第四章 專題七 圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的模型建構(gòu)

202X專題七圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的模型建構(gòu)第四章曲線運(yùn)動(dòng)匯報(bào)人姓名匯報(bào)日期題型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題題型2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題題型3斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層添加標(biāo)題01單擊此處添加文本添加標(biāo)題02單擊此處添加文本Contents目錄核心考點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題2023：福建T15；2022：山東T8；

2019：海南T6圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題是本章的難點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn).水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題一般與摩擦力有關(guān)，豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題一般與彈力有關(guān)，關(guān)鍵均在于找到臨界點(diǎn)，列出動(dòng)力學(xué)方程.預(yù)計(jì)2025年高考可能會(huì)出現(xiàn)與生產(chǎn)生活聯(lián)系的圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題，以選擇題或計(jì)算題形式出現(xiàn).豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題2022：全國(guó)甲T14；2021：浙江6月T20；2020：浙江1月T20斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題題型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓.(2)合力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內(nèi)

做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2.臨界問題分析(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力.(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰好

拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等.1.[與圓錐體結(jié)合的臨界]一根輕質(zhì)細(xì)線一端系一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在

一光滑圓錐體頂上，如圖所示.設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，細(xì)

線的拉力為T，則下列T隨ω2變化的圖像可能正確的是(

C

)ABCCD[解析]對(duì)小球受力分析如圖，當(dāng)角速度較小時(shí)，小球在光滑錐面上做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和平衡條件可得

Tsinθ－Ncosθ＝mLsinθ·ω2，

Tcosθ＋N

sinθ＝mg，聯(lián)立解得T＝mgcosθ＋mLsin2

θ·ω2；當(dāng)角速度較大時(shí)，小球離開光滑

錐面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可得Tsinα＝mLsinα·ω2，則T＝mLω2.綜

上所述，只有C可能正確.2.[與繩子結(jié)合的臨界/多選]如圖所示，質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)

細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，當(dāng)輕桿繞軸OO'以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓

周運(yùn)動(dòng)，a繩與水平面成θ角，b繩水平且長(zhǎng)為l，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確

的是(

AC

)A.a繩一定受拉力作用B.a繩所受拉力隨角速度的增大而增大D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化AC

3.[與圓盤結(jié)合的臨界/多選]如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))

放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l.木塊與圓盤間的最

大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸

緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是(

AC

)A.b一定比a先開始滑動(dòng)B.a、b所受的摩擦力始終相等AC

命題拓展[條件拓展]如果兩木塊a、b之間用一輕繩連接，且繩子能承受的最大拉力為T＝

kmg，試分析繩子是否會(huì)發(fā)生斷裂.[答案]繩子不會(huì)發(fā)生斷裂

題型2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

項(xiàng)目繩模型桿模型常見類型

最高點(diǎn)沒有支撐

最高點(diǎn)有支撐過最高點(diǎn)的臨界條件由mg＝[1]

得v臨＝

[2]

?由小球恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝

[3]

?

0

項(xiàng)目繩模型桿模型討論分析＞

0

項(xiàng)目繩模型桿模型討論分析(3)不能過最高點(diǎn)時(shí)，小球在

到達(dá)最高點(diǎn)前已經(jīng)脫離了圓

軌道

0

4.[輕繩模型]如圖甲所示，輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球(可看成質(zhì)點(diǎn))，

讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).改變小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v，測(cè)得相應(yīng)的

輕繩彈力大小F，得到F－v2圖像如圖乙所示，已知圖線的延長(zhǎng)線與縱軸交點(diǎn)的坐標(biāo)

為(0，－b).不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(

B

)A.該小球的質(zhì)量為bgC.圖線與橫軸的交點(diǎn)處小球所受的合力為零D.當(dāng)v2＝a時(shí)，小球的向心加速度為gB

命題拓展[輕繩→輕桿模型]若將輕繩換成輕桿，其F－v2圖像如圖所示.已知桿長(zhǎng)為R，不計(jì)空

氣阻力，則(

D

)DC.當(dāng)v2＝c時(shí)，桿對(duì)小球的彈力方向向上D.當(dāng)v2＝2b時(shí)，小球受到的彈力與重力大小相等

5.[最高點(diǎn)“桿”的作用力方向可變/多選]如圖所示，豎直面內(nèi)有一個(gè)半徑為R的光

滑圓管道，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，使小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，管道很細(xì)，則關(guān)于

小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度v，下列敘述正確的是(

CD

)B.當(dāng)v由零逐漸增大時(shí)，在最高點(diǎn)管道對(duì)小球的彈力也逐漸增大CD

6.[豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際應(yīng)用]如圖所示是某游樂場(chǎng)中水上過山車的原理示意

圖.半徑為R＝8m的圓軌道豎直固定在離水面高h(yuǎn)＝3.2m的水平平臺(tái)上，圓軌道與

水平平臺(tái)相切于A點(diǎn)，A、B分別為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).過山車(實(shí)際是一艘?guī)?/p>

輪子的氣墊小船，可視作質(zhì)點(diǎn))高速行駛，先后會(huì)通過多個(gè)圓軌道，然后從A點(diǎn)離開

圓軌道進(jìn)入光滑的水平軌道AC，最后從C點(diǎn)水平飛出落入水中，整個(gè)過程刺激驚

險(xiǎn)，受到很多年輕人的喜愛.已知水面寬度為s＝12m，不計(jì)空氣阻力，重力加速度

g取10m/s2.(結(jié)果可保留根號(hào))(2)為使過山車安全落入水中，則過山車在C點(diǎn)的最大速度為多少？[答案]

15m/s

(1)若過山車恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)B，則其在B點(diǎn)的速度為多大？

(3)某次運(yùn)動(dòng)過程中乘客在圓軌道最低點(diǎn)A對(duì)座椅的壓力為自身重力的3倍，隨后進(jìn)

入水平軌道AC并落入水中，求過山車落入水中時(shí)的速度大小.

題型3斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最

低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來(lái)解題.物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面

的傾角為θ，重力垂直于斜面的分力與斜面對(duì)物體的支持力相平衡，解決此類問題

時(shí)，可以按以下操作(如圖)，把問題簡(jiǎn)化.2.物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)受力情況的不同，可分為以下三類：(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運(yùn)動(dòng).(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運(yùn)動(dòng).(3)物體在桿的作用下做圓周運(yùn)動(dòng).

C.1rad/sD.0.5rad/s[解析]當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)，所受的靜摩擦力沿斜面向上達(dá)到最大時(shí)，角

速度最大，由牛頓第二定律得μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，解得ω＝1rad/s，故

C正確.C命題拓展[設(shè)問拓展]結(jié)合上述題干信息，判斷下列說(shuō)法的正誤.(1)小物體隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定始終受到三個(gè)力的作用.

(?)(2)小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，ω越大，小物體在最高點(diǎn)處

受到的摩擦力一定越大.

(?)(3)小物體受到的摩擦力可能背離圓心.

(

√

)??√8.[傾斜臨界＋輕桿模型]如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)

＝0.8m的輕桿，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，小球

沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng).取g＝10m/s2.若要小球能通過最高點(diǎn)A，則小球在最低點(diǎn)B的最

小速度為(

A

)A.4m/s

A

1.[水平面內(nèi)的臨界問題/海南高考]如圖，一硬幣(可視為質(zhì)點(diǎn))置于水平圓盤上，

硬幣與豎直轉(zhuǎn)軸OO'的距離為r，已知硬幣與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(最大靜摩擦

力等于滑動(dòng)摩擦力)，重力加速度大小為g.若硬幣與圓盤一起繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則

圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為(

B

)

B12342.[水平面內(nèi)的臨界問題/浙江高考]一質(zhì)量為2.0×103kg的汽車在水平公路上行

駛，路面對(duì)輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104N，當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80m的彎道

時(shí)，下列判斷正確的是(

D

)A.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)所需的向心力為1.4×104NC.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0m/s2D1234

12343.[水平面內(nèi)的臨界問題/2023福建]一種離心測(cè)速器的簡(jiǎn)化工作原理如圖所示.細(xì)桿的

一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO'上的O點(diǎn)，并可隨軸一起轉(zhuǎn)動(dòng).桿上套有一輕質(zhì)彈簧，彈簧

一端固定于O點(diǎn)，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連.當(dāng)測(cè)速器穩(wěn)定工作時(shí)，圓環(huán)將相對(duì)

細(xì)桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.已知細(xì)桿長(zhǎng)度l＝0.2

m，桿與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角α始終為60°，彈簧原長(zhǎng)x0＝0.1m，彈簧勁度系數(shù)k＝100

N/m，圓環(huán)質(zhì)量m＝1kg；彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小取10m/s2，

摩

擦力可忽略不計(jì).1234(1)若細(xì)桿和圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求圓環(huán)到O點(diǎn)的距離；[答案]

0.05m

[解析]圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，設(shè)彈簧壓縮量為x1，由平衡條件可得mgcosα＝kx1

1234(2)求彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大?。?/p>

其中r1＝x0sinα

1234(3)求圓環(huán)處于細(xì)桿末端P時(shí)，細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小.[答案]

10rad/s

在豎直方向有kx2cosα＋mg＝N2sinα其中r2＝lsinα代入數(shù)據(jù)解得ω2＝10rad/s.12344.[豎直面內(nèi)的臨界問題/2024廣東深圳階段練習(xí)]張同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)過山車軌道模

型，如圖所示，由傾角為α＝37°的直軌道AB、半徑為R的圓弧軌道BC、水平軌道

CD、豎直圓軌道以及足夠長(zhǎng)的水平軌道DF組成.C點(diǎn)左側(cè)軌道和豎直圓軌道是光滑

的，水平軌道CD和DF是粗糙的.現(xiàn)將一小物塊由軌道上A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，已知小

物塊的質(zhì)量為m，與水平軌道CD和DF間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.2，AB＝6R，CD＝

2R，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略軌道交錯(cuò)的影響.求：1234(1)物塊第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大??；

[解析]在AB段，根據(jù)牛頓第二定律得mgsinα＝ma

1234(2)物塊第一次運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；[答案]

8.6mg

1234

(3)欲使物塊在豎直圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不脫離軌道，圓軌道的半徑R'應(yīng)滿足什

么條件.[答案]

R'≤1.36R或R'≥3.4R1234

12341.[多選]如圖所示，用一端固定在O點(diǎn)且長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直平

面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(

CD

)A.小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)所受的向心力一定為重力B.小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力不可能為零C.小球過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力一定大于小球重力CD123456789

1234567892.[2023山東臨沂檢測(cè)]無(wú)縫鋼管的制作原理如圖所示，豎直平面內(nèi)，管狀模型置于

兩個(gè)支承輪上，支承輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)通過摩擦力帶動(dòng)管狀模型轉(zhuǎn)動(dòng)，鐵水注入管狀模型

后，由于離心作用，緊緊地覆蓋在模型的內(nèi)壁上，冷卻后就得到無(wú)縫鋼管.已知管狀

模型內(nèi)壁半徑為R，則下列說(shuō)法正確的是(

C

)A.鐵水是由于受到離心力的作用才覆蓋在模型內(nèi)壁上B.模型各個(gè)方向上受到的鐵水的作用力相同C.若最上部的鐵水恰好不離開模型內(nèi)壁，此時(shí)僅重力提供向心力C123456789

1234567893.[2024湖北宜城一中質(zhì)檢/多選]一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內(nèi)壁做圓

周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示.小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)管壁對(duì)小球的作用力大小為FN，小球的速

度大小為v，其FN－v2圖像如圖乙所示.已知重力加速度為g，規(guī)定豎直向下為正方

向，不計(jì)一切阻力.則下列說(shuō)法正確的是(

ABD

)ABD123456789

1234567894.[創(chuàng)新圖像形式/2024湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)?？?多選]如圖所示，水平圓盤上放置一

個(gè)質(zhì)量為m的小物塊，物塊通過長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接到豎直轉(zhuǎn)軸上的定點(diǎn)O，此時(shí)輕繩

恰好伸直，與轉(zhuǎn)軸成37°角.現(xiàn)使整個(gè)裝置繞轉(zhuǎn)軸緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)(輕繩不會(huì)繞到轉(zhuǎn)軸

上)，角速度ω從零開始緩慢增加，直到物塊剛好要脫離圓盤.已知物塊與圓盤間動(dòng)

摩擦因數(shù)μ＝0.5，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，sin37°＝

0.6，cos37°＝0.8.則輕繩的彈力大小FT和物塊受到的摩擦力大小Ff隨ω2變化的圖

像正確的是(

AD

)AD123456789

1234567895.[多選]如圖所示，物體P用兩根長(zhǎng)度相等且不可伸長(zhǎng)的細(xì)線系于豎直桿上，并隨

桿轉(zhuǎn)動(dòng).若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，則(

ABC

)A.ω只有超過某一值時(shí)，細(xì)線AP才有拉力B.細(xì)線BP的拉力隨ω的增大而增大C.細(xì)線BP所受拉力一定大于細(xì)線AP所受拉力D.當(dāng)ω增大到一定程度時(shí)，細(xì)線AP所受拉力大于BP所受拉力ABC123456789

123456789

6.[2022山東]無(wú)人配送小車某次性能測(cè)試路徑如圖所示，半徑為3m的半圓弧BC與

長(zhǎng)8m的直線路徑AB相切于B點(diǎn)，與半徑為4m的半圓弧CD相切于C點(diǎn).小車以最大速

度從A點(diǎn)駛?cè)肼窂?，到適當(dāng)位置調(diào)整速率運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，然后保持速率不變依次經(jīng)過BC

和CD.

為保證安全，小車速率最大為4m/s.在ABC段的加速度最大為2m/s2，CD段的

加速度最大為1m/s2.小車視為質(zhì)點(diǎn)，小車從A到D所需最短時(shí)間t及在AB段做勻速直

線運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)距離l為(

B

)B123456789

1234567897.[多選]如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放著用輕繩相連的質(zhì)量

均為m的兩個(gè)物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，與圓心的距離分別為RA＝r、RB＝2r，

與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增

大到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是(

ABC

)A.此時(shí)繩子所受拉力為T＝3μmgC.此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓盤外D.此時(shí)燒斷繩子，A仍相對(duì)盤靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)A