工科數(shù)學(xué)分析 下冊(cè)（第2版）課件：多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)微分學(xué)

第一節(jié)多元函數(shù)的極限

與連續(xù)工科數(shù)學(xué)分析多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域例如，即為開(kāi)集．例如，例如，由一條或幾條曲線所圍成的一部分平面，這樣的點(diǎn)集稱為區(qū)域．圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界．如果區(qū)域不包含它的的邊界，則稱其為開(kāi)區(qū)域．有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．例如，（3）聚點(diǎn)

內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．

點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．（4）n維空間

n維空間的記號(hào)為說(shuō)明：

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式.

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念

特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為（5）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．例1

求的定義域．解所求定義域?yàn)椋?）二元函數(shù)的圖形（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如,圖形如右圖.例如,右圖球面.單值分支:二、多元函數(shù)的極限說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．例2

求證證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例3

求極限解其中例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法：利用點(diǎn)函數(shù)的形式有三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3例5

討論函數(shù)在O(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．**區(qū)域上、曲線上的連續(xù)性閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上有界．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（1）有界性定理（2）最大值和最小值定理（3）介值定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例７解思考題思考題解答不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧《嘣瘮?shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義作業(yè)P46-47,

2，3，4，5，6，7第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)工科數(shù)學(xué)分析偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法高階偏導(dǎo)數(shù)小結(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：偏增量比的極限偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處解證原結(jié)論成立．解不存在．不存在．不存在．證有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解例5解按定義可知：３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)解原始函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形上例中原始函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：解問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例8解按定義可知：?jiǎn)栴}：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解證畢．偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）三、小結(jié)作業(yè)P51-52

1，4，5，7，8第三節(jié)全微分工科數(shù)學(xué)分析全微分全微分的定義可微的條件小結(jié)由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義全增量的概念全微分的定義事實(shí)上，二、可微的條件證總成立,同理可得一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？例如，則(當(dāng)時(shí))說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，證（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）同理習(xí)慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)

通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．解所求全微分解解所求全微分*證令則同理*不存在.多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1---近似計(jì)算也可寫(xiě)成解由公式得全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2---誤差估計(jì)下面利用全微分給出函數(shù)的誤差限與自變量的誤差限之間的關(guān)系。函數(shù)的誤差估計(jì)公式解１．多元函數(shù)全微分的概念；２．多元函數(shù)全微分的求法；３．多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系．（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)作業(yè)P57,

2，3，4,5第四節(jié)復(fù)合函數(shù)

的求導(dǎo)法工科數(shù)學(xué)分析復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法鏈?zhǔn)椒▌t全微分形式不變性小結(jié)證一、鏈?zhǔn)椒▌tSeeP13~ch7-3上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)(totalderivative),區(qū)別于之前的偏導(dǎo)數(shù)（partialderivative）.

上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：鏈?zhǔn)椒▌t如圖示特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似解解解令記同理有于是全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.二、全微分形式不變性解1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）2、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實(shí)質(zhì)）三、小結(jié)作業(yè)P63,

7，8，9,10第五節(jié)隱函數(shù)的

求導(dǎo)法工科數(shù)學(xué)分析隱函數(shù)的求導(dǎo)法一個(gè)方程的情形方程組的情形小結(jié)一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解令則解令則解令則思路：解令則整理得整理得整理得二、方程組的情形線性方程組求解回顧解1直接代入公式；解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣方法得（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則三、小結(jié)作業(yè)P69-70,

2，4，7，8，12，13第六節(jié)方向?qū)?shù)

與梯度工科數(shù)學(xué)分析方向?qū)?shù)與梯度問(wèn)題的提出方向?qū)?shù)的定義梯度的概念小結(jié)實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)

頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，

(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，

它使金屬板受熱．假定板上任意

一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問(wèn)題的提出●●●●●

討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？記為方向?qū)?shù)最大的方向是函數(shù)值變化最驟烈的方向.證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)解解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三、梯度的概念結(jié)論沿著梯度方向,函數(shù)的方向?qū)?shù)最大,即函數(shù)的變化率最大.沿著正梯度方向,函數(shù)的值增加得最快,變化率為梯度的模;沿著負(fù)梯度方向,函數(shù)的值下降得最快,變化率亦為梯度的模;沿著與梯度方向垂直的方向,函數(shù)的值變化得最慢,變化率為零.

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解由梯度計(jì)算公式得故1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)向量）四、小結(jié)Del，或稱nabla，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)算子，特別是在向量微積分中，作為一個(gè)向量微分算子，通常用nabla符號(hào)?表示。當(dāng)應(yīng)用于一個(gè)定義在一維域上的函數(shù)時(shí)，它表示微積分中定義的標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)應(yīng)用于一個(gè)場(chǎng)（定義在多維域上的函數(shù)）時(shí)，del可以表示標(biāo)量場(chǎng)的梯度（局部最陡峭的斜率）。del符號(hào)可以被解釋為偏導(dǎo)算子的矢量。作業(yè)P75-76,

1，2，3，4，5，6，9，10,11第七節(jié)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用工科數(shù)學(xué)分析微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用空間曲線的切線與法平面向量函數(shù)與曲線運(yùn)動(dòng)曲面的切平面與法線小結(jié)設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置——切線的過(guò)程上式分母同除以割線的方程為曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面.切向量指向：與參數(shù)t增大時(shí)點(diǎn)M移動(dòng)的走向

(簡(jiǎn)稱t的增長(zhǎng)方向)一致。解切線方程法平面方程1.空間曲線方程為法平面方程為特殊地：2.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為所求切線方程為法平面方程為二、向量函數(shù)與曲線運(yùn)動(dòng)1、向量函數(shù)同數(shù)量函數(shù)一樣，可以類似地定義

向量函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)積分2、空間曲線的向量形式3、向量函數(shù)的物理應(yīng)用設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)M的曲線三、曲面的切平面與法線令則切平面方程為曲線在曲面上，法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為其中解令●●故方向余弦為故解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)）三、小結(jié)向量函數(shù)與曲線運(yùn)動(dòng)切向量作業(yè)P83,

2，3，4，10,11第八節(jié)二元函數(shù)的

泰勒公式工科數(shù)學(xué)分析二元函數(shù)的泰勒公式問(wèn)題的提出二元函數(shù)的泰勒公式小結(jié)一、問(wèn)題的提出一元函數(shù)的泰勒公式：?jiǎn)栴}：

能否用多個(gè)變量的多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.二、二元函數(shù)的泰勒公式其中記號(hào)表示表示一般地,記號(hào)證引入函數(shù)顯然由的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得其中證畢其中上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.例1解其中1、二元函數(shù)的泰勒公式；四、小結(jié)2、二元函數(shù)的拉格朗日中值公式；3、階麥克勞林公式；作業(yè)P86,

1,2,3，4,5第九節(jié)多元函數(shù)的極值工科數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容多元函數(shù)的極值及其求法最小二乘法多元函數(shù)的極值及其求法問(wèn)題的提出多元函數(shù)的極值和最值條件極值拉格朗日乘數(shù)法小結(jié)實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問(wèn)題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值播放二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義(1)(2)(3)例1例２例３

2、多元函數(shù)取得極值的條件證

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).(即定義梯度為零向量的點(diǎn)為多元函數(shù)的駐點(diǎn))駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：解求最值的一般方法：

將函數(shù)在D

內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值解如圖,解由無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.實(shí)例：小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：多功能膠水和AA電池，設(shè)他購(gòu)買(mǎi)瓶膠水，盒AA電池達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每瓶膠水8元，每盒電池10元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．目標(biāo)函數(shù)約束條件Lagrange函數(shù)，為L(zhǎng)agrange乘數(shù)先構(gòu)造函數(shù)其中為某一常數(shù)，可由解出，其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)，帶有多個(gè)附加條件的情況：

下的極值.要找函數(shù)在條件，解則解可得即多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結(jié)主要內(nèi)容多元函數(shù)的極值及其求法最小二乘法最小二乘法經(jīng)驗(yàn)公式最小二乘法小結(jié)在工程問(wèn)題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值——實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來(lái)找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式．通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達(dá)式叫做經(jīng)驗(yàn)公式.一、經(jīng)驗(yàn)公式問(wèn)題：如何得到經(jīng)驗(yàn)公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法例1為了測(cè)定刀具的磨損速度，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過(guò)一定時(shí)間(如每隔一小時(shí))，測(cè)量一次刀具的厚度,得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：如圖，在坐標(biāo)紙上畫(huà)出這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來(lái)不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差都很小．解就是要使偏差都很小.因此可以考慮選取常數(shù)，使得定義

這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法．這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來(lái)保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很?。芽闯勺宰兞亢偷囊粋€(gè)二元函數(shù)，那么問(wèn)題就可歸結(jié)為求函數(shù)在哪些點(diǎn)處取得最小值.即將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)和分離出來(lái)，便得計(jì)算得代入方程組（1）得解此方程組，得到這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為由（2）式算出的函數(shù)值與實(shí)測(cè)的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：偏差的平方和，

它的平方根．我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)近似表達(dá)原來(lái)函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞．例2

在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，得到下列數(shù)據(jù)：其中表示從實(shí)驗(yàn)開(kāi)始算起的時(shí)間，表示時(shí)刻反應(yīng)物的量．試定出經(jīng)驗(yàn)公式由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道，應(yīng)是指數(shù)函數(shù)：其中和是待定常數(shù).解12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5由于所以仿照例1中的討論,通過(guò)求方程組的解,把確定出來(lái).討論：通過(guò)計(jì)算得將他們代入方程組（3）得解這方程組，得因此所求經(jīng)驗(yàn)公式為三、小結(jié)最小二乘法的原理：作業(yè)P93

2，3，5，7，9，10，11第十節(jié)綜合例題工科數(shù)學(xué)分析多元函數(shù)微分學(xué)主要內(nèi)容典型例題平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念1、區(qū)域（1）鄰域由一條或幾條曲線所圍成的一部分平面，這樣的點(diǎn)集稱為區(qū)域．（2）區(qū)域（3）聚點(diǎn)（4）n維空間2、多元函數(shù)概念定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．3、多元函數(shù)的極限說(shuō)明：（1）定義中的方式