江蘇省無錫市天一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二(強(qiáng)化班)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁江蘇省天一中學(xué)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（強(qiáng)化班）命題人王凱審閱人李維維一、單選題1.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面的所成的角等于（）A. B. C. D.以上均錯(cuò)【答案】A【解析】【分析】利用直線的方向向量與法向量的夾角與線面角的關(guān)系可求答案.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量的夾角等于，所以直線與平面的所成的角等于.故選：A.2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）A.9 B.11 C.13 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)公差，∵，，∴，∴，∴．故選：B．3.若直線為函數(shù)且的圖象的一條切線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解出的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍遥瑒t，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，所以，即，故，所以，解得，故選：B.4.在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.【詳解】設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以此四棱錐的高.故選：B.5.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理得出，利用橢圓的定義求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，，由橢圓定義可得，，，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，，所以，該橢圓的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.6.設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則“”是“存在最小值”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】假設(shè)，借助等比數(shù)列的性質(zhì)可得其充分性，舉出反例可得其必要性不成立，即可得解.【詳解】若，由，則，故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，有，則有最小值，故“”不是“存在最小值”的必要條件；即“”是“存在最小值”的充分而不必要條件.故選：A.7.運(yùn)動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個(gè)場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場地，每個(gè)場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.72 B.96 C.114 D.124【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個(gè)場地，再計(jì)算得出甲乙不在同一個(gè)場地情況即可求解.【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.8.已知函數(shù)，若在開區(qū)間內(nèi)存在極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合分類討論以及極值的定義求解.【詳解】由題意可得，令，則，記，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)，且，若，則，此時(shí)存在，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)，?x=lnx+1x2>?a，此時(shí)gx=ax當(dāng)，則，存在，使，故當(dāng)，，此時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)，?x=lnx+1x2>?a，此時(shí)gx當(dāng)，，此時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，符合要求，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，，故單調(diào)遞減，不符合題意，舍去，綜上可得，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、多選題9.下列關(guān)于拋物線的圖象的幾何特征描述正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)是 B.對稱軸方程為C.焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D.準(zhǔn)線方程為【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)圖像的平移變換，將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得拋物線的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)閽佄锞€即的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以AC說法正確，BD說法錯(cuò)誤；故選：AC10.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，且，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.除以8所得的余數(shù)為1 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)公式可得，利用賦值法即可求解求解AB,根據(jù)即可求解C，求導(dǎo)，即可求解D.【詳解】根據(jù)題意可知，故，故，對于A，令，則，令，則，故，故A錯(cuò)誤，對于B，，故為負(fù)值，為正，且令時(shí)，，因此，B正確，對于C,,故除以8所得的余數(shù)為1，C正確，對于D，對求導(dǎo)可得，令可得，故D正確，故選：BCD11.如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則（）A.有對稱軸B.上任意兩點(diǎn)間的距離C.直線被截得弦長的最大值為D.的面積大于【答案】ACD【解析】【分析】利用反函數(shù)概念可判斷；聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)即可判斷；找出過與曲線相切且與平行的點(diǎn)即可；由，計(jì)算即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：由，的反函數(shù)為，兩者關(guān)于對稱，故A正確.對于選項(xiàng)B：，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，注意到??2在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)為，，故B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C：與曲線對稱軸垂直，如圖，只需考察曲線上到距離大最大值即可，找出過與曲線相切且與平行的點(diǎn)即可，令，令，此時(shí)到的距離，直線被截得弦長最大值為，故正確.對于選項(xiàng)D：，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的三角形面積，通常將三角形分成兩個(gè)底位于坐標(biāo)軸上的小三角形，如本題中.三、填空題12.已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．（用數(shù)字作答）【答案】81【解析】【分析】函數(shù)求導(dǎo)得，求含的項(xiàng)即可求出的常數(shù)項(xiàng)，求的常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)即可求出的常數(shù)項(xiàng)，通過求和即可求得的展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)榈耐?xiàng)公式，令，，所以的常數(shù)項(xiàng)為.因?yàn)榈耐?xiàng)公式,令，，令，,所以的常數(shù)項(xiàng)為.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：81.13.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為4，實(shí)數(shù)a的值為_______．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，按的不同取值討論在時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值，解出的值即可.【詳解】由題意可得，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，此時(shí)，解得，不滿足；②當(dāng)時(shí)，令解得，（i）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，解得，滿足；（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，解得，不滿足；綜上所述，故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，且使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．則所有這樣的的個(gè)數(shù)為_______．【答案】3【解析】【分析】設(shè)出直線，方程，與雙曲線方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用是等腰直角三角形可得，解出滿足題意的的值的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意可知，直線，的斜率均存在且不為，又直線，互相垂直，所以設(shè)，則，聯(lián)立消去得，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，解得，同理可得，所以，同理可得，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形．所以，即，整理得，當(dāng)時(shí)，解得或或，當(dāng)時(shí)，，解得或或，因，所以由得到的兩個(gè)三角形是相同的，類似的由和得到的三角形也是相同的，綜上滿足題意的共有3個(gè)，故答案為：3四、解答題15.已知在數(shù)列中，，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，變形得到，證明出數(shù)列是等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，再利用不等式的性質(zhì)即可得到.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又，可得，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，故；【小問2詳解】由（1）知，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和，又，則，故.16.如圖，四面體中，平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理證明，最后利用線面垂直的判定定理，即可證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】平面，平面，平面,;,,又,，即證，又平面，平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，故，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以，故平面與平面的夾角為.17.已知，，．（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；（2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，得到．設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的值，判斷結(jié)論即可；（2）由題知，令，進(jìn)而結(jié)合（1）得函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，通過討論的范圍，求出滿足條件的的范圍即可．【小問1詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，則，即，①因?yàn)楹拖嗲?，所以，，即，②所以，即，令，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，存在唯一?shí)數(shù)，使得，且，所以，只存在唯一實(shí)數(shù)，使①②成立，即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切．【小問2詳解】解：由得，所以，令，則，由（1）可知，在上成立，在上成立，所以，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐笳麛?shù)解，所以在時(shí)，，所以有無窮多整數(shù)解，舍去；當(dāng)時(shí)，，又，，所以兩個(gè)整數(shù)解為0,1，即，所以，即；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋趦?nèi)大于或等于1，所以無整數(shù)解，舍去．綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合（1）得其單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)，，時(shí)，對分，，三種情況討論求解.18.已知雙曲線：的漸近線為，焦距為，直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上至下依次為、、、.（1）求的方程；（2）證明：；（3）求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線關(guān)系和漸近線、焦距相關(guān)概念進(jìn)行列式計(jì)算即可求解.（2）分別聯(lián)立直線與及其漸近線方程求出、、、的坐標(biāo)或坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出即.（3）根據(jù)依次求出和，再依據(jù)題意中體現(xiàn)的變量的范圍去研究計(jì)算面積取值范圍即可求解.【小問1詳解】由題意可得，所以的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線，因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以且，聯(lián)立，所以，，且，即，所以①，聯(lián)立，，聯(lián)立，，，即，，即，所以，所以.【小問3詳解】由（2）O到直線距離為，，，，所以，令，則，由①，所以，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：從直線與的右支交于兩點(diǎn)條件中讀出隱晦的已知條件且是求解的取值范圍的關(guān)鍵.19.我們稱元有序?qū)崝?shù)組為n維向量，為該向量的范數(shù)．已知維向量，其中，記范數(shù)為奇數(shù)的維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為．（1）求和的值；（2）求的值；（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求（用表示）．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義可知，當(dāng)，范數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中0的個(gè)數(shù)為0或2，根據(jù)乘法原理和加法原理求解即可；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，可按0的個(gè)數(shù)為分情況討論，再根據(jù)和的展開式得到的通項(xiàng)公式即可求解；（3）同（2），按0個(gè)數(shù)分情況討論，利用新定義求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡求解即可.【小問1詳解】由題意可知，當(dāng)，范數(shù)為奇數(shù)時(shí)，的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即中0的個(gè)