上海市浦東新區(qū)華東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

周浦中學(xué)2024學(xué)年高三3月月考一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7~12題每題5分）1.不等式：解集為_______2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）)，則______．3.計(jì)算_____________．4.一組數(shù)據(jù)15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位數(shù)是______.5.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.（用數(shù)字作答）6.雙曲線兩條漸近線的夾角為______．7.某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品（人）不喜歡甜品（人）總計(jì)（人）南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020總計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，__________（選填“有”或“沒有”）95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．8.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c，若，則________．9.一個(gè)盒子中有4個(gè)白球,個(gè)紅球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次,已知第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為,則________.10.《數(shù)書九章》天池測(cè)雨：今州郡都有天池盆，以測(cè)雨水．但知以盆中之水為得雨之?dāng)?shù)．不知器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測(cè)，便為平地得雨之?dāng)?shù)．假令盆口徑二尺八寸，底徑一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，則平地降雨量為_________寸．注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸11.在平面上，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，動(dòng)線段AP所形成圖形面積為_______12.已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是__.二、選擇題（滿分18分，其中第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.14.已知變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，，變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，．表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.15.對(duì)于平面上的動(dòng)點(diǎn)P，且滿足對(duì)于，；PA、PB長(zhǎng)度之比為t（t不為0），則我們稱P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所得的軌跡為“完美曲線”.若，，．則下列和“完美曲線”有交點(diǎn)的有幾個(gè)？（1）（2）（3）（4）A.2 B.3 C.4 D.116.函數(shù).其中P，M為實(shí)數(shù)集的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，.下列四個(gè)判斷其中正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.A.①③ B.②③ C.②④ D.①④三、解答題（78分）17.如圖，已知點(diǎn)P在圓柱的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，圓柱的表面積為，，．（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離．18.已知x=（1）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求不等式的解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求a的取值范圍.19.某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由.20.已知橢圓（的右頂點(diǎn)為，焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓C上的任意一點(diǎn).（1）寫出向量和的坐標(biāo)（用字母：，，表示）；（2）若的最大值為2，最小值為，求橢圓C的離心率；（3）在滿足（2）的條件下，若直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)（M、N與橢圓的左右頂點(diǎn)不重合），且以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，求證：直線l必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).21.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）是否存在正整數(shù)，使得滿足，的無窮數(shù)列是存在的，如果存在，求出所有的正整數(shù)的值，如果不存在，說明理由.

周浦中學(xué)2024學(xué)年高三3月月考一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7~12題每題5分）1.不等式：的解集為_______【答案】【解析】【分析】將分式不等式化為求解集.【詳解】由，則，可得，所以不等式的解集為.故答案：2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）)，則______．【答案】【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案．【詳解】，因此，.故答案為：.3計(jì)算_____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：2.4.一組數(shù)據(jù)15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位數(shù)是______.【答案】50【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第75百分位數(shù)的定義求解即得.【詳解】依題意，，所以所求的第75百分位數(shù)是.故答案為：505.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】根據(jù)通項(xiàng)公式,令,解得,所以,故答案為:84.6.雙曲線的兩條漸近線的夾角為______．【答案】【解析】【分析】先求出漸近線方程，設(shè)出直線與軸夾角為，得到，利用二倍角公式得到，從而求出答案.【詳解】的漸近線方程為：，故直線與軸夾角為，則，則，所以故兩條漸近線的夾角為.故答案為：7.某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品（人）不喜歡甜品（人）總計(jì)（人）南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020總計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，__________（選填“有”或“沒有”）95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．【答案】有【解析】【分析】由卡方公式計(jì)算求解．【詳解】，對(duì)照臨界值知，有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．故答案為：有8.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c，若，則________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.【詳解】，由正弦定理得，因?yàn)椋?，故，由于，故，則.故答案為：9.一個(gè)盒子中有4個(gè)白球,個(gè)紅球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次,已知第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為,則________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)條件概率的公式計(jì)算出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B,,,,或(舍).故答案為:610.《數(shù)書九章》天池測(cè)雨：今州郡都有天池盆，以測(cè)雨水．但知以盆中之水為得雨之?dāng)?shù)．不知器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測(cè)，便為平地得雨之?dāng)?shù)．假令盆口徑二尺八寸，底徑一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，則平地降雨量為_________寸．注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸【答案】3【解析】【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸.因?yàn)橛晁?寸，所以水面半徑為寸.則盆中水的體積為（立方寸），所以則平地降雨量等于（寸）,故答案為：11.在平面上，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，動(dòng)線段AP所形成圖形的面積為_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意確定的軌跡，數(shù)形結(jié)合及扇形的面積公式求動(dòng)線段AP所形成圖形的面積.【詳解】由題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓弧，如下圖示，其中，而，易知，所以動(dòng)線段AP所形成圖形的面積.故答案為：.12.已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是__.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，確定點(diǎn)A，B的軌跡，從而設(shè)，求出的表達(dá)式結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，令,設(shè)則由可得，即點(diǎn)A軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，點(diǎn)B軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，則設(shè)，則，（為輔助角），令，則，則，又，而，故，故的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題是關(guān)于向量和三角函數(shù)的綜合性題目，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要注意建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換進(jìn)行解答，難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)的表達(dá)式時(shí)，計(jì)算較為復(fù)雜，要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.二、選擇題（滿分18分，其中第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用充分不必要條件的判斷方法，借助于數(shù)軸理解即得的取值范圍.【詳解】因是的充分不必要條件，可得，但，故得，即的取值范圍是.故選：B.14.已知變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，，變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，．表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正負(fù)相關(guān)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】由變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)，可得變量X與Y之間正相關(guān)，∴；由變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)，可知變量U與V之間負(fù)相關(guān)，∴；綜上所述：與的大小關(guān)系是．故選:C．15.對(duì)于平面上的動(dòng)點(diǎn)P，且滿足對(duì)于，；PA、PB長(zhǎng)度之比為t（t不為0），則我們稱P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所得的軌跡為“完美曲線”.若，，．則下列和“完美曲線”有交點(diǎn)的有幾個(gè)？（1）（2）（3）（4）A.2 B.3 C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得“完美曲線”表示圓心在，半徑的圓，即可根據(jù)圓的范圍求解（1），聯(lián)立方程可判斷（2），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解（3），根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解（4）.【詳解】由題意可得,即，化簡(jiǎn)得，即，故“完美曲線”表示圓心在，半徑的圓，對(duì)于,故與“完美曲線”有交點(diǎn)，對(duì)于,聯(lián)立與可得，解得，故有交點(diǎn)，對(duì)于,圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，有交點(diǎn)，對(duì)于，表示圓心半徑的圓，則兩圓的圓心距離為，故兩圓相交，有交點(diǎn)，故選：C16.函數(shù).其中P，M為實(shí)數(shù)集的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，.下列四個(gè)判斷其中正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】通過取特殊集合分析①③；先分析的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果判斷②；先考慮的情況，然后分析的唯一性，由此判斷④.【詳解】對(duì)于①：若，滿足，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②：若，則由函數(shù)定義可知，即，所以，則，所以，故正確；對(duì)于③：若，滿足，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于④：若，則，；若，假設(shè)，則，所以，所以，所以，這顯然與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以若，則，故正確；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)函數(shù)定義域、值域的理解以及集合的基本運(yùn)算，主要考查學(xué)生的分析與理解能力，難度較大.其中對(duì)于元素的考慮是分析問題的關(guān)鍵.三、解答題（78分）17.如圖，已知點(diǎn)P在圓柱的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，圓柱的表面積為，，．（1）求直線與平面所成角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱的特征可得直線與平面的夾角，即為，然后利用圓柱的表面積為求出，求出，進(jìn)而求解；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求解.【小問1詳解】由題意知，直線與平面的夾角，即為，易知，，又，故，進(jìn)而有，，由圓柱的表面積為，可得，故，故直線與平面夾角為．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，，，因?yàn)槠矫鍭BP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為．18.已知．（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求不等式的解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價(jià)于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a的取值范圍．【小問1詳解】由過，可得，則，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，則，解得，故所求解集為．【小問2詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即有解，化簡(jiǎn)可得，則，且，故在上有解，令，則a2所以，又因?yàn)?，所以?9.某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）2）（i）（ii）應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝【解析】【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得：（2）（i）可取，，的分布列為（ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為得：應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝20.已知橢圓（的右頂點(diǎn)為，焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓C上的任意一點(diǎn).（1）寫出向量和的坐標(biāo)（用字母：，，表示）；（2）若最大值為2，最小值為，求橢圓C的離心率；（3）在滿足（2）的條件下，若直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)（M、N與橢圓的左右頂點(diǎn)不重合），且以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，求證：直線l必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）．（2）；（3）證明見解析，．【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出和的坐標(biāo)；（2）求得利用橢圓的有界性可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出的最大值和最小值，進(jìn)而可求得的值；（3）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知條件得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合韋達(dá)定理可得出的等量關(guān)系，由此可得出直線l所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)?，所以．【小?詳解】，因?yàn)椋詴r(shí)，時(shí)，，所以，所以離心率為；【小問3詳解】由（2）知，橢圓，又聯(lián)立方程組，得．設(shè)是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，于是有Δ以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以或（均滿足）當(dāng)時(shí)