浙江專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式講含解析

PAGEPAGE1第02講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式講1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.2.駕馭正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.3.高考預(yù)料：（1）1.公式的應(yīng)用.（2）高考對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的考查方式以小題或在大題中應(yīng)用為主．4.備考重點(diǎn)：（1）駕馭誘導(dǎo)公式，留意敏捷運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值運(yùn)算和溝通角度之間的聯(lián)系；（2）駕馭同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，留意同角的三個(gè)函數(shù)值中知一求二.學(xué)問點(diǎn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).【典例1】（2024·北京高考模擬（文））已知，且，那么（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?gt;0，故即，又，解得：故選：B【規(guī)律方法】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需依據(jù)角所在的象限推斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類探討．【變式1】（2024·全國(guó)高考模擬（文））若α∈（，π），sinα=，則tanα=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=，則tan．故選：C．學(xué)問點(diǎn)2．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”【典例2】（2024·全國(guó)高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=.【答案】【解析】∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．則tan（θ）＝﹣tan（）．故答案為：．【總結(jié)提升】用誘導(dǎo)公式求值時(shí),要擅長(zhǎng)視察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過程.常見的互余關(guān)系有-α與+α,+α與-α,+α與-α等,常見的互補(bǔ)關(guān)系有-θ與+θ,+θ與-θ,+θ與-θ等.【變式2】（2024·陜西高考模擬（文））已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由誘導(dǎo)公式即可求解.因?yàn)?，則．故應(yīng)選C．學(xué)問點(diǎn)3．特別角的三角函數(shù)值（熟記）【典例3】求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝.【答案】1【解析】原式【總結(jié)提升】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的步驟:(1)負(fù)化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.【變式3】（2024·云南省玉溪第一中學(xué)高考模擬（文））等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，故選C.考點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式【典例4】（2024·上海高考模擬）設(shè)且，若，則______．【答案】1【解析】設(shè)且，若，所以：，=1,又+=1，，=1，又===，故答案為：1．【總結(jié)提升】(1)應(yīng)用公式時(shí)留意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)留意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【變式4】（2024·江蘇高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線與在上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為___．【答案】【解析】由題可得：，解得：，又所以又，解得：所以考點(diǎn)2sinαcosα與sinαcosα的關(guān)系及應(yīng)用【典例5】（2024·山東高三期末（理））已知，，則（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由題意知，，①，即，，為鈍角，，，，，②由①②解得，，故選B.【規(guī)律方法】三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)必會(huì)的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,等類型可進(jìn)行弦化切.(2)“1”的敏捷代換法:等.(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.【變式5】（2024·河北高考模擬（理））已知，，則的值為()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故選B.考點(diǎn)3利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【典例6】化簡(jiǎn)【答案】當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，原式；（2）當(dāng)時(shí)，原式.【規(guī)律方法】1.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡(jiǎn)形式.2.化簡(jiǎn)要求:(1)化簡(jiǎn)過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)潔,能求值的要求出值.【變式6】（2025屆貴州省貴陽市適應(yīng)性考試（二））已知,且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵∴∵∴，則.∵∴故選A.考點(diǎn)4同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【典例7】（2024·山東高三期中（文））若是的一個(gè)內(nèi)角，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知是的一個(gè)內(nèi)角，則0＜θ＜π，結(jié)合，可知sinθ