空題（每題2分，共20分）

1.設$\boldsymbol{A}$是$n$階可逆矩陣，則$\det(\boldsymbol{A}^{-1})=\underline{\hspace{1cm}}$。

2.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，若$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的特征值為$\underline{\hspace{1cm}}$。

3.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\underline{\hspace{1cm}}$矩陣。

4.設$\boldsymbol{A}$是$n$階實對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$可相似對角化的充分必要條件是$\underline{\hspace{1cm}}$。

5.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的秩為$\underline{\hspace{1cm}}$。

6.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的行列式為$\underline{\hspace{1cm}}$。

7.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的逆矩陣為$\underline{\hspace{1cm}}$。

8.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征值為$\underline{\hspace{1cm}}$。

9.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的逆矩陣為$\underline{\hspace{1cm}}$。

10.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征值為$\underline{\hspace{1cm}}$。

二、選擇題（每題3分，共30分）

1.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，則$\boldsymbol{A}$的秩為（）。

A.$0$；B.$1$；C.$n$；D.$n-1$。

2.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

3.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

4.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

5.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

6.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

7.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

8.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

9.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

10.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的轉置矩陣，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩陣。

A.矩陣；B.矩陣；C.矩陣；D.矩陣。

三、計算題（每題10分，共50分）

1.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。

2.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^2$。

3.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$。

4.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$。

5.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}$。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的特征值為$0$。

2.證明：若$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda$，則$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值為$\lambda$。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。

2.設$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量，并判斷$\boldsymbol{A}$是否可對角化。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，證明$\boldsymbol{A}$的秩為$0$。

2.設$\boldsymbol{A}$是$n$階矩陣，$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值。

試卷答案如下：

一、填空題答案

1.$\det(\boldsymbol{A}^{-1})=\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}$

2.$\underline{0}$

3.等價

4.$\boldsymbol{A}$的特征值不全為$0$

5.$n$

6.$\det(\boldsymbol{A})$

7.$\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

8.$\underline{0}$

9.$\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

10.$\underline{0}$

二、選擇題答案

1.C

2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.D

10.C

三、計算題答案

1.$\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\3&-2\end{bmatrix}$

2.$\boldsymbol{A}^2=\begin{bmatrix}7&6\\9&10\end{bmatrix}$

3.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$

4.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}10&14\\14&20\end{bmatrix}$

5.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&1\\3&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5&5\\-10&10\end{bmatrix}$

四、證明題答案

1.解析思路：利用特征值和特征向量的定義，結合$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，得出$\boldsymbol{A}$的特征值為$0$。

2.解析思路：利用特征值和特征向量的定義，以及$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征向量為$\boldsymbol{A}$的特征向量的轉置，得出$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值為$\lambda$。

五、應用題答案

1.解析思路：求出$\boldsymbol{A}$的特征值，然后求解對應的特征向量，判斷特征值對應的特征向量是否線性無關，從而判斷矩陣是否可對角化。

2.解析思路：求出$\boldsymbol{A}$