導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第七章71712復(fù)數(shù)的幾何意義

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.2.理解用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.掌握用向量的模求復(fù)數(shù)的模的方法.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算一、復(fù)平面1.復(fù)平面:建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.2.實(shí)軸:坐標(biāo)系中的x軸叫做實(shí)軸,在它上面的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).3.虛軸:坐標(biāo)系中的y軸叫做虛軸,除了原點(diǎn)外,在它上面的點(diǎn)都表示純虛數(shù).【教材挖掘】(P70)虛軸上的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么?提示:虛軸上的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)0.二、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng).2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與平面向量OZ一一對(duì)應(yīng)(O為原點(diǎn)).三、復(fù)數(shù)的模1.定義:向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的?；蚪^對(duì)值.2.記法:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作|z|或|a+bi|.3.公式:|z|=|a+bi|=a2四、共軛復(fù)數(shù)1.定義:一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).2.表示:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么z=abi(a,b∈R).【版本交融】(人BP29嘗試與發(fā)現(xiàn))互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么位置關(guān)系?提示:關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,bi)表示.(×)提示:因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示,故錯(cuò)誤.(2)在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).(×)提示:因?yàn)樵c(diǎn)(0,0)在虛軸上,但它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不是純虛數(shù),故錯(cuò)誤.(3)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(√)(4)若|z1|=|z2|,則z1=z2或z1=z2.(×)提示:如z1=1+i,z2=1i滿足|z1|=|z2|,但z1≠z2且z1≠z2,故錯(cuò)誤.類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系(直觀想象)【典例1】(2024·東莞高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z=(m22m3)+(m24m+3)i(m∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,(1)求點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí),實(shí)數(shù)m的值;(2)求點(diǎn)Z在虛軸上時(shí),實(shí)數(shù)m的值;(3)求點(diǎn)Z在第一象限時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)Z在實(shí)軸上,所以虛部m24m+3=0,解得m=1或m=3.(2)點(diǎn)Z在虛軸上時(shí),復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,所以m22m3=0,解得m=3或m=1.(3)點(diǎn)Z在第一象限,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都大于0,即m2-2m-3>0所以m的取值范圍是(∞,1)∪(3,+∞).【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系(1)關(guān)鍵:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).(2)方法:根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,列方程(組)或不等式(組)求解.【即學(xué)即練】(2024·巴中高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z=i2i,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因?yàn)閦=i2i=1i,所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(1,1)在復(fù)平面的第三象限.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知復(fù)數(shù)z=(m+3)+(m1)i(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(3,1) B.(1,3)C.(1,+∞) D.(∞,3)【解析】選A.由復(fù)數(shù)z=(m+3)+(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,可得m+3>0,m-1<0類型二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系(直觀想象)【典例2】在復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中,點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2+3i,3+2i,23i,則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_(kāi)_________.

答案:32i【解析】記O為復(fù)平面的原點(diǎn),由題意得=(2,3),=(3,2),=(2,3).設(shè)=(x,y),則=(x2,y3),=(5,5).由題意知,=,所以x-2=故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為32i.【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系(1)關(guān)鍵:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的=(a,b);(2)方法:解決復(fù)數(shù)與平面向量的一一對(duì)應(yīng)問(wèn)題時(shí),以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為依據(jù),從而實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的相互轉(zhuǎn)化.【即學(xué)即練】若O為復(fù)平面的原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+4i,則+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i【解析】選C.由復(fù)數(shù)的幾何意義,可得=(5,4),=(5,4),所以+=(5,4)+(5,4)=(0,0),所以+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0.類型三復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(1)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,且滿足|z|=5,z+z=6,則z的虛部為_(kāi)_______.

答案:4【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),a>0,b>0,則z+解得a=3b=4所以z=3+4i,虛部為4.(2)(教材提升·例3)已知復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=12+32①求|z1|及|z2|并比較大小;②設(shè)z∈C,滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的軌跡是什么圖形?【解析】①因?yàn)閦1=3+i,z2=12+3所以|z1|=(3|z2|=(-所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2,根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可知,|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圓外部及圓上所有點(diǎn)組成的集合,|z|≤2表示|z|=2所表示的圓內(nèi)部及圓上所有點(diǎn)組成的集合,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心,以1和2為半徑的圓之間的部分(包括兩邊界).【總結(jié)升華】當(dāng)復(fù)數(shù)的模確定時(shí),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是確定的,但對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是不確定的,這些點(diǎn)通常形成以原點(diǎn)為圓心的圓、圓面、圓環(huán)面等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(多選)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量=(1,1)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說(shuō)法正確的是()A.z=1iB.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+ay=2上,則a=3C.|z|=2D.|z|=|z|【解析】選ABD.由題可得z=1i,z=1+i,則|z|=|z|=2,把點(diǎn)(1,1)代入x+ay=2,得a=3.2.設(shè)z∈C,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?(1)|z|=5;(2)2