高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 函數(shù)的極值教學(xué)實(shí)錄 北師大版選修2-2

高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的極值教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的極值教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的極值。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，與之前學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的概念和求導(dǎo)法則緊密相連。教材章節(jié)為北師大版選修2-2中的第三章“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”的第3.1節(jié)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。學(xué)生將通過探究函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系，提高數(shù)學(xué)抽象能力；通過分析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，發(fā)展邏輯推理能力；通過解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模能力；在求導(dǎo)和判斷極值點(diǎn)的過程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的概念和求導(dǎo)法則。他們應(yīng)該能夠識(shí)別基本的函數(shù)類型，并使用導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣因人而異，部分學(xué)生對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的概念可能表現(xiàn)出濃厚的興趣，尤其是當(dāng)他們能夠?qū)?shù)學(xué)與實(shí)際問題聯(lián)系起來時(shí)。學(xué)生的能力水平各異，一些學(xué)生可能在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題方面表現(xiàn)出較強(qiáng)的能力，而另一些學(xué)生可能需要更多的時(shí)間和指導(dǎo)。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過圖形直觀理解概念，有的則更傾向于邏輯推理和公式應(yīng)用。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與極值時(shí)，可能面臨以下困難：理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的復(fù)雜關(guān)系，特別是在判斷極值點(diǎn)時(shí)如何確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；掌握如何使用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，特別是當(dāng)問題涉及多變量或更復(fù)雜的函數(shù)形式時(shí)。此外，學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)證明和推理的過程感到困惑，尤其是在處理非連續(xù)函數(shù)和分段函數(shù)時(shí)。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、投影儀、計(jì)算機(jī)、筆記本電腦、多媒體音響系統(tǒng)

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺(tái)、在線學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)

-信息化資源：數(shù)學(xué)教學(xué)軟件、在線教育資源庫(kù)、函數(shù)圖像生成軟件

-教學(xué)手段：PPT課件、教學(xué)視頻、教學(xué)案例、互動(dòng)式學(xué)習(xí)工具教學(xué)過程設(shè)計(jì)【導(dǎo)入環(huán)節(jié)】

1.創(chuàng)設(shè)情境：播放一段自然界中物體運(yùn)動(dòng)變化的視頻，如瀑布、河流等，引導(dǎo)學(xué)生觀察物體運(yùn)動(dòng)的速度變化。

2.提出問題：視頻中的物體運(yùn)動(dòng)速度是如何變化的？如何描述這種變化？

3.學(xué)生討論：分組討論，分享觀察到的運(yùn)動(dòng)速度變化情況。

4.總結(jié)：引出速度的概念，引出導(dǎo)數(shù)的概念，為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與極值做鋪墊。

用時(shí)：5分鐘

【講授新課】

1.導(dǎo)數(shù)的概念：介紹導(dǎo)數(shù)的定義，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某一點(diǎn)上瞬時(shí)變化率的物理量。

2.函數(shù)的單調(diào)性：講解單調(diào)增、單調(diào)減的概念，通過實(shí)例展示如何判斷函數(shù)的單調(diào)性。

3.函數(shù)的極值：介紹極值的定義，講解如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)。

4.應(yīng)用實(shí)例：通過實(shí)際案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

用時(shí)：15分鐘

【鞏固練習(xí)】

1.練習(xí)題：布置與單調(diào)性和極值相關(guān)的練習(xí)題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。

2.討論與解答：學(xué)生分組討論練習(xí)題，互相解答疑問，教師巡視指導(dǎo)。

3.課堂展示：每組選派代表展示解題過程，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

用時(shí)：10分鐘

【課堂提問】

1.提問：如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？

2.回答：學(xué)生回答問題，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)。

3.提問：如何求函數(shù)的極值？

4.回答：學(xué)生回答問題，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)。

用時(shí)：5分鐘

【師生互動(dòng)環(huán)節(jié)】

1.創(chuàng)設(shè)問題：提出與單調(diào)性和極值相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考。

2.小組討論：學(xué)生分組討論問題，分享討論結(jié)果。

3.課堂展示：每組選派代表展示討論結(jié)果，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

4.教師總結(jié)：針對(duì)學(xué)生展示的結(jié)果，教師進(jìn)行總結(jié)和拓展。

用時(shí)：10分鐘

【創(chuàng)新教學(xué)】

1.引入動(dòng)畫演示：利用動(dòng)畫演示函數(shù)圖像的變化，讓學(xué)生直觀地理解單調(diào)性和極值的概念。

2.互動(dòng)式學(xué)習(xí)：利用教學(xué)軟件，設(shè)計(jì)互動(dòng)式練習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.實(shí)踐應(yīng)用：組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，如制作函數(shù)圖像，讓學(xué)生在實(shí)際操作中鞏固所學(xué)知識(shí)。

用時(shí)：5分鐘

【總結(jié)】

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)，包括導(dǎo)數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性和極值等。

2.作業(yè)布置：布置與單調(diào)性和極值相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生在課后完成。

3.課堂小結(jié)：教師對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

用時(shí)：5分鐘

總計(jì)用時(shí)：45分鐘拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《微積分學(xué)基本定理及其應(yīng)用》

-《高等數(shù)學(xué)中的極值問題》

-《函數(shù)的單調(diào)性與極值在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用》

-《導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例》

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試自己推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系。

-探究不同類型函數(shù)（如多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的單調(diào)性和極值特性。

-分析實(shí)際生活中的問題，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本函數(shù)、物理學(xué)中的速度函數(shù)等，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析。

-通過數(shù)學(xué)建模，將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如預(yù)測(cè)市場(chǎng)趨勢(shì)、優(yōu)化生產(chǎn)過程等。

-研究導(dǎo)數(shù)在工程學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，了解導(dǎo)數(shù)在其他學(xué)科中的重要性。

-閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，了解導(dǎo)數(shù)理論的發(fā)展歷程和最新研究成果。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究項(xiàng)目，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

-通過在線課程或研討會(huì)，拓寬知識(shí)面，了解導(dǎo)數(shù)在不同學(xué)科中的應(yīng)用案例。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.情境教學(xué)：在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我嘗試通過視頻展示自然界中物體運(yùn)動(dòng)變化的情境，讓學(xué)生在直觀感受中理解導(dǎo)數(shù)的概念，這種情境教學(xué)法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂參與度。

2.互動(dòng)式教學(xué)：在師生互動(dòng)環(huán)節(jié)，我采用了小組討論和課堂展示的方式，讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)，這種互動(dòng)式教學(xué)不僅能夠促進(jìn)學(xué)生之間的交流，還能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生對(duì)抽象概念的理解不足：在講解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系時(shí)，部分學(xué)生對(duì)抽象的概念理解困難，需要進(jìn)一步通過實(shí)例和練習(xí)來加強(qiáng)理解。

2.教學(xué)深度不夠：在講授新課的過程中，我發(fā)現(xiàn)對(duì)于一些較復(fù)雜的應(yīng)用問題，學(xué)生的理解和掌握程度不夠，需要深入講解和更多實(shí)踐機(jī)會(huì)。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前的評(píng)價(jià)方式主要是通過課堂練習(xí)和作業(yè)來完成，缺乏對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的評(píng)價(jià)，需要引入更多樣化的評(píng)價(jià)手段。

反思改進(jìn)措施（三）

1.強(qiáng)化概念教學(xué)：針對(duì)學(xué)生對(duì)抽象概念理解不足的問題，我將增加實(shí)例教學(xué)，通過具體的例子幫助學(xué)生理解抽象的概念，并設(shè)計(jì)一些概念題，讓學(xué)生在練習(xí)中加深理解。

2.深化教學(xué)內(nèi)容：為了提高學(xué)生對(duì)復(fù)雜應(yīng)用問題的理解和掌握，我將增加一些拓展練習(xí)，設(shè)計(jì)一些綜合性強(qiáng)的題目，讓學(xué)生在實(shí)際操作中提升解決問題的能力。

3.豐富評(píng)價(jià)方式：為了全面評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，我將引入課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)、小組合作評(píng)價(jià)、實(shí)踐項(xiàng)目評(píng)價(jià)等多種評(píng)價(jià)方式，以更全面地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和同伴評(píng)價(jià)，提高學(xué)生的自我反思能力。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成課本第三章“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”的課后習(xí)題，特別是3.1節(jié)中的練習(xí)題，包括判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值點(diǎn)。

2.選擇一道與實(shí)際生活相關(guān)的題目，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析，如分析一家公司的收入隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，或者分析一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)速度變化情況。

3.設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，并分析其單調(diào)性和極值點(diǎn)。

作業(yè)反饋：

1.對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行及時(shí)批改，確保每個(gè)學(xué)生都能得到反饋。

2.對(duì)于判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值點(diǎn)的題目，檢查學(xué)生是否正確理解了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是否能夠正確計(jì)算導(dǎo)數(shù)，以及是否能夠正確判斷極值點(diǎn)。

3.對(duì)于實(shí)際生活問題的分析，關(guān)注學(xué)生是否能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題，是否能夠合理地解釋和分析數(shù)據(jù)。

4.對(duì)于設(shè)計(jì)函數(shù)的題目，評(píng)估學(xué)生是否能夠根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)合適的函數(shù)，以及是否能夠正確地計(jì)算導(dǎo)數(shù)和判斷函數(shù)的性質(zhì)。

5.在反饋中，針對(duì)學(xué)生存在的問題，給出具體的改進(jìn)建議，如對(duì)于計(jì)算錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的原因并給出正確的計(jì)算步驟；對(duì)于理解不深的問題，提供額外的解釋和實(shí)例；對(duì)于應(yīng)用能力不足的學(xué)生，鼓勵(lì)他們多參與實(shí)踐活動(dòng)，提高解決問題的能力。

6.對(duì)于表現(xiàn)優(yōu)秀的作業(yè)，給予表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)其他學(xué)生學(xué)習(xí)其解題思路和方法。

7.在下一節(jié)課的開始，可以安排時(shí)間讓學(xué)生展示自己的作業(yè)，通過同伴間的交流和討論，進(jìn)一步提高學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力。

8.對(duì)于作業(yè)中普遍存在的問題，可以在課堂上進(jìn)行集中講解和復(fù)習(xí)，確保所有學(xué)生都能夠掌握關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。典型例題講解例題1：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

解答：

首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$$f'(x)=3x^2-6x+4$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$3x^2-6x+4=0$$

$$x=1\text{或}x=\frac{2}{3}$$

然后，求出二階導(dǎo)數(shù)：

$$f''(x)=6x-6$$

代入$x=1$和$x=\frac{2}{3}$，得到：

$$f''(1)=0$$

$$f''\left(\frac{2}{3}\right)=-2$$

由于$f''(1)=0$，需要進(jìn)一步判斷$x=1$處的性質(zhì)，計(jì)算$f(1)$的值：

$$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1+1=3$$

由于$f''\left(\frac{2}{3}\right)<0$，可知$x=\frac{2}{3}$是函數(shù)的極大值點(diǎn)。

例題2：已知函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

解答：

首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$$f'(x)=e^x+e^{-x}$$

由于$e^x>0$和$e^{-x}>0$，可知$f'(x)>0$對(duì)所有$x$都成立，因此函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)。

例題3：已知函數(shù)$f(x)=\ln(x)-x^2$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

解答：

首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$$f'(x)=\frac{1}{x}-2x$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$\frac{1}{x}-2x=0$$

$$x^2=\frac{1}{2}$$

$$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

然后，求出二階導(dǎo)數(shù)：

$$f''(x)=-\frac{1}{x^2}-2$$

代入$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$和$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到：

$$f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)<0$$

$$f''\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)<0$$

由于$f''(x)<0$對(duì)所有$x$都成立，可知$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$是函數(shù)的極大值點(diǎn)。

例題4：已知函數(shù)$f(x)=x^4-8x^3+18x^2-8x+1$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

解答：

首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$$f'(x)=4x^3-24x^2+36x-8$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$x=1,2,3$$

然后，求出二階導(dǎo)數(shù)：

$$f''(x)=12x^2-48x+36$$

代入$x=1,2,3$，得到：

$$f''(1)=0$$

$$f''(2)=0$$

$$f''(3)=36$$

由于$f''(1)=0$和$f''(2)=0$，需要進(jìn)一步判斷$x=1$和$x=2$處的性質(zhì)，計(jì)算$f(1)$和$f(2)$的值：

$$f(1)=1-8+18-8+1=4$$

$$f(2)=16-64+72-16+1=9$$

由于$f''(3)>0$，可知$x=3$是函數(shù)的極小值點(diǎn)。

例題5：已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

解答：

首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

令$f'(x)=0$，解得：

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}=0$$

$$x=1$$

然后，求出二階導(dǎo)數(shù)：

$$f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}-\frac{1}{4x^{3/2}}$$

代入$x=1$，得到：

$$f''(1)=-\frac{1}{2}$$

由于$f''(1)<0$，可知$x=1$是函數(shù)的極大值點(diǎn)。板書設(shè)計(jì)①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-單調(diào)性

-極值點(diǎn)

②本文重點(diǎn)詞句：