導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第九章92922總體百分位數(shù)的估計(jì)

9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位數(shù)2.理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析百分位數(shù)1.總體百分位數(shù)的估計(jì)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步:按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步:計(jì)算i=n×p%.第3步:若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù),若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.四分位數(shù)第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù)這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù),其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等,第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.溫馨提示:中位數(shù)是第50百分位數(shù).【教材深化】百分位數(shù)的特點(diǎn)(1)一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù),也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù);(2)第0百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中最小的數(shù),第100百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù);(3)一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一數(shù).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)第p百分位數(shù)一定是樣本中的一個(gè)數(shù).(×)提示:第p百分位數(shù)不一定是樣本中的一個(gè)數(shù).(2)樣本容量越大,求出的第p百分位數(shù)對總體的估計(jì)越接近.(√)提示:樣本容量越大,樣本越接近于總體,所以第p百分位數(shù)對總體的估計(jì)越接近.(3)一組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)一定大于25%分位數(shù).(×)提示:若數(shù)據(jù)均相等,則其75%分位數(shù)等于25%分位數(shù).類型一百分位數(shù)的計(jì)算(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(鏈接教材P203例2、P204例3)從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12件,得到它們的質(zhì)量(單位:kg)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,分別求出這組數(shù)據(jù)的25%,75%,95%分位數(shù).【解析】將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,則25%分位數(shù)是8.0+8.32=8.15,75%分位數(shù)是8.【總結(jié)升華】總體百分位數(shù)估計(jì)需要注意的兩個(gè)問題(1)總體百分位數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算,因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵;(2)由于樣本容量比較少,對總體的估計(jì)可能存在誤差,因此對總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值而非精確值.【即學(xué)即練】1.(2024·武漢高一檢測)從小到大排列的數(shù)據(jù)1,2,3,x,4,5,6,7,8,y,9,10的下四分位數(shù)為()A.3 B.3+xC.8 D.8+y【解析】選B.一共有12個(gè)數(shù)據(jù),12×25%=3,故下四分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)和第4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即3+x2.(2024·營口高一檢測)某校高一年級25個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽,通過簡單隨機(jī)抽樣,獲得了其中8個(gè)班的比賽得分如下:91,89,90,92,93,87,91,94,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為()A.87 B.91 C.92 D.93【解析】選D.將題中數(shù)據(jù)從小到大排列,為87,89,90,91,91,92,93,94,而8×80%=6.4,所以80%分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)據(jù)為93.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·安陽高一檢測)已知甲、乙兩組按從小到大的順序排列的數(shù)據(jù):甲組:27,28,37,m,40,50;乙組:24,n,34,43,48,52.若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)分別對應(yīng)相等,則mn等于(A.127 B.107 C.43 【解析】選B.因?yàn)?0%×6=1.8,50%×6=3,所以甲、乙兩組的第30百分位數(shù)分別為28,n,所以n=28,甲、乙兩組的第50百分位數(shù)分別為372+m2,342+432=38.5,所以372+m2=38.5,所以m=40,所以類型二統(tǒng)計(jì)圖表中的百分位數(shù)(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(一題多解)為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在[10,50](單位:元),其頻率分布直方圖如圖所示,估計(jì)學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù).(結(jié)果保留兩位小數(shù))【解析】方法一:由頻率分布直方圖可得,(0.01+0.023)×10=0.33,(0.01+0.023+0.037)×10=0.7,所以第65百分位數(shù)應(yīng)位于[30,40)內(nèi),所以樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為30+10×0.65-所以估計(jì)學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為38.65元.方法二:由方法一知第65百分位數(shù)應(yīng)位于[30,40),設(shè)為x,則0.01×10+0.023×10+(x30)×0.037=0.65,解得x≈38.65(元),所以估計(jì)學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為38.65元.【總結(jié)升華】頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的求解方法模仿中位數(shù)的求解思路(1)確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b).(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+p%-fa%f【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m,使得86%的居民生活用水不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).在本市居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭,統(tǒng)計(jì)其某年的月均用水量(單位:噸),通過數(shù)據(jù)分析得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a,m的值;(2)如果我們稱m為這組數(shù)據(jù)的86%分位數(shù),那么這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是多少?【解析】(1)由頻率分布直方圖得,(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.由頻率分布直方圖得月均用水量在[0,3)內(nèi)的頻率為1(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.因?yàn)橛?jì)劃在本市實(shí)行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民用水量標(biāo)準(zhǔn)m,使得86%的居民生活用水不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).所以m≈3.(2)由頻率分布直方圖知,數(shù)據(jù)在[0,2)內(nèi)的頻率為(0.06+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.46,在[2,2.5)內(nèi)的頻率為0.50×0.5=0.25,所以這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是2+0.5-0.462.為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況,隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,你能估計(jì)一下這60株樹木的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)嗎?(結(jié)果保留一位小數(shù))【解析】由題意知分別落在各區(qū)間上的頻數(shù)在[80,90)上為60×0.15=9,在[90,100)上為60×0.25=15,在[100,110)上為60×0.3=18,在[110,120)上為60×0.2=12,在[120,130]上為60×0.1=6,從以上數(shù)據(jù)可知第50百分位數(shù)一定落在區(qū)間[100,110)上,由100+10×0.5-0.第75百分位數(shù)一定落在區(qū)間[110,120)上,由110+10×0.75-0.7綜上可知,第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別估計(jì)為103.3cm,112.5cm.類型三總體百分位數(shù)的運(yùn)用(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模)【典例3】(2024·南京高一檢測)某商場為了制定合理的停車收費(fèi)政策,需要了解顧客的停車時(shí)長(單位:min).現(xiàn)隨機(jī)抽取了該商場到訪顧客的100輛汽車進(jìn)行調(diào)查,將數(shù)據(jù)分成6組:(0,100],(100,200],(200,300],(300,400],(400,500],(500,600],并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)若某天該商場到訪顧客的汽車輛數(shù)為1000,根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該天停車時(shí)長在區(qū)間(400,600]內(nèi)的車輛數(shù).(2)為了吸引顧客,該商場準(zhǔn)備給停車時(shí)長較短的車輛提供免費(fèi)停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),請你根據(jù)頻率分布直方圖,給出確定免費(fèi)停車時(shí)長標(biāo)準(zhǔn)的建議(數(shù)據(jù)取整數(shù)).【解析】(1)設(shè)停車時(shí)長在(400,500]內(nèi)的頻率為x,(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+x=1解得x=0.03,所以樣本中停車時(shí)長在區(qū)間(400,600]內(nèi)的頻率為0.03+0.0002×100=0.05,故估計(jì)該天停車時(shí)長在區(qū)間(400,600]內(nèi)的車輛數(shù)是1000×0.05=50.(2)設(shè)免費(fèi)停車時(shí)長不超過ymin.停車時(shí)長在(0,100]內(nèi)的頻率為0.13<0.3,停車時(shí)長在(0,200]內(nèi)的頻率為0.13+0.32=0.45>0.3,所以y∈(100,200],則由0.13+(y100)×0.0032=0.3,得y≈153,故確定免費(fèi)停車時(shí)長為153min.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某學(xué)科能力測試共有12萬考生參加,成績采用15級分,測試成績分布圖如圖,試估計(jì)成績高于11級分的人數(shù)為()