（人教A版）高二數學下學期期中復習考點題型講練 專題07二項分布與超幾何分布（2個知識點4個拓展1個突破6種題型3個易錯點）（原卷版）

專題07二項分布與超幾何分布（2個知識點4個拓展1個突破6種題型3個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.n重伯努利試驗與二項分布知識點2.超幾何分布拓展1.伯努利試驗與二項分布拓展2.二項分布和超幾何分布拓展3.超幾何分布拓展4.與二項分布、超幾何分布有關的均值與方差突破：統(tǒng)計與超幾何分布的綜合問題【方法二】實例探索法題型1.n重伯努利試驗題型2.二項分布題型3.二項分布的綜合應用題型4.二項分布的均值與方差題型5.超幾何分布的綜合應用題型6.超幾何分布的均值【方法三】差異對比法易錯點1.對二項分布理解不透徹致誤易錯點2.對“至少”與“至多”理解不清楚致誤易錯點3.容易混淆二項分布和超幾何分布【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.n重伯努利試驗與二項分布一、n重伯努利試驗及其特征1．n重伯努利試驗的概念將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗的共同特征(1)同一個伯努利試驗重復做n次．(2)各次試驗的結果相互獨立．二、二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．三、二項分布的均值與方差若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例1．（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）某單位招聘會設置了筆試、面試兩個環(huán)節(jié)，先筆試后面試.筆試設有三門測試，三門測試相互獨立，三門測試至少兩門通過即通過筆試，通過筆試后進入面試環(huán)節(jié)，若不通過，則不予錄用.面試只有一次機會，通過后即被錄用.已知每一門測試通過的概率均為，面試通過的概率為.(1)求甲通過了筆試的條件下，第三門測試沒有通過的概率；(2)已知有100人參加了招聘會，X為被錄取的人數，求X的期望.知識點2.超幾何分布超幾何分布1．定義：一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).例2．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數為，則.拓展1.伯努利試驗與二項分布1．（2023·全國·模擬預測）2023年5月31日，習近平主席在學校考察時指出：“體育鍛煉是增強少年兒童體質的最有效手段”．為提升學生身體素質，某班組織投籃比賽，比賽分為，兩個項目．（i）選手在每個項目中投籃5次，每個項目中投中3次及以上為合格；（ii）第一個項目投完5次并且合格后可以進入下一個項目，否則該選手結束比賽；（iii）選手進入第二個項目后，投籃5次，無論投中與否均結束比賽．若選手甲在項目比賽中每次投中的概率都是．(1)求選手甲參加項目合格的概率；(2)已知選手甲參加項目合格的概率為．比賽規(guī)定每個項目合格得5分，不合格得0分．設累計得分為，為使累計得分的期望最大，選手甲應選擇先進行哪個項目的比賽（每個項目合格的概率與次序無關）？并說明理由．拓展2.二項分布和超幾何分布2．（2023上·北京西城·高三北師大二附中?？计谥校┠承ＴO計了一個實驗學科的實驗考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響，求：(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的實驗操作能力.拓展3.超幾何分布3．（2024上·北京西城·高三統(tǒng)考期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數，求的分布列和數學期望；(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關系.（結論不要求證明）拓展4.與二項分布、超幾何分布有關的均值與方差4．（2024上·河南·高二校聯考期末）一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有可能會產生次品.設該機器生產零件的尺寸為，且規(guī)定尺寸為正品，其余的為次品.現從該機器生產的零件中隨機抽取100件做質量分析，作出的頻率分布直方圖如圖.(1)試估計該機器生產的零件的平均尺寸；(2)如果將每5件零件打包成一箱，若每生產一件正品可獲利30元，每生產一件次品虧損80元.若隨機取一箱零件，求這箱零件的期望利潤.突破：統(tǒng)計與超幾何分布的綜合問題1．（2022上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）《中國制造2025》是經國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領.制造業(yè)是國民經濟的主體，是產國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質量為先，堅持把質量作為建設制造強國的生命線，某企業(yè)生產流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產的產品進行檢測，某日檢測抽取的100件產品的柱狀圖如圖所示：(1)根據樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.若從出廠的所有產品中隨機取出3件，求至少有一件產品是一級品的概率；(2)現從樣本產品中利用分層抽樣的方法隨機抽取10件產品，再從這10件中任意抽取3件，設取到一級品的件數為，求隨機變量的分布列和數學期望.【方法二】實例探索法題型1.n重伯努利試驗1．單選題（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小?質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．題型2.二項分布2．多選題（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知，且，則（

）A． B．C． D．題型3.二項分布的綜合應用3．（2024·全國·模擬預測）一次課外活動舉行籃球投籃趣味比賽，選手在連續(xù)投籃時，第一次投進得1分，并規(guī)定：若某次投進，則下一次投進的得分是本次得分的兩倍；若某次未投進，則該次得0分，且下一次投進得1分．已知某同學連續(xù)投籃n次，總得分為X，每次投進的概率為，且每次投籃相互獨立．(1)當時，判斷與10的大小，并說明理由；(2)當時，求X的概率分布列和數學期望；(3)記的概率為，求的表達式．題型4.二項分布的均值與方差4．填空題（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設隨機變量，，若，則，.題型5.超幾何分布的綜合應用5．（2023·全國·高三專題練習）某從事智能教育技術研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試.經過一個階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查，樣本調查結果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226假設每位學生是否掌握“向量數量積”知識點相互獨立.從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，用表示抽取的2名學生中使用“AI作業(yè)”的人數，求的分布列和數學期望；題型6.超幾何分布的均值6．多選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數為，則（

）A．服從二項分布 B．的值最小為1C． D．【方法三】差異對比法易錯點1.對二項分布理解不透徹致誤1．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）有兩個盒子，其中1號盒子中有3個紅球，2個白球；2號盒子中有6個紅球，4個白球．現按照如下規(guī)則摸球．從兩個盒子中任意選擇一個盒子，再從盒中隨機摸出2個球，摸球的結果是一紅一白．(1)你認為較大可能選擇的是哪個盒子?請做出你的判斷，并說明理由；(2)如果你根據（1）中的判斷，面對相同的情境，作出了5次同樣的判斷，記判斷正確的次數為X，求X的數學期望（實際選擇的盒子與你認為較大可能選擇的盒子相同時，即為判斷正確）．易錯點2.對“至少”與“至多”理解不清楚致誤3．（2023·全國·模擬預測）課堂上，老師為了講解“利用組合數計算古典概型的問題”，準備了x（）個不同的盒子，上面標有數字1，2，3，…，每個盒子準備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎勵”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個盒子放有1張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，第2個盒子放有2張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時，老師在所有盒子中隨機選取1個盒子后，再讓一個同學上臺每次從中隨機抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．(1)若老師選擇了第3個盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數為X，求X的分布列以及數學期望；(2)若，求該同學第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．易錯點3.容易混淆二項分布和超幾何分布3．（2023·江蘇蘇州·校聯考模擬預測）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.(1)當時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項分布中（即男性員工的人數）男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數據：）【方法四】成果評定法一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．2．（2020上·四川眉山·高三仁壽一中?？茧A段練習）同時拋擲枚質地均勻的硬幣次，設枚硬幣恰有一次正面向上的次數為，則的數學期望是（

）A． B． C． D．3．箱子中有標號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為A． B． C． D．4．（2020上·浙江溫州·高二瑞安中學校考期末）已知離散型隨機變量服從二項分布且則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023下·山東·高二校聯考階段練習）甲、乙兩人進行射擊比賽，他們擊中目標的概率分別為和（兩人是否擊中目標相互獨立），若兩人各射擊2次，則兩人擊中目標的次數相等的概率為（

）A． B． C． D．6．（2023下·江西·高二校聯考開學考試）我國古代典籍《藝經》中記載了一種名為“彈棋”的游戲：“彈棋，二人對局，先列棋相當.下呼，上擊之.”其規(guī)則為：雙方各執(zhí)4子，擺放好后，輪流用己方棋子擊打對方棋子，使己方棋子射入對方的圓洞中，先射完全部4子者獲勝.現有甲、乙兩人對弈，其中甲、乙擊中的概率分別為、，甲執(zhí)先手，則雙方共擊9次后游戲結束的概率是（

）A． B． C． D．7．（2023·高二課時練習）若，則取得最大值時，（

）A．4 B．5 C．6 D．5或68．（2021上·高二?？紗卧獪y試）盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現從盒中隨機抽取4個，則概率是的事件為（

）A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的二、多選題9．（2021上·遼寧·高二校聯考階段練習）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，第n行所有數之和為；右圖是英國生物學家高爾頓設計的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排相互平行且相互錯開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個小球從高爾頓板上方的入口落下，小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內，如圖，小球從高爾頓板第1行的第一個縫隙落下的概率是，第二個縫隙落下的概率是；從第2行第一個縫隙落下的概率是，第二個縫腺落下的概率是，第三個縫隙落下的概率是，小球從第n行第m個縫隙落下的概率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個縫隙落下的概率可能為（

）A． B． C． D．10．（2022·高二課時練習）（多選）下列說法正確的是（

）．A．設為重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數，則B．在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響C．對于重伯努利試驗，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同D．如果在次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗中，這個事件恰好發(fā)生次的概率，11．（2021·高二課時練習）某計算機程序每運行一次都會隨機出現一個五位二進制數(例如10100)，其中的各位上的數字出現0的概率為，出現1的概率為，記，則當程序運行一次時(

)A．服從二項分布 B． C． D．12．（2023下·高二單元測試）已知離散型隨機變量服從二項分布，其中，記為奇數的概率為，為偶數的概率為，則下列說法中正確的有（

）A． B．時，C．時，隨著的增大而增大 D．時，隨著的增大而減小三、填空題13．（2021上·高二?？紗卧獪y試）若隨機變量，則.14．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若每經過一天某種物品的價格變?yōu)樵瓉淼?.02倍的概率為0.5，變?yōu)樵瓉淼?.98倍的概率也為0.5，則經過6天該物品的價格較原來價格增加的概率為．15．一次數學測驗由25道選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個題目選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分．某學生選對任一題的概率為0.6，則此學生在這一次測驗中的成績的均值與方差分別為．16．（2024上·全國·高三專題練習）某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數為.若記取出3個球中黑球的個數為，則.四、解答題17．（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯考期末）某學校高一，高二，高三三個年級的學生人數之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學生來了解學生的睡眠情況.(1)應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學生人數，求隨機變量X的分布列：②將這7名學生中“睡眠不足”的頻率視為該學校學生中“睡眠不足”的概率，若從該學校全體學生（人數較多）中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學生的人數，求Y的期望和方差：18．（2021上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習）智能體溫計由于測溫方便、快捷，已經逐漸代替水銀體溫計應用于日常體溫檢測.調查發(fā)現，使用水銀體溫計測溫結果與人體的真實體溫基本一致，而使用智能體溫計測量體溫可能會產生誤差.對同一人而言，如果用智能體溫計與水銀體溫計測溫結果相同，我們認為智能體溫計“測溫準確”否則，我們認為智能體溫計“測溫失誤”.現在某社區(qū)隨機抽取了人用兩種體溫計進行體溫檢測，數據如下:序號智能體溫計測溫水銀體溫計測溫序號智能體溫計測溫水銀體溫計測溫0111021203130414051506160717081809191020（1）試估計用智能體溫計測量該社區(qū)人“測溫準確”的概率;（2）從該社區(qū)中任意抽查人用智能體溫計測量體溫，設隨機變量為使用智能體溫計“測溫準確”的人數，求的分布列與數學期望.19．（2022上·廣東廣州·高三廣州六中校考期末）某地區(qū)共有200個村莊，根據扶貧政策的標準，劃分為貧困村與非貧困村.為了分析2018年度該地區(qū)的（國內生產總值）（單位：萬元）情況，利用分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為20的樣本，并繪成如圖所示的莖葉圖.(1)（i）分別求樣本中非貧困村與貧困村的的平均值；（ii）利用樣本平均值來估算該地區(qū)2018年度的的總值.(2)若從樣本中的貧困村中隨機抽取4個村進行調研，設表示被調研的村中低于（i）中貧困村平均值的村的個數，求的分布列及數學期望.20．（2023·貴州·清華中學校聯考模擬預測）某工廠的質檢部門對擬購買的一批原料進行抽樣檢驗，以判定是接收還是拒收這批原料.現有如下兩種抽樣檢驗方案：方案一：隨機抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格數不超過1個，則認為這批原料合格，予以接收；方案二：先隨機抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗，若都合格，則予以接收；若樣本中不合格數超過1個，則拒收；若樣本中不合格數為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批樣本全部合格才予以接收.假設擬購進的這批原料的合格率為，并用作為原料中每件產品是合格品的概率.若每件產品所需的檢驗費用為3元，且費用由工廠承擔.(1)若，即方案二中所需的檢驗費用為隨機變量，求的分布列與期望；(2)分別計算兩種方案中這批原料通過檢驗的概率，若你是原料供應商，你希望質檢部門采取哪種檢驗方案?說明理由.21．（2023上·全國·高三專題練習）為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省推出了省內居民階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期，月度滾動使用．第一階梯：年用電量在2160度以下(含2160度)，