構(gòu)造等腰三角形的常用方法 2024-2025學年北師大版數(shù)學八年級下冊

構(gòu)造等腰三角形的常用方法方法點撥構(gòu)造等腰三角形的關(guān)鍵是在一個三角形內(nèi)構(gòu)建邊、角的等量關(guān)系，常用方法：1.利用平行線構(gòu)造等腰三角形：利用平行線可輕易找到相等的角，再利用“等角對等邊”即可構(gòu)造等腰三角形.2.利用“三線合一”構(gòu)造等腰三角形：作角平分線的垂線，與已知角構(gòu)建等腰三角形；在線段的垂直平分線上找一點，與已知線段構(gòu)建等腰三角形.此種方法關(guān)鍵在于構(gòu)建垂直關(guān)系.3.運用倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形：通過作平行線、角平分線等方式，將倍角關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個三角形內(nèi)的等角關(guān)系.4.截長補短構(gòu)造等腰三角形：在已知線段上取點來構(gòu)建相等線段，據(jù)此即可構(gòu)造等腰三角形.類型1利用平行線構(gòu)造等腰三角形1.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于點F.求證：DF=EF.類型2利用“三線合一”構(gòu)造等腰三角形2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延長線于點E.求證：BD=2AE.類型3運用倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形3.如圖，在△ABC中，D是BC上一點，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足為E，DE與AB相交于點F，DG∥AC交AB于點H，交BE的延長線于點G.求證：△BDG是等腰三角形.類型4截長補短構(gòu)造等腰三角形4.如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過點B作BF⊥AD于點F，延長BF交AC于點E.（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=14，BD=5，求AB的長．類型5構(gòu)造等腰三角形的綜合5.如圖，E為△ABC的外角∠CAD平分線上的一點，已知AE∥BC，BF=AE．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AF=4，求CE的長．6.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P，Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B的路線運動，速度為1cm/s，點Q從點B開始沿B→C→A的路線運動，速度為2cm/s，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為ts．(1)當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？(2)當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？答案類型1利用平行線構(gòu)造等腰三角形1.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于點F.求證：DF=EF.解：如圖，過點D作DG∥AC交BC于點G，∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AC,∴∠ACB=∠DGB，∠DGC=∠BCE.∴∠ACB=∠DGB=∠B.∴DG=DB.∵BD=CE,∴DG=EC.且∠DGF=∠ECF，∠DFG=∠EFC.∴△DFG≌△EFC(AAS).∴DF=EF． 答圖類型2利用“三線合一”構(gòu)造等腰三角形2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延長線于點E.求證：BD=2AE.解：如圖，延長AE，BC相交于點F，∵∠AED=∠ACB=90°，∠EDA=∠CDB，∴∠FAC=∠DBC.在△AFC與△BDC中，∠FAC=∠DBC,AC=BC,∠FCA=∠DCB,∴△AFC≌△BDC(ASA).∴AF=BD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE.在△ABE與△FBE中，∠ABE=∠FBE,BE=BE, 答圖∠AEB=∠FEB,∴△ABE≌△FBE(ASA).∴AE=EF.∴BD=AF=2AE.類型3運用倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形3.如圖，在△ABC中，D是BC上一點，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足為E，DE與AB相交于點F，DG∥AC交AB于點H，交BE的延長線于點G.求證：△BDG是等腰三角形.證明：∵DG∥AC，∴∠BDG=∠C.∵∠BDE=∠C，∴∠BDE=∠BDG，即∠GDE=∠BDE.∵BE⊥DE，∴∠BED=∠GED=90°.∴∠G=∠GBD.∴△BDG是等腰三角形.類型4截長補短構(gòu)造等腰三角形4.如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過點B作BF⊥AD于點F，延長BF交AC于點E.（1）求證：△ABE為等腰三角形；（2）已知AC=14，BD=5，求AB的長．(1)證明：∵BE⊥AD，∴∠AFE=∠AFB=90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠BAF.在△AEF和△ABF中，∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°,∴∠AEF=∠ABF.∴△ABE為等腰三角形；(2)解：如圖，連接DE，在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED(SAS).∴BD=ED，∠ABD=∠AED.又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C. 答圖在△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC.∴EC=ED=BD．∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=14-5=9．類型5構(gòu)造等腰三角形的綜合5.如圖，E為△ABC的外角∠CAD平分線上的一點，已知AE∥BC，BF=AE．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AF=4，求CE的長．(1)證明：∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB.∵E為△ABC的外角平分線上的一點，∴∠DAE=∠EAC.∴∠B=∠ACB.∴△ABC是等腰三角形；(2)解：∵∠B=∠ACB，∴AB=CA.在△ABF和△CAE中，AB=CA,∠B=∠EAC，BF=AE，∴△ABF≌△CAE(SAS).∴AF=CE=4.6.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P，Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B的路線運動，速度為1cm/s，點Q從點B開始沿B→C→A的路線運動，速度為2cm/s，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為ts．(1)當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？(2)當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？解：(1)由題意可知AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=16cm，∴BP=AB-AP=(16-t)cm.∵∠B=90°，∴當△PQB為等腰三角形時，有BP=BQ，即16-t=2t，解得t=.∴出發(fā)s后△PQB是等腰三角形；(2)①當△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時，CQ=BQ，如圖1所示，則∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°.∴∠A=∠ABQ