2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分54分）共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分。1．若，則．2．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則．3．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為．4．已知，則的值為．5．已知點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則．6．高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，如圖所示，成績(jī)都在，內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為．7．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是．8．某校甲、乙兩名女生進(jìn)行乒乓球比賽，約定“七局四勝制”，即先勝四局者獲勝．若每一局比賽乙獲勝的概率為，事件表示“乙獲得比賽勝利”，事件表示“比賽進(jìn)行了七局”，則．9．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是．①與為異面直線；②與平面所成角的正切值為；③過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積相等；④線段在底面的射影長(zhǎng)為．10．某校中學(xué)生籃球隊(duì)集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．已知第一次訓(xùn)練時(shí)用過(guò)的球放回后都當(dāng)作舊球，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為．12．至少通過(guò)一個(gè)正方體的3條棱中點(diǎn)的平面?zhèn)€數(shù)為．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案。13．設(shè)，分別是平面，的法向量，直線的方向向量為，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則或，重合14．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．815．有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則A．與為對(duì)立事件 B．與為相互獨(dú)立事件 C．與為相互獨(dú)立事件 D．與為互斥事件16．下列結(jié)論正確的有A．若隨機(jī)變量，則 B．若隨機(jī)變量，，則 C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位數(shù)為96 D．將總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，，若，則總體方差三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟。17．已知的展開(kāi)式中，第2項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．18．如圖，在幾何體中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，，．（1）求證：平面．（2）若與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離．19．（16分）為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類(lèi)別的機(jī)動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車(chē)的行車(chē)速度服從正態(tài)分布，其中，分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速和車(chē)速的方差（經(jīng)計(jì)算．（?。┱?qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米時(shí)的車(chē)輛數(shù)（精確到個(gè)位）；（ⅱ）現(xiàn)從經(jīng)過(guò)該公路的機(jī)動(dòng)車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車(chē)速低于85千米時(shí)的車(chē)輛數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附注：若，則，，．參考數(shù)據(jù)：．20．如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱(chēng)為“盆開(kāi)線”．曲線與軸有、兩個(gè)交點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，求部分橢圓方程、部分雙曲線方程及直線的方程；（2）過(guò)的直線與相交于點(diǎn)、、三點(diǎn)，求證：．21．（18分）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長(zhǎng)半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，，且，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（不與，兩點(diǎn)重合）且直線．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：，的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；（3）求直線，，圍成的三角形面積的最小值．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號(hào)13141516答案BCBB一、填空題（本大題滿分54分）共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分。1．若，則6．解：，，即，由題意可得，，解得且，，解得．．故答案為：6．2．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則．解：表示做了4次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，．故答案為：．3．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為．解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則，即，圓錐的高為，則該圓錐的體積．故答案為：．4．已知，則的值為．解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，展開(kāi)式中的值為．故答案為：．5．已知點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則．解：由點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，又，解得，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為，又，，所以，解得，故答案為：．6．高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，如圖所示，成績(jī)都在，內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為85．解：因?yàn)?，參賽成?jī)位于，內(nèi)的頻率為，第75百分位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85．故答案為：85．7．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是36．解：正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角截面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”；故答案為36．8．某校甲、乙兩名女生進(jìn)行乒乓球比賽，約定“七局四勝制”，即先勝四局者獲勝．若每一局比賽乙獲勝的概率為，事件表示“乙獲得比賽勝利”，事件表示“比賽進(jìn)行了七局”，則．解：根據(jù)題意，由事件表示“乙獲得比賽勝利”，可得，事件表示“比賽進(jìn)行了七局”，可得，所以．故答案為：．9．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是①②③．①與為異面直線；②與平面所成角的正切值為；③過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積相等；④線段在底面的射影長(zhǎng)為．解：對(duì)于①，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以與為異面直線，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)槠矫嫫矫妫耘c平面所成角即與平面所成角，連接，由題意知平面，故是與平面所成角，在△中，，故②正確；對(duì)于③，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積關(guān)系，即為平面截正方體所得兩部分的體積關(guān)系，由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知截得兩部分幾何體的體積相等，故③正確；對(duì)于④，取中點(diǎn)，連接，，則且底面，所以底面，所以的長(zhǎng)為線段在底面的射影長(zhǎng)，在△中，，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．10．某校中學(xué)生籃球隊(duì)集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．已知第一次訓(xùn)練時(shí)用過(guò)的球放回后都當(dāng)作舊球，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為．解：用，1，表示第一次取到個(gè)新球的事件，用表示第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的事件，則，且，，兩兩互斥，，，，，，，第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為：（B）．故答案為：．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為．解：由，可設(shè)，，點(diǎn)在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得，即，得，則，，在△中，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，解得．則雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．12．至少通過(guò)一個(gè)正方體的3條棱中點(diǎn)的平面?zhèn)€數(shù)為81．解：12條棱的中點(diǎn)，任選3個(gè)點(diǎn)都不共線，則有個(gè)平面，其中4個(gè)點(diǎn)共面有個(gè)，6點(diǎn)共面有4個(gè)，重復(fù)的有．所以共有個(gè)．故答案為：81．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案。13．設(shè)，分別是平面，的法向量，直線的方向向量為，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則或，重合解：因?yàn)?，分別是平面，的法向量，直線的方向向量為，若，則，所以選項(xiàng)正確；若，則或，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，所以選項(xiàng)正確；若，則或，重合，所以選項(xiàng)正確．故選：．14．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為A．5 B．6 C．7 D．8解：由已知可得，則拋物線的方程為：．由拋物線的定義知：點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可知，的最小值是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為7．故選：．15．有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則A．與為對(duì)立事件 B．與為相互獨(dú)立事件 C．與為相互獨(dú)立事件 D．與為互斥事件解：由題意，與互斥但不對(duì)立，故錯(cuò)；事件有，，，，共5種，則，事件有，，，共4種，則，其中事件有共1種，事件有，共2種，，則，所以與相互獨(dú)立，故對(duì)；，所以與不獨(dú)立，故錯(cuò)；因?yàn)榕c可同時(shí)發(fā)生，所以與不互斥，故錯(cuò)．故選：．16．下列結(jié)論正確的有A．若隨機(jī)變量，則 B．若隨機(jī)變量，，則 C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位數(shù)為96 D．將總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，，若，則總體方差解：對(duì)于，若隨機(jī)變量，則，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若隨機(jī)變量，則，所以，所以，故正確；對(duì)于，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位數(shù)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，不妨設(shè)兩層數(shù)據(jù)分別為，，，，，，，，因?yàn)?，所以總體平均數(shù)，則，，所以總體方差為，則，只有，或時(shí)才有，否則，故錯(cuò)誤．故選：．三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟。17．已知的展開(kāi)式中，第2項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．解：（1）由題可得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則第2項(xiàng)的系數(shù)為，令，則第3項(xiàng)的系數(shù)為，所以第2項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，解得：．（2）由（1）知，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為．18．如圖，在幾何體中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，，．（1）求證：平面．（2）若與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離．【解答】證明：（1）過(guò)作，為垂足，如圖所示，平面，平面，，四邊形為直角梯形，，，且四邊形為正方形，，，，，在中，，，，平面，平面，平面．解：（2）過(guò)作，為垂足，如圖所示，由（1）知平面．平面，，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離即為線段的長(zhǎng)，平面，與平面所成的角為，為與平面所成的角，且，由（1）知在中，，，即點(diǎn)到平面的距離為．19．（16分）為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類(lèi)別的機(jī)動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車(chē)的行車(chē)速度服從正態(tài)分布，其中，分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速和車(chē)速的方差（經(jīng)計(jì)算．（?。┱?qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米時(shí)的車(chē)輛數(shù)（精確到個(gè)位）；（ⅱ）現(xiàn)從經(jīng)過(guò)該公路的機(jī)動(dòng)車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車(chē)速低于85千米時(shí)的車(chē)輛數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附注：若，則，，．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）由題意可得，樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速．（2）由題意其中，，所以，（?。┮?yàn)椋?，所以該公路?0000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米時(shí)的車(chē)輛數(shù)的估計(jì)值為．（ⅱ）車(chē)速低于85千米時(shí)的概率為，而，所以20．如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱(chēng)為“盆開(kāi)線”．曲線與軸有、兩個(gè)交點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，求部分橢圓方程、部分雙曲線方程及直線的方程；（2）過(guò)的直線與相交于點(diǎn)、、三點(diǎn)，求證：．解：（1）因?yàn)榍€與軸有，兩個(gè)交點(diǎn)，所以，由題設(shè)可得，解得，故橢圓方程為：，雙曲線方程為．由直線過(guò)點(diǎn)和，得，則，即．（2）由題意可得的斜率存在且不為零，故設(shè)方程為：，聯(lián)立，整理得：，，即且，解得：或，即．聯(lián)立，整理得：，，解得：或，即．所以，所以，所以．21．（18分）在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長(zhǎng)半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，，且，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（不與，