廣東省清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

清遠(yuǎn)市2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高中期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則的值為（）A.8 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率公式和方向向量的概念求解.【詳解】由已知，由題知，解得.故選：C.2.已知拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為A.2 B.4 C.-2 D.-4【答案】B【解析】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是，所以.故選B.3.A同學(xué)為參加《古詩詞大賽》進(jìn)行古詩詞鞏固訓(xùn)練，她第1天復(fù)習(xí)10首古詩詞，從第2天起，每一天復(fù)習(xí)的古詩詞數(shù)量比前一天多2首，每首古詩詞只復(fù)習(xí)一天，則10天后A同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞總數(shù)量為（）A.190 B.210 C.240 D.280【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式可得答案.【詳解】由題知，A同學(xué)每天復(fù)習(xí)古詩詞數(shù)量構(gòu)成首項為10，公差為2的等差數(shù)列，則10天后A同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩詞總數(shù)量為.故選：A.4.經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求直線與的交點(diǎn)，再根據(jù)直線垂直求斜率，利用點(diǎn)斜式可得所求直線方程.【詳解】聯(lián)立與，得交點(diǎn)坐標(biāo)為.又垂直于直線的直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：B5.如圖，在三棱錐中，．若點(diǎn)分別在棱上，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解．【詳解】由，得，所以，故選：C．6.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求得兩圓的圓心和半徑，判定已知兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用動圓與已知兩圓相外切，內(nèi)切的條件列出關(guān)于和動圓半徑r的方程組，消去r再利用橢圓的定義寫出軌跡方程，最后根據(jù)已知兩圓的位置關(guān)系做出取舍.【詳解】圓圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，所以兩圓相內(nèi)切于點(diǎn)，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，則，，因此點(diǎn)的軌跡方程是以為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓（不含點(diǎn)），所以該動圓的圓心的軌跡方程為.故選：B7.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的稱為三角形數(shù)，第二行的稱為正方形數(shù).則根據(jù)以上規(guī)律，可推導(dǎo)出五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項為（）A.22 B.26 C.35 D.51【答案】C【解析】【分析】類比三角形數(shù)和正方形數(shù)得到五邊形數(shù)，再由從第二項起，后項與前項的差依次為求解.詳解】解：如圖，稱為五邊形數(shù)，從第二項起，后項與前項的差依次為，所以五邊形數(shù)的第5項為，故選：C.8.已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)（在的上方），的中點(diǎn)為在直線上的射影為為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，直線的斜率分別為，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，明確點(diǎn)，再設(shè)直線：，和雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，化簡即可.【詳解】如圖：由題知解得所以雙曲線：，所以，依題意可設(shè)，代入雙曲線，消去并整理得，設(shè)，，則又，所以，而，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于，用表示出后，化簡是關(guān)鍵.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法正確的是（）A.若三個數(shù)成等差數(shù)列，則B.若三個數(shù)成等差數(shù)列，則C.若三個數(shù)成等比數(shù)列，則D.若三個數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】BC【解析】【分析】利用等差中項和等比中項建立等式進(jìn)行求解即可．【詳解】若三個數(shù)成等差數(shù)列，則，解得，故A錯誤，B正確；若三個數(shù)成等比數(shù)列，則，解得，故C正確，D錯誤，故選：BC．10.如圖，在多面體中，平面與平面都是正方形，側(cè)面，都是等腰直角三角形，且均與平面垂直，，則（）A.B.直線與直線共面C.直線與平面所成角的余弦值為D.多面體的體積為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來求解A，通過證明線線平行來證明共面，判斷B，利用空間向量來求解線面角問題，判斷C，利用割補(bǔ)法來求解體積問題，判斷D．【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則平面平面，平面平面平面，平面，四邊形是邊長為2的正方形，分別為的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．對于A，，所以，故A錯誤；對于B，由，得，所以，所以四點(diǎn)共面，所以直線與直線共面，故B正確；對于C，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，則，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故C正確；對于D，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長方體，則分別為的中點(diǎn)，因為，長方體的體積為，，因此，多面體的體積為，故D錯誤．故選：BC．11.類比于數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”，任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步禁后，必得到數(shù)字1.如取，則的值依次為，共需5個步驟變成1，則稱該運(yùn)算為5步運(yùn)算，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，的值依次為B.當(dāng)時，該運(yùn)算為7步運(yùn)算C.當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時，的值可能有13個D.當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時，的最大值與最小值之和為137【答案】ACD【解析】【分析】由題意得到進(jìn)而逐個判斷即可；【詳解】由題知，對于A，，則的值依次為，故A正確；對于B，，所以該運(yùn)算為6步運(yùn)算，故B錯誤；對于C，當(dāng)運(yùn)算為7步運(yùn)算時，，逆推可得如下結(jié)果，據(jù)此可得的值可能有13個，故C正確；對于D，由選項C知，的最大值為128，最小值為9，所以的最大值與最小值之和為137，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知點(diǎn)，向量，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算來進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)，則，即，故答案為：．13.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，提出如圖所示的由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，自上而下，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球，，依此類推，最底層有個小球，共有層，并得出小球總數(shù)的公式.若，小球總個數(shù)為168，則該長方臺形垛積的第六層的小球個數(shù)為__________.【答案】42【解析】【分析】設(shè)各層的小球個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則由可得，進(jìn)而可得，得，進(jìn)而得.【詳解】由題知，各層的小球個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且，因為，所以，故，由題意，即，解得或（舍去），所以，故該垛積的第六層的小球個數(shù)為，故答案為：4214.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，且四邊形的面積為．若為橢圓上的兩點(diǎn)，直線斜率存在且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為直線的斜率），為中點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】由離心率，四邊形的面積為求得橢圓方程，再根據(jù)，設(shè)直線的方程為，求得的軌跡方程，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式即可求解．【詳解】由題知，解得，所以橢圓，因為，所以，又直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則的中點(diǎn)，聯(lián)立，整理可得，，即，，所以，所以，可得，符合，可得的軌跡方程為整理可得，兩式平方相加可得，即的軌跡方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即，所以，當(dāng)為該橢圓的右頂點(diǎn)時，取等號；綜上所述，的最小值為，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，圓內(nèi)一點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且傾斜角為.（1）求弦長；（2）若圓與圓相交，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率的幾何意義求出直線斜率，進(jìn)而求出直線方程，最后結(jié)合勾股定理求解弦長即可.（2）利用圓與圓的位置關(guān)系建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題意得直線過點(diǎn)，且傾斜角為，由斜率的幾何意義得，則直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離，由勾股定理得.【小問2詳解】易知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；若圓與圓相交，則，即，解得，故的取值范圍為.16.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用與之間的關(guān)系，，當(dāng)來進(jìn)行求解出的通項公式即可進(jìn)一步求解出；（2）利用錯位相減法及公式法進(jìn)行求和．【小問1詳解】因為，所以，當(dāng)時，，又滿足上式，所以．因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，即．【小問2詳解】由（1）知，，所以，①，②①②得，所以．17.如圖，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與直線關(guān)于軸對稱，試在拋物線上求一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離最短，并求出最短距離.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線、拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理和求解即可；（2）由對稱性得到方程，令直線平行于直線，且與拋物線相切，則切點(diǎn)即為點(diǎn).即可求解；【小問1詳解】聯(lián)立消去并整理得，設(shè)，則，所以，因為，所以，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由題知，結(jié)合對稱性易知，直線的方程為，令直線平行于直線，且與拋物線相切，則切點(diǎn)即為點(diǎn).設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理得，令，解得，所以，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，最短距離為.18.如圖，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)得到，結(jié)合，結(jié)合線面垂直的判定定理得到平面，再運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)證明所求結(jié)論即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法求解即可.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出每個平面的法向量，利用面面夾角的向量求法求解即可.【小問1詳解】在直四棱柱中，底面，又底面，故，又面，得到平面，又平面，則【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，由點(diǎn)到平面的距離公式得點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】由（2）知，設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，又平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，而，則，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，故平面與平面夾角的正弦值為.19.若遞增數(shù)列的后一項與其前一項的差大于，則稱這個數(shù)列為“超1數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，其前項和為，若，試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立，并說明理由；（3）已知正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)的“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，證明：數(shù)列是“超1數(shù)列”.【答案】（1）（2）不存在符合要求的實(shí)數(shù)，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用“超1數(shù)列”的定義得，且，即可求得結(jié)果.（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立，等價于對恒成立.推出矛盾即可證明.（3）由正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)的“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，得出公比或4.再分情況討論，利用“超1數(shù)列”的定義證明數(shù)列是“超1數(shù)列”【小問1詳解】由題知，，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】不存在，理由如下：由題知，對恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差為，所以.假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立.當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立，因為，所以，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故不存在符合要求的實(shí)數(shù).【小問3詳解】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為且，則.因為，所以在數(shù)列中，為最小項.所以在數(shù)列中，為最小項.因為為“超1數(shù)列”，所以只需，即，又，所以.又不是“