數(shù)學基礎綜合考試大綱-學科教學

數(shù)學基礎綜合考試大綱-學科教學?一、考試目標本考試大綱適用于報考學科教學（數(shù)學）專業(yè)碩士研究生的考生?？荚囍荚诳疾榭忌鷮?shù)學專業(yè)基礎知識的掌握程度，以及運用這些知識解決數(shù)學教育相關問題的能力，為選拔具有扎實數(shù)學基礎和良好教育教學素養(yǎng)的專業(yè)人才提供依據(jù)。具體目標如下：1.系統(tǒng)掌握數(shù)學專業(yè)的核心知識，包括數(shù)學分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等基礎知識，能夠準確理解概念、熟練運用定理和公式進行推理和計算。2.具備運用數(shù)學知識解決實際數(shù)學教育問題的能力，如教學設計、教學評價、課程開發(fā)等方面，能夠結(jié)合數(shù)學學科特點和學生認知規(guī)律進行合理的教學規(guī)劃與實施。3.了解數(shù)學教育的基本理論和研究方法，能夠運用相關理論分析數(shù)學教學現(xiàn)象，提出改進教學的策略和建議，具備一定的教育研究素養(yǎng)。

二、考試內(nèi)容數(shù)學分析1.極限理論數(shù)列極限：數(shù)列極限的定義、性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性等），收斂數(shù)列的判別法（夾逼準則、單調(diào)有界準則等），數(shù)列極限的計算方法（四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則等）。函數(shù)極限：函數(shù)極限的定義（包括單側(cè)極限）、性質(zhì)，函數(shù)極限的計算方法（同數(shù)列極限計算方法，以及利用函數(shù)連續(xù)性求極限等），無窮小量與無窮大量的概念及其關系，無窮小量的比較。函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)性的定義、間斷點的分類，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（局部有界性、最大值最小值定理、介值定理等），一致連續(xù)性的概念及判定。2.一元函數(shù)微分學導數(shù)與微分：導數(shù)的定義、幾何意義，函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系，求導法則（四則運算求導法則、復合函數(shù)求導法則、反函數(shù)求導法則等），基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，高階導數(shù)的概念及求法，微分的定義及運算法則。微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用中值定理證明等式和不等式。導數(shù)的應用：函數(shù)單調(diào)性的判別法，函數(shù)極值的概念及求法，函數(shù)最值的求法（包括在閉區(qū)間上的最值），曲線的凹凸性與拐點的概念及判定方法，函數(shù)圖形的描繪。3.一元函數(shù)積分學不定積分：不定積分的概念與性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法（第一類換元法和第二類換元法），分部積分法，有理函數(shù)積分法。定積分：定積分的定義、性質(zhì)，牛頓萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法，反常積分（無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分）的概念及斂散性判別法。定積分的應用：平面圖形的面積計算（直角坐標、極坐標下），旋轉(zhuǎn)體體積的計算（繞坐標軸旋轉(zhuǎn)），物理應用（如功、引力、壓力等）。4.多元函數(shù)微分學多元函數(shù)的極限與連續(xù)：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義，多元函數(shù)極限的計算方法，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。偏導數(shù)與全微分：偏導數(shù)的定義、計算方法，高階偏導數(shù)，全微分的定義及計算，全微分在近似計算中的應用。多元復合函數(shù)求導法則與隱函數(shù)求導法則：多元復合函數(shù)求導法則（鏈式法則），隱函數(shù)存在定理，隱函數(shù)求導方法（一個方程和方程組確定的隱函數(shù)求導）。多元函數(shù)的極值與最值：多元函數(shù)極值的概念，必要條件和充分條件，條件極值的概念及拉格朗日乘數(shù)法，多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值求法。5.多元函數(shù)積分學二重積分：二重積分的定義、性質(zhì)，二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標下的計算），二重積分交換積分次序，利用二重積分計算平面圖形的面積、立體體積等。三重積分：三重積分的定義、性質(zhì)，三重積分的計算方法（直角坐標、柱面坐標、球面坐標下的計算），利用三重積分計算立體體積、質(zhì)量等。曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）的定義、性質(zhì)及計算方法，第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）的定義、性質(zhì)、計算方法及與路徑無關的條件，格林公式及其應用。曲面積分：第一類曲面積分（對面積的曲面積分）的定義、性質(zhì)及計算方法，第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）的定義、性質(zhì)、計算方法及高斯公式、斯托克斯公式。

高等代數(shù)1.多項式多項式的基本概念：多項式的定義、次數(shù)、相等、加法、減法、乘法運算，多項式環(huán)。多項式的整除理論：整除的定義、性質(zhì)，帶余除法，最大公因式的概念及求法（輾轉(zhuǎn)相除法），互素多項式的定義、性質(zhì)及判定。多項式的因式分解理論：不可約多項式的定義、性質(zhì)，因式分解定理，標準分解式，重因式的概念及判別法，多項式函數(shù)與多項式的根，有理系數(shù)多項式的有理根求法、整系數(shù)多項式的有理根性質(zhì)，艾森斯坦判別法。2.行列式行列式的定義：排列的概念、逆序數(shù)，n階行列式的定義。行列式的性質(zhì)：行列式的性質(zhì)（換行（列）變號、倍乘、倍加等性質(zhì)），利用性質(zhì)計算行列式。行列式的計算方法：按行（列）展開定理，范德蒙德行列式，拉普拉斯定理，行列式的計算技巧（如三角化、降階法、遞推法等）。3.線性方程組消元法：線性方程組的初等變換，矩陣的初等變換，用消元法解線性方程組，矩陣的秩的概念及求法。線性方程組解的判定：線性方程組有解的判定定理，齊次線性方程組有非零解的充要條件。線性方程組解的結(jié)構：齊次線性方程組解的結(jié)構（基礎解系的概念、求法及性質(zhì)），非齊次線性方程組解的結(jié)構（通解的表示形式）。4.矩陣矩陣的基本運算：矩陣的加法、減法、乘法、數(shù)乘運算，矩陣的轉(zhuǎn)置，方陣的行列式，伴隨矩陣，可逆矩陣的定義、性質(zhì)及判定方法，逆矩陣的求法（公式法、初等變換法等）。矩陣的初等變換與初等矩陣：矩陣的初等變換，初等矩陣的定義及性質(zhì)，矩陣等價的概念，用初等變換求矩陣的秩、逆矩陣。分塊矩陣：分塊矩陣的運算規(guī)則，分塊矩陣的初等變換，利用分塊矩陣簡化矩陣運算。5.二次型二次型及其矩陣表示：二次型的定義，二次型的矩陣，合同矩陣的概念及性質(zhì)。二次型的標準形：用正交變換化二次型為標準形，用配方法化二次型為標準形。二次型的規(guī)范形：慣性定理，二次型的規(guī)范形，正定二次型、負定二次型、半正定二次型、半負定二次型的定義及判定方法。6.線性空間線性空間的定義與性質(zhì)：線性空間的定義，線性空間的子空間的概念及判定，線性空間的基、維數(shù)與坐標，過渡矩陣的概念及求法。線性變換：線性變換的定義、性質(zhì)，線性變換的矩陣表示，線性變換在不同基下的矩陣關系，特征值與特征向量的概念及求法，相似矩陣的概念及性質(zhì)，矩陣可對角化的條件。7.線性變換線性變換的運算：線性變換的加法、數(shù)乘、乘法運算，線性變換的逆變換，線性變換的值域與核的概念及性質(zhì)。不變子空間：不變子空間的定義，線性變換在不變子空間上的限制，不變子空間與線性變換矩陣化簡的關系。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.隨機事件和概率隨機事件：隨機事件的概念，事件的關系與運算（包含、相等、并、交、差、對立等），完備事件組。概率的定義與性質(zhì)：概率的公理化定義，概率的基本性質(zhì)（非負性、規(guī)范性、可列可加性等），古典概型（樣本空間有限、等可能概型）的概率計算，幾何概型的概率計算。條件概率：條件概率的定義，乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式。事件的獨立性：兩個事件相互獨立的定義，多個事件相互獨立的定義及性質(zhì)，獨立重復試驗與伯努利概型。2.隨機變量及其分布隨機變量：隨機變量的定義，離散型隨機變量及其分布律，連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)，分布函數(shù)的定義、性質(zhì)及計算。常見分布：離散型常見分布（01分布、二項分布、泊松分布等），連續(xù)型常見分布（均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等），隨機變量函數(shù)的分布（離散型隨機變量函數(shù)分布的求法，連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的求法（公式法、分布函數(shù)法））。3.多維隨機變量及其分布二維隨機變量：二維隨機變量的定義，聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律（離散型）、聯(lián)合概率密度函數(shù)（連續(xù)型）的定義及性質(zhì)，邊緣分布函數(shù)、邊緣分布律、邊緣概率密度函數(shù)的求法，條件分布函數(shù)、條件分布律、條件概率密度函數(shù)的求法。隨機變量的獨立性：二維隨機變量相互獨立的定義及判定方法，多個隨機變量相互獨立的定義及性質(zhì)。二維隨機變量函數(shù)的分布：兩個隨機變量和、積、商等函數(shù)的分布（離散型和連續(xù)型情況的求法）。4.隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望：數(shù)學期望的定義（離散型、連續(xù)型），數(shù)學期望的性質(zhì)，隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望（公式法），常見分布的數(shù)學期望。方差：方差的定義，方差的性質(zhì)，常見分布的方差，切比雪夫不等式。協(xié)方差與相關系數(shù)：協(xié)方差的定義、性質(zhì)，相關系數(shù)的定義及性質(zhì)，隨機變量的獨立性與不相關性的關系。5.大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律的條件及結(jié)論。中心極限定理：獨立同分布的中心極限定理、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理的條件及結(jié)論，利用中心極限定理近似計算概率。6.數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體與樣本：總體、個體、樣本、簡單隨機樣本的概念，樣本均值、樣本方差、樣本矩的定義及性質(zhì)。抽樣分布：\(\chi^2\)分布、\(t\)分布、\(F\)分布的定義、性質(zhì)及分位點，正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差的抽樣分布。7.參數(shù)估計點估計：矩估計法、極大似然估計法的原理及計算，估計量的評選標準（無偏性、有效性、一致性）。區(qū)間估計：單個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計，兩個正態(tài)總體均值差與方差比的區(qū)間估計。8.假設檢驗假設檢驗的基本概念：原假設、備擇假設、檢驗統(tǒng)計量、顯著性水平、拒絕域、兩類錯誤等概念。單個正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗：\(u\)檢驗法、\(t\)檢驗法、\(\chi^2\)檢驗法的檢驗步驟及應用。兩個正態(tài)總體均值差與方差比的假設檢驗：相應的檢驗方法及應用。

三、考試形式和試卷結(jié)構1.考試形式考試形式為閉卷、筆試，考試時間為180分鐘。2.試卷結(jié)構試卷滿分為150分。數(shù)學分析：約50分。高等代數(shù)：約50分。概率論與數(shù)理統(tǒng)計：約50分。3.題型結(jié)構選擇題：約30分（10小題，每小題3分）。填空題：約30分（10小題，每小題3分）。解答題：約90分（6小題，每題15分左右）。

四、樣題

選擇題（每題3分，共30分）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)在\(x=1\)處（）A.連續(xù)B.有可去間斷點C.有跳躍間斷點D.有無窮間斷點2.設\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）的元素對應成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的行（列）向量組線性無關3.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P\{1<X\leq3\}=\)（）（已知\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.6826\)B.\(0.8413\)C.\(0.9544\)D.\(0.9974\)

填空題（每題3分，共30分）1.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)______。2.設\(f(x,y)=x^2+3xy+y^2\)，則\(f_x(1,1)=\)______。3.已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{*}=\)______。

解答題（每題15分左右，共90分）1.求函數(shù)\(y=x^33x^29x+5\)的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間和拐點。2.計算二重積分\(\iint_Dx^2y\,dxdy\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x^2\)，\(y=1\)所圍成的區(qū)域。3.已知線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+3x_2+5x_3=2\\3x_1+5x_2+ax_3=3\end{cases}\)，問\(a\)為何值時，方程組有解？有解時求出其通解。

五、參考書目1.《數(shù)學分析》（上下冊），華東師范大學數(shù)學系編，高等