導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第六章64643第3課時(shí)正弦余弦定理的綜合應(yīng)用

第3課時(shí)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用三角形的面積公式解決相關(guān)問(wèn)題.2.體會(huì)正弦、余弦定理在邊角互化中的應(yīng)用.3.能夠利用正弦、余弦定理解決三角形中的綜合問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算類(lèi)型一三角形面積公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,求該四邊形的面積.【解析】連接BD如圖,在△BCD中,由已知條件,∠DBC=180°-所以∠ABD=90°.在△BCD中,由余弦定理知,BD2=BC2+CD22BC·CDcosC=22+222×2×2×cos120°=12,所以BD=23,所以S四邊形ABCD=S=12×4×23+12×2×2×sin120°=5【補(bǔ)償訓(xùn)練】記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=4,c=6,B=π3,則AC邊上的高為(A.217 B.2217 C.321【解析】選D.由b2=a2+c22accosB=16+362×4×6×12=28,得b=27設(shè)AC邊上的高為h,因?yàn)镾△ABC=12acsinB=12所以h=acsinBb=4×6×即AC邊上的高為621【總結(jié)升華】三角形面積公式的應(yīng)用(1)根據(jù)面積公式,由已知條件構(gòu)造所需的要素,主要是兩邊與夾角;(2)對(duì)于四邊形等非三角形圖形,一般需要先添加輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)三角形的面積和.【即學(xué)即練】(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.【解析】(1)由余弦定理可得:cosC=a2+b因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π4,所以2cosB=sinC=22,即cosB=因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3(2)由(1)可得A=πBC=512π,設(shè)△ABC外接圓的半徑為R由正弦定理可得:asinA=bsinB=csinC=2R,所以b=3R所以S△ABC=12bcsinA=12·3R·2R·6+24=3+3,解得R類(lèi)型二正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】已知△ABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC.(1)若C=π12,求sin2B(2)若a=5,b=6,求邊c的值.【解析】(1)由ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC,得2ac(sinAsinC)=2(a2+c2b2)sinC,即(sinAsinC)=2·a2+c由余弦定理得sinAsinC=2sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=sinC+2cosBsinC,故sinBcosCcosBsinC=sinC,即sin(BC)=sinC,又B∈(0,π),C∈(0,π),BC∈(π,π),故BC=C或BC+C=π,即B=2C或B=π(舍),而C=π12,故B=2C=π得2B=π3,得sin2B=3(2)由ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC,結(jié)合正弦定理得ac(ac)=(a2+c2b2)c,得a2ac=a2+c2b2,即b2=c2+ac,由a=5,b=6,得c2+5c36=0,即c=4或c=9(舍去),故c=4.【總結(jié)升華】關(guān)于正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用(1)此類(lèi)題目往往同時(shí)用到兩個(gè)定理,因此要綜合分析已知條件,確定應(yīng)用正弦定理、余弦定理的順序,先求出中間條件,再得出最后結(jié)論;(2)在平面幾何中求邊、求角,通常需要先找到所求邊、角所在的三角形,然后在三角形中借助正弦、余弦定理進(jìn)行求解.【即學(xué)即練】如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,AB⊥AD,AC⊥CD.(1)若sin∠BAC=14,求sin∠BCA(2)若AD=3AC,求AC.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,即解得sin∠BCA=612(2)設(shè)AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,CD=AD2-Asin∠CAD=CDAD=2在△ABC中,由余弦定理的推論得,cos∠BAC=AB2+又∠BAC+∠CAD=π2所以cos∠BAC=sin∠CAD,即x2-1整理得3x28x3=0,解得x=3或x=13即AC=3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2cosA-cos(1)證明:C=2A;(2)記邊AB和BC上的高分別為hc和ha,若hc∶ha=1∶3,判斷△ABC的形狀.【解析】(1)因?yàn)?cosA-cosBcosC+1=bc,由正弦定理得,sinC(2cosAcos整理可得,2sinCcosA=sinBcosC+sinCcosB+sinB=sinA+sinB,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,于是sinCcosAcosCsinA=sinA,即sin(CA)=sinA,因?yàn)锳,C∈(0,π),所以0<CA<π,所以CA=A或CA=πA(舍去),所以C=2A;(2)根據(jù)等面積法可知S△ABC=12AB·hc=12CB·ha,即c·hc=a·h由hc∶ha=1∶3,可得c=3a,又由C=2A及正弦定理可得,asinA=csinC=解得cosA=32由于A(yíng)∈(0,π),所以A=π6所以B=πAC=π2,所以△ABC是直角三角形類(lèi)型三三角形中的中線(xiàn)與角平分線(xiàn)問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1角平分線(xiàn)問(wèn)題【典例3】已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a2=3b2+c2,且sinC=2sinB.(1)求角A的大小;(2)若b+c=6,點(diǎn)D在邊BC上,且AD平分∠BAC,求AD的長(zhǎng)度.【解析】(1)因?yàn)閟inC=2sinB,由正弦定理可得:c=2b,因?yàn)閍2=3b2+c2,所以a2=3b2+(2b)2=7b2,即a=7b,由余弦定理可得,cosA=b2+c2-在△ABC中,A∈(0,π),所以A=2π3(2)由(1)可知,A=2π3,c=2b所以c=2bb設(shè)AD=x,由AD平分∠BAC,所以S△ABD+S△ADC=S△ABC,即12cxsinπ3+12bxsinπ3=1解得x=bcb+c故AD的長(zhǎng)度為43【總結(jié)升華】三角形角平分線(xiàn)問(wèn)題的解題策略等面積法:根據(jù)S△ABD+S△ACD=S△ABC列方程求解,即12c·ADsinA2+12b·ADsinA2=12bcsinA,其中AD【即學(xué)即練】(2024·哈爾濱高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且csinB+3bcosC=3a,b=3.(1)求角B;(2)若a+c=2,求邊AC上的角平分線(xiàn)BD的長(zhǎng).【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理及csinB+3bcosC=3a,得sinBsinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3cosBsinC,即sinBsinC=3cosBsinC,而sinC≠0,解得tanB=3,又B∈(0,π),所以B=π3(2)由B=π3及余弦定理得3=c2+a2ac=(c+a)23ac,又a+c=2,解得ac=13,由S△ABC=S△ABD+S△BDC得12acsinB=12c·BD·sinB2+12a·BD·sinB2,即acsinπ3=BD·(c+a)sinπ6,則13×角度2中線(xiàn)問(wèn)題【典例4】(一題多解)在△ABC中,a=7,S△ABC=63,cosB=17(1)求b;(2)求AC邊上的中線(xiàn).【解析】(1)因?yàn)锽∈(0,π),cosB=17故sinB=43所以S△ABC=12acsinB=7c2×4解得c=3,故b2=a2+c22accosB=49+92×3×7×(17)=64,故b=8(2)方法一:如圖所示,D是AC中點(diǎn),連接BD,cos∠ADB=42+BD2-322×4×BD,cos∠故42+BD2-322×4×BD=方法二:=12(+),=14(+2·+),=1432+2×3×7×17+72=13,||=13.【總結(jié)升華】三角形中線(xiàn)問(wèn)題的解題策略(1)余弦定理法:根據(jù)cos∠ADB=cos∠ADC,利用余弦定理列方程求解(AD為中線(xiàn));(2)向量法:=14=14+14+12||||cosA.【即學(xué)即練】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足asinB=3bcosA.(1)求角A的大小;(2)若BC邊上的中線(xiàn)AD=7,且c=4,求b的值.【解析】(1)由asinB=3bcosA及正弦定理可得sinAsinB=3sinBcosA,因?yàn)锳,B∈(0,π),則sinB>0,可得sinA=3cosA>0,則tanA=3,因此A=π3(2)因?yàn)?+=+12=+12()=12(+),所以2=+,所以4==++2·,即28=4=c2+b2+2bccos∠BAC=c2+b2+bc,即b2+4b12=0,解得b=2(負(fù)值舍去).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,三邊a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,已知a=3,cosB+cosA(1)若c=23,求sinA;(2)若AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為372,求△ABC的面積【解析】(1)因?yàn)閏osB+cosA由正弦定理,得cosB+cosA所以-cos(A所以sinAsinC=3sinAcosC.又因?yàn)閟inA≠0,所以tanC=3.因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3又因?yàn)閍sinA=csinC,所以所以sinA=34(2)設(shè)AB邊上的中線(xiàn)為CD,則2=+,所以4==b2+a2+2abcosC,即37=b2+9+3b,b2+3b28=0