安徽省六安市獨山中學2024-2025學年高二下學期B班3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

六安市新世紀中學2024-2025學年度第二學期高二年級B班三月份月考數(shù)學試卷一、單選題（每題5分共40分）1.過點且與直線垂直的直線l的方程是A. B. C. D.2.若向量，則（）A. B. C. D.3.如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的個數(shù)是（

）①；

②③；

④．A1 B.2 C.3 D.44.已知空間中三點，則（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.與夾角的正弦值是5.點為圓的弦的中點，則直線的方程為（）A. B. C. D.6.已知點，，線段的垂直平分線與x軸相交于點P，則的值為（）A.1 B. C.2 D.7.已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到P點，則光線所經(jīng)過的路程為（）A. B.6 C. D.8.在平面直角坐標系中，點，直線．設圓半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為（）A B. C. D.二、多選題（每題6分，錯選或多選不得分，部分對答部分分共18分）9.已知直線和直線，則（）A.始終過定點 B.若在x軸和y軸上的截距相等，則C若，則或2 D.若，則或10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為11.點在圓：上，點在圓：上，則（）A.的最小值為2 B.的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為 D.兩個圓相交弦所在直線的方程為三、填空題（每題5分共15分）12.在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標為______.13.如圖，在正三棱柱中，，則與所成角的余弦值為______.14.函數(shù)的最小值為________．四、解答題15.已知向量，．（1）若，試求實數(shù)x，y的值；（2）若，且x，y均為正數(shù)，試求xy的最大值．16.分別求滿足下列條件的直線的方程：（1）直線過點，且與軸和直線圍成的三角形的面積為2，求直線的方程．（2）直線的傾斜角為，另一直線的傾斜角，且過點，求的點斜式方程；（3）直線過點，當原點到直線距離最大時，求直線的方程．17.已知圓心為C的圓經(jīng)過點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．18.如圖所示，在正四棱柱中，側棱，底面邊長，E，F(xiàn)分別為棱，的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面間的距離．19.已知，為上三點.（1）求的值；（2）若直線過點(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動點，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

六安市新世紀中學2024-2025學年度第二學期高二年級B班三月份月考數(shù)學試卷一、單選題（每題5分共40分）1.過點且與直線垂直的直線l的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線垂直，得到所求直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可求出結果.【詳解】因為所求直線與直線垂直，所以其斜率為，又所求直線過點，因此，所求直線方程為：，即.故選：D.【點睛】本題主要考查求與已知直線垂直的直線方程，熟記直線的點斜式方程即可，屬于基礎題型.2.若向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間中向量的運算求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了空間中向量的運算，屬于基礎題.3.如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的個數(shù)是（

）①；

②③；

④．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷．【詳解】由正方體，空間向量的加法法則可得．；；；．故選：D．4.已知空間中三點，則（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.與夾角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于A，由題可得，所以不存在實數(shù)，使得，A錯誤；對于B，因為，故與同向的單位向量為，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，則，D錯誤.故選：C.5.點為圓的弦的中點，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由圓（x﹣1）2+y2=25，得到圓心C坐標為（1，0），又P（-1，1），∴kPC=∴弦AB所在的直線方程斜率為2，又P為AB的中點，則直線AB的方程為.故選C．6.已知點，，線段的垂直平分線與x軸相交于點P，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的垂直平分線方程，從而得到，再用兩點之間距離公式計算即可.【詳解】線段AB的中點坐標為，線段AB所在直線的斜率．線段AB的垂直平分線方程為．令，得．解得，因此，．.故選：D【點睛】本題主要考查直線方程，同時考查兩點之間距離公式，屬于簡單題.7.已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到P點，則光線所經(jīng)過的路程為（）A B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】直線AB的方程為：，點關于x軸的對稱點，根據(jù)對稱性特征求得點關于直線AB的對稱點，再根據(jù)反射對稱性可得光線所經(jīng)過的路程為，即得結果.【詳解】直線AB的方程為：，如圖所示，點關于x軸的對稱點，設點關于直線AB的對稱點，如圖，則，且中點在直線上，即聯(lián)立解得，即，所以根據(jù)反射原理的對稱性，光線所經(jīng)過的路程為：．故選：C.【點睛】本題考查了直線的方程、點關于直線的對稱點的求法、兩點之間的距離公式和光線反射的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬中檔題．8.在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得圓的方程，再利用求得點M滿足的圓的方程，進而利用兩圓有公共點列出關于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍.【詳解】圓心C的橫坐標為a，則圓心C的坐標為，則圓的方程，設，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點，則，即，解之得.故選：D二、多選題（每題6分，錯選或多選不得分，部分對答部分分共18分）9.已知直線和直線，則（）A.始終過定點 B.若在x軸和y軸上的截距相等，則C.若，則或2 D.若，則或【答案】AC【解析】【分析】結合直線所過定點的求法、直線的截距、直線平行和垂直等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】化為，由且解得，即直線恒過定點，故A正確；若在x軸和y軸上截距相等，則過原點或其斜率為，則或，故B錯誤；若，則解得或2，故C正確；若，則先由解得或，再檢驗當時重合，故D錯誤.故選：AC10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個法向量D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由線面平行的判定定理證明即可；對于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對于C，由平面法向量求解即可；對于D，由點到平面的距離公式計算即可.【詳解】對于A，由于，分別是的中點，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤；對于C，由，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量，故C正確；對于D，，點到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.點在圓：上，點在圓：上，則（）A.的最小值為2 B.的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為 D.兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】先求出兩個圓的圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心距可得兩圓相離，從而求得兩圓上動點的距離最值，計算直線斜率公式判斷各個選項；【詳解】對于A、B選項：由題意得：，半徑為1，：，，半徑為1，圓心距為，又點在圓上，點在圓上，，，故A錯誤，B正確；對于C選項：兩個圓心所在直線斜率為，C正確；對于D選項：圓心距，所以無公共弦，D錯誤；故選：BC．三、填空題（每題5分共15分）12.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱點的坐標為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接求出關于坐標面對稱點的坐標作答.【詳解】點關于平面的對稱點的坐標為.故答案為：13.如圖，在正三棱柱中，，則與所成角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求出向量,的坐標，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】以A為原點，在平面內(nèi)過點作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，在正三棱柱中，設，則，則，故，，設異面直線與所成角為，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14.函數(shù)的最小值為________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)式變形為．問題轉化為在x軸上求一點到和兩點的距離之和的最小值．【詳解】解：由已知表示與點兩點間的距離，求函數(shù)的最小值，只需求取關于x軸的對稱點，則此時的值即為函數(shù)的最小值，．故答案為【點睛】本題重點考查函數(shù)最值，解題的關鍵是轉化為其幾何意義表示到和兩點間的距離的和，屬于中檔題．四、解答題15.已知向量，．（1）若，試求實數(shù)x，y的值；（2）若，且x，y均為正數(shù)，試求xy的最大值．【答案】（1）x=-4，y=-1；（2）1【解析】【分析】（1）利用向量平行的條件列方程即可解得；（2）利用向量垂直可得，利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因為向量，所以.又向量，，所以，解得：.因此x=-4，y=-1；【小問2詳解】因為向量，所以.又向量，，所以，.因為x，y均為正數(shù)，所以當且僅當，即時取等號.所以所以，即xy的最大值為1.16.分別求滿足下列條件的直線的方程：（1）直線過點，且與軸和直線圍成的三角形的面積為2，求直線的方程．（2）直線的傾斜角為，另一直線的傾斜角，且過點，求的點斜式方程；（3）直線過點，當原點到直線的距離最大時，求直線的方程．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）分直線斜率存在與不存在兩種情況，根據(jù)直線與坐標軸圍成三角形面積來確定直線方程；（2）根據(jù)直線傾斜角與斜率的關系求出直線斜率，進而得到直線方程；（3）依據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1求出直線斜率，從而得出直線方程.【小問1詳解】當直線的斜率不存在時，的方程為，經(jīng)檢驗符合題目的要求．當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即．令得，，由三角形的面積為2，得．解得．可得直線的方程為，綜上可知，直線的方程為或．即或．【小問2詳解】由題意得：，又由，所以，故，所以的斜率為，的點斜式方程為；即．【小問3詳解】由題意知，，，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，即．17.已知圓心為C的圓經(jīng)過點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上，也在直線上求解可得圓心，進而求得半徑即可得圓的方程；先討論直線l斜率不存在時，再設直線l的點斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.【小問1詳解】由題意圓心在弦的中垂線上，又中點，，則弦的中垂線斜率，故中垂線方程：，即，聯(lián)立可得，，即，故圓的半徑.故圓的方程：【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線l與圓不相交；當直線斜率存在時，設方程，因為直線l截圓C所得的弦長為2，故圓心到的距離.則到的距離，則，即，解得或.故方程，即或.18.如圖所示，在正四棱柱中，側棱，底面邊長，E，F(xiàn)分別為棱，的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面間的距離．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法可得，，從而可得線面平行，進而可得面面平行；（2）求得平面的一個法向量，利用向量法可求得到平面的距離，即為兩平面間的距離.小問1詳解】如圖，以D為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，所以，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．又因為，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．因為，平面，所以平面平面．【小問2詳解】由（1）可知平面與平面間的距離等于到平面的距離，設平面的法向量為，由，得，得，令，得．又，所以到平面的距離，所以平面與平面間的距離為．19.已知，為上三點.（1）求的值；（2）若直線過點(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動點，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值為：.【解析】【分析】（1）由