理論力學(xué)（第8版）（哈工大） 第二章學(xué)習(xí)資料

第二章

非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)§2－1非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程其中為質(zhì)點(diǎn)的牽連加速度為質(zhì)點(diǎn)的科氏加速度非慣性參考系：慣性參考系：在慣性參考系內(nèi)：令非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程或質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程牽連慣性力科氏慣性力在非慣性系內(nèi)，上式寫成微分方程形式其中表示質(zhì)點(diǎn)M在非慣性系中的矢徑是對(duì)時(shí)間t的二階相對(duì)導(dǎo)數(shù)非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程幾種特殊情況（1）動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系作平移相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程為（2）動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系作勻速直線平移所有相對(duì)于慣性參考系作勻速直線平移的參考系都是慣性參考系

發(fā)生在慣性參考系中的任何力學(xué)現(xiàn)象都無助于發(fā)覺該參考系本身的運(yùn)動(dòng)情況----相對(duì)性原理（3）質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系靜止質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止的平衡方程

即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中保持相對(duì)靜止時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)的牽連慣性力相互平衡。（4）質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系作等速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡方程地球自轉(zhuǎn)的影響地球總是在自轉(zhuǎn)，固結(jié)在地面上的參考系實(shí)質(zhì)上是非慣性系。由于地球自轉(zhuǎn)角速度較小，每24小時(shí)轉(zhuǎn)2π弧度，因此一般工程上可以將其看為慣性系。但地球自轉(zhuǎn)的影響是真實(shí)存在的，在許多情況下不可忽略。在地面上物體的重量是地球引力與離心慣性力的合力，稱之為表觀重力。地面上鉛垂線的方向也是表觀重力的方向。自由落體甚至不沿表觀重力方向下落，這是由于有科氏慣性力的存在。在北半球，河流的右岸受較大的沖刷，鐵路的右軌易磨損也是由于科氏慣性力的作用。在北半球，用球鉸鏈懸掛一支擺，擺錘運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于其科氏慣性力向右，因此它不會(huì)象單擺一樣在一個(gè)固定平面內(nèi)擺動(dòng)，擺錘將會(huì)向右方偏斜，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。這種擺是傅科于1851年表明的，稱之為傅科擺，它證明了地球的自轉(zhuǎn)。擺（含擺桿）運(yùn)動(dòng)的平面緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。理論計(jì)算表明，該平面旋轉(zhuǎn)一周的周期為在北半球某地上空大氣壓強(qiáng)的等壓線如圖所示。其中心部分是低壓，外部是高壓，則空氣將由高壓向低壓處運(yùn)動(dòng)。氣體運(yùn)動(dòng)時(shí)將受到科氏慣性力作用。在北半球科氏慣性力指向運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)，因此氣體不會(huì)作直線運(yùn)動(dòng)，而是向右偏斜。這就導(dǎo)致在低壓處附近形成逆時(shí)針方向的氣旋。思考：如果中心是高壓，四周是低壓，是否會(huì)形成順時(shí)針方向的氣旋？例2－1求：此時(shí)單擺作微振動(dòng)的周期。已知：如圖所示單擺，擺長為l，小球質(zhì)量為m。其懸掛點(diǎn)O以加速度向上運(yùn)動(dòng)。解：小球相對(duì)于此動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)分析小球受力如圖所示。因動(dòng)參考系作平移，在懸掛點(diǎn)O上固結(jié)一平移參考系相當(dāng)于懸掛點(diǎn)固定的單擺振動(dòng)所以科氏慣性力將上式投影到軌跡的切向軸t上得當(dāng)擺作微振動(dòng)時(shí)角很小有且上式成為令則上式可寫成自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式其解的形式為而振動(dòng)周期為例2－2求：套筒運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)A所需的時(shí)間及此時(shí)對(duì)桿的水平壓力。已知：一直桿OA，長l=0.5m，可繞過端點(diǎn)O的軸在水平面內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

在桿OA上有一質(zhì)量為m=0.1kg的套筒B。設(shè)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，套筒在桿的中點(diǎn)處于相對(duì)靜止，忽略摩擦。解：研究套筒B相對(duì)于OA的運(yùn)動(dòng)選取和桿OA一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系為動(dòng)參考系建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程將上式投影到軸上得令（a）注意上式分離變量并積分即得或（b）上式再分離變量并積分即將式（a）投影到軸上得當(dāng)套筒到達(dá)端點(diǎn)A時(shí)（a）例2－3求：由于地球自轉(zhuǎn)的影響質(zhì)點(diǎn)M回到地表面的落點(diǎn)與上拋點(diǎn)的偏離。已知：在地球表面北緯角處，以初速度鉛直上拋一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M。解：以上拋點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取固定于地球的非慣性參考系為其中軸鉛直向上，近似通過地球中心。軸水平向東，軸水平向北。表現(xiàn)重力其中為地球引力科氏慣性力的矢量積可展開為（a）質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)微分方程引用式（a）上式沿軸的投影式為（b）對(duì)此微分方程組，可以采用逐次的方法求解。由于地球自轉(zhuǎn)角速度ω很小，最初級(jí)的近似計(jì)算中可取ω=0則式（b）的零次近似方程為（c）運(yùn)動(dòng)初始條件為t＝0時(shí)（d）在此條件下式（c）積分一次，得質(zhì)點(diǎn)零次近似的速度為（e）將上式代入式（b），得一次近似的微分方程（f）在式（d）的初始條件下，上式積分一次得一次近似的速度（g）再積分一次，得一次近似的上拋質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程（h）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M回落到原上拋點(diǎn)高度時(shí)可得質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為為負(fù)值，表明上拋質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)，其落點(diǎn)偏西。如果質(zhì)點(diǎn)在高h(yuǎn)處無初速度自由落下其相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程為注意此時(shí)其零次近似的速度式改為（b）以始落點(diǎn)為原點(diǎn)，一次近似的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程式為（i）當(dāng)落下高度h時(shí)，經(jīng)歷時(shí)間為此時(shí)為正值，偏移向東。這就是地球上的落體偏東現(xiàn)象?！?－2非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程為式中是對(duì)時(shí)間t的相對(duì)導(dǎo)數(shù)上式兩端點(diǎn)乘相對(duì)位移科氏慣性力垂直于相對(duì)速度有－表示牽連慣性力在質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移上的元功。質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中相對(duì)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力與牽連慣性力在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中所作的元功之和。－表示力在質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移上的元功。積分上式得質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中相對(duì)動(dòng)能的變化等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與牽連慣性力在相對(duì)路程上所作的功之和。例2－4已知：一平板與水平面成θ角，板上有一質(zhì)量為m的小球，如圖所示，若不計(jì)摩擦等阻力。若平板又以這個(gè)加速度的兩倍向右平移時(shí)，小球應(yīng)沿板向上運(yùn)動(dòng)。球沿板走了l距離后，小球的相對(duì)速度是多少？求：平板以多大加速度向右平移時(shí)，小球能保持相對(duì)靜止。解：（1）在平板上固結(jié)一動(dòng)參考系小球相對(duì)靜止，方程為從中解出得（2）當(dāng)加速度時(shí)應(yīng)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理，有例2－5已知：半徑為R的環(huán)形管，繞鉛垂軸z以勻角