第十七章 勾股定理 評價卷 2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教版八年級下冊

第十七章勾股定理評價卷

(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分)1.下列數(shù)組是勾股數(shù)的是(B)A.1,2,3 B.3,4,5 C.6,8,14 D.7,23,262.在平面直角坐標系中,點P(1,3)到原點的距離是(B)A.4 B.10 C.22 D.無法確定3.已知a,b,c為三角形的三邊長,且滿足等式|a-5|+(b-12)2+c-A.銳角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是(D)A.25 B.14 C.7 D.7或255.如圖所示,正方形OABC的邊OC落在數(shù)軸上,OC=2,以點O為圓心,OB長為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點D,則點D表示的數(shù)是(B)A.22 B.-22 C.2 D.-26.下列命題的逆命題是假命題的是(C)A.等腰三角形的兩個底角相等B.內(nèi)錯角相等,兩直線平行C.對頂角相等D.等邊三角形的三個角都是60°7.如圖所示,一支鉛筆放在圓柱體筆筒中,筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm,則這支鉛筆的長度可能是(D)A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm8.一艘輪船以16nmile/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行,另一艘輪船以12nmile/h的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行,則離開港口2h后,兩船相距(D)A.25nmile B.30nmile C.35nmile D.40nmile9.如圖所示,一圓柱體的底面周長為24cm,高BD為5cm,BC是直徑,一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程大約是(C)A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm10.如圖所示是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格,△ABC的頂點A,B,C均在格點上.若AD⊥BC于點D,則線段AD的長為(D)A.5 B.25 C.1 D.211.如圖所示,折疊長方形紙片ABCD的一邊AD,使點D落在邊BC上的點F處,已知AB=8cm,AD=10cm,則EF的長為(D)A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm12.如圖(1)所示是我國古代著名的“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形圍成的,若較短的直角邊BC=5,斜邊AB=61,若將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍,得到如圖(2)所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個風(fēng)車的外圍周長是(B)A.70 B.76 C.72 D.80二、填空題(本題共4小題,每小題4分,共16分)13.命題“等邊三角形是等腰三角形”的逆命題是等腰三角形是等邊三角形,它是假命題(選填“真”或“假”).

14.如圖所示,一座橋橫跨一河,橋長40m,一艘小船自橋北頭出發(fā),向正南方駛?cè)?因水流原因到達南岸后,發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m,則小船實際行駛的距離為41m.

15.如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于點D,且AB=4,BD=5,則點D到BC的距離為3.

16.有一個邊長為1的大正方形,經(jīng)過1次“生長”后,在它的左右肩上生出兩個小正方形,其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形,再經(jīng)過1次“生長”后,形成的圖形如圖所示.如果繼續(xù)“生長”下去,它將變得“枝繁葉茂”,那么“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2025.

三、解答題(本題共9小題,共98分)17.(10分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c.若a=5,b=10,求c的值.解:由勾股定理,知c2=a2+b2=52+102=125,∴c=55.18.(10分)如圖所示的是由單位長度為1的小正方形組成的網(wǎng)格,按要求作圖.在圖中畫出一條長為5的線段.解:(畫法不唯一)如圖所示.∵AC=AB2+BC∴線段AC即為所求.19.(10分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,AD=12cm,CD=13cm,判斷△ACD的形狀,并說明理由.解:△ACD是直角三角形.理由如下:∵△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,∴AC=AB2+∵AD=12cm,CD=13cm,∴52+122=132.∴△ACD是直角三角形.20.(10分)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著,作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起,踏板一尺離地.送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇,算出索長有幾.”(注:1步=5尺)譯文:有一架秋千(如圖(1)所示),當它靜止時,踏板離地1尺,將它往前推送10尺(水平距離,如圖(2)所示)時,秋千的踏板就和人一樣高,這個人的身高為5尺,秋千的繩索始終拉得很直,問繩索有多長.圖(1)圖(2)解:設(shè)秋千的繩索長為x尺.根據(jù)題意,可列方程為x2=102+(x-4)2,解得x=292∴秋千的繩索長為29221.(10分)如圖所示,D為△ABC的邊BC上的一點,AB=10,AD=6,CD=2AD,BD=23(1)求BC的長;(2)求△ABC的面積.解:(1)∵AD=6,CD=2AD,∴CD=12.∵BD=23(2)在△ABD中,∵AB=10,AD=6,BD=8,∴AB2=100,AD2+BD2=100.∴AB2=AD2+BD2.∴△ABD為直角三角形,且∠ADB=90°,即AD⊥BC.∴S△ABC=12BC·22.(12分)如圖(1)所示,直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b(a<b),斜邊長為c.(1)探究:用四個這樣的直角三角形拼成一大一小兩個正方形如圖(2)所示.①小正方形的邊長為c,大正方形的邊長為;

②由大正方形面積的不同表示方式可以得出等式,整理得,從而驗證勾股定理;

(2)應(yīng)用:將兩個這樣的直角三角形按圖(3)所示擺放,使BC和CD在一條直線上,連接AE.請你類比(1)中的方法用圖(3)驗證勾股定理.解:(1)①a+b②(a+b)2=4×12ab+c2a2+b2=c(2)∵∠BAC+∠ACB=90°,∠BAC=∠ECD,∴∠ECD+∠ACB=90°.∴∠ACE=90°.用兩種不同的方法表示出梯形ABDE的面積,可得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12∴a2+2ab+b2=2ab+c2.∴a2+b2=c2.23.(12分)為培養(yǎng)學(xué)生的勞動情感、勞動能力和勞動品質(zhì),學(xué)校給八年級(1)班,八年級(2)班各分一塊三角形形狀的勞動試驗基地.(1)當班主任測量出八年級(1)班試驗基地的三邊長分別為5m,12m,13m時,一邊的小明很快給出這塊試驗基地的面積.求出的面積為m2.

(2)八年級(2)班的勞動試驗基地的三邊長分別為AB=15m,BC=14m,AC=13m(如圖所示),你能幫助他們求出面積嗎?解:(1)30(2)過點A作AH⊥BC于點H,如圖所示,設(shè)BH=x,則CH=14-x.在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,∴152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AH=15∴△ABC的面積=12BC·AH=12×14×12=84(m答:△ABC的面積是84m2.24.(12分)如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運動,設(shè)運動的時間為ts.(1)若△ABP是以BP為斜邊的直角三角形,求t的值;(2)若△ABP是以BP為腰的等腰三角形,求t的值.解:(1)如圖①所示,∵∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,∴BC=52∴CP=t-4.由∠ACP=∠BAP=90°,可得AP2=t2-25=(t-4)2+9,解得t=254∴t的值為254(2)如圖②所示,當AB=BP時,t=5.如圖③所示,當BP=AP時,CP=4-t.在Rt△APC中,可得9+(4-t)2=t2,解得t=258綜上所述,t的值為5或25825.(12分)定義:如圖所示,點M,N把線段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M,N是線段AB的勾股分割點.(1)已知M,N把線段分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN2=12,則點M,N是線段AB的勾股分割點嗎?請說明理由.(2)已知M,N是線段AB的勾股分割點,且AM為直角邊,若AB=12,AM=5,求BN的長.解:(1)是.理由如下:因為AM=2,MN=4,BN2=12,所以AM2+BN2=16,MN2=42=16.所以AM