江蘇省揚(yáng)州市樹人高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段檢測數(shù)學(xué)試卷 （原卷版+解析版）

揚(yáng)州市樹人高級中學(xué)2024-2025-2高二年級第一次階段檢測數(shù)學(xué)2025.03注意事項：1.本試卷共4頁，滿分為150分，考試時間120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿涂黑；作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上指定位置作答，在其他位置作答一律無效.4.如需作圖，必須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（）A B.C. D.2.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個點，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.5.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是（）A. B. C. D.6.函數(shù)的極小值點是（）A.1 B.（1，﹣） C. D.（﹣3，8）7.已知函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為A B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，則的值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如果曲線在點處的切線過點，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.10.有下列命題，其中真命題有（）A.若，則A，B，C，D四點共線B.若，則A，B，C三點共線C.若為不共線的非零向量，，則//D.若向量是三個不共面向量，且滿足等式k1＋k2＋k3＝，則k1＝k2＝k3＝011.已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.若有3個零點，則a的范圍為B.時，是的極值點C.時.有唯一零點且D.時，恒成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若某物體運(yùn)動規(guī)律是S=t3-6t2+5（t＞0），則在t=______時的瞬時速度為0．13.已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．14.若存在實數(shù)a，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)b最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.16.已知函數(shù).（1）求曲線y=f(x)在點P(1，-2)處的切線方程；（2）過點P(2，2)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.17.已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足．（1）判斷，，三個向量是否共面；（2）判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．18.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．19.給出下列兩個定義：I.對于函數(shù)，定義域為，且其在上是可導(dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對于一個“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；（2）已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；（3）已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；②若，且定義，若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.

揚(yáng)州市樹人高級中學(xué)2024-2025-2高二年級第一次階段檢測數(shù)學(xué)2025.03注意事項：1.本試卷共4頁，滿分為150分，考試時間120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿涂黑；作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上指定位置作答，在其他位置作答一律無效.4.如需作圖，必須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】.故選：B.2.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量加法法則、減法法則計算即可.【詳解】.故選：B.3.已知函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo)可得,則可轉(zhuǎn)化問題為在上有解,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,因為,則若函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,即在上有解,即存在,使得成立,設(shè),則,當(dāng)時,,所以,即,故選:B【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性問題,考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù),考查轉(zhuǎn)化思想4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可做出選擇.【詳解】∵，∴.令，得.則函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.選項A：違背函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.判斷錯誤；選項B：違背函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.判斷錯誤；選項C：函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.判斷正確；選項D：違背函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.判斷錯誤.故選：C5.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】由題意可得：=.故選：A.6.函數(shù)的極小值點是（）A.1 B.（1，﹣） C. D.（﹣3，8）【答案】A【解析】【分析】求得原函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解出的值，并根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出函數(shù)在何處取得極小值，并求得極值，由此得出正確選項.【詳解】，由得函數(shù)在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，故在處有極小值，極小值點為1.選A【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】是減函數(shù)，由得：故選A.點睛：用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造；如構(gòu)造；如構(gòu)造；如構(gòu)造等.8.設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出的大致圖象，令，結(jié)合圖象得到的范圍，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】因為，作出的大致圖象，如圖，令，由圖象可得，因為，所以，即，則，令，則，令，解得，當(dāng)，即時，，則，單調(diào)遞減，則，解得，符合；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，解得，不符合；綜上，.故選：B.【點睛】方法點睛：本題考查雙變量問題的函數(shù)與方程的應(yīng)用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變量轉(zhuǎn)化為只有1個變量，注意利用數(shù)形結(jié)合考慮變量的取值范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如果曲線在點處的切線過點，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)切點在曲線上可判斷AC，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷BD.【詳解】因為切點為，所以，故A正確；而為切線上的點，不一定為切點，故C錯誤；由切線經(jīng)過和可得切線斜率，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，故B正確D錯誤.故選：CD10.有下列命題，其中真命題的有（）A.若，則A，B，C，D四點共線B.若，則A，B，C三點共線C.若為不共線的非零向量，，則//D.若向量是三個不共面的向量，且滿足等式k1＋k2＋k3＝，則k1＝k2＝k3＝0【答案】BCD【解析】【分析】由向量平行，結(jié)合各點的位置關(guān)系判斷A、B的正誤；利用平面向量共線的判定可判斷C的正誤；應(yīng)用反證法，假設(shè)等量關(guān)系中系數(shù)不都為0，結(jié)合題設(shè)等量關(guān)系及向量共線的判定即可知D的正誤.【詳解】根據(jù)共線向量定義，若，則AB//CD或A，B，C，D四點共線，故A錯；由且、有公共點A，故B正確；由，所以//，故C正確，若條件等量關(guān)系中系數(shù)不都為0，則k1＋k2與k3不可能共線，顯然與題設(shè)矛盾，故D正確．故選：BCD11.已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.若有3個零點，則a的范圍為B.時，是的極值點C.時.有唯一零點且D.時，恒成立【答案】AC【解析】【分析】對于A,有3個零點轉(zhuǎn)化成直線與的交點個數(shù)，對的單調(diào)性進(jìn)行考察，進(jìn)而可得a的范圍.對于B，時，對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點可判斷.對于C，時，對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理可做出判斷.對于D，時，取一個特殊值即可推翻.【詳解】令，則，記則所以在單調(diào)遞增，且值域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上的值域為若有3個零點，則，故A對.當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，最小值為0，故可知，所以在上單調(diào)遞增，無極值點，故B錯.當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，最小值為1，故可知，所以在上單調(diào)遞增，此時有唯一的零點，且，由零點存在性定理可知，故C對.當(dāng)時，，，故D錯.故選:AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若某物體運(yùn)動規(guī)律是S=t3-6t2+5（t＞0），則在t=______時的瞬時速度為0．【答案】4【解析】【分析】由題得S′=3t2-12t=0，解方程即得解.【詳解】解：∵質(zhì)點按規(guī)律S=t3-6t2+5運(yùn)動，∴S′=3t2-12t，令S′=3t2-12t=0，解得t=4，(t=0舍去)∴質(zhì)點在4s時的瞬時速度為0．故答案為4【點睛】本題考查的知識點是變化的快慢與變化率，其中根據(jù)質(zhì)點位移與時間的關(guān)系式求導(dǎo)得到質(zhì)點瞬時速度的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．13.已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．【答案】##60°【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)知可構(gòu)成三角形，利用余弦定理求與的夾角.【詳解】由，即首尾相連可構(gòu)成三角形，所以，又，故.故答案為：14.若存在實數(shù)a，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)b的最小值為________．【答案】【解析】【分析】變換得到，設(shè)，，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，當(dāng)直線過，且與曲線相切時，b最小，設(shè)出切點，求出切線，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計算最值得到答案.【詳解】，，即，令，則，時，，單調(diào)遞增，且，令，則，且，，所以存在使得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，故，畫出各個函數(shù)圖像，如圖所示：當(dāng)時，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，b代表直線在y軸上的截距，當(dāng)直線變化時，觀察得當(dāng)直線過，且與曲線相切時，b最小．設(shè)切點為，則，整理得，令，則，，而當(dāng)時，，，，故當(dāng)|時，，所以當(dāng)時，為增函數(shù)，所以有唯一的零點1，所以，切點為，此時直線方程為，故．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是變換得到，題目轉(zhuǎn)化為切線問題，再結(jié)合函數(shù)圖像和函數(shù)單調(diào)性計算最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求的極值.【答案】（1）（2）的極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可.【小問1詳解】由已知可得，而直線的斜率為，所以；【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故極大值為，極小值為.16.已知函數(shù).（1）求曲線y=f(x)在點P(1，-2)處的切線方程；（2）過點P(2，2)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.【答案】（1）；（2）與.【解析】【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)即為在點P(1，-2)處的切線斜率，代入點斜式方程化簡則可求出切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)方程設(shè)出切點，求得在切點處的導(dǎo)數(shù)，代入點斜式方程，因為過點P(2，2)，將點代入直線方程，可求出切點坐標(biāo)，從而求出切線方程.【詳解】解：（1）由題意可知，則在處的切線斜率，則在點P(1，-2)處的切線方程為：，即切線方程為：.（2）因為，所以設(shè)切點為，斜率為則所求切線方程為：①因為切線過點P(2，2)，所以有解得：或代入①化簡可得切線方程為：或.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程分為在點處的切線和過點處的切線，在點處的切線，直接求導(dǎo)得到切線的斜率，代入點斜式方程化簡即可；（2）過點處的切線，需設(shè)切點，求出在切點處的導(dǎo)數(shù)，然后寫出點斜式方程，將所過的點代入直線方程，求解，然后重新代入化簡可求出直線方程.17.已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足．（1）判斷，，三個向量是否共面；（2）判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．【答案】（1），，共面（2）點M在平面ABC內(nèi)【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可．【小問1詳解】由題知，則，即，所以，，共面．【小問2詳解】由（1）知，，共面且基線過同一點M，所以M，A，B，C四點共面，即點M在平面ABC內(nèi)．18已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）通過對函數(shù)求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）令，通過構(gòu)造新函數(shù)并求導(dǎo)，比較和的大小即可求出函數(shù)的零點個數(shù).【小問1詳解】由題意，在中，當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】在中，

當(dāng)時，，當(dāng)時，無解，∴無零點．當(dāng)時，．令，在中，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∵當(dāng)時，時，，∴當(dāng)即時，無零點，當(dāng)即時，有一個零點；當(dāng)即時，有兩個零點；當(dāng)，即時，有一個零點．綜上所述，當(dāng)時，無零點；當(dāng)或者時，有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分類討論的思想和通過導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)零點，具有很強(qiáng)的綜合性.19.給出下列兩個定義：I.對于函數(shù)，定義域為，且其在上是可導(dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對于一個“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；（2）已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；（3）已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；②若，且定義，若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）既不充分也不必要條件；證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由和，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)的定義，即可得到答案；（2）由成立，得到，設(shè)，得出為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，再設(shè)，得到為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，結(jié)合不是常值函數(shù)，求得不是的必要條件；再由成立，